PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA K 1,m K 1,n untuk d = 1 atau d = 2

Transkripsi

1 Jurnal Maemaika UNAND Vol. No. 1 Hal ISSN : c Jurusan Maemaika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA K 1,m K 1,n unuk d = 1 aau d = DINA YELNI Program Sudi Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, dinayelni@gmail.com Absrak. Misalkan G adalah suau graf dengan banyaknya iik p dan banyaknya sisi q. Pelabelan oal (a, d)-sisi aniajaib dari graf G adalah suau fungsi bijekif f : (V (G) E(G) {1,, 3,, p + q} sehingga bobo sisi w(u, v) = f(u) + f(v) + f(uv) dengan uv (G) membenuk barisan arimaika dengan suku awal a dan beda d. Suau pelabelan oal dari graf G dikaakan super jika f(v ) = {1,, 3,, p}. Dalam paper ini, pelabelan yang dibahas adalah pelabelan pada gabungan dua graf binang K 1,m dan K 1,n, unuk m n. Kaa Kunci: Graf Binang, Pelabelan Graf, Pelabelan Toal (a, d)-sisi Aniajaib. 1. Pendahuluan Salah sau kajian dalam eori graf yang memiliki properi maemaika yang menarik dan memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang dan permasalahan adalah eori pelabelan graf. Pelabelan graf perama kali diperkenalkan oleh Sedlacek (1964), kemudian Sewar (1966), Kozig dan Rosa (1970). Hingga saa ini eori pelabelan graf sanga dirasakan manfaanya, eruama pada sekor sisem komunikasi dan ransporasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan daa kompuer, dan juga desain circui gabungan pada komponen elekronik. Pelabelan erhadap graf G adalah suau pemeaan bijekif dari seiap elemen graf ke bilangan bula posiif, yang mana bilangan ersebu disebu dengan label. Terdapa beberapa jenis pelabelan graf, dianaranya adalah pelabelan ajaib dan pelabelan aniajaib. Pelabelan ajaib diperkenalkan oleh Sedlacek (1963) dan pelabelan aniajaib diperkenalkan oleh Harsfield dan Ringel (1989). Jika graf memiliki bobo iik aau bobo sisi yang sama, maka graf ini disebu graf dengan pelabelan ajaib. Jika graf memiliki bobo iik aau bobo sisi yang berbeda maka graf ini disebu graf dengan pelabelan aniajaib. Dalam pelabelan aniajaib dikenal pula beberapa isilah seperi pelabelan iik (a, d)-sisi aniajaib, pelabelan sisi (a, d)- iik aniajaib, pelabelan oal (a, d)-iik aniajaib, sera pelabelan oal (a, d)-sisi aniajaib. Misalkan erdapa graf G = (V, E) dengan V (G) = p dan E(G) = q. Pelabelan oal (a, d)-sisi aniajaib dari graf G adalah suau fungsi bijekif f : V (G) E(G) {1,, 3,, p + q} sehingga himpunan bobo sisi W (uv) = {w(uv) w(uv) = f(u) + f(v) + f(uv), uv (G)} membenuk barisan arimaika dengan suku awal a dan 3

2 Pelabelan Toal (a, d)-sisi Aniajaib Super pada Gabungan Dua Graf Binang 33 beda d. Suau pelabelan oal (a, d)-sisi aniajaib dikaakan super jika f(v ) = {1,, 3,, p} dan f(e) = {p + 1, p +, p + 3,, p + q}. Pada makalah ini penulis akan melakukan kajian kembali mengenai pelabelan oal (a, d)-sisi aniajaib super, khususnya pada graf yang merupakan gabungan dua graf binang K 1,m K 1,n. Graf binang K 1,n mempunyai sau iik berderaja n, semenara n iik lainnya berderaja sau. Beriku ini adalah eorema dan lema yang digunakan unuk menenukan pelabelan oal (a, d)-sisi aniajaib super pada grabungan dua graf binang. Teorema 1.1. [] Misalkan m, n adalah bilangan bula posiif dengan m n, maka graf K 1,n K 1,m mempunyai suau pelabelan iik (a, 1)-sisi aniajaib jika dan hanya jika m adalah kelipaan dari (n + 1). Lema 1.. [4] Misalkan erdapa barisan A = {c, c+1, c+,, c+k}, unuk suau k genap, maka erdapa suau permuasi Π(A) dari elemen A sedemikian sehingga A + Π(A) = {c + k, c + k + 1, c + k +,, c + 3k 1, c + 3k }.. Pelabelan Toal (a, d)-sisi Aniajaib pada Gabungan Graf Binang Makalah ini mengkaji kembali paper [] enang pelabelan oal (a, d)-sisi aniajaib pada gabungan graf binang K 1,m K 1,n, unuk m n dan m adalah kelipaan dari (n + 1). Teorema.1. [] Jika m n dan m adalah kelipaan dari (n + 1), maka graf K 1,m K 1,n mempunyai pelabelan oal (a, )-sisi aniajaib super. Buki. Misalkan m n dan m = (n + 1) unuk suau konsana N, maka pelabelan iik unuk graf K 1,m K 1,n dikonsruksikan sebagai beriku. { +, jika j = 0, f 1 (x 1,j ) = j + j, jika 1 j m, dengan x didefinisikan sebagai bilangan bula erkecil yang lebih besar aau sama dengan x, unuk x sembarang bilangan riil, dan f 1 (x,i ) = { 1, jika i = 0, 1 + (i + 1)( + 1), jika 1 i n. Maka diperoleh himpunan label iik unuk graf K 1,m dan graf K 1,n sebagai beriku. { 1 3 m } f 1 (V (K 1,m )) = ( + ), + 1, +, + 3,, + m, dan f 1 (V (K 1,n )) = {1, (3 + ), (4 + 3), (5 + 4),, ( + n + (n + 1)}

3 34 Dina Yelni Gambar 1. Pelabelan iik pada graf K 1,m K 1,n Diperoleh bobo sisi unuk graf K 1,m K 1,n erhadap pelabelan f 1 beriku. Wf 1 1 Wf 1 = {wf 1 1 (x 1,0 x 1,j ) 1 j m} {wf 1 (x,0 x,i ) 1 i n}, = {f(x 1,0 ) + f(x 1,j ) 1 j m} {f(x,0 ) + f(x,1 ) 1 i n}, = { + + j + j 1 j m} { + (i + 1)( + 1) 1 i n}, = { + 4, + 5, + 6,, m + n + + 3}. Dapa diliha bahwa himpunan ersebu merupakan barisan arimaika dengan suku awal + 4 dan suku akhir m + n + + 3, sera beda d = 1. Sehingga dapa diliha bahwa f 1 adalah pelabelan iik ( + 4, 1)-sisi aniajaib. Selanjunya didefinisikan pelabelan sisi f : E(K 1,m K 1,n ), sebagai beriku. f (x 1,0 x 1,j ) = m + n j + j unuk 1 j m, f (x,0 x,i ) = m + n + + i( + 1) unuk 1 i n. Gambar. Pelabelan oal pada graf K 1,m K 1,n

4 Pelabelan Toal (a, d)-sisi Aniajaib Super pada Gabungan Dua Graf Binang 35 Maka unuk N, diperoleh suau himpunan eruru dari pelabelan sisi f (x 1,0 x 1,j ) f (x,0 x,i ), yaiu : f : E(K 1,m K 1,n ) {m + n + 3, m + n + 4, m + n + 5,, m + n + }. Bobo sisi unuk graf K 1,m K 1,n erhadap pelabelan f, dapa dihiung sebagai beriku. Wf 1 Wf = {wf 1 (x 1,0 x 1,j ) 1 j m} {wf (x,0 x,i ) 1 i n}, = {wf 1 1 (x 1,0 x 1,j ) + f (x 1,0 x 1,j ) 1 j m} {wf 1 (x,0 x,i ) + f (x,0 x,i ) 1 i n}, = {m + n j + j 1 j m} {m + n (i + 1)( + 1) 1 i n}, = {m + n + + 7, m + n + + 9, m + n ,, 3m + 3n + + 5}. Dapa diliha bahwa himpunan ersebu merupakan barisan arimaika dengan suku awal m + n dan suku akhir 3m + 3n + + 5, sera beda d =. Karena pelabelan iik sudah dilabeli dari {1,, 3,, p}, maka dapa disimpulkan bahwa f mempunyai pelabelan oal (m + n + + 7, )-sisi aniajaib super. Teorema.. [] Jika (m + n) adalah ganjil, m n dan m kelipaan dari (n+1), maka graf K 1,m K 1,n mempunyai pelabelan oal (a, 1)-sisi aniajaib super. Buki. Misalkan (m + n) adalah ganjil, m n dan m = (n + 1) unuk suau N. Maka berdasarkan Teorema.1, graf K 1,m K 1,n mempunyai pelabelan iik ( + 4, 1)-sisi aniajaib. Didefinisikan pelabelan iik f 3 sebagai beriku. f 3 (V (K 1,m K 1,n )) = f 1 (V (K 1,m K 1,n )), dan himpunan bobo sisi erhadap pelabelan f 3 adalah sebagai beriku. W 1 f 3 W f 3 = { + 4, + 5, + 6,, m + n + + 3}. Dengan dimisalkan c = + 4, k = m + n 1, dan Wf 1 3 Wf 3 dapa dinoasikan sebagai himpunan A, maka diperoleh: A = {c, c + 1, c +,, c + k}. Karena (m + n) adalah ganjil, k = ((m + n) 1) bernilai genap dan himpunan A dapa diulis sebagai barisan A, maka berdasarkan Lema 1., erdapa suau permuasi Π(A) dari elemen-elemen A, di mana suau permuasi Π(A) didefinisikan seperi pada [4], yaiu { c + k Π(A) = {b i 1 i k + 1} = sedemikian sehingga + 1 i c + k + i, jika i ganjil, 1 i k + 1,, jika i genap, i k, A + Π(A) = {c + k, c + k + 1, c + k +,, c + 3k 1, c + 3k }. Misalkan [Π(A) c + m + n + 3] adalah pelabelan sisi f 4 : E(K 1,m K 1,n ), yaiu Π(A) c + m + n + 3 = {e i 1 i k + 1}, { 3k = + 9 i, jika i ganjil, 1 i k + 1, k + 10 i, jika i genap, i k,

5 36 Dina Yelni di mana label-label sisi unuk graf K 1,m dan graf K 1,n diperoleh dengan menyesuaikan uruan dari himpunan bobo sisi erhadap f 3 sedemikian sehingga diperoleh suau himpunan eruru dari pelabelan sisi f 4 sebagai beriku. f 4 : E(K 1,m K 1,n ) {(m + n + 3), (m + n + 4), (m + n + 5),, (m + n + )}. Jelas bahwa A+[Π(A) c+m+n+3] merupakan himpunan bobo sisi W 1 f 4 W f 4 dari graf K 1,m K 1,n sedemikian sehingga diperoleh : W 1 f 4 W f 4 = A + [Π(A) c + m + n + 3], = [A + Π(A)] c + m + n + 3, { 3m + 3n m + 3n =, + 1, } 1,. 5m + 5n m + 5n m + 3n ,, Dapa diliha bahwa himpunan ersebu merupakan barisan arimaika dengan suku awal 3m+3n++13 dan suku akhir 5m+5n++11, sera d = 1. Karena himpunan iik elah dilabeli dengan {1,, 3,, p}, maka dapa disimpulkan bahwa f 4 adalah pelabelan oal ( m+3n+3+13, 1)-sisi aniajaib super. 3. Kesimpulan Pada ulisan ini, elah dikaji kembali bahwa graf K 1,m K 1,n mempunyai pelabelan oal (m + n + + 7, )-sisi aniajaib super, unuk m n dan m adalah kelipaan dari (n+1). Selanjunya juga elah dikaji kembali bahwa graf K 1,m K 1,n mempunyai pelabelan oal pelabelan oal ( m+3n+3+13, 1)-sisi aniajaib super, unuk m + n adalah ganjil, m n dan m adalah kelipaan dari (n + 1). 4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan erima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yuliani, Bapak Narwen, M.Si, Bapak Budi Rudiano, M.Si dan Ibu Hazmira Yozza, M.Si yang elah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapa diselesaikan dengan baik. Dafar Pusaka [1] Charrand, G. and L. Lesniak Graphs and Digraphs. Third ediion. Chapman & Hall/CRC, Boca Raon-Florida [] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Baca Animagic labeling of he union of wo sars. Ausralasian Journal of Combinaorics. 4 : [3] Ivanco, J. and I. Luckanicova. 00. On edge-magic disconneced graphs. SUT Journal of Mah. 38 : [4] Sugeng. K. A., M. Miller and M. Baca (a, d)-edge-animagic Toal Labelings of Caerpillars. Lecure Noes in Compuer Science :