REPRESENTASI INTEGRAL STOKASTIK UNTUK GERAK BROWN FRAKSIONAL

Transkripsi

1 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id REPRESENTASI INTEGRAL STOKASTIK UNTUK GERAK BROWN FRAKSIONAL Chaarina Enny Murwaningya,, Sri aryami, Gunardi, erry Pribawano Suryawan Univeria Gadjah Mada Univeria Sanaa Dharma enny@ud.ac.id Abrak: Gerak Brown frakional adalah proe okaik yang merupakan pengembangan dari gerak Brown andar. Gerak Brown frakional merupakan benuk umum dari gerak Brown dengan menambahkan au parameer ur (). Perumuman ini mengakibakan beberapa ifa yang ada di dalam gerak Brown udah idak berlaku lagi. Pada makalah ini akan dibaha repreenai inegral okaik unuk gerak Brown frakional. Berdaarkan Mandelbro dan Van Ne (968) gerak Brown dapa didefiniikan dalam benuk inegral okaik. Selain memaparkan enang definii inegral okaik berdaarkan Mandelbro dan Van Ne, akan diujukkan juga memenuhi ifa kovariani dari proe gerak Brown frakional. Kaa kunci: Gerak Brown Frakional, Inegral Sokaik PENDAULUAN Pada ahun 94, gerak Brown frakional diperkenalkan oleh Kolmogorov unuk yang perama kali dalam kerangka ruang ilber, yang diberi nama Wiener elix. Selanjunya pada ahun 968, Mandelbro dan Van Ne memperkenalkan proe erebu dengan nama gerak Brown frakional (Fracional Brownian Moion aau FBM). Dalam makalah Mandelbro dan Van Ne (968) elah dibukikan reperenai inegral okaik pada proe gerak Brown andar. Gerak Brown frakional merupakan eori pengembangan dari eori Brownian Moion aau lebih dikenal Gerak Brown. Perumuman dari gerak Brown ini mempunyai banyak ifa menarik yang idak dimiliki oleh gerak Brown ehingga menjadi model yang lebih realii unuk banyak aplikai di berbagai cabang ilmu mialnya maemaika keuangan, fiika polimer, hidrologi, jaringan elekomunikai dan ebagainya. Beberapa ifa menariknya anara lain elf-imilariy, aionary incremen, long-range dependen, kekoninuan ölder dari linaan ampel, dan ifa non-markov. Pada maamaika keuangan, model gerak Brown geomerik mengaumikan bahwa reurn aham berdiribui normal, aioner dan aling beba. Pada kenyaaannya harga aham cukup banyak yang idak aling beba dalam renang yang pendek (hor memory) aau dalam renang yang panjang (long memory). Model yang bia mengaai hal iu adalah gerak brown frakional. Gerak brown frakional perama kali dikenalkan oleh Mandelbro dan Van Ne (968). FKIP UNS Rabu, 6 November 6 5

2 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id Dalam perkembangan eori gerak Brown frakional, erdapa beberapa definii repreenaif inegral gerak Brown frakional. Pada ulian ini akan menggunakan definii gerak Brown frakional yang dipreenaikan perama kali ebagai raa-raa bergerak dari incremen Brownian yang diperkenalkan oleh Mandelbro dan Van Ne (968). ASIL DAN PEMBAASAN GERAK BROWN FRAKSIONAL Sebelum membaha definii gerak Brown frakional, erlebih dahulu akan dikenalkan noai yang digunakan yaiu : y y x jika x ( x) jika x Jika uau konana di dalam inerval (,), berdaarkan Roek (9), gerak Brown frakional B, R adalah proe okaik yang didefiniikan ebagai beriku dengan parameer ur dan ( B ) () () ( B ) ( ) c ( ) ( ) db( ) () B, R adalah gerak Brown andar, dikaakan ebagai c ( ) () ( ) ( ) adalah konana normalia dengan adalah fungi gamma. Berdaarkan definii diaa, unuk maka B ( ) () dapa diulikan kembali ebagai beriku ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B c db db (4) Dipilih nilai parameer peial maka diperoleh FKIP UNS Rabu, 6 November 6 6

3 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id B ( ) c ( ) ( ) db( ) ( ) db( ) c ( ) ( ) db( ) ( ) db( ) c db( ) db( ) c B () dengan db() c ( ) ( ) ( ) () () () Selanjunya akan diperlihakan apakah nilai harapan gerak Brown frakional ama dengan. Berdaarkan definii gerak Brown pada (), erliha bahwa gerak Brown frakional berganung dengan gerak Brown andar, edangkan nilai harapan dari gerak Brown andar adalah. Jadi berakiba nilai harapan dari gerak Brown frakional juga ama dengan, aau dapa diulikan E ( ) [ B ( )] unuk emua Dalam beberapa arikel yang membaha enang gerak Brown frakional, proe okaik idak didefiniikan melalui inegral repreenai melainkan klaifikai gerak Brown didaarkan pada ifa kovariainya yaiu ergambar dalam definii beriku. Definii. ( ) Mialkan uau konana di dalam inerval (,). Gerak Brown frakional ( B ( )) dari indek ur adalah proe Gauian erpua dengan fungi kovarian E ( ) ( ) B ( ) B ( ) (5) FKIP UNS Rabu, 6 November 6 7

4 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id Sehingga erarik unuk membukikan bahwa definii gerak Brown berdaarkan () juga memiliki ifa (5). Unuk pembukian ini diperlukan Lemma yang akan dibaha di ub bab berikunya, ehingga buki ini akan dibaha kemudian., Gerak Brown frakional adalah proe elf imilar yang berari bahwa unuk eiap variabel random ( B ) ( ) mempunyai hukum probabilia ama dengan ( B ) ( ). Konana menenukan anda dari kovarian incremen gerak Brown frakional. Jika maka kovariannya poiif dan jika maka kovariannya negaif. Sifa lain dari gerak Brown frakional adalah jika maka proenya berifalong memory dan jika maka kovariannya proenya berifa or memory. Sifa elf imilar dan long memory menjadikan gerak Brown frakional uau ala yang euai unuk penerapan dalam maemaika keuangan. al ini diebabkan karena ada harga aham yang memiliki ifa long memory. INTEGRAL STOKASTIK UNTUK GERAK BROWN FRAKSIONAL Dienukan uau konana ur dengan. Berdaarkan Biagini, u, Økendal, dan Zhang (8) didefiniikan (, ) ( ) dengan, (6) Dan unuk,, maka diperoleh u v dudv u v dudv (, ) ( ) u v dv v v dv v v dv v v FKIP UNS Rabu, 6 November 6 8

5 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id Mialkan S( ) adalah ruang Schwarz dari fungi mulu yang menurun dengan cepa pada, dan f S ( ) yang didefiniikan ebagai beriku f f f dd (7) : ( ) ( ) (, ) Jika ruang S ( ) dilengkapi dengan hail kali dalam (inner produc) beriku f, g : f ( ) g( ) (, ) dd (8) dengan f, gs ( ), maka ruang S( ) dapa dinoaikan dengan ruang ilber eparabel. Jadi L ( ),, adalah ruang ilber. ( ) L, menjadi Jika f L ( ), didefiniikan f db f db (9) ( ) ( ) ( ) ( ) : lim n( ) ( ) n dengan I f ( ) a I ( ) f ( ) n n i [ i, i ) i [, ) i i jika [ i, i ) () unuk yang lain dan ( ) n ( ) ( ) n i i i i f ( ) db ( ) : a B ( ) B ( ) () Secara umum definii dari inegral okaik relaif erhadap gerak Brown frakional dapa diberikan menggunakan repreenai inegral dari gerak Brown frakional pada Peramaan (). Unuk menyederhanakannya, dibaai pada uau inegran yang deerminiik. Unuk f L L (, ) (, ) didefiniikan ( ) f ( ) db ( ) c ( ) ( ) f ( ) d db( ) () dengan c didefiniikan berdaarkan () Lemma Jika f ( ) I (, ] ( ) dengan I (, ] jika (, ] () unuk yang lain FKIP UNS Rabu, 6 November 6 9

6 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id maka () idenik dengan Peramaan (). Buki : B ( ) I ( ) db ( ) ( ) ( ) (, ] c( ) ( ) I (, ] ( ) d db( ) c ( ) ( ) d ( ) d db( ) c ( )( ) d ( )( ) d db( ) c ( ) ( ) db( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) db( ) c ( ) ( ) db( ) Jadi erbuki jika f ( ) I (, ] ( ) maka ()idenik dengan Peramaan () Lemma Mialkan h / / u I f ( u) c ( ) ( u) f ( ) d dengan c didefiniikan berdaarkan ()dan menoaikan fungi gamma. Maka adalah uau iomeri dari Buki : L ( ) ke L ( ). Menggunakan definii fungi gamma dan fungi bea maka diperoleh ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( v) v dv ( ) ( w) w dw min(, ) u u du v v dv ( ( ) w) (( ) w) ( ) dw ( ) ( w) w ( ) dw I / FKIP UNS Rabu, 6 November 6

7 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id ( ) ( ) ( ) min(, ) u u du w w dw w dw ( w) w dw ( w) B, c ( ) Diaumikanf dan g adalah fungi koninu yang kompak. Berdaarkan definii diaa maka menggunakan ()diperoleh () h/ h/ I f u I g u ( ), ( ) L ( ) / / u u L ( ) c ( ) ( u) f ( ) d, c ( ) ( u) g( ) d / / c( ) ( u) f ( ) dc( ) ( u) g( ) ddu u u / / c ( ) ( u) f ( ) d( u) g( ) ddu u u min{, } / / c ( ) f ( ) g( ) ( u) ( u) dudd c ( ) f ( ) g( ) dd c ( ) c ( ) f ( ) g( ) ( ) dd c ( ) f ( ) g( ) ( ) dd f ( ) g( ) (, ) dd Jadi erbuki / I adalah uau iomeri dari L ( ) ke L ( ). FKIP UNS Rabu, 6 November 6

8 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id Lemma 4 Jika f, g ( ) maka L ( ) f ( ) db ( ) dan ( ) f ( ) db ( ) erdefinii dengan baik (well-defined) dengan raa-raa nol, variabel random Gauian dengan variani g dan E Buki : Menggunakan () dan () maka diperoleh ( ) ( ) ( ) f db ( ) g( ) db ( ) f ( ) g( ) (, ) dd f dan f, g () E f db g db ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E c ( ) ( ) f ( ) d db( ) c ( ) ( ) g( ) d db( ) E c ( ) ( ) f ( ) d db( ) ( ) g( ) d db( ) c ( ) E ( ) f ( ) d db( ) c ( ) E ( ) g( ) d db( ) min(, ) f ( ) g( ) ( ) ( ) db( ) db( ) dd min(, ) c ( ) f ( ) g( ) ( ) ( ) d dd c ( ) f ( ) g( ) dd c ( ) FKIP UNS Rabu, 6 November 6

9 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id ( ) ( ) E f ( ) db ( ) g( ) db ( ) ( ) f ( ) g( ) dd f, g f ( ) g( ) ( ) dd f ( ) g( ) (, ) dd ( ) ( ) Jadi erbuki bahwa E ( ) f db ( ) g( ) db ( ) f, g. Lemma 5 Jika gerak Brown frakional didefiniikan euai dengan Mandelbro dan Van Ne (968) yaiu yang eruang dalam (), maka korelai dari gerak Brown frakional memunuhi ifa (5) beriku Buki : diperoleh E ( ) ( ) [ B ( ) B ( )] ( ) Jika f( u) I [, ] dan gv () I [, ] dan menggunakan Lemma dan Lemma 4 maka E E I I ( ) ( ) ( ) B B [, ] ( u) db ( u) [, ] ( v) db ( v) I ( u) I ( v) ( u, v) dudv [, ] [, ] I [, ] ( u) I[, ] ( v) ( ) u v dudv ( ) u v dudv v ( ) ( v u) du ( u v) du dv v ( v u) ( u v) dv v ( v) dv v ( v) v v FKIP UNS Rabu, 6 November 6

10 Proiding Seminar Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISBN: hal 5-4 November 6 hp://jurnal.fkip.un.ac.id E B B ( ) ( ) Jadi erbuki jika gerak Brown frakional didefiniikan euai dengan Mandelbro dan Van Ne (968) yaiu yang eruang dalam (), maka korelai dari gerak Brown frakional memunuhi (5). SIMPULAN Repreenai gerak Brown frakional yang eruang dalam () merupakan benuk inegral okaik dari gerak Brown. Tujuan dalam makalah ini adalah menjabarkan enang repreenai inegral gerak Brown frakional yang diperkenalkan oleh Mandelbro dan Van Ne (968). Selain iu diunjukkan bahwa repreenai dalam () memenuhi ifa kovariani gerak Brown frakional pada (5). Dan hal ini eruang dalam Lemma 5. DAFTAR PUSTAKA Biagini, F., u, Y., Økendal, B., & Zhang, T. (8). Sochaic Calculu for Fracional Brownian Moion and Applicaion: Springer. Mandelbro, B. B., & Van Ne, J. W. (968). Fracional Brownian moion, fracional noie and applicaion. SIAM review, (4), Roek, S. (9). Opion Pricing in Fracional Brownian Marke: Springer-Verlag Berlin. FKIP UNS Rabu, 6 November 6 4