Suatu Catatan Matematika Model Ekonomi Diamond

Transkripsi

1 Vol. 5, No.2, 58-65, Januari 2009 Suau aaan Maemaika Model Ekonomi Diamond Jeffry Kusuma Absrak Model maemaika diberikan unuk menjelaskan fenomena dalam dunia ekonomi makro seperi modal/kapial, enaga kerja, pengeahuan, inovasi dalam rise dan pengembangannya. Keerganungan elemen elemen dalam ekonomi makro anara sau dengan lainnya diberikan dalam hubungan fungsional sebagaimana dalam model ekonomi Solow yang dikenal luas dalam dunia ekonomi makro.model Diamond merupakan modifikasi dari model ekonomi Solow yang serba koninu ke model yang diskri dengan mengkaji dua lapisan masyaraka. Kaa Kunci : Model Maemaika, model Diamond, Ekonomi Makro.. Pendahuluan Perbedaan kemakmuran dan sandar kehidupan suau daerah aau negara dengan daerah aau negara lain sering menimbulkan peranyaan yang suli dijelaskan. Mengapa suau daerah aau negara yang sau lebih berkembang dari daerah lainnya? Fakor apa saja yang mempengaruhi perkembangan suau daerah? Fakor apa saja yang mempengaruhi kemakmuran suau daerah aau negara? Berapa lamakah waku yang diperlukan unuk menuju kemakmuran? Memang idak dapa dipungkiri bahwa dunia sekarang lebih makmur dari dunia masa lalu. Fenomena ini, enunya sanga menarik unuk dikaji. Banyak model elah dibua dalam upaya menerangkan fenomena ini. Ada model yang dapa berahan, demikian pula banyak model maemaika yang hilang dengan sendirinya yang disebabkan dengan keidaksuaian dengan fenomena yang ada. Dianara segelinir model yang dapa berahan adalah model Solow yang berumpu pada empa pilar perumbuhan yakni hasil produksi (Y), modal/kapial (K), enaga kerja/labour (L) dan pengeahuan aau efekifias enaga kerja (A) yang semuanya merupakan fungsi yang koninu erhadap waku.. 2. Model Solow Model ekonomi yang dikembangkan Solow berumpu pada empa pilar perumbuhan yaiu hasil produksi (Y), modal/kapial (K), enaga kerja/labour (L) dan pengeahuan aau efekifias enaga kerja (A), yang mana keempa pilar ini merupakan fungsi waku () yang memenuhi hubungan fungsional fungsi produksi Y( ) F( K( ), A( ) L( )) aau Y F( K,. () Di sini erliha bahwa waku idak masuk ke dalam fungsi produksi secara langsung, melainkan melalui K, L dan A. Demikian pula hasil produksi merupakan fungsi modal dan hasil kali A dan L yang dapa dianggap sebagai keefekifan enaga kerja. Model ini menggunakan asumsi dasar yang Jurusan Maemaika FMIPA Universias Hasanuddin Makassar

2 59 melibakan pengembalian yang konsan erhadap kedua variabelnya. Secara umum dapa digambarkan sebagai F( ck, c cf( K, unuk semua c 0. (2) Penggandaan kapial dan enaga kerja yang efekif akan menggandakan hasil. Sumber daya alam, anah leak geografis walaupun dikeahui pening idak erliha pada model. Asumsi pengembalian yang konsan membua fungsi produksi dapa diuliskan dalam benuk dimana c / AL. F K, F( K,, (3) AL AL Disini, K / AL merupakan besar kapial per uni enaga kerja efekif, F ( K, / AL aau Y / AL merupakan hasil per uni enaga kerja efekif. Bila variabel di aas diulis ulang dengan k K / AL, y Y / AL dan f ( k) F( k,), maka fungsi produksi Solow dapa diuliskan dalam benuk y f (k) (4) Dari persamaan di aas, dapa diliha bahwa hasil per uni enaga kerja efekif hanya merupakan fungsi kapial/modal per uni enaga kerja efekif. Selanjunya, fungsi f (k) di aas diasumsikan pula memenuhi sifa f ( 0) 0, f ( k) 0, f ( k) 0. Di sini erliha jelas bahwa f (k) merupakan produk marginal dari modal, karena F( K, ALf ( K /, F( K / / K ALf ( K / (/ f ( k). Jadi asumsi ini mempunyai ari bahwa marginal produk dari modal adalah posiif eapi akan cenderung menurun bila modal (per uni enaga kerja efekif) meningka. Lebih lanju f (k) diasumsikan memenuhi kondisi Inada, yakni, lim f ( k), lim f ( k) 0 sebagai mana yang ada dalam fungsi produksi obb-douglas k 0 k F ( K, K (, 0 (5) Fungsi ini eap memenuhi asumsi awal yang berupa pengembalian hasil yang konsan. Kalikan kedua inpu dengan konsan c diperoleh F( ck, c ( ck) ( c c c K ( cf( K, yang menunjukkan dipenuhinya asumsi awal pengembalian konsan. Demikian pula dengan asumsi pemenuhan kondisi Inada. Bila kedua inpu fungsi produksi dibagi dengan AL diperoleh (6)

3 60 f ( k) yang mempunyai urunan perama K F, AL K AL k 2 f ( k) ( ) k yang selalu negaif. f ( k) k yang selalu posiif dan urunan kedua Asumsi lainnya yang ersisa melibakan perubahan enaga kerja, pengeahuan dan modal dari waku ke waku. Dalam model Solow ini, perubahan ersebu diasumsikan koninu dengan laju perumbuhan L ( ) nl( ), (8) A ( ) ga( ) (9) dimana n dan g merupakan parameer yang meneukan kecepaan perumbuhan enaga kerja dan pengeahuan yang umbuh secara eksponensial. Bila L (0) dan A (0) merupakan keadaan n g awalnya maka solusi (2.8) dan (2.9) dapa diuliskan sebagai L ( ) L(0) e dan A ( ) A(0) e. Hasil dibagi anara konsumsi dan abungan / invesasi. Sebagian dari hasil s diinvesasi kembali. Sau uni hasil diberikan sebagai sau uni modal baru. Demikian pula modal/kapial senaniasa erdepresiasi pada laju, jadi K ( ) sy ( ) K( ), (0) dengan jumlah nilai n, g dan senaniasa bernilai posiif. (7) 3. Model Diamond Model diamond merupakan pengembangkan model Solow. Model ini melibakan perubahan dalam suau populasi. Populasi dianggap mempunyai jumlah eap dimana jumlah individu baru secara koninu dilahirkan dan individu ua secara koninu pula meninggal. Seiap individu enaga kerja diasumsikan hidup dalam 2 periode waku. L disimbolkan unuk enaga kerja yang ada pada periode. Sebagaimana sebelumnya, enaga kerja umbuh pada laju n ; jadi L n) L. Karena seiap individu hidup dalam dua masa periode maka pada waku ada ( sebanyak L individu pada periode perama hidupnya dan L L /( n) individu pada periode kedua hidupnya. Seiap individu menyumbangkan sau uni enaga kerja. Keika individu masih berusia muda, income dibagi aas konsumsi dan saving (abungan) pada periode perama dan pada periode kedua hidupnya, seiap individu hanya mengkonsumsi saving (abungan) dan bunga abungan yang diperolehnya. Bila dan 2 menunjukkan konsumsi pada periode dari individu muda dan ua, maka uilias dari individu yang lahir pada disimbolkan Jadi dengan pendekaan konsan diperoleh fungsi uilias U akan berganung pada dan 2.

4 6 2 U, 0,. () Benuk fungsional fungsi uilias diaas memerlukan keseimbangan perumbuhan. Waku hidup individu erhingga, jadi asumsi n ( ) g idak diperlukan dalam rangka memasikan fungsi uilias yang idak divergen. Bila 0, berari seiap individu menempakan bobo konsumsi yang lebih besar pada periode perama dari pada periode kedua. Sebaliknya bila 0 bobo konsumsi lebih besar pada periode kedua dari pada periode peramanya. Asumsi eap diperlukan unuk menjamin bobo konsumsi pada periode kedua selalu posiif. Fungsi produksi eap digambarkan sebagai Y F K, A L ) yang berupa pendapaan ( eap dan memenuhi kondisi Inada. Pengeahuan dan kerampilan umbuh pada laju g sehingga A g] A. Pasar sanga kompeiif sehingga pekerja dan modal memperoleh produk [ marginalnya. Bila idak erdapa depresiasi, laju ineres dan gaji per uni enaga kerja efekif diberikan oleh r f ( k ) dan w f ( k ) k f ( k ). Terakhir, ada sok kapial awal K 0 yang dimiliki sama banyaknya oleh semua individu ua. Jadi, dalam periode 0 kapial yang dimiliki oleh individu ua dan pekerja muda dikombinasikan unuk menghasilkan oupu. Kapial dan kerja dibayar oleh hasil marginalnya. Individu ua mengkonsumsi pendapaan kapialnya dan kekayaannya yang ada. Keika mereka meninggal oomais keluar dari model. Individu muda membagi pendapaan dari hasil kerjanya w kepada konsumsi dan abungan. Mereka akan membawa abungannya pada periode A berikunya. Jadi kapial sok pada periode yaiu K bernilai sama dengan jumlah individu muda pada periode yaiu L dikalikan dengan jumlah yang diabung oleh iap individu dan dikurangangi dengan jumlah konsumsinya A. Kombinasi kapial ini dengan hasil kerja w dari individu muda membua proses berkelanjuan. Konsumsi periode kedua dari individu yang lahir pada adalah ( r )( w A ). (2) 2 Dengan membagi kedua ruas persamaan dengan r dan membawa pada ruas kiri persamaan, diperoleh r 2 A w. (3) Persamaan diaas idak lain mengaakan bahwa nilai keseluruhan konsumsi sama dengan kekayaan awal (yang bernilai nol) diambah dengan nilai hasil kerja seumur hidup A. Langrange dari memaksimumkan fungsi uilias individu subjek pada kendala budge adalah w

5 62 Kondisi urunan perama adalah 2 L A 2. w (4) r (5) 2. (6) r Subsiusi persamaan yang perama ke persamaan kedua diperoleh 2, (7) r aau r 2 /. (8) Persamaan diaas memperlihakan bahwa peningkaan aaupun pengurangan konsumsi individu berganung pada laju pengembalian yang lebih besar aau kecil dari laju diskon. menenukan variasi konsumsi individu dalam responnya erhadap perbedaaan anara r dan. Unuk menyaakan dalam benuk pendapaan kerja dan laju suku bunga, kalikanlah kedua ruas persamaan (3) dengan dan subsiusikan ke kendala budge dan diperoleh ( ( r ) ( ) ) / A w, / (9) aau dalam benuk lain / ( ) A. / ( ) / w (20) ( ) ( r ) Persamaan diaas memperlihakan bahwa laju suku bunga menenukan pecahan dari pendapaan individu yang dikonsumsi pada periode perama. Dengan menuliskan s (r) sebagai pecahan pendapaan yang diabung diperoleh aau dapa diulis ulang sebagai ( ) / ( ( r ) s r ). (2) / ( ) ( ) ( ) / r

6 63 )] A w. (22) [ s( r Persamaan (2) diaas mempunyai ari bahwa abungan individu muda berambah dalam ( ) / ( ) / r jika dan hanya jika ( r ) berambah dalam r. Turunan dari ( r ) erhadap r (2 ) / adalah [( ) / ]( r ). Jadi s berambah dalam r bila kurang dari dan berkurang bila lebih dari. Perambahan dalam r mempunyai pengaruh erhadap pendapaan dan efek subsiusi. Kenyaaan yang ada bahwa konsumsi dalam kedua periode lebih disukai pada periode kedua yakni meningkakan abungan erlebih dahulu. Individu ingin mengsubsiusi konsumsi diaara kedua periode berdasarkan keunungan yang diperoleh dari laju pengembalian insenif yakni bilamana rendah aau efek subsiusi mengdominasi. Sebaliknya seiap individu mempunyai level konsumsi yang erenu dalam mengkonsumsi pada kedua level bilamana inggi. Unuk kasus yang erenu bila kedua efek seimbang, invididu muda mempunyai laju menabung yang bebas dari r. 4. Dinamika Model Diamond Sok kapial digambarkan pada periode merupakan jumlah yang diabung individu muda dalam periode, jadi K ) s( r L A w (23) Disini pau dicaa bahwa abungan dalam periode berganung pada pendapaan kerja pada periode ersebu dan pengembalian pada kapial yang penabung harapkan di periode berikunya yaiu w dalam periode dan r dalam periode yang akan memasuki sok kapial pada periode. Bagi kedua ruas persamaan (23) dengan L A akan memberikan ekspresi unuk K A L yaiu kapial per uni kerja efekif / yang juga dapa diulis k s( r w ( n)( g) ), (24) k s( f ( k )) f ( k ) k f ( k ). (25) ( n)( g) Terliha dari persamaan diaas bahwa k secara implisi merupakan fungsi dari k. Bila diberikan suau nilai awal unuk k akan dapa erliha kapial akan berevolusi. Bila k k, kapial senaniasa idak akan berubah lagi. Nilai ini yang dikenal sebagai keadaan seimbang dari kapial. Bila, persamaan (2) memberikan pecahan dari pendapaan pekerja yang diabung menjadi /(2 ). Keika fungsi produksi obb-douglas f ( k) k dan w ( ) k, persamaan (25) segera ereduksi menjadi

7 64 k ( k Dk. (26) ( n)( g) 2 ) Gambar di bawah memperlihakan k sebagai fungsi dari k. Tiik dimana grafik fungsi memoong garis lurus yang berkemiringan 45 merupakan keadaan dimana k k. Bila k kecil, kurva akan umbuh keaas hingga memoong garis lurus 45 dan eap berada dibawahnya. Jadi hanya dipunyai sau iik seimbang yaiu k. Gambar. Dinamika k. Di sini nilai k sabil secaa global, dimanapun dimulai akan berakhir pada k. Bila nilai awal k yaiu k 0 lebih besar dari k berari k kurang dari k dan karena k masih lebih besar k, k akan lebih kecil dari k 0. Bila k 0 melebihi k maka k berkurang dalam k. Jadi bila k berada dianara koninu ke berambah menuju k dan k 0, k akan bergerak menuju ke k. Demikian pula sebaliknya bila k 0 lebih kecil dari k k. Proses ini berjalan mulus secara k, proses nilai k akan Dafar Pusaka. Romer, D., 996, Advanced Macroeconomics. McGraw-Hill ompanies Inc., Unied Saes Miliary Academy, Wes Poin. 2. Diamond, Douglas W., 984, Financial Inermediaion and Delegaed Monioring. Review of Economic Sudies 5 (July): Diamond, Peer A., Naional Deb in a Neoclassical Growh Model. American Economic Review 55 (December):

8 65 4. Solow, R.M., 957, A conribuion o he heory of Economics growh, Quarerly Journal of Economics, 70, Solow, R.M., Sigliz, J.E., 968, Oupu, employmen, and wages in he sor run, Quarerly Journal of Economics, 82,