TEKNIK FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Transkripsi

1 0

2 TEKNIK FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Penenuan ungsi peluang aau ungsi densias dai ungsi peubah acak bisa juga dilakukan melalui ungsi pembangki momen Dalam penenuannya, enu saja haus digunakan siasia dai ungsi pembangki momen Beiku ini akan dibeikan bebeapa dalil enang penenuan ungsi peluang aau ungsi densias (aau secaa umum disibusi) dai ungsi peubah acak bedasakan eknik ungsi pembangki momen Dalam hal ini, peubah acak dalam ungsi peubah acaknya sudah dikeahui disibusinya Dengan kaa lain, peubah acak dalam ungsi peubah acaknya beasal dai disibusi khusus yang dikenal Dalil 0: FUNGSI PEUBAH ACAK NORMAL UMUM Misalkan X,X,X 3,,X n meupakan sampel acak beukuan n dan mengikui disibusi nomal umum dengan aaan μ i dan vaians σ i, diulis N(μ i ;σ i ), i =,,3,,n Jika Z = X + X + X X n, maka Z akan mengikui disibusi nomal umum dengan aaan i n i dan vaians i n i Dalil 03: FUNGSI PEUBAH ACAK POISSON Misalkan X,X,X 3,,X n meupakan sampel acak beukuan n dan mengikui disibusi Poisson yang mempunyai paamee λ i, i =,,3,,n Jika Z = X + X + X X n, maka Z akan mengikui disibusi Poisson dengan paamee λ = λ + λ + λ λ n Dalil 04: FUNGSI PEUBAH ACAK KHI-KUADRAT Misalkan X,X,X 3,,X k meupakan sampel acak beukuan k dan mengikui disibusi khi-kuada dengan deaja kebebasan dk = n i, i =,,3,,k Jika Z = X + X + X X k, maka Z akan mengikui disibusi khikuada dengan deaja kebebasan dk = n, dengan n = n + n + n n k

3 PENERAPAN TEKNIK DISTRIBUSI FUNGSI PEUBAH ACAK Bebeapa maei yang meupakan peneapan dai bebeapa eknik disibusi ungsi peubah acak yang akan dibahas adalah disibusi, disibusi F, disibusi aaan sampel, dan disibusi vaians sampel Dalam peemuan sebelumnya sudah dibahas bebeapa disibusi yang mempunyai benuk ungsi peluang aau ungsi densias eenu dan nama eenu, yang disebu sebagai disibusi khusus Ada dua disibusi khusus lainnya yang belum dibahas, yaiu disibusi dan disibusi F Kedua disibusi khusus koninu ini benuk ungsi densiasnya dipeoleh bedasakan eknik ansomasi peubah acak DISTRIBUSI Sekaang kia akan membahas disibusi khusus koninu yang penuunannya bedasakan disibusi nomal baku dan disibusi khi-kuada Kemudian poses penuunannya menggunakan eknik ansomasi peubah acak Misalkan W adalah peubah acak bedisibusi nomal baku dan V adalah peubah acak bedisibusi khi-kuada dengan deaja kebebasan dk = Kedua peubah acak W dan V saling bebas Jika peubah acak T W V /, maka kia akan menenukan ungsi densias dai T Dengan menggunakan eknik ansomasi peubah acak dipeoleh: k ( ) ( / ) ( ) / ; Bedasakan uaian di aas, kia bisa membua deinisi disibusi Deinisi : FUNGSI DENSITAS Peubah acak X dikaakan bedisibusi, jika dan hanya jika ungsi densiasnya bebenuk:

4 k ( ) ( / ) ( ) / ; Peubah acak X yang bedisibusi disebu juga peubah Penulisan noasi dai peubah acak X yang bedisibusi adalah (), ainya peubah acak X bedisibusi dengan deaja kebebasan = Peubah acak X yang bedisibusi dengan deaja kebebasan = bisa juga diulis sebagai : X ~ () Raaan dan vaians dai disibusi dapa diliha dalam Dalil Dalil : PARAMETER DISTRIBUSI Raaan dan vaians dai disibusi adalah: E(T) = 0 Va(T) = / ( ) DISTRIBUSI F Disibusi khusus koninu lainnya yang dalam penuunan ungsi densiasnya menggunakan eknik ansdomasi peubah acak adalah disibusi F Sekaang kia akan membahas disibusi khusus koninu yang penuunannya bedasakan disibusi khi-kuada Kemudian poses penuunannya menggunakan eknik ansomasi peubah acak Misalkan U dan V adalah dua peubah acak koninu yang saling bebas dan bedisibusi khikuada masing-masing dengan deaja kebebasannya dan Jika peubah acak F = U / V /, maka kia akan menenukan ungsi densias dai F Dengan menggunakan eknik ansomasi peubah acak dipeoleh: / ( / ) k ( ) ; 0 < < ( ) / = 0 ; lainnya 3

5 Bedasakan uaian di aas, kia dapa membua deinisi disibusi F Deinisi : FUNGSI DENSITAS F Peubah acak X dikaakan bedisibusi F, jika dan hanya jika ungsi densiasnya bebenuk: / ( / ) k ( ) ; 0 < < ( ) / = 0 ; lainnya Peubah acak X yang bedisibusi F disebu juga peubah F Penulisan noasi dai peubah acak X yang bedisibusi F adalah F(, ), ainya peubah acak X bedisibusi F dengan deaja kebebasan pembilang = dan deaja kebebasan penyebu = Peubah acak X yang bedisibusi F dengan deaja kebebasan pembilang = dan deaja kebebasan penyebu = bisa juga diulis sebagai : X ~ F(, ) Raaan dan vaians dai disibusi F dapa diliha dalam Dalil Dalil : PARAMETER DISTRIBUSI F Raaan dan vaians dai disibusi F adalah: E(F) = Va(F) = ( ( ) ( ) 4) 4

6 5

7 6