HASIL KALI LANGSUNG S-NEAR-RING DAN S-NEAR-RING BEBAS Smarandache Direct Product and Smarandache Free Near-Rings

Transkripsi

1 Junal Baekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 7 (204) HASIL KALI LANGSUNG S-NEAR-RING DAN S-NEAR-RING BEBAS Smaandache Dect Poduct and Smaandache Fee Nea-Rng HENRY W. M. PATTY Juuan Matematka Fakulta MIPA Unveta Pattmua Jl. I. M. Putuhena, Kampu Unpatt, Poka-Ambon E-mal: henywmpatty8@gmal.com Hal kal langung nea-ng Smaandache ABSTRAK N I dkembangkan da hal kal langung nea-ng dengan kond khuu jka palng edkt tedapat atu anggota da N meupakan nea ng Smaandache (S-nea-ng). Sedangkan nea-ng Smaandache beba ddefnkan dengan bantuan homomofma nea-ng Smaandache. Kata kunc : nea-ng, hal kal langung, S-nea ng, S-nea ng beba PENDAHULUAN Sebagamana dketahu, tuktu aljaba dbangun oleh tga komponen utama yatu uatu hmpunan tak koong, opea bne dan akoma. Jka pada hmpunan tak koong teebut dlengkap dengan opea bne dan memenuh bebeapa akoma maka akan muncul kela bau dalam aljaba yang mempunya kaaktetk tetentu. Salah atu kela dalam aljaba adalah nea-ng yang meupakan hmpunan tak koong eta dlengkap dengan dua opea bne yatu penjumlahan (+) dan pegandaan (.). Stuktu nea-ng meupakan geneala da ng tanpa hau memenuh fat dtbutf k dan komutatf tehadap penjumlahan. Sejalan dengan pekembangan teo aljaba banyak penltan tentang nea-ng yang ampa ekaang n menjad objek menak untuk dtelt. Jela bahwa hmpunan blangan bulat Z meupakan contoh nea-ng yang palng edehana. Namun etap blangan bulat tdak memlk nve tehadap opea pegandaan. Sehngga pembahaan mengena nea-ng menjad tebata dalam bentuk maupun fatnya. Oleh kaena tu dkembangkan atau dyaatkan uatu kond dmana etap elemen tak nol dalam nea-ng teebut memlk nve tehadap opea pegandaan. Stuktu n yang ekaang dkenal ebaga nea-feld. Dalam aljaba, konep nea-ng dan nea-feld eng dpaham ecaa tepah dan dapat dkaaktea. Namun jka dpunya uatu nea-ng dengan hmpunan bagan ejatnya yang meupakan nea-feld maka dpeoleh tuktu aljaba yang debut nea-ng Smaandache (dnotakan S-nea-ng). Konep S-neang n, telah dpekenalkan Floentn Smaandache dan telah dbaha oleh Vaantha Kandaamy pada tahun 2002 dalam tulannya yang bejudul Smaandache nea-ng. Nea-ng n eng debut S-nea-ng tngkat dan meupakan nea-ng kanan (hanya memenuh fat dtbutf kanan). Dalam tulan n akan djelakan defn S-nea-ng eta bebeapa contohnya namun dutamakan pada hal kal langung S-nea-ng dan S- nea-ng beba. TINJAUAN PUSTAKA Hal kal langung nea-ng Smaandache (dect poduct S-nea-ng) dan S-nea-ng beba yang d baha dalam tulan n menggunakan konep nea-ng ebaga landaan utama. Pengetan dan klafka da nea-ng mengacu pada tulan Gunte Plz pada tahun 977 tentang nea-ng. Djelakan kaaktetk nea-ng beupa defn, contoh, klafka dan hal kal neang. Namun bebcaa konep nea-ng tetap bekatan dengan emgup nea-ng. Dalam bagan n juga akan dpekenalkan bentuk emgup Smaandache (Semgup) dan Smaandache ubemgup (Subemgup) yang tetap meujuk pada tulan W.B. Vaantha Kandaamy tahun 2002 tentang Smaandache nea-ng. Dhaapkan pembahaan S-nea-ng dan nea-ng beba akan lebh mudah dpaham.

2 2 Bekut n dbekan defn dan contoh emgup Smaandache (S-emgup) dan ubemgup Smaandache (S-ubemgup). Defn. Dbekan emgup S, emgup S debut emgup Smaandache (S-emgup) jka memuat hmpunan bagan ejat A, edemkan hngga A meupakan gup tehadap opea yang ama d S. Contoh : Dketahu Z2 0,, 2,, meupakan emgup dengan opea pegandaan modulo 2. Dapat dambl, P 4, 8 Z P Z 2 2 dan meupakan gup tehadap opea pegandaan modulo 2. Jad Z 2 meupakan S-emgup Contoh 2: Dketahu Z4 0,, 2,3 meupakan emgup dengan opea pegandaan modulo 4. Dapat dambl, P, 3 Z P Z 4 4 dan meupakan gup tehadap opea pegandaan modulo 4. Jad Z 4 meupakan S-emgup Defn 2. Malkan S adalah S-emgup. Suatu hmpunan bagan ejat P da S PS, PS debut ubemgup Smaandache (S-ubemgup) jka P adalah S-emgup dengan opea yang ama d S. Contoh 3: Dketahu Z24 0,, 2,, 23 meupakan S-em gup dengan opea pegandaan modulo 24. Dapat dambl P 0, 2, 4,, 22 dan meupakan S- ubemgup tehadap opea pegandaan modulo 24 dengan A 8,6 meupakan ubgup d P. Selanjutnya dbekan defn dan contoh da neang ebaga bekut Defn 3. Dbekan hmpunan N. Pada N ddefnkan opea bne " + " dan " ". Hmpunan N debut nea-ng tehadap kedua opea bne teebut, jka memenuh : () (N, +); gup () (N, ) ; emgup () Dtbutf Kanan: ( a, b, c N)(a + b) c = a c + b c Hmpunan N tehadap opea penjumlahan dan pegandaan yang ddefnkan padanya debut nea-ng dan dnotakan dengan (N, +, ). Contoh 4: Dketahu (Z, +)gup. Pada Z ddefnkan opea " " ebaga bekut ( a, b Z)a. b = a Jela bahwa (Z, +, ) meupakan nea-ng. Contoh 5: Malkan Z 2 = {0,,2,,}. Dketahu (Z 2, +) gup ata opea penjumlahan modulo 2. Ddefnkan opea " ". Pada Z 2 ddefnkan opea " " ebaga bekut ( a, b Z 2 )a. b = a Maka ( Z 2, +, ) meupakan nea-ng. Bekut n dbekan bebeapa defn yang menunjukkan klafka da ng. Defn 4. Suatu nea-ng N dkatakan nea-ng abelan jka N memenuh fat komutatf tehadap opea " + ", yatu ( a, b N)a + b = b + a Defn 5. Suatu nea-ng N dkatakan nea-ng dtbutf jka N memenuh fat dtbutf k, yatu ( a, b N)a (b + c) = a. b + a. c Defn 6. Suatu nea-ng N dkatakan nea-ng komutatf jka N memenuh fat komutatf tehadap opea " ", yatu ( a, b N)a b = b a Defn 7. Suatu nea-ng N dkatakan nea-ng dengan elemen atuan jka N memuat elemen atuan tehadap opea., yatu ( e N)( a N)ae = ea = a Defn 8. Nea-ng (M, +, ) debut nea-feld jka. (M, +, ) adalah nea-ng dengan elemen atuan. Setap elemen tak nol d M mempunya nve tehadap pegandaan d M : ( a M)[a 0 ( a M)aa = a a = e] Dalam pembahaan akan djelakan tentang hal kal langung S-nea-ng dan S-nea-ng beba.. Oleh kaena tu dbutuhkan bahaan tentang hal kal langung nea-ng, kond oe, nea-ng hal bag dan nea-ng beba. Defn 9. Dbekan {N } adalah keluaga nea-ng ( I, I hmpunan ndek, I = {,2,, }). N = N N 2 N R = N yang ddefnkan tehadap opea penjumlahan dan pegandaan debut hal kal langung nea-ng N. Contoh 6. Dketahu Z2 0, nea-feld dan Z nea-ng. Dbentuk N Z Z z, p z Z, p Z maka N 2 2 meupakan hal kal langung nea-ng. Jka deldk

3 3 N juga meupakan nea-ng dengan opea penjumlahan + dan. d N. Defn 0. Suatu ubnea-ng da N I dmana jumlah etap elemen behngganya ama dengan nol debut jumlah langung ektenal (dnotakan N ) da etap N. I Secaa umum etap ubnea-ng N da N I dmana etap pemetaan poyektf ( I) adalah ujektf (dengan kata lan untuk etap I dan untuk etap n N; n meupakan elemen ke- da ebaang elemen d N) debut ub hal kal langung da etap N. Defn. Suatu nea-ng N dkatakan memenuh kond oe k (kanan) dalam katannya dengan uatu ubemgup S da (N,.) jka untuk etap, n S N belaku Defn 2. n n ( n n ) maka debut nea-ng hal bag k (kanan) da N Jka S N dapat dkanela Malkan V hmpunan emua jen nea-ng (nea-ng, nea ng abelan, nea-ng dengan elemen atuan, atau nea-ng dtbutf) dan hmpunan bagan tak koong. Defn 3. Suatu nea-ng F V N debut nea-ng beba d V ata jka tedapat uatu pemetaan f : F (dengan ebaang hmpunan tak koong) untuk etap N V dan untuk etap g : N maka tedapat uatu homomofma h Hom( F, N) : h f g Gamba. Homomofma nea-ng Setelah membaha tentang nea-ng, bekut n dbekan defn dan contoh da nea-ng Smaandache (S-nea-ng) yang dklafkakan dalam S-nea-ng tngkat. Defn 4. Dbekan hmpunan N dengan A hmpunan bagan ejat da N atau (A N dan A N). Pada N ddefnkan opea-opea bne " + " dan " ". Hmpunan N debut nea-ng Smaandache (S-neang) tehadap kedua opea bne, jka memenuh :. (N, +, ) adalah nea-ng a. (N, +) adalah gup b. (N, ) adalah emgup c. Dtbutf Kanan; ( a, b, c N)(a + b). c = a. c + b. c. (A, +, ) adalah nea-feld a. (A, +) adalah gup b. (A\{0}, ) adalah gup c. Dtbutf Kanan: ( a, b, c A)(a + b). c = a. c + b. c Contoh 6. Dbekan (Z n, +, ) ng dan (Z 2, +, ) nea-feld tehadap opea penjumlahan dan pegandaan modulo n. Hmpunan Z n dengan n 2 meupakan S-nea-ng dengan Z 2 meupakan hmpunan bagan ejat da Z n atau (Z 2 Z n dan Z 2 Z n ). Pada contoh n, tenyata tdak emua nea-ng Z n meupakan nea-feld jka n = 2 (blangan pma) maka Z 2 meupaka nea-feld. Sehngga n blangan pma maka Z n meupakan nea-feld. Analog dengan fat d lapangan (feld), bahwa hmpunan blangan bulat modulo n meupakan lapangan jka n pma. Selan tu, contoh n hanya membekan gambaan umum mengena tuktu nea-ng Smaandache namun belum menunjukkan kaakte khuu tuktu nea-ng end dan hmpunan bagannya yang nea-feld dengan Z n dan Z 2 mang-mang tenyata memenuh fat dtbutf kanan. Contoh elanjutnya akan menunjukkan tuktu S-neang lannya. Contoh 7. Dbekan Z 2 = {0,} dan ebaang gup G tehadap opea pegandaan Z 2 adalah nea-ng tehadap opea penjumlahan " + " ddefnkan epet penjumlahan modulo Z 2 dan tehadap opea pegandaan " " ddefnkan ebaga bekut : ( a, b Z 2 ) a. b = a Z 2 G adalah gup nea-ng da gup G ata nea-feld Z 2. Gup nea-ng Z 2 G juga adalah S-nea-ng dengan (Z 2 Z 2 G dan Z 2 Z n G) HASIL DAN PEMBAHASAN. Hal Kal Langung Nea-Rng Smaandache Defn 5. Malkan {N } adalah keluaga nea-ng ( I, I hmpunan ndek) dengan opea + dan. yang ddefnkan d etap N. Jka {N } memlk palng

4 4 edkt atu S-nea-ng maka hal kal langung N N 2 N = N debut hal kal langung da I nea-ng Smaandache N (hal kal langung S-neang) Teoema. Hal kal langung S-nea-ng adalah S-nea-ng Bukt Dketahu N = N = N N 2 N hal kal langung da nea-ng Smaandache N Akan dtunjukan (N, +, ) meupakan S-nea-ng ) (N, +, ) nea-ng meupakan I. (N, +) adalah gup. Tetutup Ambl ebaang a, b N Akan dtunjukkan a + b N Kaena a, b N maka a = (a, a 2,, a ) dengan a N, a 2 N 2,, a N b = (b, b 2,, b ) dengan b N, b 2 N 2,, b N Sehngga a + b = (a, a 2,, a ) + (b, b 2,, b ) = (a + b, a 2 + b 2,, a + b ) dengan a + b N, a 2 + b 2 N 2,, a + b N. Aoatf Ambl ebaang a, b, c N Akan dtunjukkan (a + b) + c = a + (b + c) a = (a, a 2,, a ) dengan a N, a 2 N 2,, a N b = (b, b 2,, b ) dengan b N, b 2 N 2,, b N c = (c, c 2,, c ) dengan c N, c 2 N 2,, c N Sehngga (a + b) + c = [(a, a 2,, a ) + (b, b 2,, b )] + (c, c 2,, c ) = (a + b, a 2 + b 2,, a + b ) +(c, c 2, c ) = [(a + b ) + c, (a 2 + b 2 )+c 2, ), (a + b ) + c ] = [a + (b + c ), a 2 +(b 2 + c 2 ),, a +(b + c )] = (a, a 2,, a ) +(b + c, b 2 + c 2,, b + c ) = (a, a 2,, a ) + [(b, b 2,, b ) + (c, c 2,, c )] = a + (b + c). Tedapat elemen netal Ambl ebaang a N Akan dtunjukkan tedapat e N edemkan hngga a + e = e + a = a Kaena a N maka maka a = (a, a 2,, a ) dengan a N, a 2 N 2,, a N Malkan e N maka maka e = (e, e 2,, e ) dengan e N, e 2 N 2,, e N Sehngga a + e = a ( a, a,, a ) ( e, e,, e ) ( a, a,, a ) () ( a,, a ) ( a,, a ) ( e,, e ) ( a,, a ) ( a,, a ) () ( a a,, a a ) ( e,, e ) ( a a,, a a ) (0,0,,0) + (e, e 2,, e ) = (0,0,,0) (0 + e, 0 + e 2,, 0 + e ) = (0,0,,0) (e, e 2,, e ) = (0,0,,0) Dengan e = 0 N, e 2 = 0 N 2,, e = 0 N 2 e = (0,0,,0) Kaena a N, a 2 N 2,, a N dan N, N 2,, N meupakan nea-ng maka a = ( a, a 2,, a ) dan dpeoleh () ke () Analog untuk e + a = a v. Setap elemen memlk nve Ambl ebaang a N Akan dtunjukkan tedapat a N edemkan hngga a + a = a + a = 0 Kaena a N maka maka a = (a, a 2,, a ) dengan a N, a 2 N 2,, a N Malkan a N maka maka a = (b, b 2,, b ) dengan b N, b 2 N 2,, b N Sehngga a + a = 0 (a,, a ) + (b,, b ) = (0,,0) () ( a,, a ) + (a,, a ) + (b,, b ) = ( a,, a ) + (0,,0) () ( a + a,, a + a ) + (b,,, b ) = ( a + 0,, a + 0) (0,,0) + (b,, b ) = ( a,.., a ) (0 + b,, 0 + b ) = ( a,.., a ) (b,, b ) = ( a,.., a ) a = ( a, a 2,.., a ) Kaena a N, a 2 N 2,, a N dan N, N 2,, N 2 meupakan nea-ng maka a N, a 2 N 2,, a N dan dpeoleh () ke () Analog untuk a + a = 0 II. (N, ) emgup. Tetutup Ambl ebaang a, b N Akan dtunjukkan a b N Kaena a, b N maka a = (a, a 2,, a ) dengan a N, a 2 N 2,, a N b = (b, b 2,, b ) dengan b N, b 2 N 2,, b N

5 5 Sehngga a. b = (a, a 2,, a ) (b, b 2,, b ) = (a b, a 2 b 2,, a b ) N dengan a b N, a 2 b 2 N 2,, a b N. Aoatf Ambl ebaang a, b, c N Akan dtunjukkan (a b) c = a (b c) a = (a, a 2,, a ) dengan a N, a 2 N 2,, a N b = (b, b 2,, b ) dengan b N, b 2 N 2,, b N c = (c, c 2,, c ) dengan c N, c 2 N 2,, c N Sehngga (a b) c = [(a, a 2,, a ) (b, b 2,, b )] (c, c 2,, c ) = (a b, a 2 b 2,, a b ) (c, c 2,, c ) = [(a b ) c, (a 2 b 2 ) c 2,, ) ( a. b ). c ] = [a (b c ), a 2 (b 2 c 2 ),, a (b c )] = (a, a 2,, a ) (b c, b 2 c 2,, b c ) = (a, a 2,, a ) [(b, b 2,, b ) (c, c 2,, c )] = a (b c) III. Dtbutf Kanan Ambl ebaang a, b, c N Akan dtunjukkan (a + b) c = a c + b c kaena a, b, c N maka a = (a, a 2,, a ) Dengan a N, a 2 N 2,, a N b = (b, b 2,, b ) Dengan b N, b 2 N 2,, b N c = (c, c 2,, c ) dengan c N, c 2 N 2,, c N Sehngga (a + b) c = [(a, a 2,, a ) + (b, b 2,, b )] (c, c 2,, c ) = (a + b, a 2 + b 2,, a + b ) (c, c 2,, c ) = [(a + b ) c, (a 2 + b 2 ) c 2,, (a + b ) c ] = [(a c + b c ), (a 2 c 2 + b 2 c 2 ),, (a c + b c ] = (a c, a 2 c 2,, a c ) +(b c, b 2 c 2,, b c ) = (a, a 2,, a ) (c, c 2,, c ) + (b, b 2,, b ) (c, c 2,, c ) = a c + b c Bedaakan I, II, dan III tebukt (N, +, ) nea-ng ) (A, +, ) nea-feld A N dan A N. Kaena N = N = N N 2 N bedaakan defn 5 tedapat palng edkt hmpunan bagan M Ndan M N yang meupakan S-nea-ng maka N meupakan S-nea-ng. Bedaakan ) dan ) tebukt (N, +, ) S-nea-ng Contoh 8 Malkan N Z3 Z5 Z7, maka N meupakan hal kal langung S-nea-ng kaena mang-mang Z3, Z5, Z 7 meupakan S-nea-ng (tedapat hmpunan bagan ejat Z2 Z3 Z5 Z7 dan Z2 Z3 Z 5 Z 7 ;nea-feld). Selanjutnya menuut Teoema, N Z Z Z meupakan S-nea-ng Sfat. Dbekan {M } meupakan keluaga nea-feld dengan =,2,, n pada M = M M 2 M n = {(m, m 2,, m n ) m M, m 2 M 2,, m n M n } belaku fat dtbutf kanan dengan opea " + " dan pegandan " " yang ddefnkan untuk etap a, b M ebaga bekut :. (a, a 2,, a n ) + (b, b 2,, b n ) = (a + b, a 2 +b 2,, a n + b n ). (a, a 2,, a n ) (b, b 2,, b n ) = (a b, a 2 b 2,, a n b n ) Bukt. Dketahu pada M, M 2,, M n mang-mang meupakan nea-feld. Akan dbuktkan M = M M 2 M n dengan opea yang ddefnan padanya belaku fat dtbutf kanan. Selanjutnya Ambl ebaang a, b, c M Akan dtunjukkan (a + b) c = a c + b c Kaena a, b, c M Maka a = (a, a 2,, a n ) dengan a M, a 2 M 2,, a M n b = (b, b 2,, b n ) dengan b M, b 2 M 2,, b n M n c = (c, c 2,, c n ) dengan c M, c 2 M 2,, c n M n Sehngga (a + b) c = [(a, a 2,, a n ) + (b, b 2,, b n )] (c, c 2,, c n ) = (a + b, a 2 + b 2,, a n + b n ) (c, c 2,, c n ) = [(a + b ) c, (a 2 + b 2 ) c 2,, (a n + b n ) c n ] () = [(a c + b c ), (a 2 c 2 + b 2 c 2 ),, (a n c n + b n c n ) () = (a c, a 2 c 2,, a n c n ) +(b c, b 2 c 2,, b n c n ) = (a, a 2,, a n ) (c, c 2,, c n ) +(b, b 2,, b n ) (c, c 2,, c n )

6 6 = a c + b c Kaena a, b, c M, a 2, b 2, c 2 M 2,, a n, b n, c n M n, dan M, M 2,, M n mang-mang meupakan neafeld belaku fat dtbutf kanan ehngga dpeoleh () ke (). Defn 6. Suatu S-ubnea-ng da hal kal langung Smaandache N I yang ted da elemen-elemen dmana jumlah etap elemen behngganya ama dengan nol debut jumlah langung ektenal Smaandache, N da etap N. I Secaa umum untuk etap S-ubnea-ng N da N I dmana etap pemetaan poyektf ( I) adalah ujektf (dengan kata lan untuk etap I dan untuk etap n N; n meupakan elemen ke- da ebaang elemen d N) debut hal kal langung bagan Smaandache da etap I N Teoema 2. Jka N N meupakan jumlah langung S-nea-ng maka N adalah S-nea-ng. Bukt Dengan menggunakan defn opea + dan. d N N N N N2 N yatu I a I b I a b I a I b I a b I I maka N N jela meupakan nea-ng untuk uatu N N N I yang meupakan nea-feld tehadap opea + dan. d N ( dengan mempehatkan defn hal kal langung S-nea-ng) maka N meupakan S- nea-ng. Dengan mengacu pada defn nea-ng hal bag (Defn 2) bekut n ddefnkan S-nea-ng hal bag. Defn 6. Dbekan N uatu nea-ng dan S uatu S-ubemgup da ( N, ). Nea-ng N debut S-nea-ng hal bag k (kanan) da N pada S jka: a. N memlk elemen atuan b. N dapat dpkan dalam N dengan uatu homomofma h c. Untuk etap S : h () N,. memlk nve dalam d. Untuk etap q N tedapat S dan tedapat n N edemkan hngga q h( n) h( ). ( q h( ) h( n)) Dengan mengacu pada defn kond oe nea-ng (Defn ) bekut n ddefnkan kond oe S-neang ebaga bekut. Defn 7. Nea-ng N dkatakan memenuh kond oe k (kanan) Smaandache bekatan dengan uatu S-ubemgup P da ( N,.). yang dbekan jka untuk etap, n S N belaku n n ( n n ) Bedaakan Defn 7 maka dpeoleh fat tentang nea-ng N yang memenuh kond oe ebaga bekut. Teoema 3. Jka uatu nea-ng N memenuh kond oe k (kanan) Smaandache dengan mempehatkan uatu S- ubemgup P da ( N,.) maka nea-ng N memenuh kond oe k (kanan) yang bekatan pada uatu ubemgup P yang dbekan da ( N,.) Bukt Dapat langung dbuktkan da Defn 7. Jka dapat dtemukan contoh uatu nea-ng N yang memenuh kond oe k (kanan) dalam katannya dengan ubemgup P da ( N,.) namun tdak memenuh kond oe k (kanan) Smaandache. Defn 8. Jka S N dapat dkanela uatu N (jka ada) adalah S-nea-ng maka N debut nea-ng Smaandache hal bag k (kanan) da N Bedaakan Defn 8 maka dpeoleh fat tentang S-nea-ng hal bag ebaga bekut. Teoema 4. Jka N meupakan uatu S-nea-ng hal bag maka N uatu nea-ng hal bag. Bukt Dapat langung dbuktkan da Defn Nea-Rng Smaandache Beba Dengan mempehatkan yaat pelu dan cukup uatu nea-ng hal bag k (kanan) da N (yang udah ddefnkan ebelumnya) menjad S-nea-ng hal bag maka akan ddefnkan nea-ng Smaandache beba.

7 7 Namun ebelumnya dbekan defn homomofma nea-ng Smaandache ebaga bekut. Defn 9. Malkan N dan N adalah paangan S-nea-ng. Maka h : N N debut homomofma S-nea-ng jka untuk etap m, n M (dmana M hmpunan bagan ejat da N, M meupakan nea-feld) belaku: h( m n) h( m) h( n) dmana h( m. n) h( m). h( n) h( m), h( n) M (dengan M ejat da N, N meupakan nea-feld). hmpunan bagan Malkan SV ( ) keluaga S-nea-ng dan hmpunan bagan tak koong yang meupakan S-emgup ata + dan. maka ddefnkan : Defn 20. Suatu S-nea-ng F S( V ) debut nea-ng Smaandache beba d V ata jka tedapat uatu pemetaan f : F untuk etap N V dan untuk etap g : N maka tedapat uatu homomofma S- nea-ng, h S( Hom( F, N) : [dmana S( Hom( F, N ) adalah kumpulan emua homomofma maandache da F ke N] edemkan ehngga h f g KESIMPULAN Bedaakan hal dan pembahaan dalam tulan n dapat dmpulkan bahwa tuktu nea-ng Smaandache dmotva da tuktu nea-ng. Hal n beakbat untuk hal kal langung S-nea-ng N I meupakan uatu tuktu yang eupa dengan hal kal langung pada nea-ng dengan yaat palng edkt tedapat atu da N meupakan S-nea ng. Sedangkan untuk tuktu - nea-ng Smaandache beba dmotva da kebeadaan homomofma S-nea-ng da F ke N dengan mempetahankan fat komutatf pada dagam homomofma. DAFTAR PUSTAKA Hungefod, T.W., 980, Algeba, Spnge-Velag, New Yok. Plz, Gunte, 977, Nea-ng, Noth Holland Pub. Co Vaantha Kandaamy, W.B., 2002, Smaandache Neang, Amecan Reeach Pe, Rehoboth, USA Vaantha Kandaamy, W.B., 2002, Smaandache ng, Amecan Reeach Pe, Rehoboth, USA

8 8