GEOMETRI METRIK. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Sains. Program Studi Matematika

Transkripsi

1 GEOMETRI METRIK Skipsi Diajukan unuk Memenuhi Salah Sau Saa Mempeoleh Gela Sajana Sains Pogam Sudi Maemaika Oleh: Monica Lili Megawai NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 009

2 METRIC GEOMETRY Thesis Pesened as Paial Fulfillmen of he Requiemens To Obain he SARJANA SAINS Degee In Mahemaics B: Monica Lili Megawai Suden Numbe: MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 009 ii

3 iii

4 iv

5 v

6 vi

7 ABSTRAK Geomei Absak meupakan himpunan dai iik dan gais ang memenuhi aksioma eenu. Sebuah Geomei Absak dikaakan Geomei Insidensi jika memenuhi sisem aksioma ang mengandung keunggalan gais. Geomei Meik meupakan konsep Geomei Absak ang menaukan bebagai konsep geomei ang sudah ada sepei Geomei Euklides dan Geomei Non Euklides dengan menggunakan sisem aksioma. Konsep ang digunakan dalam Geomei Meik aiu konsep mengenai jaak. Jaak adalah fungsi ang menenukan sebuah bilangan d(p, Q) unuk seiap pasangan iik P, Q. Dalam skipsi ini akan dibicaakan iga model ang muncul dalam Geomei Meik, aiu Bidang Euklidean, Bidang Poincaè, dan Bidang Taicab. Penggabungan model-model ang muncul dengan suau fungsi jaak akan menghasilkan suau Geomei Meik. Penggunaan veko dalam Bidang Kaesian aiu unuk menenukan sifa keanaaan dalam Geomei Meik ang menenukan iga iik kolinie A B C aina B eleak di anaa A dan C. vii

8 ABSTRACT Absac Geome is a se of poins and lines ha mee a ceain aiom. The Absac Geome is an Incidence Geome if i mees an aiom ssem ha conains he uniqueness of lines. Meic Geome is a concep of Absac Geome ha unifies he pevious geome conceps like Euclidean Geome and Non Euclidean Geome ha use he aiom ssem. The concep used in Meic Geome is a disance concep. The disance is he funcion ha deemines he numbe d ( P, Q) fo eve pai of poins P, Q. This hesis will discuss hee models of he Meic Geome, he ae: Euclidean Plane, Poincaè Plane, and Taicab Plane. The gouping of he models ha se in cone wih a disance funcion will poduce a Meic Geome. The use of vecos on Caesian Plane is o deemine beweeness on he Meic Geome ha esablishes hee colinea lines of A B C. I means ha B is beween A and C. viii

9 i

10 KATA PENGANTAR Puji dan suku kepada Tuhan Yang Maha Esa ang elah membeikan beka dan ahma-na sehingga penulis dapa menelesaikan skipsi ini. Beka dukungan dan banuan dai banak pihak, akhina skipsi ini dapa eselesaikan. Oleh kaena iu penulis menampaikan eima kasih kepada:. Bapak He Pibawano Suawan, S.Si.,M.Si. selaku dosen pembimbing ang elah membeikan pengaahan dan bimbingan selama penusunan skipsi ini.. Bapak Yosef Agung Cahana, S.T.,M.T. selaku Dekan Fakulas Sains dan Teknologi ang elah mendukung penulis selama penusunan skipsi ini. 3. Ibu Lusia Kismiai Budiasih, S.Si.,M.Si. selaku Kapodi Maemaika dan Dosen Pembimbing Akademik angkaan 004 ang elah membeikan naseha, saan dan dukungan kepada penulis. 4. Bapak dan Ibu dosen ang elah membeikan bekal ilmu kepada penulis. 5. Bapak Tukijo dan Ibu Linda ang elah membeikan pelaanan adminisasi kepada penulis selama masa pekuliahan. 6. Pepusakaan Univesias Sanaa Dhama dan saf ang elah menediakan fasilias dan membeikan kemudahan kepada penulis selama masa pekuliahan. 7. Kedua oang uaku ecina: Bapak Andeas Leonadus Padio dan Ibu Maia Magdalena Lasmiai ang dengan penuh cina kasih elah membeikan naseha, semanga, saan dan dukungan kepada penulis dalam segala hal.

11 8. Kedua kakakku esaang, FX. Budi Ai Wibowo dan Paulus Janu Rahpobo, adikku esaang Agaha Vii Anggaini, sea kekasihku ecina Yulius Libalvo Junischise, dan semua keluaga besa ang elah membeikan doa dan dukungan kepada penulis. 9. Teman-eman angkaan 004: Nanc Haono, Theodoa, Fansiska, Eni, Reno, Rana, Dwi, Lina, dan Yohanes, sea Ridwan Rahadiano dan Sepi juga bapak-ibu kos dan eman-eman Majus Communi ang elah membeikan semanga, saan dan naseha kepada penulis. 0. Teman-eman KKN: Devia, Dewi, Silvia, Dia, Lilik, Lusia, Luck, Hadian, dan Udjo, juga Esiningsih ang elah membeikan semanga, saan, dan naseha kepada penulis. Penulis juga menampaikan eima kasih kepada semua pihak ang elah membanu penulis dalam penusunan skipsi ini ang idak dapa disebukan saupesau di sini. Yogakaa, Febuai 009 Penulis i

12 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERSEMBAHAN... HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... HALAMAN ABSTRAK... HALAMAN ABSTRACT... i ii iii iv v vi vii viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... i ii BAB I PENDAHULUAN.... Laa Belakang Masalah.... Rumusan Masalah Baasan Masalah Tujuan Penulisan Meode Penulisan Manfaa Penulisan... 4 ii

13 .7 Sisemaika Penulisan... 4 BAB II HIMPUNAN, RELASI EKUIVALENSI, DAN FUNGSI Aksioma dan Model Himpunan dan Relasi Ekuivalensi Fungsi... 5 BAB III GEOMETRI ABSTRAK DAN GEOMETRI INSIDENSI Geomei Absak Geomei Insidensi BAB IV GEOMETRI METRIK Geomei Meik Sisem Koodina Khusus Keanaaan di dalam Geomei Meik BAB V PENUTUP Kesimpulan Saan... 0 DAFTAR PUSTAKA iii

14 BAB I PENDAHULUAN. Laa Belakang Masalah Pada awalna Geomei meupakan kumpulan umus ang digunakan unuk menghiung jaak, luas, dan volume. Geomei sebagai ilmu pakis sebeulna sudah dikenal sejak 3000 ahun sebelum Masehi. Semula geomei lahi dai kebuuhan unuk mempemudah kehidupan dan kemudian bekembang secaa alami. Peninggalan sejaah mempelihakan bahwa sudah ada usaha mengembangkan di Babilon ( SM), di Mesi ( SM), di Siia, Mesopoamia, Asia Kecil dan di Aab ang biasana masih ecampu dengan ilmu behiung aljaba dan asonomi. Kaa geomei (pengukuan anah) pun imbul dai pehiungan luas anah di Mesi unuk menenukan besa pajak. Pada abad 6 SM oang-oang Yunani menjelajah ke Mesi, Asia Kecil dan sekia Lau Tengah. Tokohna Thales membawa bahan-bahan geomei ke negaana dan mengadakan penjabaan-penjabaan anaa lain mengenai lingkaan. Dipekiakan mungkin keja Thales ini meupakan usaha peama ang oang-oang Yunani lakukan dalam pembukian sifa-sifa geomei lewa penalaan dan bukanna dengan inuisi aau ekspeimen. Tokoh-okoh ang menusul ialah Phagoas (± 57 SM) ang mempeumum (genealize) sifa segiiga siku-siku, Euclides (± 35 SM) dai Iskandaia (Aleandia) ang unuk peamakalina meleakkan

15 dasa-dasa geomei aksiomaik, sea masih ada bebeapa okoh lain. Pada masa Euclides (abad 3 SM) geomei sudah bebenuk sebagai cabang ilmu esendii dan mendapakan wajah sebagai ilmu ang absak dalam benuk sisem dedukif/aksiomaik, dilandasi oleh logika Yunani. Pada wakuna dahulu Euclides behasil menusun geomei sebagai sisem aksiomaik maeial, kini imbul sisem aksiomaik ang fomal. Ini diandai dengan imbulna manifold dengan unsu ang idak haus beupa iik geomeis (Plucke 89) dan juga uang absak (Feche 906), sedemikian sehingga geomei menjadi semakin absak. Ada dua pendekaan mendasa dalam Geomei Absak. Pendekaan peama disebu pendekaan sineik, ang digunakan oleh Euclides dalam bukuna ang bejudul Elemens (sekia 300 SM) dan dilengkapi oleh seoang maemaikawan Jeman David Hilbe (86-943) dalam bukuna ang bejudul Gundlagen de Geomeie. Pendekaan kedua disebu pendekaan meik, ang diemukan oleh seoang maemaikawan Ameika ang benama Geoge David Bikhoff ( ) dalam makalahna A Se of Posulaes fo Plane Geome Based on Scale and Poaco [93]. Dalam pendekaan ini, konsep mengenai jaak dan pengukuan sudu diambahkan unuk geomei insidensi unuk mendapakan ide dasa mengenai keanaaan, segmen gais, konguensi, dan lain sebagaina. Kia menggunakan pendekaan meik kaena konsep enang jaak adalah sepei suau ang alami. Jaak adalah fungsi ang menenukan sebuah bilangan

16 3 d(p, Q) unuk seiap pasangan iik P, Q. Hal iu mesina idak beai apakah kia uku dai P ke Q aau dai Q ke P (diulis d(p, Q)). Selanjuna, jaak anaa dua iik adalah nol dapa ejadi keika kedua iik iu sama. Pada keseluuhanna dalam skipsi ini penulis akan mengilusasikan bebagai macam aksioma, definisi-definisi, dan eoema-eoema dengan modelmodel dai Bidang Kaesian ang umum dikenal hingga sepauh dai bagian aas Bidang Poincaè, dan Bidang Taicab. Penulis behaap bahwa melalui sebuah gambaan dengan conoh, pembaca akan mempeoleh pemikian naa dan inuisi unuk geomei non-euklides. Ada iga model ang uama dai geomei dengan pendekaan meik ang akan muncul, aiu Bidang Euklidean, Bidang Poincaè, dan Bidang Taicab. Sea akan dibahas pula sifa keanaaan di dalam Geomei Meik.. Rumusan Masalah Bedasa aas uaian ang dikemukakan dalam laa belakang, pokok pemasalahan dalam skipsi ini dapa diumuskan sebagai beiku:. Apa ang dimaksud dengan Geomei Absak, Geomei Insidensi, dan Geomei Meik?. Apa saja model-model ang muncul dai seiap Geomei di aas? 3. Apa sifa dai masing-masing Geomei? 4. Apa ang dimaksud keanaaan di dalam Geomei Meik?

17 4.3 Baasan Masalah. Geomei Absak ang dibahas hana dalam pendekaan meik saja.. Dalam penulisan skipsi ini ang dibahas hana definisi dai Geomei Absak, Insidensi dan Meik, sea model-model ang muncul di dalamna dan sifa keanaaan dalam Geomei Meik..4 Tujuan Penulisan Penulisan skipsi ini beujuan unuk mempelajai Geomei dengan pendekaan meik sea mempelajai model-model ang muncul di dalamna..5 Meode Penulisan Meode ang digunakan dalam penulisan skipsi ini adalah dengan menggunakan meode sudi pusaka..6 Manfaa Penulisan Manfaa dai penulisan skipsi ini adalah unuk mengeahui definisi dai Geomei Meik sea unuk mengeahui model-model ang muncul di dalam Geomei Meik..7 Sisemaika Penulisan BAB I PENDAHULUAN

18 5. Laa Belakang Masalah. Rumusan Masalah.3 Baasan Masalah.4 Tujuan Penulisan.5 Meode Penulisan.6 Manfaa Penulisan.7 Sisemaika Penulisan BAB II HIMPUNAN, RELASI EKUIVALENSI DAN FUNGSI. Aksioma dan Model. Himpunan dan Relasi Ekuivalensi.3 Fungsi BAB III GEOMETRI ABSTRAK DAN GEOMETRI INSIDENSI 3. Geomei Absak 3. Geomei Insidensi BAB IV GEOMETRI METRIK 4. Geomei Meik 4. Sisem Koodina Khusus 4.3 Keanaaan di dalam Geomei Meik

19 6 BAB V PENUTUP 5. Kesimpulan 5. Saan

20 BAB II HIMPUNAN, RELASI EKUIVALENSI, DAN FUNGSI. Aksioma dan Model Sudi enang geomei diawali dengan dua konsep dasa, aiu pengeian enang iik dan gais. Pengeian esebu kemudian dihubungkan dengan kumpulan aksioma, aau pinsip uama. Sebagai conoh, keika kia mendiskusikan enang awal munculna geomei, pinsip uama ang mungkin kia asumsikan aiu jika A dan B adalah dua iik ang bebeda maka ada epa sau gais ang dapa diaik melalui iik A dan B. Aksioma-aksioma dinaakan sebagai kebenaan dasa. Aksioma adalah penaaan dai sifa ang sanga dipelukan unuk dipelajai eapi idak dibukikan. Aksioma-aksioma ang demikian akan ebuki dengan sendiina. Pandangan modenna bahwa aksioma adalah sebuah penaaan enang sifa ang sanga beguna. Pemilihan aksioma dienukan oleh iga pinsip dasa. Peama, aksioma haus laak aau menaik. Kedua, aksioma akan beguna dan bepean pening unuk bemacam-macam eoema dan bemacam suku maemaika. Keiga, aksioma haus konsisen. Sisem aksioma adalah sisem ang didasakan pada penalaan dedukif. Sisem dedukif edii dai empa komponen, anaa lain :. Hal-hal ang ak edefinisi ( undefined ems ). Aksioma / posula

21 8 3. Hal-hal ang edefinisi ( defined ems ) 4. Teoema Tedapa bebeapa sifa sisem aksioma :. Konsisen ang aina idak ada dua penaaan ( dua aksioma, aksioma dengan eoema, aau dua eoema ang beenangan sau sama lain ).. Independen aina jika sebuah aksioma idak dapa dibukikan / diuunkan dai aksioma ang lain. 3. Lengkap aina jika idak mungkin menambahkan sebuah aksioma ang konsisen dan independen ke dalam sisem esebu. Seiap model dalam geomei dienukan dai pembeian sebuah himpunan ang anggoana disebu iik dan kumpulan himpunan bagian dai himpunan ini ang disebu gais. Jika kia menggunakan bebeapa model khusus, maka model-model esebu haus memenuhi aksioma-aksioma ang ada.. Himpunan dan Relasi Ekuivalensi Misalkan ada sebuah himpunan ang disimbolkan S. Himpunan S edii dai obek-obek ang disebu anggoa. Kumpulan obek ini haus digambakan dengan menggunakan auan khusus. Misalkan kia menuliskan a S ang beai a beada dalam S, dan dibaca a adalah anggoa dai S. Sama halna

22 9 dengan kia menulis a S ang beai bahwa a idak beada dalam S, aiu a bukan anggoa dai S. Definisi.. a) Himpunan T adalah himpunan bagian dai S, diulis T S, jika seiap anggoa T juga meupakan anggoa S. b) Himpunan T dikaakan sama dengan himpunan S, diulis TS, jika seiap anggoa T beada di S, dan seiap anggoa S beada di T. Kaena iu TS jika dan hana jika T S dan S T. c) Himpunan kosong adalah himpunan ang idak memiliki anggoa dan dibei lambang φ. Noasi T { S } beai bahwa anggoa T meupakan anggoa dai S ang memenuhi sifa seelah anda. Definisi.. a) Gabungan dai dua himpunan A dan B adalah himpunan A B { A aau B }. b) Iisan dai dua himpunan A dan B adalah himpunan Jika A B { A dan B }. A B φ maka A dan B dikaakan saling asing.

23 0 c) Selisih dai himpunan A dan B adalah himpunan A-B { A dan B }. Di bawah ini akan dibeikan conoh aga dapa lebih memahami definisi di aas. Inga bahwa unuk menunjukkan dua himpunan S dan T sama dilakukan dengan menunjukkan bahwa S T dan T S. Conoh.. Akan diunjukkan bahwa A ( B C) ( A B) ( A C) Penelesaian : Peama kia unjukkan bahwa A ( B C) ( A B) ( A C) ( B C) A, maka A dan ( B C). Kaena ( B C). Misalkan maka B aau C (aau di keduana). Jika B maka ( A B). Jika C maka ( A C). Hal ini beai ( A B) ( A C) ( B C) ( A B) ( A C) A.. Jadi Kemudian kia unjukkan bahwa ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C). Jika ( A B). Misalkan maka A dan B. Kaena iu ( B C) dan A ( B C). Demikian juga, jika ( A C) maka A dan C. Kaena iu, ( B C) dan A ( B C). Dalam salah sau hal, A ( B C). Jadi ( A B) ( A C) A ( B C).

24 Kaena A ( B C) ( A B) ( A C) dan ( A B) ( A C) A ( B C) jadi kia dapakan A ( B C) ( A B) ( A C),. Definisi..3 Misalkan A dan B adalah himpunan. Sebuah pasangan euu adalah simbol ( a, b) di mana a A dan B b. Dua pasangan euu ( a, b) dan ( d ) c, dikaakan sama jika a c dan b d. Hasilkali Kaesius dai A dan B adalah himpunan A B {(a,b) a A dan b B }. Caaan bahwa R R R. Sebagai conoh gafik peidaksamaan < dalam R memua semua pasangan euu (, b) R a sedemikian sehingga a < b. Definisi..4 Sebuah elasi bine R pada himpunan S adalah himpunan bagian dai S S. Jika ( s ) R, maka kia kaakan bahwa s beelasi dengan. Kia seingkali menggunakan simbol unuk elasi sepei,,,, aau ~ daipada huuf. Kemudian kia mengindikasikan bahwa dua anggoa ang beelasi dengan menempakan nama elasina di anaa anggoa misalkan (,5) C 3 menjadi ( 3,5), ang menjadi 3 5. Jadi kia mungkin

25 membua penaaan enang elasi ~ dan menulis penaaanna sepei a ~ b. Jika dua anggoa a, b idak beelasi, maka kia ulis a ~/ b. Gagasan mengenai elasi beganung pada pasangan euu. Unuk bebeapa elasi khusus uuan idaklah pening elasi besifa simeis. Caaan bahwa jika ~ adalah sebuah elasi pada S dan a S, maka di dalamna mungkin idak ada anggoa b dengan a ~ b. Sebagai conoh, jika S adalah himpunan bilangan bula posiif, dan jika elasina > ( lebih besa dai ) maka idak ada b S dengan >b. Dalam hal ini idak beelasi dengan apapun. Definisi..5 Sebuah elasi bine ~ pada S adalah elasi ekuivalensi jika unuk seiap a, b, c S belaku : i. a ~ a ( efleksif ) ii. Jika iii. Jika a ~ b maka b ~ a ( simeis ) a ~ b dan b ~ c, maka a ~ c ( ansiif ) Conoh.. Misalkan adalah himpunan semua bilangan bula dan didefinisikan a ~ b jika a b habis dibagi. Akan diunjukkan bahwa ~ adalah elasi ekuivalensi.

26 3 Unuk mengaakan bahwa a b habis dibagi aina bahwa ada bilangan bula k sedemikian sehingga a b k. Jadi a ~ b jika dan hana jika ada k Z sehingga a b k. i. Misalkan a Z, maka a a 0. 0 sehingga a ~ a dan ~ efleksif. ii. Misalkan a, b Z dan a ~ b, maka ada k Z dengan a b. k. Ini beai bahwa b a.( k). Kaena k Z, kia peoleh b ~ a. Jadi ~ besifa simeis. iii. Jika a ~ b dan b ~ c maka ada bilangan k Z dan k Z dengan a b. k, dan b c. k. Dengan menjumlahkan kedua pesamaan kia peoleh a c ( k k ) besifa ansiif., dengan k k Z dan kemudian a ~ c. Jadi ~ Oleh kaena iu ~ adalah elasi ekuivalensi. Definisi..6 Jika a dan b adalah bilangan bula maka a ekuivalen dengan b modulo n jika a b kn unuk suau bilangan bula k. Diulis a b( n) dan aina bahwa a b habis dibagi n.

27 4 Definisi..7 Jika ~ adalah elasi ekuivalensi pada himpunan S dan s S, maka kelas ekuivalensi s adalah himpunan bagian dai S dengan definisi [ s ] { S ~ s} { S s ~ }. Conoh..3 Dalam Conoh.. kelas ekuivalensi dai 3 adalah himpunan bilangan bula ganjil, dan kelas ekuivalensi dai adalah himpunan bilangan bula genap. Caaan pada kasus ini adalah jika, Z maka [ ] [ ] aau [ ] [ ] φ. Teoema.. Jika ~ adalah elasi ekuivalensi pada S dan jika s S s aau, maka [ ] [ ] φ [ s ] [ ]. Buki : Kia akan menunjukkan bahwa jika penaaan peama idak bena ([ ] [ ] φ) maka penaaan kedua bena. Asumsikan bahwa [ ] [ ] φ [ s] [ ]. Kaena iu [ s] dan [ ] s s,, maka ada. Jadi ~s dan ~. Dai simei s~, dan maka dai ansiif s~ dan ~ beakiba bahwa s~. Kia gunakan ini unuk menunjukkan [ s] [ ].

28 5 Misalkan [ s], maka ~s dan, kaena s~, kia juga mempunai ~ dai sifa ansiif. Jadi [ ]. Kaena iu [ s] [ ] [ ] [ s]. Kaena iu [ ] [ ]. Sama halna ~s, dapa kia unjukkan s..3 Fungsi Pada subbab ini kia akan membicaakan fungsi dan bijeksi. Di sini kia akan eus menggunakan R unuk menoasikan himpunan semua bilangan eal dan Z unuk himpunan semua bilangan bula. Definisi.3. Jika S dan T adalah himpunan, maka sebuah fungsi f : S T adalah sebuah himpunan bagian f S T sehingga unuk seiap s S ada epa sau T dengan ( s ) f,. Elemen unggal ini biasana dinoasikan f(s). Himpunan S disebu daeah asal (domain) dai f dan T disebu daeah hasil (ange) dai f. Conoh.3. Misalkan f : R R dengan pesamaan f(). Misalkan g : Z R dengan pesamaan g(). Caa bahwa f idak sama dengan g masing-masing memiliki daeah asal ang bebeda. Sekaang misalkan { R 0} R dan misalkan h : R R dengan pesamaan h ( ). Caa bahwa f dan h idak sama sebab masing-masing memiliki daeah hasil ang bebeda.

29 6 Definisi.3. Jika f : S T adalah sebuah fungsi maka pea f adalah Im ( f ) { T f ( s) unuk suau s S}. Im(f ) memua elemen dai T ang bena-bena dipeakan oleh f. Tenu saja, Im(f) daeah hasil (f ), eapi himpunanna idak haus sama. Definisi.3.3 Fungsi f : S T adalah sujekif jika unuk seiap T ada s S dengan f ( s). Sebuah elemen mungkin dapa diopeasikan lebih dai sekali, aiu mungkin ada bebeapa s S sehingga f ( s). Hal ini umum digunakan unuk menaakan bahwa sebuah fungsi adalah pada sebagai gani dai sujekif. Conoh.3. Akan diunjukkan bahwa f : R R oleh ( ) g : R R oleh ( ) g idak sujekif. f 3 adalah sujekif sedangkan Unuk menunjukkan bahwa f adalah sujekif kia haus mempelihakan bahwa unuk seiap daeah hasil ( f ) R ada aiu kia haus menunjukkan bahwa pesamaan s daeah asal ( ) f sehingga ( s) f, 3 s...( )

30 7 mempunai penelesaian unuk seiap nilai. Kaena seiap bilangan eal mempunai aka pangka iga, kia uliskan s 3. Maka 3 ( s) ( ) 3 f Kaena iu f adalah sujekif. Unuk menunjukkan bahwa g idak sujekif kia hana pelu menenukan sau nilai sehingga pesamaan s... ( ) idak mempunai penelesaian. Misalkan -. maka penelesaian dai pesamaan ( ) haus memenuhi s aau s unuk sembaang bilangan eal s. Kaena iu g idak sujekif. Conoh.3. mengilusasikan bagaimana kia mencoba membukikan sebuah fungsi sujekif. Konsep mengenai sebuah fungsi ang sujekif membei kia penjelasan apakah sebuah pesamaan mempunai penelesaian aau idak. Gagasan pening lain adalah dugaan mengenai fungsi injekif, ang ekai banakna penelesaian unuk sebuah pesamaan. Definisi.3.4 Fungsi f : S T adalah injekif jika unuk seiap s, s S dengan ( s ) f ( ) f s maka s s.

31 8 Hal ini meupakan caa umum unuk menggunakan eminologi sausau unuk ai injekif. Caa lain unuk mendefinisikan fungsi injekif adalah : f injekif jika s s beakiba ( s ) f ( ) f. s Conoh.3.3 Akan diunjukkan bahwa h : R R oleh ( ) h adalah injekif. Asumsikan bahwa ( s ) h( ) h aiu s s s. Kemudian dengan menaik aka kuada kia peoleh s ± s. Kaena elemen dai R idak negaif, keduana dai s dan s haus lebih besa dai aau sama dengan nol. Kaena iu s s (kecuali jika keduana adalah 0) dan kemudian s s. Jadi h adalah injekif. Kaa injekif dan sujekif adalah kaa sifa. Jika kia mempunai sebuah kaa benda maka ini adalah umum unuk mengaakan injeksi unuk fungsi injekif dan sujeksi unuk fungsi sujekif. Definisi.3.5 Fungsi sujeksi. f : S T adalah bijeksi jika f adalah sebuah injeksi dan sekaligus

32 9 Conoh.3.3 adalah bijeksi. Isilah lain unuk bijeksi adalah koespondensi sau-sau. Definisi.3.6 Jika dibeikan fungsi-fungsi f : S T, g U V :, dan Im ( f ) U, maka komposisi dai f dan g adalah fungsi g f : S V ang dipeoleh dai ( g f )( s) g( f ( s) ) unuk seiap s S. Caa bahwa daeah asal g haus memua pea dai f dalam komposisi f dan g aga edefinisi. Teoema.3. Jika f : S T dan g : T V keduana adalah sujeksi maka g f juga meupakan sebuah sujeksi. Buki : Ambil sebaang v V. Kia haus menunjukkan bahwa ada s S sehingga ( g f )( s) v. Kaena g adalah sujekif, ada T sehingga ( ) v g. Kaena f adalah sujekif ada s S dengan f ( s). Sekaang belaku ( g f )( s) g( f ( s) ) g( ) v. Jadi g f adalah sujeksi.

33 0 Teoema.3. Jika f : S T dan g : T V keduana adalah injeksi maka g f : S V adalah sebuah injeksi. Buki : Akan dibukikan : g f : S V adalah sebuah injeksi. Definisi dai dua fungsi ang injekif : Unuk seiap daeah asal (f ) ( jika ( g f )( ) ( g f )( ) maka ),, Asumsikan : ( g f )( ) ( g f )( ). Unuk sebaang, beada di daeah asal (f ), maka ( f ( )) g( f ( )) g, sehingga ( ) f ( ) f ( g adalah injeksi ). Jadi, ( f adalah injeksi ) Jadi ebuki bahwa injeksi. g f adalah sebuah injeksi, jika f dan g keduana adalah Teoema.3.3 Jika f : S T dan g : T V keduana adalah bijeksi maka g f : S V adalah sebuah bijeksi. Buki : Dai Teoema.3. dan Teoema.3..

34 Jika f : S T adalah bijeksi maka unuk seiap T edapa dengan unggal s S dengan f ( s). Hal ini mengijinkan kia unuk mengaakan bahwa unuk seiap T bekoespondensi dengan epa sau s S. Definisi.3.7 Jika f : S T adalah sebuah bijeksi, maka inves dai f adalah fungsi g : T S ang didefinisikan oleh g ( ) s, di mana s adalah elemen unggal dai S dengan ( s) f... ( 3 ) Fungsi g seing dinoasikan dengan f. Jika f adalah fungsi logaima naual ang dibeikan oleh f ( s) ln( s), maka inves dai f adalah fungsi eksponensial g ang dibeikan oleh g ( ) e kaena ( ) ln e s. Definisi.3.8 Jika S adalah sebuah himpunan, maka fungsi idenias id s : S S dibeikan oleh id S ( s) s.

35 Teoema.3.4 Jika f : S T, maka f adalah bijeksi jika dan hana jika g f id dan S f g id T unuk suau fungsi g : T S. Lebih jelas, pada kasus ini inves dai f adalah g. Buki : Peama kia akan menunjukkan bahwa jika ada sebuah fungsi g : T S dengan f g id T dan g f id S maka f adalah bijeksi dan g adalah invesna. Asumsikan bahwa ada fungsi g : T S dengan f g idt dan g f id S. Jika ( ) ( ). Oleh kaena iu Im( f ) T maka g( ) S dan f g( ) idt adalah sujeksi. Jika ( s ) f ( ) g ( f ( s )) g( f ( s )) aau id ( s ) id ( s ) aau s s dan f f s unuk s, s S, maka. Jadi f adalah injeksi dan S S kaenana adalah sebuah bijeksi. Akhina jika f(s) maka ( ) g( f ( s) ) id ( s) s g S. Jadi g adalah inves dai f. Kemudian kia akan menunjukkan bahwa jika f adalah sebuah bijeksi maka ada fungsi g : T S dengan f g idt dan g f id S. Kaena f adalah bijeksi ang mempunai inves. Sebu saja inves ini g : T S. Maka g ( ) s apabila f ( s). Dalam kasus eenu, jika T maka ( g( ) ) f ( s) f unuk semua T

36 3 kemudian bahwa f g id. Juga jika T T s misalkan f ( s). Maka dai pesamaan ( 3 ), g ( ) s Kemudian ( f ( s) ) s g unuk semua s S Jadi g f id. S Conoh.3.4 Misalkan dibeikan himpunan { R > 0} s ( s) e f. Akan dienukan f : P R. P dan fungsi f : R P dengan Pesamaan (3) menebukan bahwa kia haus menemukan sebuah fungsi g f : P R dengan sifa bahwa g ( ) s apabila kapan saja e s. Fungsi ini adalah g( ) ln Kaena. ln e dan ln e s s. Teoema.3.4 membei buki bahwa penelesaian kia bena. Teoema.3.5 Jika f : S T dan h T V h. : adalah bijeksi maka ( h f ) f Buki : h f h f id Akan dibukikan : ( ) ( ) s

37 4 Jika f ( h f ) ( h f ) idt : S T maka f T S Jika h : T V maka h V T Kemudian kia amai Juga, ( h f ) ( h f ) id s ( f h ) ( h f ) f [ h ( h f )] ( komposisi besifa asosiaif ) [( h h) f ] f ( komposisi besifa asosiaif ) f [ id f ] ( h h ) T f f ( id T f f ) id S Dengan demikian kia mempunai ( h f ) ( h f ) ( f h ) ( h f ) Jadi kia peoleh bahwa ( ) h f f h Jadi ebuki bahwa ( h f ) f h. id T

38 BAB III GEOMETRI ABSTRAK DAN GEOMETRI INSIDENSI Pada bab ini kia akan mendefinisikan pengeian geomei absak dan geomei insidensi. Ini dilakukan dengan membeikan sekumpulan aksioma ang haus epenuhi. Seelah definisi-definisi dibua, akan dibeikan sejumlah conoh ang akan disajikan sebagai model-model unuk geomei-geomei esebu. Dua dai model-model esebu adalah Bidang Kaesian dan Bidang Poincaè ang akan seeusna digunakan dalam skipsi ini. Model-model geomei ang akan digunakan adalah Bidang Kaesian dan Bidang Poincae. Pada pembahasan sebelumna, geomei adalah himpunan ang edii dai iik dan himpunan ang edii dai gais besama dengan hubungan anaa iik dan gais. 3. Geomei Absak Definisi 3.. Geomei absak edii dai himpunan ang anggoa-anggoana disebu iik, besama dengan sebuah koleksi dai himpunan bagian ak kosong dai, ang disebu gais, sehingga : i. Unuk seiap dua iik A, B ada sebuah gais l dengan A l dan B l.

39 6 ii. Seiap gais mempunai sekuang-kuangna dua iik. Jika adalah sebuah geomei absak dengan P, l dan P l, kia kaakan bahwa P eleak pada gais l, aau bahwa l melalui P. Jadi aksioma peama dai geomei absak bebuni : seiap pasang iik eleak pada suau gais. Poposisi 3.. Misalkan {(, ), Kia definisikan himpunan dai gaisgais sebagai beiku. Gais veikal adalah sebaang himpunan bagian ang bebenuk L a {(, ) a } dimana a adalah bilangan eal ang eap. Gais ak veikal adalah sebaang himpunan bagian ang bebenuk L m,,b {(, ) m b } dimana m dan b adalah bilangan eal ang eap. Misalkan E adalah himpunan semua gais-gais veikal dan ak veikal. Maka {, E } adalah sebuah geomei absak. Buki :

40 7 Kia haus menunjukkan bahwa jika P (, ) dan (, ) Q adalah dua iik ang bebeda dai maka ada l E memua keduana. Ini dilakukan dengan mempehaikan dua kasus. Kasus. Jika misalkan a. Kemudian P dan Q keduana emua di l L a E. Kasus. Jika akan dicai m dan b sehingga P, Q L m,,b. Dimoivasi oleh ide enang kemiingan / gadien dai sebuah gais, kia mendefinisikan m dan b memua pesamaan : m dan b m. Dapa diunjukkan bahwa m b dan kaena iik P juga beada di L m,,b maka didapa m b, kemudian bahwa P dan Q keduana emua dalam l L m, b E. Dai kasus dan kasus eliha bahwa l L a E juga l L m, b E ang beai bahwa seiap gais mempunai sekuang-kuangna dua iik. Jadi, ebuki bahwa adalah sebuah geomei absak.

41 8 a a La b m b Lm,b Gamba 3.. Definisi 3.. Model {, E }disebu Bidang Kaesian ( noasi L a dan L m, b akan digunakan unuk melambangkan gais di Bidang Kaesian ). Kia menggunakan huuf dalam nama himpunan gais-gais Kaesian ( E ) unuk mengingakan kembali kia pada Euklides ( 300 SM ), penulis sisem

42 9 aksioma peama mengenai geomei. Nama Kaesian digunakan unuk menghomai maemaikawan dan Filsuf Pancis Renè Descaès ( ), oang ang meevolusionekan ide mengenai koodina pada bidang. Pembukian kia bahwa memenuhi aksioma ang sanga beganung pada penggunaan koodina. Descaès juga meneapkan bebeapa keenuan dalam aljaba, sepei menggunakan,, z unuk nilai ang idak dikeahui dan a, b, c unuk nilai ang dikeahui, sea mempekenalkan noasi eksponensial n. Poposisi 3.. Misalkan {(, ) > 0 }. Sebagaimana kasus dalam bidang Kaesian, akan dideskipsikan dua jenis gais. Gais ipe I adalah sebaang himpunan bagian dai ang bebenuk a L {(, ) a} dimana a adalah sebuah bilangan eal ang eap. Gais ipe II adalah sebaang himpunan bagian dai ang bebenuk L c {(, ) ( c ) } dimana c dan adalah bilangan eal ang eap dengan > 0. (Liha gamba 3..) Misalkan H meupakan himpunan semua gais ipe I dan ipe II. Maka H } adalah sebuah geomei absak. Buki :

43 30 Misalkan P (, ) dan (, ) maka > 0 dan > 0. Q meupakan dua iik bebeda dalam Kasus. Jika maka P dan Q keduana emua dalam l a L H dimana a. Kasus. Jika, didefinisikan c dan sebagai beiku c ( ) ( c). Dengan L c {(, ) ( c ) } akan dibukikan P dan Q beada di dengan memasukkan P dan Q ke dalam pesamaan : ( c ). Akan dipelihakan iik P (, ) beada di : ( c) pesamaan :, kemudian kia masukkan nilai c dan, dan dipeoleh ( ) ( ) Jika uas kanan dikuadakan maka dipeoleh :

44 3 ( ) ( ) Ini beai bahwa iik ( ), P beada di. Akan dipelihakan iik ( ), Q beada di : ( ) c, kemudian kia masukkan nilai c dan, dan dipeoleh pesamaan : ( ) ( ) Jika uas kanan dikuadakan maka dipeoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) Mudah dipeiksa bahwa kesamaan ini bena. Jadi kia dapakan. Ini beai iik ( ), Q beada di. Misalkan,. Ada ( ), a dan ( ), a. Jadi ( ), a dan ( ), a beada di gais a. Misalkan,,, da ( ), dan ( ),, dan ( ), dan ( ), beada di gais ( ) c.

45 3 Jadi ebuki bahwa iik P (, ) dan (, ) Q keduana beada di. Dapa dipeiksa bahwa seiap gais mempunai paling sediki dua iik. Dengan demikian H } adalah geomei absak. al a cl c Gamba 3..

46 33 Poposisi 3..3 Misalkan {, } dan {, } adalah geomei absak. Jika dan maka akan dibukikan bahwa {, } adalah geomei absak. Buki : Ambil sembaang dua iik P, Q, maka ada l ang memua P dan Q. Jika P, Q maka P, Q. Jika P, Q, maka P, Q dan P,Q. Dikeahui {, } adalah geomei absak. Jika P, Q maka ada l dengan P, Q l dan seiap l mempunai sekuang-kuangna dua iik. Dikeahui {, } adalah geomei absak. Jika P, Q maka ada l dengan P, Q l dan seiap l mempunai sekuang-kuangna dua iik. Jadi, jika P, Q maka ada l dengan P, Q l l l. Jadi jika l dan l mempunai sekuang-kuangna dua iik, maka l l l mempunai sekuang-kuangna dua iik. Jadi, ebuki bahwa {, } adalah geomei absak. Definisi 3..3 Model H } disebu Bidang Poincaè. ( Noasi a L dan L hana c akan digunakan unuk menunjukkan gais-gais dalam )

47 34 Beiku ini akan dibeikan conoh unuk mencai gais Poincaè dengan menggunakan Poposisi 3... Conoh 3.. Akan dicai gais Poincaè ang melalui iik (, ) dan (3, 4). Penelesaian : Dikeahui : bidang Poincaè H } Gais ipe II : L c {(, ) ( c ) } Keduana eleak pada gais ipe II: i. ( c ) c c 4 c c 5 (*) ii. ( 3 c ) 4 c c c 6c 5 (**) Dai pesamaan (*) dan (**) dipeoleh: c 5 dan 5. Jadi gais Poincaè ang melalui iik (, ) dan (3, 4) adalah L {(, ) ( 5) 0}. 5 5

48 35 disebu Bidang Poincaè unuk menghomai maemaikawan Pancis Heni Poincaè (854 9) ang peama kali menggunakanna. Huuf,, dan H digunakan unuk mengingakan kia pada kaa hipebolik. Suau keika kia elah menambahkan suku lain unuk ang akan menjadi sebuah model ang akan kia sebu geomei hipebolik. Pada model ang dibeikan dalam Poposisi 3.. dan 3.. jelas bahwa melalui sembaang dua iik ada dengan unggal sebuah gais ang melaluina. Hal ini idak bena unuk semua geomei absak. Conoh ini akan mempunai himpunan bagian eenu dai 3 {(,, z ),, z sebagai himpunan dai iik, Definisi 3..4 Luasan Bola dalam 3 adalah S {(,, z ) 3 z }. Sebuah bidang dalam 3 adalah himpunan ang bebenuk {(,, z ) 3 a b cz d } dimana a, b, c, d adalah bilangan eal eenu, dan idak semua dai a, b, c adalah nol. Caa bahwa pada definisi dai sebuah bidang jika konsana d 0, maka bidang melalui iik asal ( 0, 0, 0 ).

49 36 Definisi 3..5 Sebuah lingkaan besa, dai luasan bola S adalah pepoongan dai S dengan sebuah bidang ang melalui iik asal. Jadi adalah lingkaan besa jika ada a, b, c, idak semuana nol, dengan { S a b cz 0}. (,, z) a b cz 0 Gamba 3..3 Poposisi 3..4 Misalkan S dan misalkan R meupakan himpunan dai lingkaan besa pada S. Maka { S, R } adalah geomei absak. Buki : Kia haus menunjukkan bahwa jika P (, z ) S dan Q (, z ) S,, maka ada sebuah lingkaan besa dengan P dan Q. Kemudian kia haus mencai bilangan eal a, b, c ( idak semua nol ) sehingga a b cz 0 dan a b cz 0.

50 37 Pandang dua pesamaan di aas sebagai dua pesamaan dalam a, b, c ang keigana idak dikeahui. Kaena sisem pesamaan linea homogen dengan dua pesamaan dalam iga koefisien ang idak dikeahui selalu mempunai sebuah penelesaian ang ak nol, kia selalu dapa menemukan a, b, dan c sebagai penelesaian pesamaan di aas. Maka ada sebuah lingkaan besa dengan P dan Q Teakhi seiap lingkaan besa mempunai paling sediki dua iik. Definisi 3..6 Lingkaan Riemann adalah sebuah geomei absak { S, R }. Nama Lingkaan Riemann dibeikan seelah G. B. F. Riemann (86 866) menulis dokumen mendasa dalam geomei, opologi dan analisis. Dokumenna pada geomei, Ube die Hpohesen, welche de Geomeie zu Gunde liegen (Dalam Hipoesis di mana Teleak Dasa dai Geomei) ang elah diulis pada 854, ang disajikan geomei dengan sebuah ide besa penauan, aiu Riemannian meic. Konsep ini, ang cukup suli, adalah basis unuk geomei difeensial moden dan maemaika dai eoi Einsein mengenai elaivias umum. Nama Lingkaan Riemann beasal dai pekejaan Riemann dalam fungsi vaiabel kompleks dan bukan dai pekejaanna dalam geomei.

51 38 Caa bahwa jelas secaa geomei dan ebuki di aas bahwa ada dua iik di S ang eleak dalam sebuah lingkaan besa. Namun demikian,idak sepei dua conoh beikuna dua iik dalam S mungkin mempunai lebih dai sau lingkaan besa ang memuana. Pehaikan kuub uaa dan selaan N dan S sepei dalam gamba Ada lingkaan besa ang ak ebaas jumlahna dai N ke S. Keunggalan gais ang memua dua iik meupakan sebuah konsep pening unuk mendefinisikan geomei insidensi. N N S S Gamba Geomei Insidensi Definisi 3.. Geomei absak { } disebu geomei insidensi jika i. Seiap dua iik bebeda dalam eleak pada sau gais unggal. ii. Ada iga iik A, B, C ang idak semuana eleak pada sau gais.

52 39 Caaan. Jika { }adalah sebuah geomei insidensi dan unggal l ang memua P dan Q akan diulis sebagai l PQ. P, Q, maka gais Definisi 3.. Sebuah himpunan iik adalah segais ( kolinie ) jika ada sau gais l sehingga lhimpunan ak kolinie jika bukan sebuah himpunan kolinie. Kadang-kadang kia akan menebukan bahwa A, B, dan C adalah kolinie sebagai gani mengaakan {A,B,C} adalah sebuah himpunan kolinie. Penggunaan noasi ini membuana lebih mudah unuk menaakan bebeapa hasil. Aksioma ii dai Definisi 3.. di aas dapa dinaakan ulang sebagai ii Ada sebuah himpunan dai iga iik ang ak kolinie. Walaupun Lingkaan Riemann bukan meupakan geomei insidensi, eapi Bidang Kaesian dan Bidang Poincaè keduana adalah geomei insidensi, sepei ang akan kia liha sekaang. Poposisi 3.. Bidang Kaesian adalah sebuah geomei insidensi. Buki :

53 40 Kia haus menunjukkan bahwa dua iik bebeda menenukan secaa unggal sebuah gais Kaesian. Misalkan P (, ) dan (, ) Q dengan P Q. Kia akan mengasumsikan bahwa P, Q eleak pada dua gais bebeda dan pada akhina dipeoleh konadiksi Kasus. Misalkan P, Q beada di L a dan L a dengan a a'. Maka a dan a ' kemudian bahwa aa, meupakan konadiksi. Kasus. Jika P, Q beada di L a dan L m,b, maka P ( a, ) dan ( a, ) kaena keduana beada di L m,b kia juga memiliki Q, m b ma b dan m b ma b. (3-) Dengan begiu, ang konadiksi dengan ( a, ) P Q ( a )., Kasus 3. Misalkan bahwa P, Q beada di L m,b dan L n,c dan bahwa L m,b L n,c. Maka m b m b. (3-) Dai kasus, P, Q idak beada di sebuah gais veikal jadi. Oleh kaena iu dai (3-) kia dapa mencai nilai m : m. (3-3) Dai nilai m kia peoleh nilai b : b m. (3-4) Sebuah pehiungan seupa unuk gais L n,c membeikan

54 4 n, c n. Tapi ini beakiba m n dan b c ini konadiksi dengan L m,b L n,c. Dengan begiu dalam semua kasus, asumsi bahwa P, Q beada dalam dua gais bebeda mengana ke sebuah konadiksi, ang beai bahwa P, Q beada dalam sau gais unggal. Di dalam Bidang Kaesian, ada paling sediki iga iik ang akkolinie. Misalna iik (-,0), (0,), dan (,-3). Oleh kaena iu adalah sebuah geomei insidensi. Poposisi 3.. Bidang Poincae adalah sebuah geomei insidensi. Buki : Misalkan P, Q dengan P Q. Jika P dan Q beada pada dua gais ipe I a L dan L a' maka kia dapa menunjukkan bahwa a a ' sepei dalam Poposisi Jadi P dan Q idak dapa idak beada pada dua gais ipe I ang bebeda. Misalkan jika P dan Q eleak pada a L dan c L maka P dan Q adalah iik ang sama. Misalkan P (, ) dan (, ) Q. Dikeahui P eleak pada a L, maka a dan Q juga eleak pada a L, maka a. Jadi. Dikeahui P eleak pada L, maka c

55 4 Dikeahui Q juga eleak pada ( c) (3-5) L, maka c ( c) (3-6) Padahal, maka pesamaan (3-5) menjadi Dai pesamaan (3-6) dan (3-7) ( c) (3-7) ( c) ( c) ( c) ( c) Padahal 0, maka idak mungkin negaif. Jadi, nilai ang mungkin unuk. Kaena dan, maka P Q. Konadiksi. Kaena P dan Q adalah iik ang bebeda, jadi P dan Q idak dapa eleak pada a L dan L c secaa besamaan. Kia akan membukikan bahwa jika P (, ) dan (, ) Q beada di L c dan L maka d s L c d L. Kia akan menunjukkan bahwa c d dan s. oleh s kaena iu P dan Q beada di L, c ( c) dan ( c).

56 43 Dengan menguangkan kedua pesamaan, kia peoleh ( c) ( c) aau c c. Dengan menelesaikan unuk c : c ( ) Sebuah pehiungan ang seupa dengan pembukian poposisi 3.. dengan menggunakan faka bahwa P dan Q beada di d L akan menghasilkan s sehingga c d. Kaenana d ( ) ( c) ( d ) s kia liha bahwa s dan kemudian L c L. d s Ada iga iik (,), (-,0), dan (-,3) ang idak eleak pada sau gais. Dengan demikian adalah sebuah geomei insidensi. Conoh 3.. Misalkan {P,Q,R} dan {{P,Q},{P,R},{Q,R}}. Akan diunjukkan bahwa { } adalah geomei insidensi.

57 44 Q P R Dikeahui P eleak pada sau gais dengan R dan P juga eleak pada sau gais dengan Q. Akan dibukikan: i. Seiap dua iik bebeda pada ang eleak pada sau gais unggal. ii. Ada iga iik pada ang idak semuana eleak pada sau gais. Buki : i. Dikeahui iik P, Q, R dengan P eleak sau gais dengan R, dan P juga eleak sau gais dengan Q, ini beai juga bahwa Q eleak sau gais dengan R. Jadi ebuki bahwa seiap dua iik bebeda pada ang eleak pada sau gais unggal. ii. Dikeahui gais PQ, PR, QR, jelas PQ idak memua R, PR idak memua Q dan QR idak memua P. Jadi ebuki bahwa ada iga iik bebeda pada ang idak semuana eleak pada sau gais. Jadi, ebuki bahwa { } adalah geomei insidensi. Teoema 3.. Misalkan l dan l adalah gais dalam geomei insidensi. Jika l l mempunai dua aau lebih iik maka l l.

58 45 Buki : Asumsikan bahwa P Q, P l l, dan Q l l. Kaena P dan Q beada di l, PQ l. Bagaimanapun juga, P dan Q juga beada di l sehingga PQ l. Jadi l l. Definisi 3..3 Jika l dan l adalah gais-gais dalam sebuah geomei absak maka l sejaja dengan l diulis l l jika l l aau l l Ø. Akiba 3.. Dalam sebuah geomei insidensi, dua gais sejaja aau bepoongan epa di sau iik. Conoh 3.. Akan dicai gais ang sejaja dengan gais i. ak veikal L, di Bidang Kaesian. 3 ii. ipe II 3 L di Bidang Poincaè. Penelesaian: i. Gais ak veikal di Bidang Kaesian L m, b ang sejaja dengan L, adalah L3, k,k. 3

59 46 ii. Gais ipe II di Bidang Poincaè L ang sejaja dengan L adalah c 3 3 L k, k Poposisi 3..3 Misalkan { } adalah geomei absak. Jika l dan l adalah gais-gais di kia ulis l ~ l jika l sejaja dengan l. Maka ~ adalah elasi ekuivalensi. Buki : Akan dibukikan bahwa ~ adalah elasi ekuivalensi. Jika ~ elasi ekuivalensi, maka ~ haus efleksif, simeis, dan ansiif. i. Jika l, maka dai Definisi 3..3 l sejaja dengan l. Kaena l sejaja dengan l, maka l ~ l. Jadi ~ efleksif. ii. Jika l,l, maka dai Definisi 3..3 l sejaja dengan l. Jika l sejaja dengan l, maka l l φ aau l l. Kaena l l, maka l l dan l l φ. Dengan demikian l sejaja dengan l. Sehingga l ~ l. Jadi ~ simeis. iii. Jika l,l, maka dai Definisi 3..3 l sejaja dengan l. Kaena l sejaja dengan l maka l ~ l. Kaena l ~ l maka l l dan l l φ. Jika l,l 3, maka dai Definisi 3..3 l sejaja dengan l. Kaena 3 l sejaja dengan l 3 maka l ~ l. Kaena l ~ l maka 3 3 l l3 dan l l 3 φ.

60 47 Kaena l l dan l l3 maka l l3. Sehingga l l 3 φ. Dan l ~ l 3 ~ ansiif.. Jadi Kaena ~ efleksif, simeis, dan ansiif, jadi ~ adalah elasi ekuivalensi.

61 BAB IV GEOMETRI METRIK 4. Geomei Meik Ada dua pendekaan mendasa dai geomei. Peama, disebu pendekaan sineik, ang digunakan oleh Euclid dalam bukuna ang bejudul Elemens (sekia 300 SM) dan dilengkapi oleh seoang maemaikawan Jeman David Hilbe (86-943) dalam bukuna ang bejudul Gundlagen de Geomeie. Hilbe, pada ahun ang sama dengan Poincaè bekaa dalam bebeapa daeah maemaika dan mempengauhi maemaika moden. Ia menempakan bebeapa opik maemaika dengan empa bepijak aksioma ang kua. Dalam pidaona unuk Konges Inenasional Maemaika pada ahun 900 ia mengusulkan sebuah angkaian dai ujuhbelas peanaan ang ia asa bepean pening dalam masalah eoiis pada masana. Pendekaan kedua, disebu pendekaan meik, ang diemukan oleh seoang maemaikawan Ameika ang benama Geoge David Bikhoff ( ) dalam makalahna A Se of Posulaes fo Plane Geome Based on Scale and Poaco [93]. Dalam pendekaan ini, konsep mengenai jaak dan pengukuan sudu diambahkan unuk geomei insidensi unuk mendapakan ide dasa mengenai keanaaan, segmen gais, konguensi, dan lain sebagaina. Pendekaan sepei iu membawa bebeapa ala analiik (sebagai conoh, koninuias) ke dalam pokok maei dan mengijinkan kia unuk lebih sediki

62 49 menggunakan aksioma. Bikhoff juga diinga unuk pekejaanna dalam elaivias, pesamaan difeensial, dan sisem dinamik. Pendekaan keiga, dipejuangkan oleh Feli Klein (849-95), memiliki pendekaan ang sanga bebeda, aiu menggunakan aljaba absak, dan lebih maju dai ang lain kaena mempegunakan eoi gup. Klein measa bahwa geomei haus dipelajai dai sudu pandang gup ang beaksi pada sebuah himpunan. Kia menggunakan pendekaan meik kaena konsep enang jaak adalah sepei suau ang alami. Jaak adalah fungsi ang menenukan sebuah bilangan d(p, Q) unuk seiap pasangan iik P, Q. Hal iu mesina idak beganung apakah kia uku dai P ke Q aau dai Q ke P (diulis d(p, Q)). Selanjuna, jaak anaa dua iik adalah nol hana ejadi keika kedua iik iu sama. Definisi 4.. Sebuah Fungsi Jaak pada himpunan adalah sebuah fungsi d : sehingga unuk semua P, Q belaku i. ( P, Q) 0 d ; ii. ( P, Q) 0 d jika dan hana jika P Q ; dan iii. d ( P Q) d( Q, P),. Definisi beiku membeikan sebuah fungsi jaak unuk Bidang Kaesian.

63 50 Definisi 4.. Misalkan, P (, ) dan Q (, ) oleh d E ( P, Q) ( ) ( ).. Jaak Euklidean d E dibeikan Poposisi 4.. Jaak Euklidean d E dibeikan oleh d E adalah fungsi jaak pada. Buki : Misalkan P (, ) dan (, ) memenuhi iga aksioma. ( P, Q) ( ) ( ) i. ( ) ( ) ( ) d E P, Q Q, sebuah fungsi jaak d E haus Selalu benilai 0, kaena semua bilangan apabila dikuadakan selalu benilai ak negaif. Jadi ( P, Q) 0 d E epenuhi. ii. Jika ( P, Q) 0 d E, maka ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

64 5 ( ) 0 dan ( ) 0 ( ) 0 dan ( ) sehingga, dan Jadi, P Q. Jika P Q, maka d E. ( P, Q) ( ) ( ) Jadi, ( P, Q) 0 d E jika dan hana jika P Q, epenuhi. iii. ( ) ( ) ( ) d E P, Q ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Q P) d E, Jadi, d ( P Q) d ( Q P), epenuhi. E E, Kaena keiga aksioma epenuhi, maka d E adalah fungsi jaak.

65 5 Unuk membeikan conoh ang masuk akal bagi sebuah fungsi jaak dalam Bidang Poincaè memelukan lebih banak pemikian. Misalkan P dan Q emua dalam gais ipe I. Pekiaan jaak ang epa anaa P ( a, ) dan ( ) a, Q menjadi. Bagaimanapun juga, hal ini idak mudah kaena ini beai bahwa sepei cendeung mendekai nol (dan kemudian Q ke aah - absis aau epi ) jaak dai P ke Q cendeung ke ang meupakan bilangan behingga. Hal ini akan menjadi lebih baik jika epi bukan meupakan sebuah jaak ang behingga. Sau caa unuk menghindaina adalah menggunakan skala logaima dan disebu sebagai jaak dai ( a, ) ke (, ) ( ) ( ) ln ln a aiu ln. ( Caa bahwa 0, ln. ) Hal ini membei bebeapa peimbangan unuk definisi beiku. Definisi 4..3 Jika P (, ) dan (, ) jaak Poincaè d H dibeikan oleh Q adalah iik-iik dalam Bidang Poincaè, ( ) d H P, Q ln jika c ( ) d H P, Q ln jika P dan Q emua dalam c L. c

66 53 Poposisi 4.. Jaak Poincaè d H dibeikan oleh ( ) d H P, Q ln jika c ( ) d H P, Q ln jika P dan Q emua dalam c L c adalah fungsi jaak pada. Buki : Misalkan P (, ) dan (, ) memenuhi iga aksioma. d H jika i. ( P, Q) ln Q sebuah fungsi jaak d H haus dan ( P, Q) c d H ln jika P dan Q c emua dalam c L selalu benilai ak negaif, kaena nilai dai haga mulak idak penah negaif. Jadi, ( P, Q) 0 d H, maka ln 0. ii. Jika ( P, Q) 0 d H epenuhi. Jika ln 0, maka. Sehingga. Jadi P Q. c c Jika ln 0, maka c. Jadi dipeoleh c dan. Jadi P Q.

67 54 Jika P Q, maka d H ( P, Q) ln ln( ) 0 c (, ) ln d H P Q ln( ) 0. c Jadi, ( P, Q) 0 d H jika dan hana jika P Q, epenuhi. iii. ( P, Q) ln ln( ) ln( ) d H ( ) ln( ) ( ) ( ) ln ln ( ) ( ) ln ( ) ln( ) ln( ) ln ( Q P) d H, c ( ) d H P, Q ln jika P dan Q emua dalam c L c ln c c ( ) ln( ) c c ( ) ln( ) ( ) ln( ) ln ln c c ( ) ln( ) c c ( ) ln( )

68 55 ln c c ( Q P) d H, Jadi, d ( P Q) d ( Q P), epenuhi. H H, Kaena keiga aksioma epenuhi, maka d H adalah fungsi jaak. Conoh beikuna, disebu jaak aicab, beasal dai pemikian seoang sopi aksi pada jaingan lisik segiempa dai jalan koa. Jaak aicab menguku jaak aksi ang akan beangka dai iik P ke iik Q jika idak ada jalan sau aah di sana. Liha gamba 4... Q P Gamba 4..

69 56 Definisi 4..4 Jika P (, ) dan (, ) anaana dibeikan oleh Q adalah iik-iik dalam, jaak aicab di ( P, Q) d Τ. (4-) Poposisi 4..3 Jaak aicab adalah sebuah fungsi jaak pada. Buki : Caa bahwa ( P, Q) 0 d kaena meupakan jumlah dai nilai mulak, dengan Τ masing-masingna selalu aknegaif. Dengan begiu aksioma (i) unuk sebuah fungsi jaak dipenuhi. Aksioma kedua bahwa ( P, Q) 0 d jika dan hana jika P Q. Jelas jika P Q Τ maka d ( P, Q) 0 dai pesamaan (4-). Di sisi lain, jika ( P, Q) 0 Τ d maka 0. Kaena masing-masing dai dua penaaan esebu adalah sedikina benilai nol, keduana haus benilai nol : 0 dan Τ 0. Teapi hal ini beai dan. Oleh kaena iu, jika d ( P, Q) 0 maka P Q. Jadi aksioma (iii), d ( P Q) d( Q, P) Τ,, idak beubah kaena a b b a.

70 57 Caa bahwa d Τ dan d Ε keduana fungsi jaak pada himpunan ang sama aiu. Secaa umum, sebuah himpunan mungkin mempunai bebeapa fungsi jaak ang bebeda padana. Oleh kaena iu, keika kia ingin mengaakan enang suau sifa dai fungsi jaak pada sebuah himpunan, kia pelu menspesifikasikan himpunan dan fungsi jaak d. Konsep mengenai sebuah ule meupakan hal ang uama pada skipsi ini. Hal ini meupakan ide ang dipekenalkan oleh Bikhoff unuk menjauhkan geomei dai meode ang sanga sineik. Secaa inuiif ule adalah gais ang dibei anda sedemikian sehingga dapa dipegunakan unuk menguku jaak. Kia akan menandai gais esebu dengan mengasumsikan bahwa unuk seiap gais edapa sebuah bijeksi anaa gais iu dan Definisi 4..5 Misalkan l adalah gais dalam geomei insidensi { }. Asumsikan bahwa edapa sebuah fungsi jaak d pada. Fungsi f : l adalah sebuah ule aau sisem koodina unuk l jika i. f adalah sebuah bijeksi ; ii. unuk seiap pasangan iik P dan Q pada l ( P) f ( Q) d( P Q) f,. (4-) Pesamaan (4-) disebu Pesamaan Rule dan f(p) disebu koodina dai P ehadap f.

71 58 Conoh 4.. Misalkan l adalah sebuah gais ak veikal L, 3 dalam Bidang Kaesian dengan jaak Euklidean. Akan diunjukkan bahwa jika Q (, ) ( Q) maka f 5 membeikan ule f unuk l dan akan dicai koodina R (, 5) ehadap f. Penelesaian : Jelas f adalah sebuah bijeksi maka, jadi inggal dibukikan bahwa f memenuhi Pesamaan Rule. Caa bahwa ( ) 3 kemudian bahwa jika P (, ) maka d, L, jika dan hana jika 3 ( P, Q) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi ebuki ada Pesamaan Rule. 4 ( P) f ( Q) 5 f. Koodina R (, 5) adalah ( R) 5 f. Definisi 4..6 Geomei insidensi {} besama dengan fungsi jaak d memenuhi Posula Rule jika seiap gais l mempunai sebuah ule. Dalam hal ini dikaakan { d } adalah sebuah geomei meik.

72 59 Mengapa kia mempelajai geomei meik? Kaena bebeapa konsep dalam pendekaan sineik ang haus diambahkan elah disajikan dalam geomei dengan pendekaan meik. Hal ini ejadi kaena kia dapa memindahkan peanaan-peanaan mengenai sebuah gais l dalam ke bilangan iil dengan menggunakan sebuah ule f. Dalam kia memahami konsep-konsep sepei di anaa dan kemudian dapa memindahkanna kembali (melalui f ) ke l. Hal ini meupakan keunungan dai pendekaan meik ang di sebu pada awal bab ini. Seelah kia memiliki laa belakang ang lebih, kia akan kembali ke peanaan mengenai sebuah pendekaan sineik melawan pendekaan meik unuk geomei. Definisi 4..6 digunakan unuk membukikan bahwa { d } adalah geomei meik, kia haus menunjukkan unuk seiap l sebuah fungsi f : l ang meupakan sebuah bijeksi dan ang memua pesamaan (4-). Menggunakan lemma beiku, kia idak haus membukikan bahwa f adalah injeksi. Lemma 4.. Misalkan l dan f : l adalah sujeksi dan memua pesamaan (4-). Maka f adalah sebuah bijeksi dan ule unuk l. Buki :

73 60 Kaena kia asumsikan bahwa f sujekif kia hana pelu menunjukkan bahwa f injekif. Misalkan bahwa ( P) f ( Q) peoleh d f. Kemudian dai pesamaan (4-) kia ( P, Q) f ( P) f ( Q) 0 Jadi P Q dai aksioma kedua fungsi jaak. Poposisi 4.. Bidang Kaesian dengan jaak Euklidean, d Ε, adalah sebuah geomei meik. Buki : Misalkan l adalah sebuah gais. Akan dicai sebuah ule unuk l. Tedapa dua kasus : Kasus. Jika l La adalah gais veikal maka La P ang beai P ( a, ) unuk eenu. Kia definisikan f : l menuu pesamaan ( P) f (( a ) ) f,. (4-3) Fungsi f jelas sujekif. Jika P ( a, ) dan Q ( a, ), maka ( P) f ( Q) d( P Q) f,. Oleh kaena iu f adalah sebuah ule menuu Lemma 4... Kasus. Jika l L m, b maka P L m, b beai bahwa P (, ) di mana m b.

74 6 Definisikan f : L m, b menuu pesamaan ( P) f ((, ) ) m f. (4-4) m Jika misalkan, b. m m P, L m, Cukup jelas bahwa ( ) b jadi f sujekif.. Lebih lanju, f m ( P). m Sekaang dimisalkan bahwa P (, ) dan Q (, ) ( P) f ( Q) m m f. Maka. m Di lain pihak d Ε ( P, Q) ( ) ( ) ( ) m ( ) ( ) m. m Dai sini kia peoleh f ( P) f ( Q) d ( P, Q) Ε. Oleh kaena iu menuu Lemma 4.., f adalah sebuah ule.

75 6 Beiku ini akan dibeikan conoh unuk mencai koodina iik-iik dalam Bidang Euklidean. Conoh 4.. Dalam Bidang Euklidean : i. Akan dienukan koodina dai (, 3) ehadap gais. ii. Akan dienukan koodina dai (, 3) ehadap gais 4. Penelesaian : i. Gais ipe I : L a {(, ) a} L {(, ) } ( a ) f,. (,3) 3 f. Jadi, koodina dai iik (, 3) ehadap gais ii. Gais ipe II : L m, b {(, ) m b} L {(,3 4 } 4, ) adalah (,3) 3 f. f (, ) m,3 4 ( ) ( ) f 7

76 63 Jadi, koodina dai iik (,3) ehadap gais 4 adalah (,3) 7 f. Definisi 4..7 Bidang Euklidean adalah model {, E, d E }. Langkah kia selanjuna adalah menunjukkan bahwa Bidang Poincaè dengan jaak Poincaè adalah geomei meik. Unuk menunjukkanna kia menggunakan fungsi hipebolik. Dengan menginga sinus hipebolik, kosinus hipebolik, angen hipebolik, dan secan hipebolik ang didefinisikan menuu pesamaan anh sinh e e e ( ) ; cosh( ) ; sinh ( ) ( ) e e ; sec h( ) cosh( ) e e e. (4-5) cosh e e ( ) Lemma 4.. Unuk seiap nilai dai : i. [ cosh( )] [ sinh( ) ] ; ii. [ anh( )] [ sec h( ) ] ;

77 64 Buki : i. Akan dibukikan : ( ) [ ] ( ) [ ] sinh cosh ( ) ; cosh e e ( ) ; sinh e e ( ) [ ] ( ) [ ] sinh cosh e e e e ( ) ( ) 4 4 e e e e 4 4 e e e e ( ) 4 e e e e 4 4. Jadi ebuki bahwa ( ) [ ] ( ) [ ] sinh cosh. ii. Akan dibukikan : ( ) [ ] ( ) [ ] sec anh h ( ) ( ) ( ) ; cosh sinh anh e e e e ( ) ( ). cosh sec e e h ( ) [ ] ( ) [ ] sec anh e e e e e e h e e e e e e 4