Bilangan Dominasi Jarak Dua Pada Graf Hasil Operasi Amalgamasi

Transkripsi

1 Bilangan Dominasi Jarak Dua Pada Graf Hasil Operasi Amalgamasi Ilham Saifudin ) ) Jurusan Teknik Informaika, Fakulas Teknik, Universias Muhammadiyah Jember Jl. Karimaa No. 49 Jember Kode Pos 68 ) ilham.saifudin@unmuhjember.ac.id ABSTRAK Unuk seiap graf G = (, E), S (G) dapa dikaakan himpunan dominasi dari G jika seiap simpul u (G) bereangga dengan S. Dengan demikian unuk seiap simpul u (G), ada simpul v S dimana jarak anara u dan v maksimal sau. Kardinalias minimum pada himpunan dominasi di graf G disebu dengan bilangan dominasi. Pada paper ini akan dienukan himpunan dominasi jarak dua pada graf G yang didefinisikan dengan S (G), dimana unuk seiap simpul u (G) ada simpul w S dimana jarak anara u dan w maksimal dua. Kardinalias minimum pada himpunan dominasi jarak dua di graf G disebu dengan bilangan dominasi jarak dua. Graf G yang dimaksud pada paper ini yaiu graf hasil operasi amalgamasi, dianaranya graf hasil operasi amalgamasi graf Helm, graf hasil operasi amalgamasi graf Bunga, graf hasil operasi amalgamasi graf Friendship. Kaa Kunci : Bilangan Dominasi Jarak Dua, Graf Hasil Operasi Amalgamasi. PENDAHULUAN Bilangan dominasi merupakan salah sau opik yang menarik pada eori graf. Bilangan dominasi sudah ada sejak ahun 850, bilangan dominasi ini muncul pada kalangan penggemar caur di Eropa yaiu penenuan berapa banyaknya rau yang harus diempakan pada papan caur 8 8, sehingga semua peak pada papan caur dapa dikuasai oleh rau dan jumlah rau yang dileakkan pada papan caur harus minimal. Hasil peneliian sebelumnya dianaranya enang bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi oleh Wicha dan Slamin. Bilangan dominasi dapa dikaakan sebagai banyaknya simpul pendominasi dalam suau graf yang dapa mendominasi simpul-simpul erhubung di sekiarnya, dengan simpul pendominasi berjumlah minimal. Bilangan dominasi dinoasikan dengan γ(g). Bilangan dominasi juga elah banyak diaplikasikan dalam kehidupan. Sebagai conoh pada penempaan mobil lisrik pada lahan perkebunan, penempaan CCT pada sudu-sudu erenu agar dapa menjangkau area di sekiarnya pada jarak erenu. Tujuan menerapkan himpunan dominasi pada penempaan mobil lisrik aaupun CCT yaiu agar lebih efisien dalam menempakannya sera dapa meminimalisir jumlahnya, sehingga lebih maksimal dalam penggunaannya. Dalam paper ini penulis menelii bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi (Carlson, K. 006) dan (Maryai, e al 00), dianaranya adalah graf hasil operasi amalgamasi graf Helm aau Amal (H n, v, ), graf hasil operasi amalgamasi graf Bunga aau Amal (Fl n, v, ), dan graf hasil operasi amalgamasi graf Friendship aau Amal (f n, v, ).

2 JUSTINDO, Jurnal Sisem & Teknologi Informasi Indonesia, ol., No., Februari 07. TINJAUAN PUSTAKA Himpunan dominasi (dominaing se) S pada graf G adalah subse dari (G) sedemikian seiap simpul G yang bukan elemen S erhubung dan berjarak sau erhadap S (Harary, e al F. 969) dan (Haynes, T. W, e al. 996). Kardinalias minimum di anara himpunan dominasi pada graf G disebu bilangan dominasi (dominaing number) dari graf G yang dinoasikan dengan γ(g). Himpunan dominasi jarak dua dinoasikan dengan S yaiu subse dari (G) sedemikian simpul G yang bukan elemen S erhubung dan memiliki jarak maksimal erhadap S (Darmaji, e al. 04), (Sridharan, N, e al. 00), dan (Umilasari, R. 05). Bilangan dominasi jarak dua dari suau graf dinoasikan dengan γ (G), yaiu kardinalias minimum dari himpunan dominasi jarak dua. Dalam menenukan simpul dominasi pada sebarang graf dapa menggunakan sebuah algorima yang dinamakan algorima greedy (Hedeniemi, S. T, e al. 986) dan (Munir, R. 004). Lema yang digunakan Lema. Bilangan dominasi jarak dua pada sebarang graf reguler G berderaja r adalahγ (G) r + Buki. Graf G adalah graf reguler jumlah simpul sebanyak dan deraja seiap simpul adalah r. Berdasarkan observasi, simpul maksimal yang dapa didominasi oleh sebuah simpul pendominasi adalah r +. Dengan demikian jumlah minimal simpul pendominasi adalah r +. Jadi, γ (G) r +. Selanjunya akan diunjukkan bahwa adalah jumlah simpul r + pendominasi minimal yang dapa mendominasi semua simpul di graf G. Andaikan γ G, maka r + banyak simpul maksimal yang dapa didominasi adalah r + r + +r r + r + =. Arinya, banyak simpul maksimal yang dapa didominasi adalah, maka erdapa minimal sau simpul yang belum erdominasi. Dengan demikian S = γ G. Karena adalah r + r + jumlah minimal simpul pendominasi yang dapa mendominasi semua simpul di G maka γ (G). r + Lema. Bilangan dominasi jarak dua pada sebarang graf G adalah γ (G) + (G) + N. (ikade e al, 06, 06) Buki. Graf G adalah sebarang graf dengan jumlah simpul sebanyak, misal x adalah sebuah simpul dengan deraja maksimal (G) maka x sebagai himpunan dominasi dan N [x] merupakan simpul berjarak dua dari x. Sehingga γ (G). + (G) + N Selanjunya akan diunjukkan bahwa + (G) + N adalah jumlah simpul pendominasi minimal. Andai γ G, maka banyak simpul + G + N maksimal yang dapa didominasi adalah + G + N + + G + N G + N =. + G + N Arinya banyak simpul yang dapa didominasi adalah, maka erdapa minimal sau simpul yang idak didominasi. Dengan demikian S =

3 Ilham Saifudin, Bilangan Dominasi Jarak hlm -40 γ G + G + N, karena + (G) + N adalah jumlah simpul pendominasi minimal maka γ (G). + (G) + N Teorema yang digunakan Teorema. Diberikan sebarang graf erhubung G sebanyak kopi maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi adalah γ Amal G, v, ; unuk diam(g) = γ G + ; unuk diam G yang lain (ikade e al, 06, 06) Buki. Dikeahui Amal(G, v, ) merupakan hasil operasi amalgamasi dari graf G sebanyak kopi dengan v adalah simpul erminal. Jika sebuah graf G memiliki n simpul, maka Amal(G, v, ) memiliki n + simpul. Beriku ini akan dibukikan bilangan dominasi jarak dua pada hasil operasi amalgamasi sebarang graf G yang memiliki diameer diam(g). Sebuah graf G dengan diam(g), jika dioperasikan amalgamasi, mengakibakan hasil operasi amalgamasi Amal(G, v, ) memiliki diameer kurang dari aau sama dengan 4. Sehingga sebuah simpul pendominasi yang dileakkan di simpul erminal akan dapa mendominasi semuruh simpul pada Amal(G, v, ). Dengan demikian γ (Amal(G, v, )) = dengan diam(g) 4. Selanjunya unuk membukikan hasil operasi amalgamasi pada sebarang graf G dengan diam(g) > akan dibagi menjadi dua kasus yaiu v S dan v bukan elemen S, dimana v adalah simpul erminal pada graf Amal(G, v, ) dan S adalah himpunan simpul dominasi jarak dua pada suau graf G. Kasus. v S Pada kasus dimana v S unuk jumlah kopian ke- sampai kopian ke, bilangan dominasi jarak dua pada Amal(G, v, ) akan membenuk barisan arimaika sebagai beriku. = γ (G) = γ (G) + = γ(g) = γ G) + = γ(g) = γ (G) + Maka dengan menggunakan barisan arimaika akan didapa bilangan dominasi jarak dua dari graf hasil operasi amalgamasi sebanyak kopi adalah γ (G) +. Berikunya akan dibukikan bilangan dominasi ersebu dengan menggunakan induksi maemaika sebagai beriku. γ (Amal(G, v, )) = γ (G) + Akan dibukikan unuk = adalah benar γ (Amal(G, v, )) = γ (G) + γ G = γ (G) Asumsikan unuk = k adalah benar γ (Amal(G, v, k)) = γ (G)k k + Akan dibukikan unuk = k + juga benar γ (Amal(G, v, k + )) = γ (Amal(G, v, k)) + beda γ (G)(k + ) (k + ) + = γ (G)k k + + γ (G) γ (G)k + γ (G) k + = γ (G)k + γ (G) k γ (G)k + γ (G) k = γ (G)k + γ (G) k

4 JUSTINDO, Jurnal Sisem & Teknologi Informasi Indonesia, ol., No., Februari 07 Dengan demikian pada kasus v S graf hasil operasi amalgamasi memiliki γ (Amal(G, v, )) = γ (G) +. Kasus. v bukan elemen S Pada kasus dimana v bukan elemen S unuk jumlah kopian ke- sampai kopian ke-, bilangan dominasi jarak dua pada Amal(G, v, ) akan membenuk barisan arimaika sebagai beriku. = γ (G) = γ (G) = γ (G) = γ (G) Maka dengan menggunakan barisan arimaika akan didapa bilangan dominasi jarak dua dari graf hasil operasi amalgamasi sebanyak kopi adalah γ (G). Berikunya akan dibukikan dere bilangan dominasi dengan menggunakan induksi maemaika sebagai beriku. γ (Amal(G, v, )) = γ (G) Akan dibukikan nuk = adalah benar γ (Amal(G, v, )) = γ (G) γ (G) = γ (G) Asumsikan unuk = k adalah benar γ (Amal(G, v, k)) = γ (G)k Akan dibukikan unuk = k + juga benar γ (Amal(G, v, k + )) = γ (Amal(G, v, k)) + beda γ (G)(k + ) = γ (G)k + γ (G) γ (G)k + γ (G) = γ (G)k + γ (G) Dengan demikian pada kasus v bukan elemen S graf hasil operasi amalgamasi memiliki γ (Amal(G, v, )) = γ (G). Dari kasus dan dapa dikeahui bahwa γ G + γ G maka γ Amal G, v, = γ G +. Selanjunya akan dibukikan bahwa γ G + adalah jumlah simpul pendominasi minimal pada graf Amal G, v,. Andaikan S Amal G, v, = γ G + = γ G maka simpul maksimal yang dapa didominasi oleh S adalah + (N + N ) n + +(N +N ) + (N + N ) n ++(N +N ) +(N +N ) n. = Dengan demikian idak semua simpul dapa didominasi, dengan demikian S (Amal(G, v, )) γ (G). Karena γ (G) + adalah jumlah simpul pendominasi yang minimal maka erbuki bahwa γ (Amal(G, v, )) = γ (G) +.. METODE PENELITIAN Meode yang digunakan dalam peneliian ini adalah pendeeksian pola, yaiu dengan cara mencari himpunan dominasi sedemikian hingga diemukan bilangan kardinalias yang minimum. Selain iu meode yang digunakan dalam peneliian ini adalah dedukif aksiomaik yaiu meode peneliian yang menggunakan prinsip-prinsip pembukian dedukif yang berlaku dalam logika maemaika dengan menggunakan aksioma aau eorema yang elah ada unuk memecahkan masalah. Peneliian ini akan menghasilkan eorema-eorema baru yang elah dibukikan secara dedukif sehingga kebenarannya berlaku secara umum. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada hasil peneliian akan dibahas enang bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi, dianaranya adalah graf hasil operasi amalgamasi graf Helm aau Amal (H n, v, ), graf hasil operasi 4

5 Ilham Saifudin, Bilangan Dominasi Jarak hlm -40 amalgamasi graf Bunga aau Amal (Fl n, v, ), dan graf hasil operasi amalgamasi graf Friendship aau Amal (f n, v, ). Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Amalgamasi Graf Helm Pada bagian ini akan diunjukkan eorema mengenai bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi graf Helm aau Amal (H n, v, ) dengan n dan. Teorema 0. Diberikan graf Helm H n sebanyak salinan dengan dan n, maka hasil bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi adalah γ (Amal(H n, v, )) =. Buki. Dikeahui Amal(H n, v, ) merupakan hasil operasi amalgamasi dari graf Helm H n sebanyak salinan dengan v adalah simpul erminal. Jika sebuah graf Helm H n memiliki n + simpul, maka Amal(H n, v, ) memiliki n + simpul. Selanjunya akan diunjukkan bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi Amal(H n, v, ) dengan barisan arimaika yang dapa diliha pada Tabel. Table. Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Amal H n, v, Jumlah Salinan () Bilangan Kardinalias (γ ) Unuk memperkua buki, disajikan conoh graf hasil operasi graf Helm seperi yang erliha pada Gambar. Gambar. Simpul Dominasi pada Amal H 6, v, 4 5

6 JUSTINDO, Jurnal Sisem & Teknologi Informasi Indonesia, ol., No., Februari 07 Maka dengan menggunakan barisan arimaika akan didapakan bilangan dominasi jarak dua dari graf hasil operasi amalgamasi pada graf Helm H n adalah. Berikunya akan dibukikan bilangan dominasi ersebu dengan menggunakan induksi maemaika sebagai beriku. γ (Amal(H n, v, )) = Akan dibukikan unuk = adalah γ (Amal(H n, v, )) = Akan dibukikan unuk = k adalah γ (Amal(H n, v, k)) = k Akan dibukikan unuk = k + adalah γ (Amal(H n, v, k + )) = γ (Amal(H n, v, k)) + beda γ H n k + = k + γ (H n ) k + γ (H n ) = k + k + = k + Selanjunya akan dibukikan bahwa simpul pendominasi ersebu dapa mendominasi seluruh simpul Amal(H n, v, ) berdasarkan Lema adalah n + +n =. Amal H n, v, + G +N = Selanjunya akan diunjukkan bahwa adalah jumlah simpul pendominasi minimal. Andai γ Amal H n, v, = maka banyak simpul maksimal yang akan didominasi adalah n + n ++n + n + n +n +n = n. Arinya banyak simpul yang didominasi adalah n, maka erdapa minimal sau simpul yang idak didominasi. Dengan demikian γ (Amal(H n, v, )), karena adalah jumlah minimal simpul pendominasi maka γ (Amal(H n, v, )) =. Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Amalgamasi Graf Bunga Beriku ini akan dibahas bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi graf Bunga aau Amal (Fl n, v, ) yang dapa diliha pada Teorema 0.. Teorema 0. Diberikan graf Bunga Fl n sebanyak salinan dengan dan n, maka hasil bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi adalah γ (Amal(Fl n, v, )) =. Buki. Dikeahui Amal(Fl n, v, ) merupakan hasil operasi amalgamasi dari graf Bunga Fl n sebanyak salinan dengan v adalah simpul erminal. Jika sebuah graf Bunga Fl n memiliki n + simpul, maka Amal (Fl n, v, ) memiliki n + simpul. Selanjunya akan dibukikan bilangan dominasi jarak dua pada graf Amal(Fl n, v, ) dengan membagi kedalam dua kasus sebagai beriku. Kasus. v S Pada kasus dimana v S unuk jumlah salinan ke- sampai salinan ke-, Amal(Fl n, v, ) memiliki sebuah simpul pendominasi yang dileakkan pada simpul erminal sehingga γ (Amal(Fl n, v, )) =. Kasus. v S Pada kasus dimana v S unuk salinan ke- sampai salinan ke-, bilangan dominasi jarak dua pada graf Amal(Fl n, v, ) akan membenuk barisan arimaika sebagai beriku. 6

7 Ilham Saifudin, Bilangan Dominasi Jarak hlm -40 Tabel. Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Amal(Fl n, v, ) Jumlah Salinan () Bilangan Kardinalias (γ ) Maka dengan barisan arimaika akan didapa bilangan dominasi jarak dua dari graf hasil operasi amalgamasi pada graf Bunga Fl n adalah. Unuk memperkua buki, disajikan conoh graf hasil operasi graf Bunga seperi yang erliha pada Gambar. Gambar. Simpul Dominasi padaamal(fl 4, v, ) Beriku akan dibukikan bilangan dominasi ersebu dengan menggunakan induksi maemaika sebagai beriku. γ (Amal(Fl n, v, )) = Akan dibukikan unuk = adalah γ (Amal(Fl n, v, )) = Akan dibukikan unuk = k adalah γ (Amal(Fl n, v, k)) = k Akan dibukikan unuk = k + adalah γ (Amal(Fl n, v, k + )) = γ (Amal(Fl n, v, k)) + beda γ Fl n k + = k + γ (Fl n ) k + γ (Fl n ) = k + k + = k + Dengan demikian pada kasus v S γ (Amal(Fl n, v, )) =. Dari kasus dan kasus dapa dikeahui bahwa maka γ (Amal(Fl n, v, )) =, karena berdasarkan definisi bilangan kardinalias adalah jumlah minimal dari simpul pendominasi. Selanjunya akan dibukikan bahwa simpul pendominasi ersebu dapa mendominasi seluruh simpul Amal(Fl n, v, ) berdasarkan Lema adalah γ Amal Fl n, v, n + n + = =. + G +N = Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Amalgamasi Graf Friendship Beriku ini akan dibahas bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi graf Friendship aau Amal (f n, v, )yang dapa diliha pada Teorema 0.4. Teorema 0.4 Diberikan graf Friendship f n sebanyak salinan dengan dan n, maka hasil bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi adalahγ Amal (f n, v, ) =. 7

8 JUSTINDO, Jurnal Sisem & Teknologi Informasi Indonesia, ol., No., Februari 07 Buki. Dikeahui Amal (f n, v, ) merupakan hasil operasi amalgamasi dari graf Friendship f n sebanyak salinan dengan v adalah simpul erminal. Jika sebuah graf Friendship f n memiliki n + simpul, maka Amal (f n, v, ) memiliki n + simpul. Kasus. v S Pada kasus dimana v S unuk jumlah salinan ke- sampai salinan ke-, Amal (f n, v, ) memiliki sebuah simpul pendominasi yang dileakkan pada simpul erminal sehingga γ Amal (f n, v, ) =. Kasus. v S Pada kasus dimana v S unuk salinan ke- sampai salinan ke-, bilangan dominasi jarak dua pada graf Amal (f n, v, )akan membenuk barisan arimaika sebagai beriku. Tabel. Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Amal (f n, v, ) Jumlah Salinan () Bilangan Kardinalias (γ ) Maka dengan barisan arimaika akan didapa bilangan dominasi jarak dua dari graf hasil operasi amalgamasi pada graf Friendship f n adalah. Beriku akan dibukikan bilangan dominasi ersebu dengan menggunakan induksi maemaika sebagai beriku. γ Amal (f n, v, ) = Akan dibukikan unuk = adalah γ Amal (f n, v, ) = Akan dibukikan unuk = k adalah γ Amal (f n, v, k) = k Akan dibukikan unuk = k + adalah γ (Amal (f n, v, k + )) = γ (Amal (f n, v, k)) + beda γ f n k + = k + γ f n k + γ f n = k + k + = k + Dengan demikian pada kasus v S γ Amal (f n, v, ) =. Dari kasus dan kasus dapa dikeahui bahwa maka γ Amal (f n, v, ) =, karena berdasarkan definisi bilangan kardinalias adalah jumlah minimal dari simpul pendominasi. Selanjunya akan dibukikan bahwa simpul pendominasi ersebu dapa mendominasi seluruh simpul Amal (f n, v, ) berdasarkan Lema adalah γ Amal (f n, v, ) n + n + = =. + G +N = Unuk memperkua buki, disajikan conoh graf hasil operasi graf Friendship seperi yang erliha pada Gambar. 8

9 Ilham Saifudin, Bilangan Dominasi Jarak hlm -40 Gambar. Simpul Dominasi pada Amal (f 4, v, 4) 5. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan yang diperoleh berdasarkan analisis dan pembahasan adalah sebagai beriku :. Bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi graf Helm aau Amal(H n, v, ) dengan n dan adalah γ (Amal(H n, v, )) =.. Bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi graf Bunga aau Amal(Fl n, v, ) dengan n dan adalahγ (Amal(Fl n, v, )) =.. Bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi graf Friendship aau Amal(f n, v, ) dengan n dan adalah γ (Amal(f n, v, )) =. Berdasarkan hasil peneliian mengenai bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi amalgamasi, dianaranya adalah graf hasil operasi amalgamasi graf Helm, graf hasil operasi amalgamasi graf Bunga, graf hasil operasi amalgamasi graf Friendship. Maka peneliian selanjunya dapa dikembangkan dengan menenukan bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi lainnya. DAFTAR PUSTAKA Carlson, K Generalized Books and Cm-Snakes are Prime Graphs. Ars Combinaoria. Darmaji dan Umilasari, R. 04. Dominaing Se Berjarak Dua pada Graf Jahangir dan Prisma. Tidak Dierbikan. Paper. Surabaya: ITS. Harary, F. dan Fruch, R Graph Theory. Philippines: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Haynes, T. W., Hedeniemi, S. T., dan Slaer, P. J Fundamenal of Dominaions in Graphs. New York: Marcel Dekker, Inc. Hedeniemi, S. T., Laskar, R., dan Pfaff, J A Linear Algorihm for Finding a Minimum Dominaing Se in Cacus. Discree Applied Mahemaics in Norh Holland. : 9

10 JUSTINDO, Jurnal Sisem & Teknologi Informasi Indonesia, ol., No., Februari Maryai, Salman, Baskoro, Ryan, dan Miller. 00. On H-supermagic Labelings for Cerain Shackles and Amalgamaions of a Conneced Graph. Uilias Mahemaica. 8: - 4. Munir, R Algorima Greedy. Deparemen Teknik Informaika Insiu Teknologi Bandung. Sridharan, N., Subramanian,. S. A dan Elias, M. D. 00. Bounds on he Disance Two-Dominaion Number of Graph. Graphs and Combinaorics. 8: Umilasari, R. 05. Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf-graf Hasil Operasi Korona dan Comb. Tidak Dierbikan. Tesis. Surabaya: ITS. ikade, W. D. 06. Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi. Tidak Dierbikan. Tesis. Jember: Universias Jember 40