Hubungan antara Keterobservasian dan Keterkonstruksian Sistem Linier Kontinu Bergantung Waktu

Transkripsi

1 Mah Educa Jurnal () (7): Jur na l Maem aika Pend i di ka n Maema i ka mejuinibpag@gmailcm Hubungan anara Keerbservasian Keerknsruksian Sisem Linier Kninu Berganung Waku Ezhari Asfa ani adris maemaika, Fakulas arbiyah Keguruan, IAIN Imam Bnjl Pag, Indnesia ezhariasfa@gmailcm Received: March 7; Acceped: May 7; Published: June 7 Absrak Sisem linier kninu berganung waku merupakan suau mdel yang banyak dijumpai dalam aplikasi Peneliian ini mengkaji hubungan anara keerbservasian keerknsruksian sisem linier kninu berganung waku Dengan menggunakan mede aljabar, dalam ulisan ini dibukikan beberapa erema yang mengkaji hubungan anara keerbservasian keerknsruksian sisem linier kninu berganung waku Selain iu, diberikan beberapa cnh sebagai ilusrasi unuk memperkua keberlakuan erema-erema yang elah dibukikan Kaa kunci: keerbservasian, keerknsruksian, sisem linier kninu berganung waku Absrac Cninuus ime-varying linier sysem is a mdel which many peples find in any applicains his paper eaching cnnecin f bservabiliy and cnsrucibiliy fr cninuus ime-varying linear sysem Wih algebra mehd we can prf any herems resul cnnecin f bservabiliy and cnsrucibiliy fr cninuus ime-varying linear sysem Fuhermre, we gave any examples fr illusrain be valid his herems and his prf Keywrds: bservabiliy, cnsrucabiliy, cninuus ime-varying linier sysem PENDAHULUAN Diberikan suau sisem linier kninu berganung erhadap waku beriku: x( ) A( ) x( ) B( ) u( );, y( ) C( ) x( ) D( ) u( ) d dengan x x Dalam sisem (), x () d m menyaakan vekr keadaan, u () menyaakan vekr inpu y () p menyaakan () n vekr upu Semua enri pada mariks nn nm pn A( ), B( ), C( ) pm D () berupa fungsi-fungsi bernilai riil Nasi n menyaakan himpunan vekr riil berdimensi n, nm menyaakan himpunan mariks riil berukuran n m Jika enri-enri dari mariks A B berganung erhadap waku, maka sisem pada persamaan () disebu imevarying Sebaliknya, jika enri-enri dari mariks Peer review under respnsibiliy IAIN Imam Bnjl Pag 7 IAIN Imam Bnjl Pag All righs reserved p-issn:

2 Ezhari Asfa ani, Hubungan anara Keerbservasian Keerknsruksian 87 A B idak berganung erhadap waku, maka sisem () disebu ime-invarian Slusi persamaan perama dalam () adalah x( ) (, ) x( ) (, ) B( ) u ( ) d, () dimana (, ) menyaakan mariks ransisi keadaan unuk persamaan ersebu Dengan demikian: y( ) C( ) (, ) x( ) C( ) (, ) B( ) u( ) d D( ) u( ) (3) Hal yang menarik unuk dikaji dari sisem linier kninu berganung erhadap waku adalah masalah keerbservasian keerknsruksian Secara umum, sisem () dikaakan erbservasi keadaan jika keadaan awal x( ) x dapa dienukan dengan mengeahui upu inpu sekarang akan daang Selain iu, sisem () dikaakan erknsruksi jika keadaan awal x( ) x dapa dienukan dengan mengeahui upu inpu sekarang masa lalu Makalah ini mengkaji kembali hubungan anara keerbservasian keerknsruksian dari sisem () LANDASAN EORI Sisem Linier Kninu Berganung erhadap Waku Diberikan sisem linier berganung waku sebagai beriku: x( ) A( ) x( ) B( ) u( ), x( ) x, (4) nn nm dimana A (), B () adalah mariks riil berganung waku Asumsikan B (), maka (4) dapa diulis menjadi x( ) A( ) x( ), x( ) x, (5) yang merupakan sisem linier hmgen berganung waku Misalkan nn adalah mariks dengan n klmnya berupa n slusi bebas linier dari (5) Mariks dikaakan sebagai mariks fundamenal dari (5) Definisi Jika adalah mariks fundamenal dari (5), maka yang didefinisikan sebagai (, ) ( ) ( ), unuk, (, ) dikaakan mariks ransisi keadaan dari (5) erema Misalkan (, ) (, ) adalah mariks ransisi keadaan dari (5) unuk (, ) maka pernyaaan beriku benar: (, ) merupakan slusi unggal dari persamaan diferensial mariks d dengan (, ) I (, ) A( ) (, ), d (6) Unuk seiap, s, (, ), berlaku (, ) (, s) ( s, ) 3 Unuk seiap, (, ), berlaku (, ) ak Buki singular (, ) (, ) Misalkan mariks fundamenal dari (5) Dengan menggunakan Definisi diperleh (, ) ( ) ( ) Oleh karena iu, (, ) A( ) (, ), (, ) I

3 88 Mah Educa Jurnal Vlume N Edisi April 7, pp86-95 Misalkan mariks fundamenal mariks ransisi dari () Dengan menggunakan Definisi diperleh (, ) (, s) ( s, ), dengan, s, (, ) 3 Misalkan mariks fundamenal, maka de( ( )) unuk seiap (, ) Oleh karena iu de( (, )) Dengan demikian, dapa dibukikan bahwa (, ) ak singular (, ) (, ) erema 3 Jika unuk seiap berlaku maka A ( ) A ( ) d A ( ) d A ( ), (, ) exp A( ) d Persamaan (3) disebu respn al, yang erdiri dari penjumlahan dua kmpnen yaiu respn inpu-nl respn keadaan nl Respn inpu-nl diberikan leh (,, x,) C( ) (, ) x, segkan respn keadaan-nl diberikan leh (,,, u) C( ) (, ) B( ) u( ) d D( ) u ( ) MEODE PENELIIAN Cara peneliian yang digunakan adalah sudi lieraur mengenai eri-eri enang mariks, ruang vekr, ransfrmasi linier, hasil kali dalam, nrm, sisem linier kninu berganung erhadap waku Makalah ini mengkaji kembali hubungan anara keerbservasian keerknsruksian dari sisem (), sera memberikan beberapa cnh yang berkaian dengan hubungan ersebu HASIL PENELIIAN DAN PEMBAHASAN elah dikeahui bahwa upu unuk sisem () diberikan leh y( ) C( ) (, ) x( ) C( ) (, ) B( ) u( ) d D( ) u( ) (7) unuk, (, ), dimana (, ) menyaakan mariks ransisi keadaan dari sisem () Selanjunya, misalkan dimana y( ) C( ) (, ) x (8) y( ) y( ) C( ) (, ) B( ) ( ) d D( ) ( ) u u x x( ) (9) Keerbservasian Sisem Linier Kninu Definisi 4 Suau keadaan x dikaakan ak erbservasi pada waku jika respn inpu-nl dari sisem adalah nl unuk seiap, yaiu jika C( ) (, ) x unuk seiap () Misalkan menyaakan himpunan semua keadaan ak erbsercvasi pada =, aau secara simblis dapa diulis x x { ak erbservasi pada } () Definisi 5 Sisem () dikaakan erbservasi keadaan pada, jika keadaan yang ak erbservasi pada hanyalah keadaan nl, x, yai- u jika {}

4 Ezhari Asfa ani, Hubungan anara Keerbservasian Keerknsruksian 89 erema 6 Suau keadaan x adalah ak erbservasi pada jika hanya jika unuk seiap, dimana x ker( W (, )) () (, ) (, ) ( ) ( ) (, ) W C C d (3) adalah mariks simeris unuk seiap Dari erema 6, jelas bahwa keadaan x erbservasi pada jika hanya jika erdapa W (, ) x Buki ( ) Misalkan x ker( W (, )) maka W (, ) x unuk seiap Akan diunjukkan bahwa keadaan x ak erbservasi pada Karena W (, ) x maka x W (, ) x unuk seiap Karena maka haruslah x C( ) (, ) d = C( ) (, ) x unuk seiap Jadi keadaan x ak erbservasi pada ()Misalkan keadaan x ak erbservasi pada x ker( W (, )), akan diunjukkan bahwa unuk seiap Karena keadaan x ak erbservasi pada, maka C( ) (, ) x unuk seiap Akibanya W (, ) x Jadi x ker( W (, )) unuk seiap Dari erema 6, jelas bahwa keadaan x erbservasi pada jika hanya jika erdapa W (, ) x Akiba 7 Sisem () adalah erbservasi keadaan pada jika hanya jika erdapa suau waku berhingga rank( W (, )) n (4) Jika sisem erbservasi, maka keadaan x pada adalah Buki x W (, ) (, ) C ( ) ( ) d y (5) () Misalkan sisem () erbservasi keadaan pada Akan dicari suau waku berhingga rank( W (, )) n Karena () erbservasi keadaan pada, maka keadaan yang ak erbservasi pada hanyalah keadaan nl, yaiu x Berdasarkan erema 6, erdapa elah dikeahui bahwa ker( W (, )) { } null( W (, )) Karena W (, ) adalah mariks n n, rank( W (, )) null( W (, )) n, maka dapa disimpulkan bahwa rank( W (, )) n () Misalkan erdapa suau waku berhingga rank( W (, )) n

5 9 Mah Educa Jurnal Vlume N Edisi April 7, pp86-95 Akan diunjukkan bahwa sisem () erbservasi keadaan pada Karena rank( W (, )) n unuk suau waku berhingga, maka null( W (, )) Akibanya ker( W (, )) { } yang bermakna bahwa keadaan yang ak erbservasi pada hanyalah keadaan nl, x Berdasarkan Definisi 5, maka sisem () adalah erbservasi keadaan pada Selanjunya, dari persamaan (3) (8) diperleh (, ) (, ) ( ) W x C y d (6) Dengan mengalikan kedua ruas (6) dengan W (, ) diperleh W (, ) (, ) C ( ) ( ) d x y (7) Keerknsruksian Sisem Linier Kninu Definisi 8 Suau keadaan x dikaakan ak erknsruksi pada waku jika unuk seiap waku berhingga, respn inpu-nl dari sisem adalah nl unuk semua, yaiu, C( ) (, ) x unuk seiap Misalkan menyaakan himpunan semua keadaan ak erknsruksi pada, aau secara simblis dapa diulis x x { ak erknsruksi pada } Definisi 9 Sisem () dikaakan erknsruksi keadaan pada, jika keadaan yang ak erknsruksi pada hanyalah keadaan nl, yaiu jika {} x, erema Suau keadaan x adalah ak erbservasi pada jika hanya jika x ker( W (, )) unuk seiap, dimana (, ) (, ) ( ) ( ) (, ) W C C d (8) adalah mariks simeris unuk seiap Buki () Misalkan x ker( W(, )) maka W (, ) x unuk seiap Akan diunjukkan bahwa keadaan x ak erknsruksi pada Karena W (, ) x maka x W (, ) x unuk seiap Karena maka haruslah x C( ) (, ) d C( ) (, ) x unuk seiap Jadi keadaan x ak erknsruksi pada ()Misalkan keadaan x ak erknsruksi pada, akan diunjukkan bahwa x ker( W(, )) unuk seiap Karena keadaan x ak erknsruksi pada, maka C( ) (, ) x unuk seiap Akibanya W x (, ) Jadi x ker( W(, )) unuk seiap Akiba Sisem () adalah erknsruksi keadaan pada jika hanya jika erdapa suau waku berhingga rank( W (, )) n (9) Buki

6 Ezhari Asfa ani, Hubungan anara Keerbservasian Keerknsruksian 9 () Misalkan sisem () erknsruksi keadaan pada Akan dicari suau waku berhingga rank(w (, )) = n Karena () erknsruksi keadaan pada, maka keadaan yang ak erknsruksi pada hanyalah keadaan nl, yaiu x Berdasarkan erema 6, erdapa ker( W (, )) { } elah dikeahui bahwa Karena, null(w (, ))= W adalah mariks n n,, rank( W )+null( W, )=n, maka dapa disimpulkan bahwa rank( W, )=n ( ) Misalkan erdapa suau waku berhingga < rank( W, )=n Akan diunjukkan bahwa sisem () erknsruksi keadaan pada Karena, rank W n unuk suau waku berhingga < maka null(w (, ))= Akibanya ker( W(, )) { } yang bermakna bahwa keadaan yang ak erknsruksi pada hanyalah keadaan nl, x Berdasarkan definisi 9, maka sisem () adalah erknsruksi keadaan pada erema beriku memperlihakan hubungan anara keerbservasian keerknsruksian sisem () erema Jika sisem () erbservasi keadaan pada, maka sisem ersebu erknsruksi keadaan pada suau Selanjunya, jika sisem () erknsruksi keadaan pada, maka sisem ersebu erbservasi keadaan pada suau Buki Misalkan sisem () erbservasi keadaan pada, akan dibukikan bahwa sisem ersebu erknsruksi keadaan pada Karena sisem () erbservasi keadaan pada, maka erdapa suau waku berhingga rank( W (, )) n Perhaikan mariks W (, ) pada persamaan (9) Dengan mengalikan mariks W (, ) dari kiri dengan (, ) dari kanan dengan (, ), diperleh (, ) W (, ) (, ) = W (, ) Karena (, ) adalah mariks ak singular unuk seiap, maka rank( (, )) n Karena rank( W (, )) n rank( (, )) n, maka mesilah rank( W(, )) n unuk seiap yang menunjukkan bahwa sisem erknsruksi keadaan Hubungan Anara Keerbservasian Keerknsruksian Sisem Linier Kninu Misalkan sisem () erknsruksi keadaan pada, akan dibukikan bahwa sisem ersebu erbservasi keadaan pada Karena sisem ()

7 9 Mah Educa Jurnal Vlume N Edisi April 7, pp86-95 erknsruksi pada, maka erdapa suau waku berhingga rank( W (, )) n Perhaikan mariks W (, ) pada persamaan (3) Dengan mengalikan mariks W (, ) dari kiri dengan dengan ( (, )) ( (, )) diperleh ( (, )) W (, )( (, )) dari kanan C C d ( (, )) (, ) ( ) ( ) (, ) ( (, )) Karena (, ) mariks ransisi keadaan, maka ( (, )) (, ) ( (, )) (, ) Akibanya ( (, )) W (, )( (, )) = W (, ) Karena (, ) adalah mariks ak singular unuk seiap, maka rank( (, )) n Selanjunya, karena rank( W(, )) n rank( (, )) n, maka mesilah rank( W (, )) n unuk seiap yang menunjukkan bahwa sisem erbservasi keadaan Beriku disajikan beberapa cnh yang memperlihakan hasil-hasil diaas Cnh Dikeahui x x, y e x Akan diperlihakan bahwa sisem ini erbservasi keadaan dengan menenukan keadaan x Mariks ransisi keadaan unuk sisem ini adalah (, ) e ( ) C( ) (, ) e e e Sehingga W (, ) e e d e ( ) ( ) Diberikan y( ) y ( ) e, maka x dapa dienukan menggunakan (), yaiu e x e ( e ) d ( ) Cnh Dikeahui sisem y C () x dimana e A ( ) x A ( ) x, C( ) e Akan diperlihakan bahwa sisem ini ak erbservasi keadaan Karena ( ) ( e e ) ( ) e A( ) A( ) d ( ) A( ) da( ) maka mariks ransisi keadaan dapa dienukan dengan rumus Selanjunya, (, ) exp A( ) d ( ) ( e e ) (, ) exp ( ) ( ) ( 3 e e e ) ( ) e ( ) [ 3 e e e ] C( ) (, ) e ( ) e Sehingga e

8 Ezhari Asfa ani, Hubungan anara Keerbservasian Keerknsruksian 93 e 4 e e W (, ) e d e 4 4 Karena rank( W (, )) n, maka sisem ak erbservasi Cnh Dikeahui sisem x A( ) x, y C( ) x dimana A ( ) C ( ) Akan diperlihakan bahwa sisem ini erbservasi keadaan dengan menenukan keadaan x erlebih dahulu akan dienukan mariks ransisi keadaan dari sisem ersebu Dengan menggunakan, akan diunjukkan bahwa Karena A( ) A( ) d, A( ) da( ) maka mariks ransisi keadaan dapa dienukan dengan rumus Selanjunya, (, ) exp A( ) d ( ) (, ) C( ) (, ) ( ) Diberikan ( ) ( ) y, maka x dapa dienukan menggunakan (), yaiu x (, ) (, ) ( ) ( ) W C d Jika A () sama seperi cnh sebe- lumnya, eapi C ( ) Akan diperlihakan bahwa sisem ini idak erbservasi keadaan Karena A sama seperi cnh sebelumnya, maka mariks ransisi keadaan (, ) ( ) ( ) C( ) (, ) Sehingga (, ) W d ( ) Karena rank( W (, )) n, maka sisem ak erbservasi Cnh 4 Diberikan sisem x A ( ) x, y C () x dimana e A ( ) C( ) e Sisem ini erbservasi keadaan pada Akan diperlihakan bahwa sisem ini erknruksi keadaan pada Karena sisem erbservasi keadaan pada, maka erdapa suau waku berhingga rank( W (, ))

9 94 Mah Educa Jurnal Vlume N Edisi April 7, pp86-95 elah diperleh Sehingga W e ( e e ) ( ) 3 (, ) ( ) C e e e ( ) (, ) ( ) e ( ) ( e ) (, ) ( e ) ( e e ) 4 Karena rank( W(, )) n, maka sisem erknsruksi Cnh 335 Diberikan sisem y C () x dimana e e A ( ) x A ( ) x, C( ) e Sisem ini erknsruksi keadaan pada Akan diperlihakan bahwa sisem ini erbservasi keadaan pada Karena sisem erknsruksi keadaan pada, maka erdapa suau waku berhingga sedemikian sehingga elah diperleh rank( W (, )) e [ e e ] ( ) 3 (, ) ( ) C e e e ( ) 3 ( ) (, ) ( ) e Sehinga W (, ) ( ) e ( ) 3 3 ( ) e e e e d ( e e ) (4 ) ( ( ) 4 4 e e e e ) ( ) ( e e ) ( e e ) 4 Karena rank( W (, )), maka sisem erbservasi SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan uraian di aas, dapa diberikan kesimpulan sebagai beriku: Syara cukup perlu unuk keerbservasian dari sisem () adalah rank( W (, )) n, Syara cukup perlu unuk keerknsruksian dari sisem () adalah rank( W (, )) n, 3 Jika sisem () erbservasi keadaan pada, Saran maka sisem ersebu erkns-ruksi keadaan pada suau Selain iu, jika sisem ersebu erkns-ruksi keadaan pada, maka sisem ersebu erbservasi keadaan pada suau Unuk peneliian selanjunya, penulis menyarankan unuk membahas enang hubungan anara keerbservasian keerknsruksian sisem diskre berganung waku

10 Ezhari Asfa ani, Hubungan anara Keerbservasian Keerknsruksian 95 REFERENSI Ann, H (99) Aljabar Linier Elemener Edisi Lima Jakara: Erlangga Ansaklis, PJ and AN Michel (6) Linear Sysems Bsn: Birkhäuser Ansaklis, PJ and AN Michel (7) A Linear Sysems Primer Bsn: Birkhäuser Cullen, CG (966) Marices and Linear ransfrmain Piburg-Pennsylvania: Addisn Wesley Publising Jacb, B (99) Linear Algebra New Yrk: WH Freeman and Cmpany Laub, AJ (5) Marix Analysis fr Scieniss and Engineers USA: SIAM