ANALISIS DIGRAPH DARI TABEL CAYLEY GRUP DIHEDRAL

Transkripsi

1 ANALISIS DIGRAPH DARI TABEL CAYLEY GRUP DIHEDRAL Wahyuni Abidin Doen Pada Juuan Matematika Fakulta Sain dan Teknologi UIN Alauddin Makaa Abtact: Gaph theoy i a pat of mathematic, in which thee ae explanation of digaph. Thi eeach, pupoed to how a table baed on Cayley digaph depiction dihedal goup. A digaph can be decibed fom a goup, one of which i the opeation of the Cayley table of the dihedal goup. Dihedal goup i the goup of the et of ymmetie n-tem of egula, denoted Dn, fo each poitive intege n, n 3. Thi, the dihedal goup will be divided into two ubet, namely: 1. x = {1,,,... } o known with ubet otation;. v = {,,,... } o known with ubet eflection. Baed on the analyi of thi eeach howed that, to obtain a connected digaph, the depiction of thee digaph, dihedal goup can be fomed on the element geneato, geneato (, ), and the geneato (, ) to fom a compoite image with element digaph element x and y. on the opeation of the Cayley table dihedal goup, which contained depiction digap hekel ame cannot be combined. Fom the eult of the opeation of the otation and eflection on the dihedal goup D6 Cayley table which i a goup of abtact fom, latin quae, which can be decibed by a digaph element of the geneato it. Keywod: Euleian digaph, Hamilton digaph, Cayley Table, Dihedal goup, Reflection, Rotation. PENDAHULUAN M atematika meupakan penelaah tentang bilangan-bilangan, bentukbentuk dan lambang-lambang. Bekaitan dengan definii teebut, matematika eingkali dibagi menjadi tiga cabang, yaitu aljaba, analii dan geometi. Aljaba membaha tentang bilangan dan pengabtakannya, analii membaha kekonvegenan dan limit, edangkan geometi membaha tentang bentuk dan konep-konep yang bekaitan dengan matematika itu endii. Dengan demikian, ebagai pengaah dalam penelitian ini, akan digunakan ebagai momen atau aana untuk mengembangkan dan mempelua pengetahuan tentang ilmu yang telah dipeoleh, baik ebagai bahan putaka, pembelajaan, dibidang ilmu matematika, khuunya yang bekaitan denga metode gaf maupun gup. Pada pekembangan elanjutnya, cabang matematika menjadi emakin banyak dan 18

2 Wahyuni Abidin, Analii Digaph dai Tabel Cayley Gup Dihedal _19 alah atunya adalah teoi gaf. Teoi gaf dalam pekembangannya dapat diejajakan dengan aljaba yang lebih dahulu bekembang. Gaf meupakan uatu himpunan tak koong dai elemen-elemen yang diebut titik dan himpunan ii yang menghubungkan titik-titik teebut. Gambaan dai gaph adalah dengan menyatakan objek dengan titik atau vetex, edangkan hubungan antaa objek dinyatakan dengan gai atau edge. Gaf digunakan untuk menggambakan objek-objek dikit ehingga dapat menghubungkan antaa objek- objek teebut. (I Ketut Budayaa, Teoi Gaf dan Aplikainya (Penebit Unea Univeity Pe 007), h. 1). Penggunaan itilah dalam teoi gaf belum epenuhnya beifat baku. Mialkan untuk menyatakan uatu titik digunakan itilah node, dan untuk menyatakan uatu ii digunakan itilah ii atau gai. Itilah-itilah dalam teoi gaf dapat diteima jika digunakan ecaa koniten. Teoi gaf mempunyai banyak manfaat, kaena teoi-teoinya tedapat diteapkan untuk memecahkan maalah dalam kehidupan ehai-hai. Pemaalahan yang diumukan dengan teoi gaf dibuat edehana, yaitu diambil apek-apek yang dipelukan dan dibuang apek-apek lainnya yang tidak dipelukan. Keedehanaan bahaannya menyebabkan teoi gaf dapat diaplikaikan ke dalam bebeapa bidang ilmu. Teoi gaf dapat diaplikaikan dalam bidang kimia, biologi, ilmu oial, muik dan maih banyak bidang ilmu yang lain. Teoi gaf juga dapat diaplikaikan pada bebeapa cabang ilmu matematika yang lain, alah atunya adalah aplikai teoi gaf pada aljaba abtak khuunya yang bekaitan dengan gup. Dalam pembahaan teoi gaf menjelakan uatu gaf beaah (digaph) yang dapat digambakan dai uatu gup bedaakan tabel Cayley, ehingga dalam tabel teebut akan dibaha tentang gup dihedal. Oleh kaena itu, teoi gaf menuut definiinya adalah himpunan tidak koong yang memuat elemenelemen yang diebut titik, dan uatu dafta paangan tidak teuut elemen itu yang diebut ii. Penuli kaya ilmiah ini betujuan untuk menunjukkan penggambaan digaph, bedaakan pengopeaian Tabel Cayley gup dihedal. DEFINISI GRAPH Sebuah gaf G adalah beiikan dua himpunan yaitu himpunan behingga tidak koong V(G) dai objek-objek yang diebut titik dan himpunan behingga (mungkin koong) E(G) yang elemen-elemennya diebut ii edemikian hingga etiap elemen e dalam E(G) meupakan paangan tak beuutan dai titik-titik V(G). Himpunan V(G) diebut himpunan titik G, dan himpunan E(G) diebut himpunan ii G. (I Ketut Budayaa, Teoi Gaph dan Aplikainya (Penebit: Unea Univeity Pe-007), h. 1.). Sebuah gaf G dapat dipeentaikan dalam bentuk diagam (gamba) dimana etiap titik G digambakan dengan ebuah noktah dan etiap ii yang menghubungkan dua titik di G digambakan dengan ebuah kuva edehana (ua gai) dengan titik-titik akhi diebuah titik teebuat.

3 130_ Junal Teknoain, Volume 7 Nomo 1, Januai 013, hlm: Mialkan Gaf G dengan V(G) = {u, v, w, x} dan E(G) = {,,,, } dimana = uv, = vw, wx, = ux, uw, dapat dipeentaikan dalam bentuk diagam. epeti tampak pada Gamba.1 Contoh u v G: x w DIGRAPH Gamba.1 Gaf G dengan 4 titik dan 5 ii. Sebuah gaf beaah D adalah uatu gaf yang etiap iinya dibeikan oientai aah. (Rinaldi Muni, Matematika Dikit Edii ketiga (Penebit Impomatika Bandung, 009), Copyight 005, h. 358.). Jika ebuah titik dan adalah dua titik pada gaf beaah D dan e = ( ) ebuah ii D, maka e diebut ii-kelua dai titik dan e diebut ii menuju titik. Untuk efeieni ii e = ( ) eing diuli (i, j). Contoh : Pada digaph H = (V(H), Γ(H)) dengan V(H) = { } dan Γ(H) = { } dan Γ(H) = {( ), ( ), ( ), ( ), ( )} dapat dipeentaikan epeti tampak pada Gamba.4. Gamba.4 H digaph tehubung Konep jalan, jejak, lintaan, ikuit, dan ikel eupa dengan konep jalan, jejek, lintaan, ikuit, dan ikel pada gaf tak beaah hanya aja ii pada gaf diganti dengan ii pada gaf beaah. Mialnya, pada Gamba digaph H = (,,,,) adalah ikel beaah dengan panjang 3 pada gaf beaah D. Sikel pada gamba H = (,,,,,) memuat emua titik H, maka pada gamba H adalah ebuah ikel beaah- Hamilton pada gamba beaah H. Dengan demikian, H adalah digaph Hamilton.

4 Wahyuni Abidin, Analii Digaph dai Tabel Cayley Gup Dihedal _131 GRUP Suatu gupoida (G,*) dengan opeai bine * membentuk uatu gup jika dan hanya jika memenuhi ifat-ifat beikut: 1. Opeai * pada G beifat aoiatif ; yaitu untuk etiap a, b, c, G belaku (a * b) * c = a * (b * c).. G tehadap opeai bine * mempunyai elemen identita, yaitu ada i G edemikian ehingga a * i = i * a = a untuk etiap a G 3. Setiap elemen G, mempunyai inve tehadap opeai bine * dalam G yaitu untuk etiap a G ada G edemikian hingga a * = * a = i, i adalah elemen identita dai G. (Suhati Soebagio A. dan Sukiman Matei pokok Stuktu Aljaba (Jakata, Univeita Tebuka, Dekdigbud 1993), h. 14.). Dai definii teebut, mengaitkan gup dengan gupoida, yang beati udah memenuhi ifat tetutup. Dengan pekataan lain uatu gup adalah gupoida yang memenuhi ifat aoiatif, mempunyai elemen identita dan etiap anggotanya mempunyai inve. Apabila dikaitkan dengan emigup dan monoida, akan menjadi ebagai beikut: Gup adalah emigup yang mempunyai elemen identita dan etiap anggotanya mempunyai inve. Contoh : Himpunan bilangan bulat B = {,-, -1, 0, 1,, } tehadap opeai bine penjumlahan. a. Sifat tetutup dipenuhi, yaitu penjumlahan bilangan bulat menghailkan bilangan bulat. b. Sifat aoiatif dipenuhi yaitu penjumlahan bilangan-bilangan bulat beifat aoiatif. c. B tehadap opeai + mempunyai elemen identita yaitu 0, ebab untuk etiap a B maka a + 0 = 0 + a = a. d. Setiap anggota B mempunyai inve tehadap opeai +, yaitu etiap a B ada = -a B ehingga a + (-a) = (-a) + a = 0. Jadi B dengan opeai + meupakan uatu gup dan dituli (B; +) uatu gup. e. Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk etiap a, b B maka a + b = b + a. Jadi (B, +) gup komutatif. TABEL CAYLEY Tabel Cayley, adalah meupakan alah atu caa untuk mendefiniikan opeai bine pada himpunan, khuunya himpunan behingga. (Suhati Soebagio A. dan Sukiman Matei pokok Stuktu Aljaba (Jakata, Univeita Tebuka, Dekdigbud 1993), h ). Apabila G = {i, a, b, c, } dengan i, a, b elemen yang tidak didefiniikan pada objek tetentu dan dilengkapi oleh uatu opeai bine *, yang memenuhi emua ifat gup, maka (G,*) adalah gup abtak. Gup ini meupakan pola bagi gup lainnya, dan abtak dai elemen-elemen dan opeai tetentu. Elaman identita dalam gup abtak teebut dinyatakan dengan i. Opeai bine pada gup abtak didefiniikan dengan Tabel Cayley.

5 13_ Junal Teknoain, Volume 7 Nomo 1, Januai 013, hlm: Contoh : Mialkan Sifat-ifat gup dapat dilihat dalam Tabel dengan caa ebagai beikut: a. Jika dalam kolom emua elemen adalah anggota G maka (G,*) memenuhi ifat tetutup. b. Sifat aoiatif dapat dicoba atu pe atu. c. Bai dan kolom yang uutan anggotanya ama dengan uutan bai dan kolom paling lua menunjukkan elemen identita yaitu i. d. Apabila i muncul pada bai dan kolom yang ama beati anggota teebut mempunyai inve diinya endii. Jadi inve i adalah i dan inve a adalah a. Apabila i muncul pada bai ke- kolom ke-3 dan muncul pula pada bai ke-3 klom ke- maka kedua anggota teebut aling inve. Jadi = c dan = b. Apabila tidak demikian beati anggota teebut tidak mempunyai inve. e. Peamaan a x = b mempunyai penyeleaian tunggal apabila etiap bai dalam kotak emua anggota belainan. Peamaan y a = b mempunyai penyeleain tunggal apabila etiap kolom dalam kotak emua anggota belainan. f. Apabila letak anggota dalam kotak imeti tedapat diagonal utama maka ifat komutatif dipenuhi. Apabila G = {i, a, b, c, d}, (G, *) diebut gup abtak odo 5. dengan opeai bine * dalam table Caylay adalah ebagai beikut: Tabel.1 Tabel Cayley (G,*) gup. * i a b c d i i a b c d a a b c d i b b c d i a c c d i a b d d i a b c Pada Tabel teebut, etiap anggota hanya muncul atu kali pada tiap bai dan tiap kolom dan memenuhi ifat gup. GRUP DIHEDRAL Gup dihedal adalah gup dai himpunan imeti-imeti dai egi-n beatuan, dinotaikan, untuk etiap n N, n 3. Dengan opeai kompoii * yang memenuhi akioma-akioma gup. (Gup_dihedal file.pdf (15 Januai 01)). Sifat-ifat pada gup dihedal- belaku: a. 1,,,, emua bebeda dan = 1 ehingga = n b. = c. untuk ebaang i. d. untuk emua 0 i, j n 1 dengan i j, ehingga = { 1,,,,,,,,..., }, yaitu, tiap-tiap elemen dapat di tuli

6 Wahyuni Abidin, Analii Digaph dai Tabel Cayley Gup Dihedal _133 ecaa tunggal dengan bentuk untuk etiap k = 0 atau 1 dan 0 = i n 1. e. =. f. =, untuk emua 0 i n. FUNGSI PEMBANGKIT Mialkan G uatu gup dan mialkan A ubet dai G dengan A adalah himpunan behingga {,,, } akan dituli (,,, ) dai ehingga untuk gup yang di bangkitkan oleh,,,, maka A diebut geneato (pembangkit). Contoh : Dibeikan S adalah geneato dengan S = (, ). Maka S adalah ubet dai. Tunjukkan bahwa dapat dibangkitkan oleh S dengan opeai kompoii *. Jawab: adalah himpunan imeti-imeti dai egitiga yaitu {1,,,,, }. Maka akan ditunjukkan dapat dibangkitkan oleh S = (, ). 1. * =. * = * = 4. * = 5.. * = 6. 1 * = Dai hail geneato S = (, ) yang diopeaikan dengan kompoii * maka dipeoleh {1,,,,, }. Jadi dapat dibangkitkan oleh S = (, ). PROSEDUR PENELITIAN Adapun Langkah-langkah dalam menunjukkan digaph yang digambakan bedaakan Tabel Cayley gup dihedal adalah ebagai beikut: a. Menggambakan etiap elemen dai gup dihedal ebagai titik dan ii pada digaph, dengan caa mempehatikan opeainya, yaitu jika a, b, c, maka: a * b = c, yaitu a: adalah elaman yang mengopeaikan, b: elemen yang diopeaikan, dan c: adalah elemen hail opeai. b. Pada penggambaan digaph maka a dan c digambakan ebagai titik, edangkan b digambakan ebagai ii beaah dai a ke c, kemudian digabungkan dua digaph maing-maing paangan, elemen x denga y pada fungi pembangkit geneato S = (, ), dengan fungi keanggotaan * dan, untuk mempeoleh uatu digaph tehubung. c. Pada penggambaan digaph, elemen yang tedapat Sikel yang ama maka digaph teebut tidak temauk uatu digaph tehubung, penggambaan teebut tidak digabungkan.

7 134_ Junal Teknoain, Volume 7 Nomo 1, Januai 013, hlm: HASIL PENELITIAN Tabel Cayley dengan opeai gup dihedal dai hail geneato S = (, ), yang di opeaikan dengan kompoii *, ehingga dapat di peoleh {1,,,,, }. Sebagai beikut: Tabel.. Tabel Cayley gup dihedal * Bedaakan hail penelitian, pada pengopeaian gup dihedal maka dapat di peoleh uatu gamba digaph, yaitu ebagai beikut: a. Digaph gup dihedal dengan fungi keanggotaan { * }, pada geneato <, > Mial dinotaikan ebagai gup dehidal. Di mana gup dehidal adalah himpunan imeti-imeti dai egi tiga yaitu = {1,,,,, }. Untuk paangan geneato yang dapat membangkitkan gup dehidal diantaanya {, }, {, }, {, }, {, }, akan tetapi dalam pembahaan mengenai Tabel Cayley gup dehidal geneato yang dipilih hanya paangan geneato {, }. Pada bagian ini dipilih geneato = {, }. Sebagaimana penjelaan ebelumnya himpunan titik dai digaph gup dihedal adalah ( ) atau adalah himpunan dai elemen gup. Oleh kaena itu ( ) mempunyai ode, edangkan dan adalah elemen hail opeai gabungan dengan anggota dai himpunan Maka jika 1 diopeaikan dengan, maka hail opeainya adalah, begitupun dengan pengopeaian yang lain. Seuai dengan poedu penelitian bahwa, hail opeai pada Tabel Cayley gup dihedal = {1,,,,, } maka akan diopeaikan bedaakan fungi keanggotaan pada geneato S = (, ) dimana akan di opeaikan dalam bentuk digaph tehubung. Hal teebut dijelakan bahwa opeai 1 * tidak digambakan kaena 1 adalah awal dai pengopeaian yang akan di opeaikan dai hail opeai teebut, adalah ebagai beikut:

8 Wahyuni Abidin, Analii Digaph dai Tabel Cayley Gup Dihedal _ * = 4. * =. * = 5. * = 3. * = 1 6. * = G : 1 Gamba 4.1 Digaph Sikel 3 Hail opeai *. G : 1. 1 * = 4. * =. * = 1 5. * = 3. * = 6. * = 1 Gamba 4. Digaph Sikel 3. Hail opeai *. Pada Gamba 4.1 Digaph G, Sikel 3 Hail opeai *. Opeai kompoii untuk etiap, x dengan menghailkan uatu digaph tak tehubung yang maing-maing memuat ubdigaph ikel 3. Dai gamba teebut dapat dilihat bahwa, himpunan yang beanggotakan (1 * = ), ( * = ), ( * = 1), kaena tedapat Sikel 3 pada maing-maing elemen maka pengnggambaan dengan tepiah, yaitu beanggotakan ( * = ), ( * =

9 136_ Junal Teknoain, Volume 7 Nomo 1, Januai 013, hlm: ), ( * = ). Maka hal teebut tidak boleh di gabungkan kaena maingmaing memuat ikel 3. Begitupun dengan Gamba 4. Digaph, Sikel 3. Hail opeai *. b. Digaph gup dihedal dengan fungi keanggotaan { * }, Pada geneato <, > 1. 1 * =. * = 3. * = 4. * = 1 5. * = 6. * = 1 G: Gamba 4.3 Digaph hail Opeai * Pada Gamba 4.3 Digaph hail opeai *. Adalah digaph beatuan- ehingga pada digaph teebut dihubungkan antaa ebuah ii dengan titik pada diinya endii, yaitu digaph yang mempunyai ii angkap, yang beanggotakan (1 * = ), ( * = ), ( * = ). Hal teebut dapat digabungkan dengan elemen x kaena hail opeai gup dihedal * adalah pengopeaian yang memiliki ii ganda beatutan * =. * = 3. * = 4. * = 5. * = 6. * = 1

10 Wahyuni Abidin, Analii Digaph dai Tabel Cayley Gup Dihedal _137 G: 1 Gamba 4.4 Digaph hail Opeai * 1. 1 * =. * = 3. * = 4. * = 5. * = 1 6. * = G : 1 Gamba 4.5 Digaph hail Opeai * Pada Gamba 4.4 Digaph hail opeai *, meupakan hail opeai Tail Eule, ehingga digaph teebut tidak temauk ifat digaph beatuan-, kaena tedapat digaph Sikel 3 yang memuat 6 Tail tetutp, maka digaph teebut tidak dapat digabungkan antaa digaph atu dengan digaph yang lain. Kaena emua titik dan ii yang tedapat di dalamnya memuat Sikel, yaitu jika (1 * = ), ( * = ), ( * = ), ( * = ), ( * = ). Begitupun dengan Gamba 4.5 Digaph hail opeai *.

11 138_ Junal Teknoain, Volume 7 Nomo 1, Januai 013, hlm: c. Digaph gup dihedal, hail opeai gabungan x dengan y a. 1 * = a. 1 * = b. * = b. * = c. * = 1 c. * = d. * = d. * = 1 e. * = e. * = f. * = f. * = G: 1 Gamba 4.6 Digaph Gabungan. Hail opeai * dan * a. 1 * = a. 1 * = b. * = 1 b. * = c. * = c. * = d. * = d. * = 1 e. * = e. * = f. * = f. * =

12 Wahyuni Abidin, Analii Digaph dai Tabel Cayley Gup Dihedal _139 G : 1 Gamba 4.7 Digaph Gabungan. Hail opeai *. Dan * Setelah emua hail opeai teebut telah digambakan bedaakan pengopeaian Tabel Cayley gup dihedal, maka akan digabungkan antaa elemen x dengan elemen y pada maing-maing paangan digaph untuk mempeoleh digaph tehubung. Pada penggambaan digaph teebut, akan lihat pada Gamba 4.6 Digaph gabungan hail opeai antaa elemen * dengan hail opeai * maka telihat bahwa gamba digaph euai dengan elemen titik yang telah ditunjukkan bedaakan pengopeaian Tabel Cayley gup dihedal, keena tedapat digaph Sikel 3 dan digaph beatupan- yang memiliki ii angkap. Begitupun dengan Gamba 4.7 Digaph gabungan hail opeai antaa elemen * dengan hail opeai *, tedapat digaph Sikel 3 dan digaph beatuan- yang memiliki ii angkap, ehingga dapat digabungkan antaa digaph yang atu dengan digaph yang lainnya. Hal teebut di jelakan bahwa penggambaa digaph hail opeai gup dihedal adalah pada Gamba 4.6 yaitu (1 * = ) di katakan bahwa elemen hail opeai tedapat gabungan dengan, yaitu ( * = ), atau ebaliknya ( * = ), hal teebut di jelakan yang ama dengan gabungan antaa (1 * = ), kemudian ( * = ). Begitupun dengan ebaliknya. Hal teebut ama halnya dengan hail opeai pada penggabungan penggambaan digaph Gamba 4.7. Lain halnya dengan elemen y pada hail pengopeaian dan, dimana hail pengopeaian ini adalah tedapat Tail Eule, ehingga digaph teebut tidak memenuhi ifat beatuan-, ehingga tedapat digaph Sikel 3 yang memuat 6 Tail tetutup, maka tidak dapat dihubungkan antaa digaph atu ama lain. PENUTUP Bedaakan hail penelitian dalam penulian ini, maka diimpulkan bahwa; pada pengopeaian gup dihedal, = {1,,,,, }, digaph dapat digambakan bedaakan Tabel Cayley gup dihedal, hail

13 140_ Junal Teknoain, Volume 7 Nomo 1, Januai 013, hlm: pengopeaian pada Tabel Cayley teebut, tedapat ifat-ifat gup itu endii. Di ini gup dihedal akan dibagi menjadi dua himpunan bagian yaitu: 1. x = {1,,,, } atau yang dikenal dengan himpunan bagian otai;. y = {,,,, } atau yang dikenal dengan himpunan bagian efleki atau dapat ditulikan ebagai x dan y. Pada penggambaan digaph teebut, gup dihedal dapat dibentuk pada unu pembangkit, geneato <, >, dan geneato <, > ehingga tebentuk uatu Gamba gabungan digaph dengan elemen x dan elemen y. Pada pengopeaian Tabel Cayley gup dihedal, penggambaan digaph yang tedapat Sikel yang ama tidak dapat di gabungkan. Dai hail pengopeaian otai dan efleki pada gup dihedal Tabel Cayley yang meupakan bentuk gup abtak, Bujuangka Latin, ehingga dapat digambakan uatu digaph bedaakan unu pembangkit geneato teebut. DAFTAR RUJUKAN Budayaa I Ketut,. Teoi Gaph dan Aplikainya. Penebit: Unea Univeity Pe 007. Viii, 5 hal.,lllu, 1. (15 Januai - 01). Cayley, Athu. "On the theoy of goup, a depending on the ymbolic equation θ n = 1", Philoophical Magazine, Vol. 7 (1854), pp Available on-line at Google Book a pat of hi collected wok. (15 Januai - 01). Cayley, Athu. "On the Theoy of Goup", Ameican Jounal of Mathematic, Vol. 11, No. (Jan 1889), pp Available on-line at JSTOR. Daminto Piyo Bambang. Gup Pemutai, Gup Dihedal. Diake Tanggal ( ). David Dummid, dan Richad M Foote. Abtak Al-Geba, (Dihedal Goup Second Edition lnc), Depatemen Agama. R.I, Al Qu an dan Tafinya. Yogyakata: PT Dana Bakti. Depatemen Agama. R.I. Al-Quan dan tejemahannya, (Penebit C.V. Jaya Sakti, Suabaya) Edii Bau, Dihedal_Gup. Diake (15 Januai - 01).

14 Wahyuni Abidin, Analii Digaph dai Tabel Cayley Gup Dihedal _141 Gallian A. Joeph. Abtact Algea. ( ) D. C. Heath and company Univeity of Mineota, Duluth Contempoay. Gaph Anjacent dan Incident., Chaiful Khaanah. Diake tanggal ( ). Holland Roy Kamu Matematika. Penebit Elangga. PT. Geloa Akaa Patama. Muni Rinaldi, Matematika Dikit Edii ketiga. Penebit Impomatika Bandung, 009. Copyight 005. Puwanto Hei, Indiani Gina. Dayanti Elina. Matematika Dikit (PT. Econtaa Rajawali,STC Senayan It , Jl. Aia Afika, Pintu IX Geloga Senayan Jakata Puat 1070), Bekeja ama dengan WIT Web Infomation Technology. Soebagio A. Suhati. dan Sukiman. 1993, Matei pokok Stuktu Aljaba. Univeita Tebuka, Depdikbud.