= 0 adalah r(dimana r konstan);

Transkripsi

1 MODEL PEMAEA LOGISTI UTU PEMAEA IA DEGA LAJU PEMAEA PROPOSIOAL Sigi ova Riyano, aono Juusan Maemaika FMIPA UDIP Semaang Jl. Pof. H. Soedao, SH, Tembalang, Semaang, 575 Absak: Tedapa banyak model pemanenan, yang salah saunya model pemanenan logisik. Model pemanenan ini beganung pada jenis laju pemanenannya. Pada makalah ini dikaji enang model pemanenan logosik dengan laju pemanenan poposional. Dengan menggunakan analisis kesabilan dipeoleh besanya pemanenan yang diijinkan. aa unci: laju pemanenan poposional, analisa kesabilan PEDAHULUA Indonesia sebagai salah sau egaa epulauan, banyak menyimpan sumbe kekayaan hayai. Salah sau sumbe kekayaan hayai di peaian Indonesia adalah ikan. Ekploiasi ikan dapa bepean dalam menambah pendapaan devisa negaa. amun demikian, ekploiasi yang idak mempehaikan pemanfaaan yang bekelanjuan dapa menyebabkan hilangnya sumbe kekayaan hayai esebu. Fokus uama dalam manajemen peikanan adalah Bagaimana menjaga kesabilan populasi ikan?. Secaa jelas obyek dai manajemen peikanan, yaiu membua saegi pemanenan yang idak akan membawa suau spesies dalam kepunahan. Oleh kaena iu, dipelukan indakan pencegahan sedini mungkin melalui kebijakan saegi pemanenan yang baik. Sumbe daya alam hayai khususnya ikan mengalami peumbuhan. Peumbuhan esebu dipengauhi oleh anaa lain : pesediaan makanan, fako-fako lingkungan inensias cahaya, suhu, habia, musim, inensias penangkapan. Pengauh fako lingkungan euama musim dan inensias penangkapan sanga signifikan ehadap jumlah populasi ikan. Peumbuhan jumlah populasi ikan pada masa eenu akan mendekai iik keseimbangan euilibium, dalam kondisi ini jumlah kelahian dan kemaian populasi ikan dianggap sama, sea menginga bahwa seiap populasi ikan memiliki poensi unuk bekembang biak. Populasi memiliki laju peumbuhan yang beangsu-angsu menuun secaa eap. Sepanjang waku peumbuhan keadaan lingkungan aau daya dukung lingkungan idak beubah. Dai asumsi esebu dapa diuunkan suau model peumbuhan populasi yang disebu model peumbuhan logisik Model peumbuhan logisik menuu Fulfod [] dapa diuunkan dengan menggunakan asumsi Gamba. : d a laju peumbuhan populasi pada saa adalah dimana konsan; b laju peumbuhan ini menuun secaa linie dan benilai saa d Gamba. Gafik Laju Peumbuhan Populasi Dimana adalah laju peumbuhan ininsik ininsic gowh ae, yaiu nilai yang menggambakan daya-umbuh suau populasi. Dalam hal ini diasumsikan >, yaiu menginga seiap populasi memiliki poensi unuk bekembang biak. Dai asumsi di aas dapa diuunkan suau model peumbuhan populasi yang disebu sebagai model peumbuhan logisik, yaiu: d Aau 77

2 d Jika diambahkan syaa awal, maka dipeoleh solusi khusus pesamaan difeensial ini, yaiu: 3 e + Unuk > belaku lim sehingga disimpulkan bahwa gafik dai pesamaan 3 mempunyai asimo mendaa. Gafik solusi unuk kasus > dapa diliha pada Gamba. e + Gamba. Gafik Peumbuhan Logisik yang aik Sedangkan, unuk, gafik solusinya adalah: > e + Gamba 3 Gafik Peumbuhan Logisik yang menuun Gafik dai pesamaan secaa geomeis dapa diafsikan dai gafik yang menggambakan hubungan d dan pada bidang fasa beiku Gamba : d d Gamba. Gafik vesus 78

3 d Dai gafik ini eliha bahwa pada belaku >, yaiu beai adalah fungsi naik d pada selang esebu. Sedangkan, unuk > belaku, yaiu beai meupakan fungsi uun. Hal lain adalah bahwa gafik ebuka ke aas pada aau dan ebuka ke bawah pada selang. esimpulan ini mengaahkan pada dua gafik edahulu. Boyce [] menguaikan bahwa unuk kasus didapakan solusi yang idak sabil, yaiu idak mengaah pada iik keseimbangan eenu. Himpunan gafik solusinya adalah sebagai beiku Gamba 5: e + asus Gamba 5. Solusi Model Peumbuhan Logisik dengan Model peumbuhan logisik secaa umum hanya menggambakan peumbuhan populasi dalam jangka waku eenu. Dai model peumbuhan ini dikembangkan model pemanenan, sehingga dapa dipediksi jumlah pemanenan maksimum yang bisa dilakukan PEMBAHASA Unuk mengeahui pengauh adanya kegiaan pemanenan ikan ehadap populasi ikan, dalam makalah ini akan dibahas pengauh adanya pemanenan khususnya pemanenan dengan laju pemanenan poposional The havesing euaion wih popoional havesing ae Model pemanenan bedasakan model peumbuhan logisik menuu Idels [] dinamakan Model Pemanenan Schaefe. d F, Y dengan F, 5 d maka dipeoleh Y 6 dimana adalah jumlah populasi ikan dalam waku, adalah laju peumbuhan ikan, adalah kapasias pembawaan daya dukung lingkungan, dan asumsikan bahwa dan konsan, sedangkan Y meupakan fungsi laju pemanenan Model Pemanenan Dengan Laju Pemanenan Poposional Model pemanenan poposional mengasumsikan bahwa laju pemanenan beubah secaa konsan seiap ahun. Sehingga dai pesamaan 6 dipeoleh d Y 7 dimana adalah laju poposional dengan konsan Fungsi laju pemanenan Y menuu Idels [] didefinisikan sebagai 79

4 Y E 8 dimana adalah koefisien kaabilias, yaiu nilai poposional dai populasi ikan seiap uni usaha. E adalah fungsi usaha, inensias akivias manusia dalam penangkapan ikan. Dalam model pemanenan adisional, usaha penangkapan E adalah ekpesi sedehana dai fungsi waku E E, yang mana bukan efek dai melimpahnya populasi ikan dalam usaha penangkapan, eapi besa kecilnya inensias penangkapan dalam waku. Menginga bahwa peumbuhan jumlah populasi ikan dipengauhi oleh ingka kelahian dan kemaian, maka asumsikan bahwa E meupakan fungsi dai populasi dinamik. d E, 9 Dengan : ingka kemaian ingka kelahian d laju peumbuhan pe individu dimana dan adalah fungsi koninyu dalam. emudian pesamaan 9 disubiusikan dalam pesamaan 8, maka dipeoleh d Y Pesamaan disubiusikan ke pesamaan 7 d d Asumsi bahwa dan konsan, maka pesamaan diaas dapa disedehanakan menjadi d dengan Solusi umum dai pesamaan diaas dengan o, dan konsan o e o e + e o 3 dimisalkan f + dan g +, maka pesamaan 3 dapa disedehanakan f f f f g g g e e + e Gafik solusi unuk dapa diilusasikan dalam Gamba 6 Gamba 6. Gafik solusi dengan laju pemanenan poposional 8

5 Analisa esabilan Tiik keseimbangan dai model ini dipeoleh dai pepoongan gafik pemanenan dengan gafik peumbuhan dalam bidang fase gamba 7 beiku : Dai pesamaan dimisalkan b 5 c 6 d Maka dipeoleh b c 7 d c b Gamba 7. Bidang fase pemanenan poposional Tiik poong gafik laju pemanenan dan pemanenan poposional adalah dan 8 Laju peumbuhan populasi ikan maksimum dapa dikeahui dengan menggunakan uunan peama pesamaan ehadap sama dengan nol. Dai pesamaan dapa diuunkan d d uunan peama dai pesamaan 8 adalah d d d 9 maka dipeoleh uunan kedua daipesamaan adalah d d d fungsi laju peumbuhan mempunyai nilai maksimum pada saa. 8

6 8 ilai disubsiusikan dalam pesamaan 8 d d d d 3 d Gamba 8. Laju Peumbuhan Maksimum Adanya Pemanenan d > aau d > Dai gamba 8 pada saa jumlah populasi sebesa laju peumbuhan populasi ikan dengan adanya pemanenan mencapai nilai maksimum sebesa. Bedasakan Gamba 8 dikeahui bahwa meupakan iik keseimbangan idak sabil dan iik keseimbangan sabil. Unuk menjaga populasi eap sabil maka pemanenan dilakukan di iik sabilnya, maka nilai > aau Pemanenan disekia daeah keseimbangan yang beai nilai d d Y 5 Sehingga dipeoleh Y 6 Unuk menjaga keseimbangan populasi maka pemanenan dilakukan disekia maka

7 Y 7 Y 8 dy Jika maka d 9 3 sehingga dipeoleh 3 Pesamaan 3 disubsiusikan dalam pesamaan 7 dipeoleh Y 3 Y Y 33 / Gamba 8. Gafik Laju Pemanenan Poposional Maksimum ESIMPULA Unuk mencegah kepunahan model pemanenan ikan dengan laju pemanenan poposional dilakukan dalam ineval aau. Pemanenan disekia iik keseimbangan sabil k mengijinkan pemanenan maksimum yang bisa dilakukan pada saa dengan Y DAFTAR PUSTAA []. Boyce, William E. and. Dipima, Richad C., Elemenay Diffeenial Euaions and Bounday Value Poblem, John Wiley & Sons, Inc., ew Yok, 99. []. Fulfod, Glenn, Modelling wih Diffeenial and Diffeence Euaions, Cambigde Univesiy Pess, Cambigde, 997. [3]. Habeman, Richad, Mahemaical Models: Mechanical Vibaions,Populaion Dynamics, and Taffic Flow. Sociey fo Indusial and AppliedMahemaics, Philadelphia, 998. []. Idels, Lev V and Mei Wang, Havesing Fisheies Managemen Saegies wih Modified Effo Funcion, IJMC junal dalam Modelling Complex sysems, 6. 83