BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF(5m)

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF5m) Teori finite field mulai diperkenalkan pada abad ke tujuh dan abad ke delapan dengan tokoh matematikanya Pierre de Fermat ) dan Leonhard Euler ) dengan kontribuinya pada khuu teori truktur finite field Teori ecara umum tentang finite field mulai dikerjakan oleh Carl Friedrich Gau ) dan Evarite Galoi ) teori ini banyak dikembangkan dalam dunia aplikai matematika komputer dan teori komunikai 5) langkah pertama yang Dalam melakukan kontruki finite field dilakukan adalah dengan memilih polinomial irreduibel berderajat 5 ata Z mialkan ϵ Z[x] Kenapa kita memilih polinomial irreduibel fx)? karena dengan memilih polinomial irreduibel fx) menurut Teorema 235 [ ]/ )merupakan field Menurut Teorema 239 menurut { Teorema 244 [ ]/ dapat } [ ]/ )ehingga dituli Langkah ebagai elanjutnya mengete apakah polinomial irreduibel fx) terebut mempunyai akar atau tidak Hailnya dipergunakan untuk mengkontruki perluaan field F Teorema berikut menjelakan bahwa [ ]/ ) 5 Teorema 31 Mial p x yaitu polinomial irreduibel berderajat n ata Z p merupakan field Diketahui p x yaitu polinomial irreduibel berderajat m ata Z p Mialkan : [ ] ) yaitu fungi yang didefiniikan Fungi f dibawah operai dan merupakan homomorfima karena ) ) ) ) ) ) )

2 15 ) ) ) Fungi f urjektif karena ambil edemikian hingga Kernel dari f yaitu ) { ) ) ) terdapat [ ] 0 0} [ } ) ) [ ] Karena fungi f homomorfima dan urjektif maka f epimorfima Selanjutnya dengan memandang Teorema Daar Menurut Teorema 235 F x [ ]/ homomorfima maka p x juga field maka terbukti field Akibat dari teorema di ata maka 5) ebagai berikut ehingga diperoleh repreentai 1 field 2 field 3 5) { field GF5m) 5) {[ berdimeni m } dapat dipandang ebagai vektor dengan koordinatnya } ehingga ] Mial diberikan field hingga himpunan ) 5 } 5) dapat dipandang ebagai ruang vektor ata dengan bai tandar {1 { [ ]/ unur-unur kita dapat menuli } 5) dan didefiniikan 5) yaitu 5) yang bukan nol dan dinotaikan dengan 5)\{0} Dua teorema berikut menjelakan bahwa 5) merupakan grup iklik multiplikatif dan mempunyai generator c yang merupakan unur primitif dari Teorema 32 5) Dari Definii field Karena merupakan grup iklik multiplikatif ber order merupakan grup multiplikatif Mial ber order 1 maka c i mempunyai paling banyak nilai yang berbeda r Z dengan 1 1 edemikian ehingga 1 ) 1

3 16 c r i ci c r ci c i ci c i c r ci c i 1 Sifat Aoiatif) cr 1 Dapat diimpulkan r Z minimum ehingga O c r Pilih c ehingga r ebear mungkin Akan ditunjukkan order l dari embarang yaitu membagi r Untuk embarang prima mial r a r ' dan ) l b l ' dimana r ' dan l ' tidak dapat dibagi oleh Maka c a mempunyai a order r ' l ' mempunyai order b dan c l ' mempunyai order b r ' Dari ini diperoleh b a atau r tidak makimal Dapat diimpulkan etiap pangkat prima pembagi dari l juga pembagi dari r dan l r ) Maka etiap dibagi oleh x F * 1 x x maka p n 1 memenuhi peramaan x r 1 0 Artinya x r 1 dapat Karena 1 diperoleh 1 dan F * Teorema 33 Sembarang 1 ) 1 Sehingga memuat uatu unur primitif 1 tetapi diperoleh primitif atau akar field berhingga berorder Mial iklik primitif Dari Definii 243 maka c merupakan unur primitif atau akar Karena akibatnya Ambil c ebagai generator grup 5 ) 5) merupakan ehingga 5) 0 1 grup iklik 5) 1 polinomial dan repreentai integer dalam 2 Sebagai Tabel berikut ini menunjukkan adanya hubungan antara repreentai elemen polinomial primitif multiplikatif maka terdapat primitif repreentai bai 5) yang dibangun oleh

4 17 Tabel 1 finite field No Elemen primitif 0 1 Repreentai Bai Integer

5 18 31 Polinomial Minimum Kenapa kita perlu membaha polinomial minimum? Karena polinomial minimum menjamin bahwa polinomial terebut adalah irreduibel dan jika berunur primitif merupakan polinomial primitif polinomial primitif inilah yang 5) akan kita gunakan dalam mengkontruki algoritme aritmetik Definii 34 polinomial minimum M x dari c ata Z p merupakan polinomial monik berderajat terendah dengan koefiien dari Z p ehingga M c 0 Teorema 35 Mialkan mx) adalah polinomial minimum dengan unur α dalam finite field GFpm) Maka i) mx) irreduibel ii) jika α akar dari polinomial fx) dengan koefiien didalam GF p) maka mx) membagi fx) iii) mx) membagi iv) derajat v) Polinomial minimum berunur primitif dari yang berderajat m merupakan polinomial primitif Bukti : i) Jika mx) reduibel maka Sebagai ) akibatnya 0 Karena tidak memuat pembagi nol maka 0atau 0Hal ini kontradiki dengan Definii 34 Sehingga dapat p) olinomial irreduibel diimpulkan bahwa ii) Dengan menggunakan algoritma pembagian dimana derajat dari lebih rendah daripada derajat 0 Dan 0 karena derajat dari daripada derajat )maka 0 iii) Dari pembuktian ifat ii) terbukti mx) membagi ) dan iv) Karena Ada Maka ) 0 dan terdapat lebih rendah ) } yang tak beba linear {1 2 ehingga } merupakan polinomial berderajat mempunyai akar c ehingga derajat ) Karena ruang vektor berdimeni m ata 1embarang anggota yaitu {1 yang

6 19 ) unur primitif Menurut ifat 1 polinomial minimum v) Mial berderajat d merupakan polinomial irreduibel Dengan Teorema untuk membangun field F ber order 31 gunakan memuat c dan emua unur dari maka mengakibatkan menurut ifat 4 derajat Karena F Selanjutnya Dua teorema berikut menegakan tentang ekiteni dan ketunggalan dari 5) finite field Teorema 36 Semua field hingga ber order adalah iomorfik Mial F dan G field ber order dan Mial polinomial minimum dari F polinomial minimum lain dari G Menurut Teorema 33 F dan G merupakan unur primitif atau akar primitif dari F dan dari G dan dengan Teorema 355 merupakan polinomial primitif Dengan Teorema 353 ) Dan dari Teorema 354 derajat ehingga dengan Teorema 31 field F dan G dapat dianggap memuat emua polinomial dalam dan berderajat n 1 yaitu memuat polinomial modulo )Maka dapat dikatakan pemetaan merupakan iomorfima pemetaan F G 1 maka ada Teorema 37 Untuk embarang p prima dan bilangan bulat tunggal field ber order yang dinotaikan dengan Mial Untuk Untuk perluaan field hingga dari 1 GF p Z p ) > 1bentuk F1 GF p Akan dibuktikan field yang memuat emua akar dari Mial f1 x faktor irreduibel berderajat 2 dari ata F1 Menurut ata F2 Menurut Teorema 31 dengan menggunakan p x f1 x dapat diperoleh field baru F2 Mial f 2 x faktor irreduibel berderajat 2 dari Teorema 31 dengan menggunakan p x f 2 x dapat diperoleh field baru F3 ampai diperoleh field Fr yang unik memuat emua akar dari

7 20 Sehingga diperoleh: Berikut ini merupakan Teorema dan Lemma ub field dari Lemma 38 Jika n r bilangan bulat dengan n 1 r 1 1 maka n 1 n r 1 jika dan hanya jika r Mial r Q R dimana 0 R Q n r 1 nq R 1 1 nr 1 R n n n 1 n 1 n 1 n 1 Maka n Q 1 elalu dapat dibagi dengan n 1 Teorema 39 i) GF p r memuat ub field iomorfik dengan ) GF p jika dan hanya jika r ii) Jika c GF p r maka c GF p jika dan hanya jika c p c Untuk embarang field jika c 2 c maka c yaitu 0 atau 1 i) ) Mial c GF p merupakan unur primitif maka c p 1 1 ehingga O c p 1 Karena GF p ub field GF p r maka c GF p r ehingga c p r 1 1 Berdaarkan ifat daar ketiga dalam Ringkaan 23 maka p 1 p r 1 dan elanjutnya dengan Lemma 311 mengakibatkan r ) Mial c GF p merupakan unur primitif maka c p 1 1 ehingga O c p 1 Dengan Lemma 311 karena r diperoleh p 1 p r 1 Karena p 1 p r 1 dan GF p ub field GF p r akibatnya c p ehingga c GF p r 1 1

8 21 ii) ) Diketahui c GF p r maka c GF p Dari Teorema Fermat etiap unur c GF p memenuhi c p c ) Mialkan c GF p r dan diketahui c p c Dari i) karena GF p ub field GF p r maka c GF p 0 1) 0 Karena merupakan Daerah Integral dan tidak memuat pembagi nol diperoleh c 0 atau 10 1 Dari teorema di ata kita bia mengetahui bahwa ub field dari adalah dapat digambarkan ebagai berikut : dan 5) Secara jela 5) Gambar 2 Subfield dari Untuk mencari polinomial monik dan irreduibel dalam teorema berikut ini Teorema 310 5) digunakan perkalian emua polinomial monik irreduibel ata Z p yang derajatnya membagi m ) Mial M x polinomial irreduibel ata Z p berderajat d dimana Untuk kau M x x trivial Aumi M x x Gunakan M x untuk membuat field maka M x merupakan polinomial minimum Mialkan dan dari Teorema353: ) Dengan memandang Lemma

9 22 38 karena 1 maka 1 Oleh karena itu 1 ) Mial M x pembagi dari ) Akan ditunjukkan Aumi 1 dan polinomial irreduibel dan berderajat d 1 1 Gunakan M x field GF p d ber order p d Mial c GF p d akar dari untuk membuat M x dan GF p d merupakan unur primitif dapat dinyatakan a0 a1c a2 c 2 ad 1c d 1 M x Karena c akar dari maka *) menurut Teorema 244) 0 maka 1 Dari *) dan Teorema 216: diperoleh 0 0 a b Berdaarkan ifat daar ketiga dalam Ringkaan 25 maka p ap bp 1 pd 1 pn 1 Selanjutnya dengan Lemma 38 diperoleh d n Dari teorema di ata kita dapat mencari polinomial irreduibel dan polinomial 5) ebagai berikut : monik dalam Untuk 1 Untuk 2 1) 2) 3) 4 2) 4 4) 3) 2 3) 1) 2) 4 2) 2 Dan eterunya 3) 4) 3) 4) 1) 1) 4) 4) 4) 1) 4) 4) 1) 1) 4) 2) 1) 3 3 4) 4) 2) 4 2) 4) 3) 1) 2)

10 23 Untuk memerika bahwa polinomial yang diperoleh merupakan polinomial irreduibel dan polinomial primitif digunakan dua teorema berikut ini Teorema 311 Jika p adalah prima dan m adalah intejer poitif maka berlaku : 1) Produk dari emua polinomial irreduibel monik dalam Ζp[x] yang derajatnya membagi m atau faktor dari m ama dengan 2) Mialkan fx) adalah polinomial berderajat m dalam Ζp[x] maka fx) irreduibel ata Ζp[x] jika dan hanya jika etiap 1 Bukti : 1 untuk Untuk 1) Mialkan fx) polinomial irreduibel ata Ζp berderajat m dimana kau fx) x trivial Aumi Gunakan fx) untuk membuat field GFpm) maka fx) merupakan polinomial minimum Mialkan dan dari Teorema 354 maka Lemma 38 dan karena maka 1 Dengan memandang 1 1 dan 1 Dengan demikian 1 Aumi ditunjukkan bahwa 1 Gunakan fx) ) adalah akar ) merupakan unur primitif maka menurut Teorema dari fx) dan 243 dapat dinyatakan ebagai adalah akar dari fx) maka 1 Dari *) dan Teorema 217 maka 0 0 ) *) Karena α 0 Selanjutnya berdaarkan Lemma 38 maka diperoleh 2) Berdaarkan Teorema 311 1) bahwa etiap intejer poitif membagi k Jadi ehingga diperoleh : Berdaarkan ifat ketiga pada Ringkaan 25 maka polinomial Sebaliknya mialkan untuk membuat field GFpm) ber order pm Mialkan polinomial irreduibel dan berderajat m Akan fx) pembagi dari maka adalah produk dari emua irreduibel monik berderajat ) adalah pati produk dari emua faktor linear fx) Jika fx) tidak mempunyai faktor linear maka )

11 24 adalah pati produk dari emua faktor irreduibel quadratik dari fx) Jika fx) tidak irreduibel maka haru dapat dibagi oleh beberapa polinomial /2 dan jika gx) adalah faktor irreduibel berderajat paling banyak /2 Jadi irreduibel dari fx) berderajat minimum mialkan k) maka ) 1 Hal ini kontradiki dengan Sebaliknya jika fx) adalah irreduibel maka untuk etiap 1 cukup dite pengandaian 1 Jadi untuk mengete fx) adalah irreduibel hal ini 1 untuk etiap intejer poitif 1 Dengan demikian dapat diimpulkan bahwa fx) adalah irreduibel Teorema 312 Mialkan p adalah bilangan prima dan mialkan mempunyai faktor-faktor prima yang berbeda dari pm-1 adalah r1 r2 rt maka polinomial irreduibel 1 berlaku [ ] adalah 1 Bukti : primitif jika dan hanya jika untuk etiap ) 1 adalah Mialkan p adalah bilangan prima dan mialkan faktoriai dari r1 r2 rt dimana r1 r2 rt adalah polinomial irreduibel ata GFp)[x] Akan dibuktikan bahwa jika x adalah unur primitif ata GFpm)* maka berlaku untuk etiap 1 1 Mialkan d dinotaikan order dari x Kita tahu bahwa d adalah pembagi dari 1 dan x adalah primitif jika dan hanya jika Pertama andaikan bahwa 1 1/ ehingga pati untuk 1 1 dan < 1 dan juga 1 ) untuk beberapa i maka jela bahwa 1 Sebaliknya andaikan bahwa 1)/ Dengan demikian kontradiki dengan pernyataan bahwa 1 Karena d adalah pembagi dari 1 maka terdapat polinomial irreduibel ri dimana 1 edemikian ehingga ri adalah pembagi dari adalah pembagi 1)/ Tetapi ini berakibat bahwa d 1 1 ) Hal ini