Drs. H. Karso, M.M.Pd. Modul 11 NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN DIAGONALISASI METRIKS

Transkripsi

1 Drs. H. Karso, M.M.Pd. Modul NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN DIAGONALISASI METRIKS Pendahuluan Modul yang ke- dari maa kuliah Aljabar Linear ini akan mendiskusikan beberapa konsep yang berguna bagi kia sebagai pengajar dan pendalaman dari maeri-maeri maemaika di sekolah. Selain iu akan sanga bermanfaa pula bagi bagi kia keika mempelajari maeri-maeri maemaika lanju dan penerapanpenerapan maemaika dalam sain dan eknologi, ermasuk Modul (Penerapan Aljabar Linear). Cakupan maeri pembelajaran dalam modul ini melipui nilai eigen (eigen value), vekor eigen (eigen vecor) dan diagonalisasi sebuah mariks, ermasuk diagonalisasi orogonal dan mariks simerik. Kesemua maeri bahasan ini akan erkai dengan vekor, dan vekor-vekor ersebu muncul secara alami dalam sebuah gearan, sisem elekrik, geneik, reaksi kimia, mekanika kuanum, ekanan mekanis, geomeri, reaksi kimia, geomeri dan ekonomi. Sedangkan bahasan secara khusus enang konsep vekor baik di ruang dua (R ) maupun di ruang iga (R ) dan ruang n (R n ) elah kia pelajari dalam modul-modul sebelumnya. Sebagai ujuan insruksional umum seelah Anda mempelajari maeri dalam modul ini diharapkan dapa memahami nilai eigen, vekor eigen dan permasalahan diagonalisasi dari sebuah mariks. Sedangkan sebagai ujuan insruksional khususnya, diharapkan Anda dapa: a. menenukan nilai eigen dan vekor eigen dari suau mariks/ ransformasi linear; b. menenukan hasil diagonalisasi sebuah mariks. Adapun susunan maeri dalam modul ini erbagi menjadi dua kegiaan belajar sebagai beriku. Kegiaan Belajar : Nilai eigen, vekor eigen, persamaan karakerisik, dan polinom karakerisik dari suau mariks. Kegiaan Belajar : Diagonalisasi, diagonalisasi orogonal dan diagonalisasi mariksmariks simeris.

2 Peunjuk Belajar Unuk dapa memahami modul ini dengan baik sera mencapai kompeensi yang diharapkan, gunakanlah sraegi belajar beriku:. Sebelum membaca modul ini, cermai erlebih dahulu glosarium pada akhir modul yang memua isilah-isilah khusus yang digunakan dalam modul ini.. Baca maeri modul dengan seksama, ambahkan caaan pinggir, berupa anda anya, peranyaan, konsep lain yang relevan, dan lain-lain sesuai dengan pemikiran yang muncul.. Cermai dan kerjakan soal-soal laihan dan es formaif seopimal mungkin, dan gunakan rambu-rambu jawaban unuk membua penilaian enang kemampuan pemahaman Anda.. Bualah caaan khusus hasil diskusi dalam uorial unuk digunakan dalam pembuaan ugas dan ujian akhir.. Usahakan Anda mempelajari beberapa buku sumber penunjang lainnya.

3 KEGIATAN BELAJAR NILAI DAN RUANG EIGEN A. Nilai Eigen dan Vekor Eigen Pada pembahasan pembelajaran yang lalu kia elah mendiskusikan vekorvekor di R dan R (Modul ) sampai vekor-vekor di R n (Modul ). Vekor-vekor ersebu muncul secara alamiah dalam kejadian vibrasi, elekrik, geneika, mekanika, kimiawi, ekonomi, dan konsep-konsep maemaika lainnya. Khusus pada bagian ini kia akan menunjukkan bagaimana mencari vekor-vekor ini dan pada modul yang erakhir nani akan mendiskusikan beberapa penerapannya. Unuk lebih jelasnya kia perhaikan sebuah mariks A yang berukuran n n dan sebuah vekor pada R n dan biasanya secara umum idak ada hubungan anara vekor dengan vekor A (Gambar. a). Namun, ada beberapa vekor ak nol sehingga dan A merupakan penggandaan sau sama lainnya (Gambar. b). A A (a) (b) Gambar. Sekarang kia akan meninjau ulang beberapa konsep yang elah kia diskusikan dalam pembelajran yang lalu unuk dikembangkan lebih lanju. Definisi.. Misalkan A adalah mariks n n, maka vekor yang idak nol di R n disebu vekor eigen (eigen vecor) dari A jika A adalah kelipaan skalar dari, yaiu A = λ unuk suau skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.

4 Conoh. Mariks A = 8, maka vekor = adalah vekor eigen dari mariks A, sebab A adalah kelipaan dari, yaiu A = 8 = = =. 6 Dalam hal ini λ = adalah nilai eigen dari mariks A. Conoh. Dikeahui mariks P =. Vekor = dan = adalah vekor-vekor eigen dari mariks P, sebab P = = = = dan P = = = = Nilai-nilai eigen dari mariks P adalah λ = dan λ =. Apakah seiap mariks A yang berukuran n n selalu mempunyai vekor eigen dan nilai eigen? Berapa banyak vekor eigen dan nilai eigen yang dimiliki oleh sebuah mariks A yang berukuran n n? Unuk menjawab peranyaan-peranyaan ini sekaligus memberikan penjelasan lebih lanju dari dua conoh di aas, sehingga kia dapa dengan cepa dan epa memberikan jawabannya, perhaikanlah uraian beriku dengan baik. B. Persamaan Karakerisik Unuk mencari nilai eigen dari mariks A yang berukuran n n, maka kia perlu memperhaikan kembali definisi vekor eigen dan nilai eigen, yaiu A = λ. Benuk ini dapa kia ulis sebagai beriku:

5 A = λ I. (λ I A) =...() (A - λ I) = Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang idak nol dari persamaan () ini. Menuru eorema dalam bahasan sebelumnya, maka persamaan () akan mempunyai penyelesaian ak nol (mempunyai penyelesaian non rivial) jika dan hanya jika: de (λ I A) = Definisi.. Persamaan de (λ I A) = dengan λ sebagai variabel disebu persamaan karakerisik dari mariks A. Akar-akar aau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakerisik) dari mariks A. De (λ I A) f(λ) yaiu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakerisik. Dari pemahaman definisi di aas, jelas bahwa jika A adalah mariks n n, maka persamaan karakerisik dari mariks A mempunyai deraja n dengan benuk de (λ I A) = f(λ) = a + a + a + + a n - n - + a n n = Menuru eorema dasar aljabar kia dapakan bahwa persamaan karakerisik ersebu mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Inga meode Horner dan persamaan pangka inggi). Jadi, suau mariks yang berukuran n n paling banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda. Seelah kia memperhaikan uraian di aas, enunya para pembaca berharap unuk meninjau ulang Conoh. aau Conoh. di aas sehingga kia mendapakan nilai-nilai eigen dari mariks dengan menyelesaikan persamaan karakerisiknya Conoh. Carilah nilai-nilai eigen dari mariks Q = Penyelesaian: Polinom karakerisik dari mariks Q adalah

6 de (λ I Q) = de = de = λ - λ + dan persamaan karakerisik dari mariks Q adalah λ - λ + = Penyelesaian dari persamaan ini adalah λ = dan λ =. Jadi, nilai-nilai eigen dari mariks Q adalah dan Conoh. Dikeahui unuk A = Carilah: a) Persamaan karakerisik dari mariks A b) Nilai-nilai eigen dari mariks A Penyelesaian: a) Persamaan karakerisik dari mariks A adalah de (λ I A) = de = aau de (A - λ I) = de = ( λ) = ( λ) ( λ) + ( λ) = ( λ) ( λ + λ ) ( λ) = λ - 6λ + λ - 6 = 6

7 b) Unuk mencari nilai-nilai eigen dari mariks A harus mencari akar-akar aau nilai-nilai λ yang memenuhi persamaan pangka iga: λ - 6λ + λ - 6 =.... () Unuk menyelesaikan persamaan ini, kia perlu erlebih dahulu memahami persamaan pangka inggi dengan akar-akar bula yang elah kia pelajari di SLTA. Unuk iu enunya kia masih inga bahwa secara sederhana dapa memanfaakan kenyaaan enang semua penyelesaian bilangan bula (jika himpunan penyelesaian )dari persamaan polinom dengan koefisien-koefisien bilangan bula. a n λ n a n - λ n a = - harus aau pasi merupakan pembagi dari suku konsana a. Jadi, penyelesaianpenyelesaian bilangan bula yang mungkin dari persamaan () adalah pembagipembagi dari 6, yaiu,,, dan 6. Selanjunya subsiusikan nilai-nilai ini beruru-uru pada persamaan () sehingga kia dapakan akar-akarnya, dan enunya memerlukan banuan eorema sisa aau meode horner unuk persamaan pangka inggi. Dalam hal ini λ = memenuhi persamaan (), sebab =. - Sebagai akibanya (λ ) haruslah merupakan facor dari ruas kiri persamaan (). Dengan banuan eorema sisa, yaiu membagi persamaan () oleh ( ) kia dapakan dua nilai λ lainnya, yaiu λ = dan λ =, sehingga akar dari persamaan (), yaiu λ =, λ =, dan λ = adalah nilai-nilai eigen dari mariks A. - Unuk menyelesaikan persamaan () dapa pula dilakukan dengan banuan meode Horner, dengan langkah perama sema seperi di aas yaiu sampai mendapakan λ = dan langkah berikunya sebagai beriku: -6-6 (koefisien-koefisien persamaan () λ = (λ ) (λ - λ + 6) = (λ ) (λ ) (λ - ) = λ =, λ =, dan λ = adalah nilai-nilai eigen dari mariks A. 7

8 Conoh. Carilah nilai-nilai eigen dari mariks T = Penyelesaian: 7 Seperi kedua conoh di aas, maka persamaan karakerisik dari marik T adalah de (A - λ I) = de 7 = (- λ)( λ) ()(-7) = λ + = λ = i. i dan i (nilai-nilai eigennya adalah bilangan imajiner). Karena nilai-nilai eigen dari mariks T adalah bilangan imajiner, sedangkan menuru definisi λ adalah skalar aau bilangan real. Maka mariks T idak mempunyai nilai eigen. Caaan: Dari conoh. kia mendapakan nilai-nilai eigen kompleks dari mariks yang real. Hal ini akan membawa kia unuk meninjau kemungkinan ruang-ruang vekor kompleks, yaiu ruang-ruang vekor dengan skalar-skalarnya nilai kompleks. Diskusi kia unuk ruang-ruang vekor kompleks dengan nilai-nilai eigen kompleks akan dijumpai dalam kesempaan lain. Dalam kesempaan sekarang akan dibaasi pada conoh-conoh dengan nilai eigen yang real. Sekarang kia perhaikan eorema beriku yang merupakan ikhisar dari hasilhasil yang elah diperoleh melalui diskusi maeri pembelajaran di aas. Teorema.. Jika A adalah suau mariks n n dan λ adalah suau bilangan real, maka pernyaaan-pernyaaan beriku ini adalah ekuivalen (a) λ adalah nilai-nilai eigen dari mariks A. (b) Sisem persamaan (λ I A) = mempunyai penyelesaian ak rivial (non rivial). 8

9 (c) Ada vekor yang idak nol dalam R n sedemikian sehingga A = λ. (d) λ adalah suau penyelesaian real dari persamaan karakerisik de (λ I A) = Buki: Kia akan memperlihakan bahwa (a), (b), (c), dan (d) ekuivalen sau sama lainnya dengan membukikan uruan implikasi (a) (b) (c) (d) (a). (a) (b). Karena λ adalah nilai-nilai eigen dari mariks A, maka menuru definisi nilai eigen berlaku: A = λ dengan ak nol. λ I A = (λ I A) = Karena ak nol maka sisem persamaan linear homogen (λ I A) = Harus mempunyai penyelesaian non-rivial. (b) (c). Karena (λ I A) = maka A = λ I A = λ (c) (d). Karena A = λ A = λ I (λ I A) = Karena ada idak nol, maka sisem persamaan linear homogen (λ I A) = haruslah de (λ I A) = dengan λ adalah suau penyelesaian realnya. (d) (a). Karena λ adalah penyelesaian real dari persamaan de (λ I A) =, maka λ adalah penyelesaian dari persamaan karakerisik de (λ I A) = aau dengan kaa lain λ adalah nilai eigen dari mariks A. C. Ruang Eigen Seelah kia memahami bagaimana mencari nilai-nilai eigen hubungannya dengan persamaan karakerisik, maka sekarang akan beralih ke masalah unuk mencari vekor eigen. Menuru definisi erdahulu bahwa vekor eigen dari mariks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vekor yang idak nol dan haruslah memenuhi A = λ. Dengan kaa lain, secara ekuivalen enunya vekor eigen yang 9

10 bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vekor yang ak nol dalam ruang penyelesaian (λ I A) =. Ruang penyelesaian ini ki anamakan sebagau ruang eigen (eigen space) dari mariks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Apakah ruang eigen ini membenuk basis?. Definisi.. Ruang penyelesaian dari sisem persamaan linear (λ I A) = aau (A - λ I) = dinamakan ruang eigen dari mariks A yang berukuran n n. Sekarang kia perhaikan beberapa conoh, bahwa vekor-vekor eigen suau mariks akan membenuk suau basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari mariks ersebu. Conoh. 6. Dikeahui mariks seperi dalam conoh., yaiu A = Carilah basis unuk ruang eigen dari mariks A. Penyelesaian: Telah diselesaiakn dalam Conoh. di aas, bahwa dari persamaan karakerisik de (A - λ I) = λ - 6λ + λ - 6 = didapa iga buah nilai eigen mariks A, yaiu λ =, λ =, dan λ =. Sebagai konsekwensinya akan kia dapakan iga buah ruang eigen dari mariks A. Menuru definisi, = adalah vekor eigen dari mariks A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika adalah suau penyelesaian non rivial dari sisem persamaan linear homogen:

11 (λ I - A) = aau (A - λ I) =... () Unuk λ =, maka () menjadi: + = - = - = = = R = Vekor-vekor eigen A yang bersesuaian dengan λ = adalah vekor ak nol yang berbenuk X =. Jadi, vekor merupakan suau basis unuk ruang eigen dari mariks A yang bersesuaian dengan λ =. Unuk λ =, maka () menjadi + = - = - =

12 b b b b + = - + = = - = = -, =, = R Jadi, vekor-vekor eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah vekorvekor ak nol yang berbenuk = sehingga adalah basis unuk ruang eigen mariks A yang bersesuaian dengan λ =. Unuk λ =, maka () menjadi + = - = - =

13 b b b b b + = - - = = - = - = = = R Vekor eigen unuk λ = adalah = Jadi vekor adalah basis unuk ruang eigen mariks A yang bersesuaian dengan λ =. D. Nilai Eigen, Vekor Eigen dan Transformasi Linear Sekarang kia akan mendiskusikan maeri pengayaan enang nilai eigen dan vekor eigen. Dalam hal ini kia akan meliha bagaimana hubungan anara nilai eigen dan ransformasi linear. Definisi.. Skalar k dinamakan nilai eigen dari ransformasi linear T: V V jika ada vekor yang idak nol dalam V sehingga T = λ. Vekor dinamakan vekor eigen T yang bersesuaian dengan λ. Secaa ekuivalen, maka vekor eigen T yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vekor ak nol dalam ruang eigen T. Dari definisi ini dapa diperlihakan, bahwa jika V adalah ruang vekor yang berdimensi berhingga dan λ adalah nilai eigen dari mariks T unuk ransformasi linear T: V V erhadap sebarang basis B, maka

14 T() = λ() [T()] B = [λ()] B A[] B = λ[] B Hal ini berari:. Nilai eigen λ dari T adalah nilai eigen mariks A. Vekor adalah vekor eigen T yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika mariks koordina-koordinanya [] B adalah vekor eigen A yang bersesuaian dengan λ. Unuk lebih memahami penjelasan definisi di aas, kia perhaikan conoh beriku ini. Conoh. 7 Misalkan T: P P yang didefinisikan (dirumuskan) oleh T(a + a + a ) = ( a + a ) + (-a + a ) + (-a + a ). Carilah: a) nilai-nilai eigen T b) basis-basis unuk ruang eigen T. Penyelesaian: Basis sandar (basis baku) unuk P adalah B = {,, }, T() = = T() = + + = T( ) = + + = + [T()] B =, [T()] B =, dan [T( )] B = Jadi mariks T erhadap basis B sandar B = {,, } adalah A =.

15 Nilai eigen dari T adalah nilai eigen dari mariks A, yaiu λ =, λ =, dan λ = (Conoh. ). Juga elah didapakan dari Conoh. 6 di aas bahwa ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ = mempunyai basis {u }, ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = mempunyai basis {u }, dan ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = mempunyai basis {u } dengan u =, u =, dan u =. Mariks-mariks ini adalah mariks-mariks koordina erhadap basis sandar B yang berbenuk p =, p = + + dan p = Jadi, basis-basis unuk ruang eigen T yang bersesuaian dengan λ = adalah {}, yang bersesuaian dengan λ = adalah { + + }, dan yang bersesuaian dengan λ = adalah {- + + }. Selanjunya unuk memanapkan pemahaman Anda enang maeri pembelajaran Kegiaan Belajar di aas, cobalah kerjakan soal-soal Laihan beriku ini. Laihan. Carilah persamaan karakerisik dari mariks A = 8.. Carilah nilai-nilai eigen mariks A dari soal nomor sau di aas.. Carilah basis-basis unuk ruang eigen dari mariks A pada soalnomor sau di aas.. Dikeahui T : P P yang didefinisikan aau dirumuskan oleh:

16 Tenukanlah nilai-nilai eigen T. T(a + a ) = (a a ) + (-a + a ).. Tenukan basis unuk ruang eigen T dari soal nomor empa di aas. Seelah Anda mencoba mengerjakan soal-soal Laihan di aas, bandingkanlah jawabannya dengan peunjuk jawaban beriku. Peunjuk Jawaban Laihan. A = 8. Karena (A λ I) = 8, maka polinom karakerisik dari A adalah: De (A λ I) = de 8 = λ - λ. Jadi, persamaan karakerisik dari A adalah λ - λ =. Persamaan karakerisik mariks A dari soal nomor, adalah: λ - λ =. (λ + )( λ ) = λ = - aau λ =. Jadi, nilai-nilai eigen dari mariks A adalah λ = - aau λ =.. Pandang sisem persamaan linear homogen (A λ I) = dengan = 8 6

17 Jika λ = - (dari jawaban soal nomor ), maka sisem persamannya menjadi 8 = 8 = = = R Vekor eigen dari mariks A adalah vekor ak nol, yaiu: = Jadi λ = -. adalah basis unuk ruang eigen mariks A yang bersesuian dengan Jika λ =, maka sisem persamaannya menjadi: = = aau = =, = R aau =, = R. Vekor eigen dari mariks A adalah vekor, yaiu: = aau = 7

18 Jadi aau adalah basis unuk ruang eigen mariks A yang bersesuian dengan λ =.. T : P P dengan rumus: T(a + a ) = (a a ) + (-a + a ).. Basis sandar P adalah B = {, }, maka T() = T() = - + [ T() ] B = dan [ T( ) ] = Jadi, mariks T erhadap basis B adalah: A = Persamaan karakerisik mariks A adalah De (A λ I) = de = λ - λ + = (λ )(λ ) = Jadi, nilai-nilai eigen dari T adalah nilai eigen dari A, yaiu λ = dan λ =.. Misal = adalah vekor eigen dari A dan adalah penyelesaian dari sisem persamaan linear (A λ I) = aau (A - λ I) = Unuk λ =, sisem persamaan menjadi: 8

19 - = + = = = = R. Akibanya vekor eigen A yang bersesuaian dengan λ = adalah = sehingga adalah basis unuk ruang eigen A yang bersesuian dengan λ =. Unuk λ =, sisem persamaan linearnya menjadi: - = - + = = - aau = - = -, = R. aau = R, = -. Akibanya vekor eigen A yang bersesuaian dengan λ = adalah aau Jadi, basis unuk ruang eigen T yang bersesuian dengan λ = adalah, dan bais unuk ruang eigen T yang bersesuaian dengan λ = adalah aau. Selanjunya bualah rangkuman maeri bahasan Kegiaan Belajar, kemudian bandingkanlah dengan alernaive rangkuman beriku. 9

20 Rangkuman. Jika A mariks m n, maka vekor yang idak nol di R n disebu vekor eigen (eigen vecor) dari A jika A adalah kelipaan skalar dari, yaiu A = λ unuk suau skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.. Persamaan de (λ I A) = dengan λ sebagai variabel disebu persamaan karakerisik dari mariks A. Akar-akar aau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakerisik) dari mariks A. De(λ I A) f(λ) yaiu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakerisik.. Jika A adalah suau mariks n n dan λ adalah suau bilangan real, maka pernyaaan-pernyaaan beriku ini adalah ekuivalen (a) λ adalah nilai-nilai eigen dari mariks A. (b) Sisem persamaan (λ I A) = mempunyai penyelesaian ak rivial (non rivial). (c) Ada vekor yang idak nol dalam R n sedemikian sehingga A = λ. (d) λ adalah suau penyelesaian real dari persamaan karakerisik de (λ I A) =. Ruang penyelesaian dari sisem persamaan linear (λ I A) = aau (A - λ I) = dinamakan ruang eigen dari mariks A yang berukuran n n.. Skalar k dinamakan nilai eigen dari ransformasi linear T: V V jika ada vekor yang idak nol dalam V sehingga T = λ. Vekor dinamakan vekor eigen T yang bersesuaian dengan λ. Secaa ekuivalen, maka vekor eigen T yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vekor ak nol dalam ruang eigen T. Unuk mengeahui ingka pemahaman Anda enang bahasan Kegiaan Belajar, cobalah kerjakan dengan sebaik-baiknyasoal-soal beriku sebagai evaluasi formaifnya.

21 Tes Formaif Peunjuk: Pilihlah salah sau jawaban yang paling epa dari beberapa alernaif jawaban yang diberikan.. Persamaan karakerisik dari mariks A = adalah A. λ + λ = B. λ - λ = C. λ + λ + = D. λ - λ + =. Nilai eigen dari mariks A = adalah λ = A. B. C. - D. -. Basis unuk ruang eigen dari mariks A = adalah A., B., C., D.,

22 . Salah sau vekor eigen dari mariks A = adalah = A. B. C. D.. Vekor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ erbesar dari mariks A = adalah = A. B. C. D. 6. Nilai-nilai eigen dari mariks A = A. λ = dan λ = B. λ = dan λ = - C. λ = - dan λ = - D. λ = - dan λ =

23 7. Vekor-vekor eigen dari mariks A = yang bersesuaian dengan nilai eigen λ erbesar adalah A. dan C. dan B. dan D. dan 8. Nilai-nilai eigen dari T dengan ransformasi linear T : P P yang didefinisikan oleh T(a + b + c ) = (a b) + (-a + b) + (c) A. λ = dan λ = - C. λ = - dan λ = B. λ = - dan λ = - D. λ = dan λ = 9. Vekor-vekor eigen yang merupakan basis unuk ruang eigen T yang bersesuaian dengan nilai eigen erbesar dari ransformasi linear T : P P yang dirumuskan oleh T(a + b + c ) = (a b) + (-a + b) + (c) adalah A. - dan - C. dan B. - dan D. dan. Nilai-nilai eigen dan T dengan ransformasi linear T : M M yang didefinisikan oleh T a c b d b c c a d c adalah A. λ =, λ = - dan λ = B. λ =, λ = - dan λ = - C. λ =, λ = - dan λ = D. λ = -, λ = - dan λ =

24 Balikan dan Tindak Lanju Sebagai umpan balik dan indak lanjunya, cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formaif yang ada di bagian akhir modul ini. Hiunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus di bawah ini unuk engeahui ingka penguasaan Anda erhadap maeri Kegiaan Belajar. Tingka penguasaan = jumlah jawaban Anda yang benar % Ari ingka penguasaan yang Anda capai : 9% - % = Baik sekali 8% - 89% = Baik 7% - 79% = Cukup < 7% = Kurang. Kalau Anda mencapai ingka penguasaan 8% ke aas, Anda dapa meneruskannya pada Kegiaan Belajar kedua. Bagus! Teapi bila ingka penguasaan Anda masih di bawah 8%, Anda harus mengulangi Kegiaan Belajar, eruama bagian yang belum Anda kuasai. Selama belajar, semoga berhasil.

25 KEGIATAN BELAJAR DIAGONALISASI MATRIKS A. Diagonalisasi Pada bahasan pembelajaran beriku kia akan mendiskusikan masalah mencari suau baris unuk R n yang erdiri dari vekor-vekor eigen dari suau mariks A yang dikeahui berukuran n n. Basis-basis ini dapa dipakai unuk menelaah sifa-sifa geomeris dari mariks A dan sekaligus dipakai unuk menyederhanakan berbagai perhiungan numerik yang melibakan mariks A. Basis-basis sanga pening dalam berbagai penerapan aljabar linear, dan beberapa dianaranya akan kia diskusikan dalam bahasan pembelajaran modul berikunya. Seperi elah kia keahui dalam bahasan modl-modul sebelumnya enang mariks, bahwa salah sau eoremanya adalah pengkombinasian banyak persamaan menjadi sau. Cara penulisan sisem persamaan linear yang erdiri dari m persamaan dengan n variabel menjadi sebuah persamaan mariks elah kia pelajari dalam Modul (Sisem Persamaan Linear). Sedangkan cara menyelesaikan sisem persamaan linear AX = b dengan A mariks berukuran n n yang inveribel dapa dilakukan dengan banuan mariks A -, sehingga erjadi pengkombinasian A - AX = A - b aau X = A - b. Berdasarkan ide yang sama seperi di aas, maka dalam bagian ini kia akan mengkombinasikan persamaan nilai eigen unuk beberapa vekor eigen yang berlainan ke dalam persamaan mariks yang unggal. Unuk lebih jelasnya kia perhaikan penjelasan beriku ini. Pandang mariks A berukuran n n dengan vekor-vekor eigen (yang bebas linear) u, u,..., u k yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ, λ,..., λ k. Sebagai akibanya maka Au = λ u, Au = λ u,..., Au k = λ k u k aau Au r = λ r u r dengan r =,,..., k.... () Vekor-vekor u i dapa dikelompokkan menjadi benuk mariks n k, yang diulis sebagai mariks parisi

26 P = (u u... u k ) Dengan u i adalah kolom ke-i dari P. Selanjunya persamaan () dapa diulis menjadi benuk: AP = (Au Au... Au k ) = (u u... u k ) D dengan D adalah mariks diagonal k k dengan unsur-unsurnya λ, λ,..., λ k. Jadi kia dapakan AP = PD aau PD = AP... () Benuk ini merupakan benuk yang ringkas dari persamaan nilai eigen unuk k vekor eigen. Sekarang misalkan mariks A yang berukuran n n mempunyai n vekor eigen, sehingga k = n. Akibanya mariks P menjadi berukuran n n, dengan kolom-kolomnya vekor-vekor eigen (yang bebas linear), dan P enunya inveribel. Selanjunya dengan mengalikan persamaan () oleh P - dari sebelah kiri kia dapakan: D = P - A P... () Dengan demikian jika suau mariks A yang berukuran n n mempunyai n vekor eigen yang bebas linear, maka erdapa mariks P yang inversibel dan mariks diagonal D sehingga D dapa difakorkan dalam benuk persamaan (). Keadaan ini dinamakan A dapa didiagonalkan (diagonalizable). Definisi.. Suau mariks persegi (mariks bujursangkar) A dinamakan dapa didiaginalkan (dapa didiagonalisasi) jika ada suau mariks P yang inveribel sedemikian rupa sehingga P - A P adalah suau mariks diagonal, mariks P dikaakan mendiagonalkan A (mendiagonalisasi) mariks A. Dari penjelasan dan definisi di aas, jelaskah bahwa masalah diagonalisasi dari suau vekor A yang berukuran n n adalah ekuivalen dengan peranyaan: Apakah ada mariks P yang inveribel sehingga P - A P adalah mariks diagonal D?. Prosedur beriku menunjukkan bahwa masalah vekor-vekor igen dan asalahan 6

27 diaginalisasi adalah seara. Dengan kaa lain prosedur beriku adalah ahapan unuk mendiagonalkan mariks yang berukuran n n. Tahap. Carilah n vekor eigen yang bebas linear dari mariks A yang berukuran n n. Misalnya p, p,..., p n. Tahap. Benuklah mariks P yang mempunyai p, p,..., p n sebagai vekor-vekor kolomnya. Tahap. Mariks D = P - A P adalah mariks diagonal dengan λ, λ,..., λ n sebagai unsur-unsur diagonal yang beruruannya dan λ i adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan p i unuk I =,,,, n. Conoh. 8 Dikeahui mariks A = 6. Carilah: a) mariks P yang mendiagonalisasi A. b) mariks diagonal D = P - A P. Penyelesaian: a) Persamaan karakerisik mariks A de (λ I A) = de 6 = (λ )( λ + ) = λ = dan λ = - (nilai-nilai eigen A) Unuk λ =, sisem persamaan linear homogennya (λ I A ) = O 6 = -6 + = = 7

28 8 R =. Jadi, basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah p =. Unuk λ = -, sisem persamaan linear homogennya: (λ I A ) = O 6 = 6 R =. Jadi, basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = - adalah p =. Dengan demikian kia dapakan bahwa (p, p ) adalah bebas linear, sehingga P = akan mendiagonalkan mariks A. b) Mencari mariks diagonal sekaligus sebagai pemeriksaan bahwa D = P - A P. D = P - AP = 6 = 6

29 = = Caaan: Dalam conoh ini idak ada uruan yang diisimewakan unuk kolomkolom P. Karena unsur-unsur diagonal ke-i dan D = P - A P adalah nilai-nilai eigen unuk vekor kolom dari mariks P, maka dengan mengubah uruan kolom-kolom mariks P hanyalah mengubah uruan nilai-nilai eigen pada diagonal unuk D = P - AP. Jadi seandainya mariks Pnya diulis seperi beriku: P = Maka kia akan memperoleh mariks diagonal D = P - AP =. Conoh. 9 Carilah mariks P yang mendiagonalkan mariks a = Penyelesaian: Dari conoh., nilai-nilai eigen mariks A adalah λ =, λ = dan λ =. Kemudian dari conoh. 6 elah diperoleh vekor-vekor bebas linear: p =, p =, dan p =, beruru-uru bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ =, λ = dan λ = dari mariks A. Jadi, mariks yang mendiagonalisasi mariks A adalah 9

30 P = Unuk memeriksa bahwa P adalah mariks yang mendiagonalisasi mariks A dapa dilakukan dengan menenukan mariks diagonal D = P - A P dengan unsur-unsur diagonal uamanya adalah nilai-nilai eigen dari mariks A yang uruannya adalah nilai-nilai eigen dari mariks A yang uruannya sesuai uruan vekor-vekor kolom mariks P, yaiu: D = P - AP = = 6 = Caaan: Mencari P - dari P (liha Modul Kegiaan Belajar, Invers Mariks). Conoh. Perlihakan bahwa mariks A = idak dapa didiagonalisasi. Buki: Persamaan karakerisik mariks A adalah de (A λi) =. de =

31 ( λ) ( λ) = λ = λ = (nilai-nilai eigen mariks A) Unuk λ =, sisem persamaan linear homogennya: (A λ I) = =, = R Basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah vekor yang bebas linear, yaiu p = Karena basis ruang eigen berdimensi sau suau mariks A idak mempunyai dua vekor eigen yang bebas linear, sehingga A idak dapa didiagonalisasi. Perlu dikeahui, bahwa dari keiga conoh erakhir di aas adi (conoh. 8,. 9, dan. ) kia beranggapan bahwa vekor-vekor kolom dari mariks P yang disusun dari vekor-vekor basis dari berbagai ruang eigen dari mariks A adalah bebas linear. Teorema beriku akan membahas asumsi ersebu. Teorema.. Jika v, v, v,..., v k adalah vekor-vekor eigen dari mariks A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ, λ, λ,..., λ k yang berbeda, maka {v, v, v,..., v k } adalah himpunan yang bebas linear. Buki: Misalkan v, v, v,..., v k adalah vekor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda λ, λ, λ,..., λ k. Unuk mendapakan konradiksinya, kia mengasumsikan vekor-vekor v, v, v,..., v k ak bebas linear, sehingga dapa disimpulkan bahwa v, v, v,..., v k bebas linear. Karena berdasarkan definisi, suau vekor eigen enunya idak nol, maka {v } bebas linear. Misalkan r adalah bilangan bula erbesar sehingga {v, v, v,...,

32 v k }bebas linear. Karena kia mengasumsikan bahwa {v, v, v,..., v k } ak bebas linear, maka r memenuhi r < k. Lebih jauh berdasarkan definisi r, maka {v, v, v,..., v k } ak bebas linear. Jadi, erdapa skalar-skalar c, c,..., c r + yang idak semuanya nol, sehingga c v + c v c r + v r + =... () Dengan mengalikan kedua ruas persamaan () oleh A dan dengan menggunakan Av = λ v, Av = λ v,..., Av r + = λ r + v r + kia dapakan: c λ v + c λ v c r + λ r + v r + =... () Selanjunya dengan mengalikan kedua ruas persamaan () dengan λ r + dan mengurangi persamaan () dengan persamaan yang didapakan, maka kia akan mendapakan c (λ - λ r + )v + c (λ - λ r + )v + + c r (λ r - λ r + )v r = Karena {v, v,..., v r } adalah himpunan yang bebas linear, maka persamaan ini mengimplikasikan bahwa: c (λ - λ r + )v = c (λ - λ r + )v = = c r (λ r - λ r + )v r = dan karena λ, λ,..., λ r + ) masing-masing berbeda, maka kia dapakan: c = c =... = c r =... () Dengan mensubsiusikan nilai ini pada persamaan (), maka akan didapakan c r + v r + = Karena vekor eigen v r + idak nol, maka c r + =... () Persamaan () dan () konradiksi dengan faka bahwa c, c,..., c r + idak semuanya nol. Sebagai implikasi dari eorema. ini, kia mendapakan hasil pening beriku ini. Teorema.. Jika suau mariks A berukuran n yang berbeda-beda, maka A dapa didiagonalisasi. n mempunyai nilai-nilai eigen

33 Buki: Jika v, v,..., v n adalah vekor-vekor eigen yang bersesuaian dengan nilainilai eigen yang berbeda λ, λ,..., λ n, maka menuru eorema. haruslah v, v,..., v n bebas linear. Jadi, A dapa didiagonalisasi, Conoh. yaiu: Kia perhaikan kembali mariks Q dan A dalam conoh. dan. 6, Q = dengan nilai-nilai eigen yang berbeda, yaiu λ = dan λ =, sehingga Q dapa diagonalisasi. Jadi D = P - Q P = Unuk suau mariks P yang inveribel. Demikian pula A= dengan nilai-nilai eigen yang berbeda, yaiu λ = dan λ =, dan λ =, maka A dapa diagonalisasi, dan mariks D = P - A P = dengan mariks P inverbel. Jika diinginkan mariks P ini dapa dicari dengan menggunakan meode seperi yang diunjukkan dalam conoh-conoh diagonalisasi (conoh.8,.9, dan. ). B. Diagonalisasi Orogonal Sekarang kia akan mendiskusikan bagaimana mencari suau basis oronormal dengan hasil kali dalam Euclid yang erdiri dari vekor-vekor eigen dari suau mariks A yang berukuran n n. Sedangkan unuk menunjang pembahasan

34 maeri ini adalah pemahaman enang mariks-mariks simeris dan pengerian orogonal yang elah kia pelajari dari modul sebelumnya. Unuk lebih jelasnya kia perhaikan dua masalah beriku yang ekuivalen.. Masalah vekor eigen oronormal Jika dikeahui suau mariks A yang berukuran n n, apakah ada suau basis oronormal unuk R n dengan hasil kali dalam (Euclid) yang erdiri dari vekorvekor eigen dari mariks A?. Masalah diagonalisasi orogonal Jika dikeahui suau mariks A yang berukuran n n, apakah ada suau mariks diagonal P sedemikian sehingga mariks D = P - A P = P A P adalah mariks diagonal? Sebagai akiba dari permasalahan ini mendorong kia unuk membua definisi beriku. Definisi. 6. Mariks A yang berukuran n n dinamakan dapa didiagonalisasi secara orogonal jika erdapa mariks P yang orogonal, dan mariks P dikaakan mendiagonalisasi A secara orogonal. Dari definisi dan dua permasalahan di aas ada dua pelajaran yang perlu mendapa perhaian kia, yaiu. Mariks manakah yang dapa didiagonalisasi secara orogonal?. Bagaimana kia mencari suau mariks orogonal unuk melakukan diagonalisasi? Sehubungan dengan peranyaan-peranyaan di aas, maka enunya idak ada harapan lagi bagi kia unuk mendiagonalisasi suau mariks A, kecuali jika mariks A adalah mariks simeris. (yaiu A = A ). Unuk meliha mengapa hal ersebu demikian adanya, misalkan P A P = D... () Dengan P adalah mariks orogonal dan D adalah mariks diagonal. Karena P orogonal, maka P P = P P = I

35 sehingga persamaan () bisa kia ulis dalam benuk: A = P D P... () Karena D mariks diagonal, maka D = D, sehingga dengan menranspos kedua ruas dari persamaan () didapakan A = (P D P ) = (P ) D P = P D P = A sehingga A pasilah merupakan mariks simeris (liha Modul Kegiaan Belajar ). Sekarang kia perhaikan eorema beriku merupakan ala uama unuk menenukan apakah sebuah mariks dapa didiagonalisasi secara orogonal. Teorema beriku juga menunjukkan bahwa seiap mariks simeris, pada kenyaaannya dapa didiagonalisasi secara orogonal. Perlu pula dikeahui bahwa pada eorema ini dan eorema berikunya dari bahasan ini, pengerian orogonal akan berari orogonal berkenaan dengan hasil kali dalam Euclid. (Euclidean inner produc) seperi elah dubahas dalam Modul dan Modul. Teorema.. Jika A adalah suau mariks n n, maka pernyaaan beriku adalah ekuivalen. (a) A dapa didiagonalisasi secara orogonal. (b) A merupakan suau himpunan n vecor eigen yang oronormal (c) A adalah mariks simerik. Buki: (a) (b). Karena A dapa didiagonalisasi, maka erdapa mariks yang orogonal, sedemikian hingga P - A P adalah mariks diagonal. Seperi elah diperlihakan pada bahasan yang lalu bahwa n vekor kolom dari P adalah vekor-vekor eigen dari A. Karena P orogonal, maka vekor-vekor kolom ini oronormal (Teorema. Modul 9 Kegiaan Belajar ), sehingga A mempunyai n vekor eigen yang oronormal. (b) (a). Misalkan A mempunyai himpunan n vekor eigen yang oronormal {p, p,..., p n }. Seperi elah diperlihakan bahwa unuk P dengan vekorvekor eigen ini sebagai kolom-kolomnya akan mendiagonalisasi A.

36 Karena vekor-vekor eigen ini oronormal, maka P orogonal sehingga akan mendiagonalisasi A secara orogonal. (a) (c). Pada pembukian (a) (b) kia elah memperlihakan bahwa suau mariks A berukuran n n dapa didiagonalisasi oleh mariks P yang berukuran n n secara orhogonal yang kolom-kolomnya membenuk himpunan oronormal dari vecor-vekor eigen mariks A. Selanjunya, misalkan O mariks diagonal, maka D = P - A P Jadi, A = P D P - aau karena P orhogonal, maka A = P D P. Dengan demikian, A = (P D P ) = P D P = P D P = A yang menunjukkan bahwa mariks A adalah mariks simeris. (c) (a). Buki bagian ini di luar ruang lingkup bahasan pembelajaran modul ini, dan pembukiannya akan diabaikan. Sekarang kia beralih ke masalah mencari prosedur unuk mendapakan mariks P yang orogonal unuk mendiagonalisasi mariks simeris. Namun sebelumnya kia perlu suau eorema kriis yang beriku sebagai kunci yang berkaian dengan nilai eigen dan vekor eigen dari mariks-mariks simeris. Teorema.. Jika A adalah suau mariks simeris, maka vekor-vekor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan orogonal. Buki: Misal λ dan λ adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari mariks simeris A yang berukuran n n, dan misalkan dan adalah vekor-vekor eigen yang bersesuaian beruru-uru dengan λ dan λ. Karena dan merupakan vekor- 6

37 vekor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ dan λ, maka enunya unuk mariks A berlaku: A = λ... () A = λ... () Dari persamaan () (A ) = (λ ) A = λ A = λ (karena A simerik) A = λ... () (kedua ruas dikalikandengan ). Selanjunya kedua ruas persamaan () dikalikan dengan dan dari sebelah kir sehingga kia dapakan: A = λ... () Dari persamaan () dan () λ A = λ (λ - λ ) ( ) =. () Namun λ - λ, karena λ dan λ dianggap berbeda. Jadi dari persamaan () kia dapakan bahwa: =, aau. = aau orogonal erhadap (erbuki). Sebagai implikasi dari Teorema. ini, maka kia dapakan prosedur beriku unuk mendiagonalisasi suau mariks simeris secara orogonal. Tahap. Carilah suau basis unuk seiap ruang eigen dari mariks A. Tahap.Terapkan proses Gran-Schmid pada seiap basis-basis ini unuk mendapakan suau basis oronormal unuk seiap ruang eigen. Tahap. Benuklah mariks P yang kolom-kolomnya adalah vekor-vekor basis yang disusun pada ahap, dan mariks inilah yang mendiagonalisasi A secara orogonal. Prosedur ini dan Teorema. memasikan bahwa vekor eigen dari ruang eigen yang berbeda adalah orogonal, sedangkan penerapan proses Gram-Schmid memasikan bahwa vekor-vekor eigen yang didapakan dalam ruang eigen yang 7

38 sama adalah oronormal. Jadi keseluruhan himpunan vekor eigen yang didapa melalui prosedur ini adalah oronormal. Conoh. Dikeahui mariks A = 7 7. a) Carilah mariks P yang mendiagonalisasi A secara orogonal. b) Tenukanlah mariks P - A P. Penyelesaian: a) Persamaan karakerisik mariks A adalah de (A λ I) = de 7 7 = λ 6 = λ =. Jadi, nilai-nilai eigen dari mariks A adalah λ = dan λ = -. Misal = Adalah vekor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika adalah penyelesaian non rivial dari sisem persamaan linear: (A - λ I) = 7 7 =... () Unuk λ =, maka persamaan () menjadi 8 = 8 = 8

39 =, =. Jadi vekor eigen A yang bersesuaian dengan λ = adalah = membenuk basis unuk ruang iga. Dengan menerapkan proses Gram-Schmid akan menghasilkan vekor eigen oronormal, yaiu v =, sebab. Unuk λ = -, akan didapakan vekor eigen yang merupakan basis unuk ruang eigen, yaiu = (silakan dicoba dicari). (Silakan dicoba dicari dengan cara yang sama seperi unuk λ ), sehingga dengan proses Gram-Schmid dapa diubah menjadi vekor eigen yang oronormal, yaiu: v =, sebab. Akhirnya dengan menggunakan v dan v sebagai vekor-vekor kolom, maka kia dapa mariks yang mendiagonalisasi A secara orogonal, yaiu: P =. b) Menenukan mariks P - A P =

40 = = mariks ini adalah mariks diagonal dengan unsur-unsur diagonal uamanya adalah nilai-nilai eigen dari mariks A. Selanjunya unuk lebih memanapkan pemahaman Anda erhadap maeri Kegiaan Belajar di aas, cobalah kerjakan soal-soal Laihan beriku. Laihan. Selidiki, apakah mariks beriku dapa didiagonalisasi A =.. Carilah mariks P yang mendiagonalisasi mariks A = 7.. Tenukanlah mariks diagonal P - A P dengan A adalah mariks pada soal laihan nomor dua di aas.. Dikeahui mariks A = 6 6. Carilah mariks yang mendiagonalisasi A secara orogonal.. Tenukanlah mariks unuk diagonal D = P - A P dengan P adalah mariks yang mendiagonalisasi mariks A secara orogonal unuk A pada soal nomor empa di aas.

41 Seelah Anda mencoba mengerjakan soal-soal Laihan di aas, bandingkanlah jawabannya dengan peunjuk jawaban beriku. Peunjuk jawaban Laihan. A =. Persamaan karakerisik mariks A adalah: de (A λ I) = de = ( λ)( λ) = λ = dan λ = adalah nilai-nilai eigen A. Misal vekor eigen A yang bersesuaian dengan λ adalah =, maka adalah penyelesaian non rivial dari sisem persamaan linear (A λ I) = =... () Unuk λ =, maka persamaan () ini menjadi =

42 = =, R. Jadi, vekor yang membenuk sebuah baris unuk ruang eigen mariks A yang bersesuaian dengan λ = adalah p =. Unuk λ =, maka persamaan () ini menjadi = = =, R. Jadi, vekor yang membenuk basis unuk ruang eigen mariks A yang bersesuaian dengan λ = adalah p =. Karena basis ruangnya berdimensi dua, maka A yang berukuran idak mempunyai iga vekor eigen yang bebas linear, sehingga idak dapa didiagonalisasi.. A = 7. Persamaan karakerisiknya: de (A λ I) = de 7 =

43 λ - λ + =. Nilai-nilai eigennya adalah λ = dan λ = Unuk λ =, sisem persamaan linearnya (A λ I) = 6 = = =. Basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah p = Analog unuk λ = akan didapakan p =.. (Silakan, dibukikan). Jadi, mariks yang mendiagonalisasi mariks A adalah: P =.. Karena mariks yang mendiagonalisasi mariks A adalah mariks P pada soal nomor dua di aas, maka mariks diagonalnya D = P - A P = 6 7 = 6

44 = Mariks ini adalah mariks diagonal dari mariks A, sebab unsur-unsur diagonal uamanya beruru-uru adalah nilai-nilai eigen dari mariks A.. A = 6 6. Dari persamaan karakerisik mariks A, kia dapkan nilai-nilai eigen mariks A, yaiu: λ = -, λ =, λ = - (bukikan). Vekor-vekor basis unuk ruang-ruang eigen mariks A yang bersesuaian dengan λ = -, λ =, λ = - beruru-uru adalah u =, u =, u = (bukikan). Dengan menggunakan proses Gram-Schmid erhadap {u }, {u }, dan {u }, akan menghasilkan vekor-vekor eigen mariks A yang oronormal, yaiu: v =, v =, dan v = (bukikan). Akhirnya dengan menempakan v, v, dan v sebagai vekor-vekor kolom, maka kia dapakan mariks P yang mendiagonalisasi mariks A secara orogonal, yaiu P =

45 . Karena mariks P ini mendiagonalisasi mariks A secara orogonal, maka mariks diagonal D = P - A P = 6 6 = = Unsur-unsur diagonal uama dari mariks diagonal D = P - A P adalah nilainilai eigen mariks A (uruannya boleh saja berbeda-beda). Selanjunya, bualah rangkuman dari Kegiaan Belajar di aas, kemudian dengan alernaif rangkuman beriku. Rangkuman. Suau mariks persegi (mariks bujursangkar) A dinamakan dapa didiaginalkan (dapa didiagonalisasi) jika ada suau mariks P yang inveribel sedemikian rupa sehingga P - A P adalah suau mariks diagonal, mariks P dikaakan mendiagonalkan A (mendiagonalisasi) mariks A.. Tahapan unuk mendiagonalkan mariks yang berukuran n n. Tahap. Carilah n vekor eigen yang bebas linear dari mariks A yang berukuran n n. Misalnya p, p,..., p n. Tahap. Benuklah mariks P yang mempunyai p, p,..., p n sebagai vekorvekor kolomnya.

46 Tahap. Mariks D = P - A P adalah mariks diagonal dengan λ, λ,..., λ n sebagai unsur-unsur diagonal yang beruruannya dan λ i adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan p i unuk I =,,,, n.. Unuk memeriksa bahwa P adalah mariks yang mendiagonalisasi mariks A dapa dilakukan dengan menenukan mariks diagonal D = P - AP dengan unsurunsur diagonal uamanya adalah nilai-nilai eigen dari mariks A yang uruannya adalah nilai-nilai eigen dari mariks A yang uruannya sesuai uruan vekorvekor kolom mariks P. Jika v, v, v,..., v k adalah vekor-vekor eigen dari mariks A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ, λ, λ,..., λ k yang berbeda, maka {v, v, v,..., v k } adalah himpunan yang bebas linear.. Jika suau mariks A berukuran n n mempunyai nilai-nilai eigen yang berbedabeda, maka A dapa didiagonalisasi. 6. Mariks A yang berukuran n n dikaakan dapa didiagonalisasi secara orogonal jika erdapa mariks P yang orogonal, dan mariks Pdikaakan mendiagonalisasi A secara orogonal. 7. Jika A adalah suau mariks n n, maka pernyaaan beriku adalah ekuivalen. (a) A dapa didiagonalisasi secara orogonal. (b) A merupakan suau himpunan n vekor eigen yang oronormal (c) A adalah mariks simerik. 8. Jika A adalah suau mariks simeris, maka vekor-vekor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan orogonal. 9. Prosedur unuk mendiagonalisasi suau mariks simeris secara orogonal. 6

47 Tahap. Carilah suau basis unuk seiap ruang eigen dari mariks A. Tahap. Terapkan proses Gran-Schmid pada seiap basis-basis ini unuk mendapakan suau basis oronormal unuk seiap ruang eigen. Tahap. Benuklah mariks P yang kolom-kolomnya adalah vekor-vekor basis yang disusun pada ahap, dan mariks inilah yang mendiagonalisasi A secara orogonal. Unuk mengeahui ingka penguasan Anda, kerjakanlah soal-soal Tes Formaif beriku dengan memberi anda silang (X) di muka pernyaaan yang paling epa. Tes Formaif. Jika mariks A = maka mariks A A. dapa didiagonalisasi. B. ruang eigennya berdimensi dua. C. idak dapa didiagonalisasi. D. mempunyai dua vekor eigen bebas linear.. Mariks P yang mendiagonalisasi mariks A = adalah A. C. B. D. 7

48 8. Mariks diagonal D = P - A P dari mariks A = adalah A. C. B. D.. Kemungkinan lain dari benuk P yang dapa mendiagonalkan mariks A pada soal nomor dua di aas adalah A. C. B. D.. Jika memilih mariks yang mendiagonalisasi mariks A pada soal nomor dua di aas adalah mariks P = maa mariks diagonal D = P - A P adalah A. C. B. D.

49 6. Jika T: R R adalah operaor linear yang didefinisikan oleh T =, maka sebuah basis unuk R relaif erhadap mariks T diagonal adalah A., C., B., D., 7. Jika T: P P operaor linear yang didefinisikan oleh T(a + a ) = a + (a a ) Maka mariks koordina erhadap B yang bersesuaian dengan nilai eigen posiif adalah A. C. { } B. D. { } 8. Sebuah basis unuk P erhadap mariks T diagonal dari ransformasi linear T: P P yang dirumuskan pada soa nomor 7 di aas adalah A., C. {, } B., D. {, } 9. Sebuah mariks yang mendiagonalisasi secara orogonal mariks A = dengan b adalah P = a b b a 9

50 A. C. B. D.. Mariks diagonal D = P - A P dari mariks A = a b b a dengan b yang didiagonalisasi secara orogonal oleh P pada soal nomor 9 di aas adalah a b a b A. C. a b a b B. a b a b D. a b a b Balikan dan Tindak Lanju Sebagai umpan balik dan indak lanjunya, cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formaif yang ada di bagian akhir modul ini. Hiunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus di bawah ini unuk mengeahui ingka penguasaan Anda erhadap maeri Kegiaan Belajar. Rumus : Tingka penguasaan = jumlah jawaban Anda yang benar % Ari ingka penguasaan yang Anda capai : 9% - % = Baik sekali 8% - 89% = Baik 7% - 79% = Cukup < 7% = Kurang.

51 Kalau Anda mencapai ingka penguasaan 8% ke aas, Anda dapa meneruskannya pada modul berikunya. Bagus! Teapi bila ingka penguasaan Anda masih di bawah 8%, Anda harus mengulangi Kegiaan Belajar, eruama bagian yang belum Anda kuasai. Selama belajar, semoga berhasil.

52 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF Modul Tes Formaif. D de(a λ I) = de = ( λ) = λ - λ + =. A Akar-akar dari persamaan karakerisik λ - λ = (dari soal nomor sau) ( λ) ( λ) = λ =. C Misal vekor = adalah suau vekor eigen dari mariks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = (dari soal nomor dua di aas), maka (A λ I) = = = + = + = = = s R R = s s s.

53 Jadi, adalah basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ =.. B (dari soal nomor ) adalah vekor eigen yang bersesuaian dengan λ =.. B de (λ I A) = de = (λ ) (λ ) = λ - 6 λ = λ (λ 6) = λ =, λ = 6 Karena nilai eigen erbesar dari mariks A adalah λ = 6, maka unuk vekor eigen = ak nol berlaku (λ I A) = = = - + = = = = R Jadi =, Dari definisi nilai eigen dan vekor eigen (definisi. ) A = λ 6 6 6

54 adalah vekor eigen A yang bersesuaian dengan = A Persamaan karakerisik mariks A de (λ I A) = = Menuru baris keiga (minor dan kofakor) λ = (λ ) { λ ) } = (λ ) { λ 6λ } = (λ ) { (λ ) (λ - } = (λ ) (λ - } = Jadi, λ = dan λ = adalah nilai-nilai eigen dari mariks A. 7. C Misal vekor eigen = adalah penyelesaian non linear dari (λ I A) =, yaiu dari =. Nilai eigen erbesar dari A adalah λ = (dari soal nomor 6) ` =. Dengan menyelesaikan sisem persamaan linear homogen ini akan didapakan = -s, = s, = (bukikan).

55 s s Jadi, = s s s Jadi vekor-vekor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ = (nilai eigen erbesar dari A) adalah dan, unuk = =. (Silakan diperiksa dengan menggunakan definisi vekor eigen dan nilai eigen (definisi. )). 8. D Mariks T erhadap basis sandar B = {,, } adalah A =. Nilai-nilai eigen dari T adalah nilai-nilai eigen dari A, yaiu λ = dan λ = (soal nomor 6) 9. B Dari soal nomor 7 di aas elah didapakan bahwa vekor-vekor eigen A (yang membenuk basis ruang eigen A) yang bersesuaian dengan nilai eigen erbesar λ = adalah dan. Mariks-mariks ini adalah mariks koordina erhadap basis B = {,, } yang berbenuk p = - dan p =. p = - dan p = adalah vekor-vekor eigen dari T aau dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = (erbesar, sebab λ = ).

56 . B Mariks T erhadap basis sandar B =,,, adalah A = Persamaan karakerisik mariks A (A λ I) = = Dengan menghiung deerminan menuru baris ke- aau kolom ke- secara minor dan kofakor, akan didapakan (bukikan) (λ ) (-λ ) (λ + ) =. Jadi nilai-nilai eigen mariks T adalah nilai-nilai eigen unuk A yaiu λ =, λ =, dan λ = -. Tes Formaif. C A = Nilai-nilai eigen mariks A adalah λ = - (bukikan), dan penyelesaian dari (A - λ I) = adalah: = sehingga penyelesaiannya adalah =, = (bukikan) aau =. Karena ruang eigen ini berdimensi sau, maka A idak mempunyai dua vekor eigen bebas linear, sehingga idak dapa didiagonalisasi. 6

57 7. A A = Persamaan karakerisik mariks A adalah (λ ) (λ ) (bukikan), sehingga nilai-nilai eigen dari A adalah λ = dan λ =. Dari persamaan (λ I A) = aau (A - λ I) = kia dapakan vekorvekor p = dan p = yang membenuk sebuah basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = dan vekor p = Adalah sebuah bais unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = (bukikan). Jadi, mariks P yang mendiagonalkan A adalah: P =. B Dari soal nomor dua di aas, kia dapakan D = P - A P = =. D Nilai-nilai eigen dari mariks A dapa saja diukar, yaiu λ = dan λ =, sehingga vekor

58 p = adalah basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ =, dan vekorvekor p = dan p = adalah basis unuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ =. Jadi unuk yang mendiagonalisasi A adalah P =. A Dengan alasan yang sama seperi jawaban nomor lima di aas, maka jika memilih P = akan didapakan mariks diagonal: D = P - A P = (bukikan) 6. D T: R R = Basis sandar di R B =,. maka: 8

59 T T T B T B sehingga mariks sandar unuk T erhadap basis B adalah A = Nilai-nilai eigen mariks A adalah λ = dan λ = - (bukikan), sehingga vekor p = adalah vekor basis unuk ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ = dan vekor p = adalah vekor basis unuk ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ = -. Jadi sebuah basis unuk R relaif erhadap mariks T diagonal adalah,. Caaan: =, unuk =, maka p = dapa juga = - sehingga p = dan sebagainya =, unuk =, maka p = 9

60 aau unuk = - maka p = dan sebagainya. 7. B Dikeahui: T: P P dengan T(a + a ) = a + (a a ) Basis sandar unuk P adalah B = {, }, maka T() = + 6 dan T() = - [ T() ] B = [ T() ] B = dan 6 Mariks T erhadap basis erhadap basis sandar B adalah A = 6 Persamaan karakerisik unuk A adalah: de (A λ I) = de 6 = ( λ) (- λ) = λ = dan λ = - (nilai-nilai eigen A) Unuk λ = (posiif), sisem persamaan linearnya (A λ I) = 6 = 6 = 6

61 = = Jadi, = Sebuah vekor basis unuk λ = adalah =. Mariks koordina erhadap B yang bersesuaian dengan vekor eigen yang posiif adalah p = B Unuk λ = -, sisem persamaan linear (A λ I) = 6 = 6 = = = = Jadi = =. Vekor basis unuk λ = - adalah = dan mariks koordina erhadap B adalah p =. Jadi sebuah basis unuk P, erhadap mariks T diagonal adalah,. 6

62 9. A A = a b b a, b Persamaan karakerisik mariks A adalah de (A λ I) = de a b a b = (a λ) b = {(a λ) + b} {(a λ) b} = λ = a + b dan λ = a b adalah nilai-nilai eigen mariks A Jika λ = a + b, maka persamaan linearnya (A λ I) = b b b b = = = =, = = Jadi = adalah vekor eigen mariks A yang bersesuaian dengan λ = a + b, dan vekor u = adalah vekor basis unuk ruang eigen mariks A yang bersesuaian dengan λ = a + b. Dengan menerapkan proses Gram-Schmid erhadap {u } akan menghasilkan vekor eigen oronormal v = u u. 6

63 Analog unuk λ = a b akan memberikan vekor eigen oronormal V = u u (bukikan). Dengan menggunakan v dan v sebagai vekor-vekor kolom, maka kia dapakan P = Yang mendiagonalisasi mariks A secara orogonal.. A Karena dari soal nomor 9 di aas P = Maka mariks diagonal dari mariks A = a b b a adalah D = P - A P = P A P (Karena P oronormal, sebab v, v =, v v = a b b a = a b a b mariks ini adalah mariks diagonal P dari mariks A dengan unsur-unsur diagonal uamanya adalah nilai-nilai eigen dari mariks A. 6

64 Glosarium. Dapa dibalik, inveribel, inverible adalah penamaan erhadap suau mariks persegi yang mempunyai invers (deerminannya idak nol).. Diagonalisasi, diagonalizable adalah suau isilah yang digunakan erhadap suau mariks persegi yang memenuhi persyaraan erenu sesuai definisinya.. Mariks diagonal adalah mariks persegi yang unsur-unsur pada diagonal uamanya ada yang idal nol.. Mariks idenias adalah mariks persegi yang unsur-unsur diagonal uamanya adalah sedangkan unsur-unsur lainnya adalah nol.. Mariks persegi, mariks kuadra, mariks bujursangkar adalah mariks yang banyaknya unsur-unsur pada baris sama dengan banyaknya unsur-unsur pada kolomnya.. Mariks simerik adalah mariks persegi yang ransposnya sama dengan dirinya sendiri.. Nilai eigen, eigen value, nilai karakerisik adalah suau isilah berupa nilai (skalar) dari suau mariks persegi yang memenuhi definisi erenu.. Orogonal adalah suau isilah unuk menyaakan bahwa vekor-vekor dalam himpunan ersebu saling egak lurus.. Oronormal adalah suau isilah unuk menyaakan bahwa himpunan vekor-vekor dalam suau himpunan iu saling egaklurus dan panjangnya (besarnya) adalah sama yaiu sau sauan. 6