Karakteristik Konikoida. The Characteristics Of Conicoid

Transkripsi

1 Kaakeisik Konikoida Sahlan Sidjaa *, Muhammad Abdy 2,2 Juusan Maemaika, FMIPA, Univesias Negei Makassa *oesonding auho Absak Pada geomei bidang khususnya ada kasus iisan keuu edaa bebeaa benuk yang daa dieoleh dai iisan keuu dianaanya: Lingkaan, Elis, Hiebola dan Paabola. Selanjunya, benuk-benuk esebu ada geomei uang disebu sebagai konikoida yang edii dai: bola, elisoida, keuu eliik,hieboloida daun sau, hieboloida daun dua, aaboloida eliik, aaboloida hieboloida,silinde hiebolik dan silinde aabolik. Tulisan ini membahas mengenai kaakeisik dai konikoida bedasakan keuu aah dan usa konikoida. Kaa Kuni: konikoida, keuu aah dan usa konikoida. The Chaaeisis Of Conioid Absa On he lane geomey sudy eseially in he ase of oni slies, hee ae seveal foms fom oni slies fo examle: ile, ellis, hyenoli and aaboli.howeve, hese foms on he sae of geomey known as onioid onsising of: shae, ellisoid, one ellii, one leaves hyeboloid, wo leaves hyebolid, ellii aabolod, hyeboloid aaboli, hyeboloid ylinde, ellii ylinde and aaboli ylinde. This ae disusses abou he haaeisis of onioid besed on is ene and one dieion. Keywods:: onioid, ene onioid and one dieion.. Pendahuluan Kaa geomei beasal dai bahasa yunani (geek) yang beai ukuan bumi. Maksudnya menaku menguku segala sesuau yang ada di bumi. Geomei kuno sebagian dimulai dai engukuan akis yang dielukan unuk eanian oang-oang Babylonia dan Mesi. Kemudian geomei oang Mesi dan Babylonia ini dieluas unuk ehiungan anjang uas gais, luas dan volume. Bedasakan uang lingku aau bidang kajiannya, geomei edii aas bebeaa kelomok salah sau dianaanya adalah geomei bidang (dimensi dua) dan geomei uang (dimensi iga). Dalam geomei bidang (dimensi dua), edaa enjelasan mengenai konik (iisan keuu) []. Menuu [2], Iisan anaa keuu dengan bidang aa (dimensi dua) meliui: lingkaan, elis, hiebola dan aabola, unuk lebih jelasnya, ehaikan gamba. Gamba. Iisan Keuu ) Lingkaan dieoleh dengan memoong bagian dai selimu keuu dengan sebuah bidang aa yang egak luus ehada sumbu keuu (l) eai idak melalui iik T (gamba a). 2) Elis dieoleh dengan memoong bagian dai selimu keuu dengan bidang aa dan idak egak luus ehada sumbu keuu (l) (gamba b).

2 JdC, Vol. 5, No. 2, Seembe ) Paabola dieoleh dengan memoong keuu dengan bidang aa yang sejaja dengan elukis keuu (gamba ). 4) Hiebola dieoleh dengan memoong selimu keuu (selimu bagian aas dan bawah) dengan bidang aa yang sejaja dengan sumbu keuu (l) (gamba d). Lingkaan, hiebola, aabola dan elis adalah bangun-bangun ada geomei bidang (dimensi dua). Bola, hieboloida, aaboloida dan elisoida adalah bangun-bangun ada geomei uang (dimensi iga) dan meuakan benuk-benuk dai konikoida []. Menuu [3], menyaakan bahwa seaa umum esamaan umum konikoida bebenuk f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0 dengan aling sediki a, a 22, a 33, a 2, a 3, dan a 23 idak sama dengan nol. Keuu aah (KA) konikoida dieoleh dengan menghaus bagian linea dan bagian konsana dai konikoida yaiu: KA: a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz = 0 aau seaa maiks esamaan konikoida esebu daa diulis: a a 2 a 3 x x [x y z] [ a 2 a 22 a 23 ] [ y] + 2[a 4 a 24 a 34 ] [ y] + [a 44 ] = 0 a 3 a 23 a 33 z z Aau: V T AV + 2B T V + C = 0 dengan a a 2 a 3 x a 4 A = [ a 2 a 22 a 23 ], V = [ y], B = [ a 24 ] dan C = [a 44 ] a 3 a 23 a 33 z a 34 V T AV disebu sebagai bagian homogen kuadais. 2B T V disebu bagian linea dan C disebu konsana dai konikoida. Jenis-jenis konikoida anaa lain bola, elisoida, keuu eliik,hieboloida daun sau, hieboloida daun dua, aaboloida eliik, aaboloida hieboloida,silinde hiebolik, silinde aabolik daa diliha di [] dan enjelasan mengenai ank dai suau maiks daa diliha di [3]. 2. Pembahasan 2.. Keuu Aah Beiku ini meuakan enggolongan konikoida bedasakan keuu aah. Teoema 2.. Bedasakan esamaan umum konikoida: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0, diiis dengan z = maka dieoleh esamaan f(x, y ) = a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 Jika D = a a a a 2 a 3 2 a 2 a, H = a 2 a 22 a 23 dan S = a + a a 3 a 23 a 33 Maka Unuk H 0, dieoleh iisan keuu aah dengan bidang z = yaiu keuu sejai yang edii dai: () Jika D > 0, S < 0 maka dieoleh elis nyaa. H (2) Jika D > 0, S > 0 maka dieoleh elis khayal H (3) Jika D < 0 maka dieoleh hiebola (selalu nyaa). (4) Jika D = 0 maka dieoleh aabola (selalu nyaa). Unuk H = 0, dieoleh iisan keuu aah dengan bidang z = beubah oak menjadi seasang gais luus yang edii dai: () Jika D > 0 maka dieoleh seasang gais khayal. (2) Jika D < 0 maka dieoleh seasang gais nyaa beoongan (3) Jika D = 0 maka dieoleh seasang gais sejaja aau behimi.

3 02 Sidjaa, Abdy Kaakeisik Konikoida. Buki Bedasakan esamaan umum konikoida: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + Diiis dengan bidang z = maka dieoleh: f(x, y) = a + a 22 y 2 + a a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 + a 4 = 0. f(x, y) = a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + (2a 3 x + 2a 4 x) + (2a 23 y + 2a 24 y) + (2a a 33 + a 4 ) = 0. f(x, y) = a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + (2a 3 + 2a 4 )x + (2a a 24 )y + (2a 34 + a 33 + a 4 ) = 0. f(x, y ) = a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0... () Unuk H 0 Buki () Dikeahui jika H 0, D > 0 dan S/H < 0 iisan meuakan elis nyaa Ambil a = a, a 22 = b, a 33 = dan a 2 = a 3 = a 23 = 0 dengan (a, b, bilangan osiif) sehingga: a a 2 a 3 a 0 0 H = a 2 a 22 a 23 = 0 b 0 = ab 0 a 3 a 23 a D = a a 2 a 2 a = a b = ab > 0 S = a + a 22 = a b = (a + b) S = (a+b) H ab < 0 Maka bedasakan esamaan () dieoleh: a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 a by 2 + = 0 a by 2 = (a + by 2 ) = a + by 2 = a x2 + b y2 = a b = ( a ) 2 ( b ) 2 = (meuakan elis nyaa). Buki (2) Dikeahui jika H 0, D > 0 dan S/H > 0 iisan meuakan elis khayal Ambil a = a, a 22 = b, a 33 = dan a 2 = a 3 = a 23 = 0 dengan osiif) sehingga: a a 2 a 3 a 0 0 H = a 2 a 22 a 23 = 0 b 0 = ab 0 a 3 a 23 a D = a a 2 a 2 a = a b = ab > 0 S = a + a 22 = a b = (a + b) S = (a+b) H ab > 0 Maka bedasakan esamaan () dieoleh: a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 a by 2 = 0 a x2 + b y2 = a b = (a, b, bilangan

4 JdC, Vol. 5, No. 2, Seembe ( a ) 2 ( b ) 2 = (meuakan elis khayal). Buki (3) Dikeahui jika H 0, D < 0 iisan meuakan hiebola Ambil a = a, a 22 = b, a 33 = dan a 2 = a 3 = a 23 = 0 dengan (a, b, bilangan osiif) sehingga: a a 2 a 3 a 0 0 H = a 2 a 22 a 23 = 0 b 0 = ab 0 a 3 a 23 a D = a a 2 a 2 a = a b = ab < 0 Maka bedasakan esamaan () dieoleh: a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 a by 2 = 0 a x2 b y2 = a y2 b = ( a ) 2 y2 ( b ) 2 = (meuakan hiebola). Buki (4) Dikeahui jika H 0, D = 0 iisan meuakan aabola Ambil a = a, a 23 = b dan a 2 = a 3 = a 22 = a 33 = 0 dengan (a, b, bilangan osiif) sehingga: a a 2 a 3 a 0 0 H = a 2 a 22 a 23 = 0 0 b = ab 2 0 a 3 a 23 a 33 0 b 0 D = a a 2 a 2 a = a o = 0 Maka bedasakan esamaan () dieoleh: a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 a 2by = 0 2by = a 2by = a y = a 2b x2 (meuakan aabola). Unuk H 0 Buki () Dikeahui jika H = 0, D > 0 iisan meuakan seasang gais khayal. Ambil a = a 22 = a, dan a 2 = a 3 = a 23 = a 33 = 0 dengan (a, bilangan osiif) sehingga: a a 2 a 3 a 0 0 H = a 2 a 22 a 23 = 0 a 0 = 0 a 3 a 23 a D = a a 2 a 2 a = a a = a2 > 0 Maka bedasakan esamaan () dieoleh: a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 a + ay 2 = 0 a( + y 2 ) = 0 + y 2 = 0 = y 2 x = ± y 2 (meuakan seasang gais khayal) Buki (3) Dikeahui jika H = 0, D = 0 iisan meuakan seasang gais behimi Ambil a = a 22 = a 2 = a, dan a 3 = a 23 = a 33 = 0 dengan (a, bilangan osiif) sehingga:

5 04 Sidjaa, Abdy Kaakeisik Konikoida. a a 2 a 3 a a 0 H = a 2 a 22 a 23 = a a 0 = 0 a 3 a 23 a D = a a 2 a a a 2 a = 22 a a = 0 Maka bedasakan esamaan () dieoleh: a + a 22 y 2 + 2a 2 xy + 2a 3 x + 2a 23 y + a 33 = 0 a + ay 2 + 2axy = 0 a( + y 2 + 2xy) = 0 + y 2 + 2xy = 0 (x + y)(x + y) = 0 (meuakan seasang gais behimi) Pusa Konikoida Pesamaan umum konikoida f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0 dengan usa P(x, y, z ) Definisi 2.2. [6] Pesamaan usa konikoida f(x, y, z) dengan usa P(x, y, z ) adalah f(x,y,z ) x = f(x 0,,y,z ) = 0, dan f(x,y,z ) = 0. y z Penggolongan konikoida daa dienukan menuu usa konikoida dengan menyelidiki ank maiks: a a 2 a 3 a a 2 a 3 a 4 A = [ a 2 a 22 a 23 ] dan [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] a 3 a 23 a 33 a 3 a 23 a 33 a 34 Teoema 2.3. Misalkan esamaan konikoida f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0 dengan ank maiks: a a 2 a 3 a a 2 a 3 a 4 A = [ a 2 a 22 a 23 ] dan [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] a 3 a 23 a 33 a 3 a 23 a 33 a 34 Maka enggolongan konikoida dienukan dengan aa: () Aabila ank maiks A = ank maiks [A,b] = 3. Dieoleh sau iik usa yang meuakan salah sau dai: Elisoida (nyaa / khayal), hieboloida daun sau, hieboloida daun dua. Pusa konikoida P(x, y, z ), jika f(x, y, z ) 0 (Bukan meuakan keuu) dan jika f(x, y, z ) = 0 (meuakan keuu (nyaa/khayal)). (2) Aabila ank maiks A = 2 sedangkan ank maiks [A,b] = 3. Tidak dieoleh iik usa (iik usa di ak hingga) yang edaa ada aaboloida eliik dan aaboloida hiebolik. (3) Aabila ank maiks A = ank maiks [A,b] = 2. Tema kedudukan iik usa beua gais luus yang edaa ada : Silinde eliik (nyaa/khayal), silinde hiebolik aau seasang bidang aa beoongan (nyaa/khayal). (4) Aabila ank maiks A = sedangkan ank maiks [A,b]. Tema kedudukan iik usa beua gais luus di ak behingga yang edaa ada silinde aabolik. (5) Bila ank maiks A = ank maiks [A,b] =. Tema kedudukan iik usa beua bidang aa, yang edaa ada seasang bidang aa sejaja aau seasang bidang aa beimi (nyaa/khayal). Buki (2.3.) a. Ambil a =, a 22 =, a 33 =, a 44 = dan a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 4 = a 34 = 0 dengan,,, bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0] Rank A = 3 a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ 0 0 0] Rank [A,b] = 3 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = ank [A,b] = 3, akibanya dieoleh:

6 JdC, Vol. 5, No. 2, Seembe f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + f(x, y, z) = + y 2 + z 2 = 0. + y 2 + z 2 = 0. + y 2 + z 2 = 0. + y 2 + z 2 =. x2 + y2 + z2 =. x2 + z2 ( ) 2 =. ( ) 2 + z2 ( ) 2 = (meuakan elisoida nyaa) Jika diambil a 44 = maka: f(x, y, z) = + y 2 + z 2 + = 0. + y 2 + z 2 + = 0. + y 2 + z 2 =. x2 + y2 + z2 =. x2 + z2 ( ) 2 =. ( ) 2 + z2 ( ) 2 = (meuakan elisoida khayal). b. Ambil a =, a 22 =, a 33 =, a 44 = dan a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 4 = a 34 = 0 dengan,,, bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0 ] Rank A = 3 a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ ] Rank [A,b] = 3 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = ank [A,b] = 3, akibanya dieoleh: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + f(x, y, z) = + y 2 z 2 = 0. + y 2 z 2 = 0. + y 2 z 2 = 0. + y 2 z 2 =. x2 + y2 z2 =. x2 z2 ( ) 2 =. ( ) 2 z2 ( ) 2 = (meuakan hieboloida daun sau) Jika diambil a 22 = maka: f(x, y, z) = y 2 z 2 = 0. y 2 z 2 = 0. y 2 z 2 =. x2 y2 z2 =. x2 y2 z2 ( ) 2 y2 =. ( ) 2 z2 ( ) 2 = (meuakan hieboloida daun dua).

7 06 Sidjaa, Abdy Kaakeisik Konikoida.. Ambil a =, a 22 =, a 33 =, a 44 = dan a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 4 = a 34 = 0 dengan,,, bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0 ] Rank A = 3 a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ ] Rank [A,b] = 3 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = ank [A,b] = 3, akibanya dieoleh: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + f(x, y, z) = + y 2 z 2 = 0. Pusa P(x, y, z ) maka f(x, y, z ) = + y 2 z 2 = 0, kaena: f(x,y,z ) = 0 2x x = 0 x = 0 f(x,y,z ) = 0 2y y = 0 y = 0 f(x,y,z ) = 0 2z z = 0 z = 0 Dieoleh Pusa P(x, y, z ) = P(0, 0, 0) sehingga: f(x, y, z ) = f(0, 0, 0) = 0 Kaena: f(x, y, z) = + y 2 z 2 = 0 + y 2 z 2 = 0. + y 2 z 2 = 0. + y 2 z 2 =. x2 + y2 z2 =. x2 z2 x2 ( 2 ) =. ( ) 2 z2 ( ) 2 = (meuakan hieboloida daun sau / bukan meuakan keuu). d. Ambil a =, a 22 =, a 33 =, dan a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 4 = a 34 = a 44 = 0 dengan,, bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0 ] Rank A = 3 a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ ] Rank [A,b] = 3 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = ank [A,b] = 3, akibanya dieoleh: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + f(x, y, z) = + y 2 z 2 = 0. Pusa P(x, y, z ) maka f(x, y, z ) = + y 2 z 2 = 0, kaena: f(x,y,z ) = 0 2x x = 0 x = 0 f(x,y,z ) = 0 2y y = 0 y = 0 f(x,y,z ) = 0 2z z = 0 z = 0 Dieoleh Pusa P(x, y, z ) = P(0, 0, 0) sehingga: f(x, y, z ) = f(0, 0, 0) = 0 Kaena: f(x, y, z) = + y 2 z 2 = 0 + y 2 z 2 = 0.

8 JdC, Vol. 5, No. 2, Seembe y 2 z 2 = 0. + y 2 z 2 = 0 x2 z2 ( ) 2 = 0. ( ) 2 z2 Jika diambil a 33 =, maka: f(x, y, z) = + y 2 + z 2 = 0 + y 2 + z 2 = 0. + y 2 + z 2 = 0. + y 2 + z 2 = 0 x2 ( ) 2 + z2 ( ) 2 = 0 (meuakan keuu nyaa). = 0. ( ) 2 + z2 ( ) 2 = 0 (meuakan keuu khayal). Buki (2.3.2) Ambil a =, a 22 =, a 34 = dan a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 4 = a 33 = a 44 = 0 dengan, bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0] Rank A = 2 a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ ] Rank [A,b] = 3 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = 2 dan ank [A,b] = 3, akibanya dieoleh: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + f(x, y, z) = + y 2 2z = 0. + y 2 = 2z. x2 = 2z ( 2 ) ( 2 = 2z ) Jika diambil a 22 =, maka: f(x, y, z) = y 2 2z = 0. y 2 = 2z. x2 y2 = 2z ( 2 y2 ) ( 2 = 2z ).. (meuakan aaboloida eliik). (meuakan aaboloida hiebolik) Buki (2.3.3) a. Ambil a =, a 22 =, a 44 = dan a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 4 = a 33 = a 34 = 0 dengan,, bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0] Rank A = 2 a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ 0 0 0] Rank [A,b] = 2 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = ank [A,b] = 2, akibanya dieoleh:

9 08 Sidjaa, Abdy Kaakeisik Konikoida. f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + f(x, y, z) = + y 2 = 0. + y 2 =. x2 + y2 =. x2 y2 =. ( ) 2 ( ) 2 = (meuakan silinde eliik). Jika diambil a 22 =, dieoleh: f(x, y, z) = y 2 = 0. y 2 =. x2 y2 =. x2 y2 =. ( ) 2 y2 ( ) 2 = (meuakan silinde hiebolik). b. Ambil a =, a 22 = dan a 2 = a 3 = a 4 = a 23 = a 24 = a 33 = a 34 = a 44 = 0 dengan bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0] Rank A = 2 a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ 0 0 0] Rank [A,b] = 2 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = ank [A,b] = 2, akibanya dieoleh: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0. f(x, y, z) = y 2 = 0. ( y 2 ) = 0. y 2 = 0. (x + y)(x y) = 0 (meuakan seasang bidang aa nyaa beoongan). Jika diambil a 22 = 0 dan a 44 =, maka: f(x, y, z) = + = 0. ( + ) = 0. + = 0. =. x = ± (meuakan seasang bidang aa khayal beoongan). Buki (2.3.4) Ambil a 22 = a 4 = dan a = a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 34 = a 33 = a 44 = 0 dengan bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0] Rank A = a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ 0 0 0] Rank [A,b] = 2 a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = dan ank [A,b], akibanya dieoleh: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + f(x, y, z) = y 2 2x = 0. y 2 2x = 0.

10 JdC, Vol. 5, No. 2, Seembe (y 2 2x) = 0. y 2 2x = 0. y 2 = 2x (meuakan silinde aabolik). Buki (2.3.5) Ambil a = a 44 =, a 4 = dan a = a 2 = a 3 = a 23 = a 24 = a 34 = a 33 = 0 dengan bilangan osiif, maka: a a 2 a A = [ a 2 a 22 a 23 ] = [ 0 0 0] Rank A = a 3 a 23 a a a 2 a 3 a [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] = [ ] Rank [A,b] = a 3 a 23 a 33 a Kaena ank A = dan ank [A,b] =, akibanya dieoleh: f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0. f(x, y, z) = 2x + = 0. 2x + = 0. ( 2x + ) = 0. 2x + = 0. (x ) 2 = 0 (x )(x ) = 0 (meuakan seasang bidang aa nyaa behimi). Jika diambil a 4 = 0, maka dieoleh: f(x, y, z) = + = 0. ( + ) = 0. ( + ) = 0. ( + ) 2 = 0. ( + )( + ) = 0. (meuakan seasang bidang aa khayal behimi). 3. Kesimulan Mengau ada embahasan mengenai enggolongan konikoida bedasakan keuu aahnya (KA) yaiu:. KA nyaa dan idak beubah oak maka konikoidanya salah sau dai hieboloida daun sau aau hieboloida daun dua. 2. KA khayal dan idak beubah oak maka konikoidanya salah sau dai elisoida aau keuu khayal. 3. KA beubah oak menjadi seasang bidang aa nyaa beoongan maka konikoidanya salah sau dai aaboloida hiebolik aau silinde. 4. KA beubah oak menjadi seasang bidang aa khayal maka konikoidanya meuakan salah sau aaboloida eliik aau silinde eliik. 5. KA beubah oak menjadi seasang bidang aa behimi maka konikoidanya meuakan silinde aabolik aau seasang bidang aa sejaja. Dan enggolongan konikoida menuu usa konikoida yaiu dengan menyelidiki ank maiks: a a 2 a 3 a a 2 a 3 a 4 A = [ a 2 a 22 a 23 ] dan [A, b] = [ a 2 a 22 a 23 a 24 ] a 3 a 23 a 33 a 3 a 23 a 33 a 34 () Aabila ank maiks A = ank maiks [A,b] = 3. Dieoleh sau iik usa yang meuakan salah sau dai: Elisoida (nyaa / khayal), hieboloida daun sau, hieboloida daun dua. Pusa konikoida P(x, y, z ), jika f(x, y, z ) 0 (Bukan meuakan keuu) dan jika f(x, y, z ) = 0 (meuakan keuu (nyaa/khayal)). (2) Aabila ank maiks A = 2 sedangkan ank maiks [A,b] = 3. Tidak dieoleh iik usa (iik usa di ak hingga) yang edaa ada aaboloida eliik dan aaboloida hiebolik. (3) Aabila ank maiks A = ank maiks [A,b] = 2. Tema kedudukan iik usa beua gais luus.yang edaa ada : Silinde eliik (nyaa/khayal), silinde hiebolik aau seasang bidang aa beoongan (nyaa/khayal).

11 0 Sidjaa, Abdy Kaakeisik Konikoida. (4) Aabila ank maiks A = sedangkan ank maiks [A,b]. Tema kedudukan iik usa beua gais luus di ak behingga yang edaa ada silinde aabolik. (5) Bila ank maiks A = ank maiks [A,b] =. Tema kedudukan iik usa beua bidang aa, yang edaa ada seasang bidang aa sejaja aau seasang bidang aa beimi (nyaa/khayal). Unuk menyelidiki konikoida f(x, y, z) = a + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 2 xy + 2a 3 xz + 2a 23 yz + 2a 4 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0 daa dilakukan sebagai beiku:. Golongkan elebih dahulu bedasakan keadaan iik usanya dan ank maiksnya, salah sau dai golongan (), (2), (3), (4) aau (5). 2. Bila emasuk golongan (): a. Aabila usanya eleak ada konikoida maka meuakan keuu. b. Aabila usanya idak eleak ada konikoida maka diselidiki keuu aahnya (KA) yaiu: ) Jika keuu aahnya khayal maka konikoida meuakan elisoida. 2) Jika keuu aahnya nyaa maka konikoida meuakan salah sau dai hieboloida daun sau aau hieboloida daun dua. Caa membedakan aakah hieboloida daun sau aau hieboloida daun dua yaiu dengan aa: a) Pilih sebaang iik ada hieboloida. b) Bua bidang singgung diiik esebu. ) Tenukan oyeksi gais oong hieboloida dan bidang singgung esebu (yang idak egak luus bidang singgung). d) Jika oyeksi esebu nyaa maka meuakan hieboloida daun sau dan jika oyeksinya khayal maka meuakan hiebolida daun dua. 3. Bila emasuk golongan (2) : Selidiki keuu aahnya (KA) a. Aabila keuu aah (KA) beubah oak menjadi seasang bidang aa nyaa yang beoongan maka konikoida meuakan aabolida hiebolik. b. Aabila keuu aah (KA) beubah oak menjadi seasang bidang aa khayal maka konikoda meuakan aaboloida eliik. 4. Bila emasuk golongan (3): Lakukan engiisan dengan salah sau bidang koodina yang idak sejaja dengan gais / bidang ema kedudukan (TK) iik usa. a. Aabila iisannya elis maka konikoida adalah silinde eliik (jika elis khayal maka selinde eliik esebu khayal). b. Aabila iisannya hiebola maka konikoida meuakan silinde hiebolik.. Aabila iisannya beubah oak menjadi seasang gais luus beoongan maka konikoida meuakan seasang bidang aa beoongan. 5. Aabila emasuk golongan (4) maka konikoida meuaka silinde hiebolik. 6. Aabila emasuk golongan (5): Lakukan engiisan dengan salah sau bidang koodina yang idak sejaja dengan gais / bidang ema kedudukan (TK) iik usa. a. Aabila iisannya seasang gais luus sejaja, maka konikoida adalah seasang bidang aa sejaja. b. Aabila iisannya seasang gais luus beimi, maka konikoida meuakan seasang bidang aa beimi. 4. Uaan Teima Kasih Uaan eima kasih kami samaikan keada PNBP UNM dan keada ekan-ekan dosen Juusan Maemika FMIPA Univesias Negei Makassa aas kiikan dan saan-saannya. 5. Dafa Pusaka [] Suyadi, D Teoi dan Soal Ilmu Uku Analiik Ruang. Ghalia Indonesia. Jakaa. [2] Kaiman, R Maemaika Tingka Tinggi Ceakan Keiga. PT. Padnya Paamia. Jakaa. [3] Suano. J. 97. Pengana Maix. Elangga. Jakaa.