Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Vektor

Transkripsi

1 Pogam Pekuliahan Dasa Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Veko [MA4]

2 Deinisi Deinisi ungsi veko Fungsi veko meupakan auan yang mengkaikan ε R dengan epa sau veko F R Noasi : F : R R F î gĵ, g aau F î gĵ hk, g,h dengan, g, h ungsi benilai eal 7/6/007 [MA 4]

3 Conoh, Daeah Asal dan Daeah Nilai Conoh F. i j. F cos i sin j k Misal i j k Daeah Asal D D { R D D D } Daeah Hasil R R R { } D. F ln i cos 4. F ln i 6 j j 7/6/007 [MA 4]

4 Conoh Tenukan D daeah asal!. F Misalkan Dipeoleh Sehingga D F i D [, j dan dan D R { R D D } { R [, { } R { [, { } [,, {} 7/6/007 [MA 4] 4

5 Misalkan Dipeoleh Sehingga D Conoh. F cos i sin j. F F ln Misalkan Dipeoleh D cos R, k, D R sin { R D } D D { R R R R} R i cos ln D R dan j dan dan D R dan D cos [, ] Sehingga D { R D D } { R R [, ]} [, ] F 7/6/007 [MA 4] 5

6 Conoh 4. F ln i 6 j Misalkan ln dan Dipeoleh 0, dan Sehingga D F 6 D D { R D D } { R 0,,6] } 0,6], 6] 7/6/007 [MA 4] 6

7 7/6/007 [MA 4] 7 Laihan Laihan Tenukan D daeah asal! j i 4. j i 4. j i 4. j i 4 4.

8 Gaik Fungsi Benilai Veko Misalkan i j y D [a,b] a c [ ] b a b Jika beubah sepanjang [a,b] ujung-ujung menjelajah lengkungan kuva C dengan aah eenu a disebu iik pangkal lengkungan C b disebu iik ujung lengkungan C Jika a b kuva C disebu kuva euup x 7/6/007 [MA 4] 8

9 Gaik ungsi veko Gaik ungsi benilai veko beupa lengkungan/kuva di R dengan aah eenu Caa menggamba gaik ungsi veko. Tenukan pesamaan paamee dai lengkungan C. Kemudian eliminasi paamee dan gambakan Gamba kaesius kuva. Tenukan aahnya 7/6/007 [MA 4] 9

10 Conoh Gambakan gaik ungsi dibawah ini:. F cos i sin j ; 0 π Pesamaan paamee x cos y sin Aahnya F 0 i,0 F π j 0, F π i,0 F π j 0, F π i,0 x/ cos y/ sin - cos sin x y ellips y - C x 7/6/007 [MA 4] 0

11 Conoh. 4i j ; 0 F Pesamaan paamee 4 x 4 y x4 y x 4 x y 4 paabola Aahnya F 0 4i 4,0 F 4 j 0, C y -4 x 7/6/007 [MA 4]

12 Conoh F i. a j ; Pesamaan paamee x y a y a x y a lingkaan Aahnya F a ai a,0 F 0 a j 0, a a a F a ai a,0 a x y a x y a C a x 7/6/007 [MA 4]

13 7/6/007 [MA 4] Laihan Laihan Gambakan gaik ungsi dibawah ini: ; 4. j i F ; 4. j i F ; 4. j i F 0 ; 4. j i F

14 Pesamaan Paamee di R Pesamaannya adalah sebagai beiku: x ; y ; z, ε I Conoh:. F cos i sin j k. Gais x cos ; y sin ; z, ε R z Px,y,z P 0 x 0,y 0,z 0 w 0 w v x 7/6/007 [MA 4] y 4

15 Gais lj Gais adalah himpunan semua iik P sehingga - w P 0 0 w P w w0 v v v v veko yangsejaja dengan gais Jika w <x, y, z> dan w 0 <x 0,y 0,z 0 > sea v <a,b,c> maka pesamaan gais dalam benuk paamee diulis sebagai beiku x x a y y0 b z z0 0 Sedangkan pesamaan simeinya adalah x x0 y y0 z z0 a b c c 7/6/007 [MA 4] 5

16 Conoh. Tenukan pesamaan paamee dai gais yang melalui iik,, dan sejaja dengan veko <-,, > Jawab: Pesamaan simei gais esebu adalah x y z. Tenukan pesamaan paamee dai gais yang melalui iik, -, - dan 5, -, -4 Jawab: veko yang sejaja dengan gais esebu: v <5,, 4 > <,, > Pilih iik x 0, y 0, z 0,, maka pesamaan paamee gais esebu adalah x, y, z 7/6/007 [MA 4] 6

17 Laihan. Cailah pesamaan paamee dai gais yang melalui pasangan iik yang dibeikan: a., -,, 4, 5, 6 b., -, 5, 7, -, c. 4,,, 6,, -. Tuliskan pesamaan paamee dan pesamaan simei unuk gais yang melalui yang dibeikan dan sejaja ehadap veko yang dibeikan a. 4, -6,, <-,, 5> b. -,,, <4,, -> c., 5, -4, <-, 4, > 7/6/007 [MA 4] 7

18 Fungsi Ekivalen dan g disebu ekivalen jika dan g menjelajahi suau lengkungan C yang sama dengan aah yang sama. Conoh a cos î asin ĵ, 0 π g î a ĵ, a a dan g ekivalen Nom Misalkan î ĵ k maka nom dai adalah 7/6/007 [MA 4] 8

19 7/6/007 [MA 4] 9 Sia Sia k j i Misalkan k g j g i g g dan cosα. g g g g g. k g g j g g i g g g g g k j i g x. α adalah sudu anaa dua veko esebu k g c j g c i g c g c ± ± ± ±. c konsana

20 Limi Deinisi lim a L ε > 0 δ > 0 0 < a < δ L < ε Ilusasi y a-δ. a aδ L - L x ε 7/6/007 [MA 4] 0

21 Teoema i j Misalkan, maka mempunyai limi di a dan mempunyai limi di a. Dan lim lim i lim j a a a Conoh: Hiung limi ungsi veko beiku jika ada, Jika idak ada bei alasan: 9. lim i. lim 0 sin i e 6 9 j j. lim 0 ln, ln 7/6/007 [MA 4]

22 7/6/007 [MA 4] Conoh Conoh Jawab Jawab j i lim. j i 9 6 lim 9 lim j i lim lim j i lim lim j i j e i sin lim. 0 j e i lim sin lim 0 0 i j i 0

23 Conoh Jawab. lim 0 ln, ln lim ln 0, lim 0 ln kaena Jadi lim 0 lim ln 0 ln idak ada, ln idak ada 7/6/007 [MA 4]

24 Laihan Hiung limi ungsi veko beiku jika ada, Jika idak ada bei alasan: 6 i /. lim j. lim e, 4 0 sin i. lim j 7/6/007 [MA 4] 4

25 Kekoninuan Deinisi a. koninu di a D jika lim a a b. koninu pada himpunan A R jika di seiap iik pada A koninu Teoema Fungsi î ĵ k koninu pada B D,, koninu pada B 7/6/007 [MA 4] 5

26 Tuunan Misalkan î ĵ k hî hĵ hk î ' lim h 0 h Deinisi: [ ] [ ĵ k ] h h h lim î ĵ k h 0 h h h h h h lim î lim ĵ lim h 0 h h 0 h h 0 h ' î 'ĵ 'k Jadi ' 'î 'ĵ 'k k 7/6/007 [MA 4] 6

27 Conoh. Dikeahui î e ĵ. Tenukan D 0 dan 0 Jawab D i. ii. D ' i e j 8 i e j D 0 i j D " 8i 0 8i 4j D 4e j 7/6/007 [MA 4] 7

28 Conoh. Dikeahui cos î e a. ' dan " b. sudu anaa '0 dan "0 Jawab a. ' sin i e j " 4 cos i e j b. '0 ĵ "0 4 i j '0. "0 cosθ '0 "0 ĵ. Tenukan θ cos 7 7 7/6/007 [MA 4] 8

29 Laihan. Dikeahui Tenukan. Dikeahui Tenukan an i e D 0 dan D 0 e i ln j [. ' ] D. Tenukan ' dan " a. e e i e j b. 5 / an i j j ln k 7/6/007 [MA 4] 9

30 Ai Geomeis D [a,b] h [ ] a b O y x h Veko, h > 0 seaah dengan veko h- h Jika h 0, maka lim h 0 h h z ' P h- Meupakan veko singgung pada kuva C di iik P pada saa D Ai Geomeis ' : Veko Singgung c 7/6/007 [MA 4] 0

31 Gais Singgung D [a,b] 0 [ ] a b O x z P '0 Pesamaan gais singgung pada kuva C pada iik P adalah aau x 0 '0 <x, y, z>< 0, 0, 0 >< 0, 0, 0 > c y 7/6/007 [MA 4]

32 Conoh Dikeahui cos i sin j k Tenukan pesamaan gais singgung di iik P, 0, π. Jawab: 0 waku saa P ecapai, yaiu 0 π ' sin i cos j k ' π 0 i j k < 0,, > π i 0 j π k <,0, π > Pesamaan paamee gais singgung di iik P, 0, π adalah x, y, z π 7/6/007 [MA 4]

33 Laihan. Dikeahui sin i 4cos j Tenukan pesamaan gais singgung di iik P 0, 4. e i e j. Dikeahui sin cos k Tenukan pesamaan gais singgung di iik P 0,,.. Dikeahui i j Tenukan pesamaan gais singgung di iik P,. 7/6/007 [MA 4]

34 Geak Sepanjang Kuva Misalkan menyaakan waku dan P iik yang begeak dienukan oleh pesamaan paamee x ; y g. maka î gĵ menyaakan veko posisi dai iik P. Jika beubah ujung veko begeak sepanjang linasan iik P. Geak ini dinamakan Geak Sepanjang Kuva Geak Cuvilinea 7/6/007 [MA 4] 4

35 Deinisi Conoh. Kecepaan v v iik P adalah ' 'î g'ĵ v. Pecepaan di sebu laju iik P a a iik P '' ''î g''ĵ a p, q. Geak Linea veko p hq eap;h. Geak pada Lingkaan di sebu besa pecepaan. Geak pada ellips pada saa a cos î bsin ĵ, 4. Geak pada heliks ungsi eal a cos î asin ĵ, a > 0 a,b > 0 Lingkaan a cosω î asinω ĵ bω k 7/6/007 [MA 4] 5

36 Conoh Geak Sepanjang Kuva Pesamaan paamee sebuah iik P yang begeak pada bidang adalah x cos dan y sin waku a. Gambakan gaik linasan P. b. Tenukan umus unuk kecepaan, laju dan pecepaan c. Tenukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saa mana nilai iu dicapai 7/6/007 [MA 4] 6

37 Jawab a. Pesamaan paamee x cos y sin - x/ cos y/ sin y v. P a cos sin x y ellips x b. - cos i sin j ' v sin i cos j " a cos i sin j 7/6/007 [MA 4] 7

38 Jawab Lanjuan v 9 sin 4cos sin cos 5 sin 4 sin 4cos 5 sin 4 5 sin 4 b. Laju maks, dicapai saa sin ±, aau π/, π/ yaiu pada iik 0, ± Laju min, dicapai saa sin 0, aau 0, π yaiu pada iik ±, 0 7/6/007 [MA 4] 8

39 Laihan Pesamaan paamee sebuah iik P yang begeak pada bidang adalah x 4 cos dan y sin waku a. Gambakan gaik linasan P. b. Tenukan umus unuk kecepaan, laju dan pecepaan c. Tenukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saa mana nilai iu dicapai 7/6/007 [MA 4] 9

40 Kelengkungan î gĵ Andaikan a b, veko posisi iik P. Panjang linasan s dai Pa ke P adalah ' u g' u s du ' u a Laju iik yang begeak iu adalah ds d d ds ' v v a du 7/6/007 [MA 4] 40

41 Kelengkungan Lj Deinisi. Veko Singgung Sauan di P. Noasi T dideinisikan sbb ' ' Apabila P begeak dt ds T T v v beubah aah disebu veko kelengkungan di P y o x 7/6/007 [MA 4] 4

42 Kelengkungan Lj Kelengkungan di P; κ kappa. Dengan auan anai dipeoleh Jadi dt dt ds d dt κ ds d T' ds T' v v dt κ ds T' v dan R κ disebu jai-jai kelengkungan 7/6/007 [MA 4] 4

43 . Conoh Tenukan kelengkungan dan jai-jai kelengkungan dai 8cos i 8sin, j di iik P pada π Jawab: ' v 4cos sin i 4sin 4 4 v 4 cos sin sin cos cos j 4 cos sin cos sin 4 cos v T cos i sin j v T' sin i cos j T' sin cos κ v 4cos sin 4cos sin sin sin 7/6/007 [MA 4] 4

44 Conoh lanjuan π κ π π sin sin. 6 R 6 Jai-jai kelengkungan κ 6 Jadi kelengkungan κ kuva diaas di π/ adalah /6, Sedangkan jai-jai kelengkungannya R adalah 6 7/6/007 [MA 4] 44

45 Conoh. e sin i e cos j e k, di iik P pada π Jawab: v e e i e e ' sin cos cos sin j e k cos sin cos sin v e e cos sin cos sin e v [ ] T sin cos i cos sin j k v [ ] T' cos sin i sin cos j 0k T' cos sin sin cos κ v e e 7/6/007 [MA 4] 45

46 Conoh lanjuan π κ e π π e π e R Jai-jai kelengkungan κ Jadi kelengkungan κ kuva diaas di π/ adalah e, Sedangkan jai-jai kelengkungannya R adalah π e π 7/6/007 [MA 4] 46

47 Laihan Tenukan veko singgung sauan, kelengkungan dan jai-jai kelengkungan di iik yang dibeikan. e sin i e cos, j di iik P pada π. i, j di iik P pada. 4 i 4, j di iik P pada 4. 8sin i 8cos j 4 k, di iik P pada π 5. 6 sin i cos j k, di iik P pada π 9 7/6/007 [MA 4] 47

48 Teoema Andaikan x dan y g adalah pesamaan paamee kuva yang mulus. Maka κ x' y" y' x" [ ] x' y' Khususnya, unuk kuva dengan pesamaan y gx, belaku y" κ [ ] y' 7/6/007 [MA 4] 48

49 Conoh. Tenukan kelengkungan elips x cos, y sin pada iik 0 dan π/ Jawab: x sin y cos x cos y sin Kia peoleh κ κ0 x' y" y' x" [ x' y' ] Sehingga 6 6sin [ sin cos ] 7/6/007 [MA 4] [ 4sin 0 9cos 0] 6 6cos [ 9] 9 π κ 6 [ 4sin 9cos ] 6 π 4sin 9cos π 4 49

50 Conoh. Tenukan kelengkungan kuva y x di P, Jawab: y x y Kia peoleh κ y" [ ] y' [ ] x Sehingga κ [ ]. 5 / 5 5 7/6/007 [MA 4] 50

51 Laihan Tenukan kelengkungan kuva beiku di iik P. y x x, di P,0. i j, di P,. i 4 j, di P, sin i 4cos j, di P8,8π/ 7/6/007 [MA 4] 5