Analisis Model dan Contoh Numerik

Transkripsi

1 Bab V Analisis Model dan Conoh Numerik Bab V ini membahas analisis model dan conoh numerik. Sub bab V.1 menyajikan analisis model yang erdiri dari analisis model kerusakan produk dan model ongkos garansi. Pada sub bab V.2 diberikan conoh numerik unuk menggambarkan solusi model, dan sub bab V.3 membahas analisis sensiifias unuk mengeahui pengaruh perubahan parameer erhadap solusi model. V.1 Analisis Model Analisis model erdiri aas dua bagian yaiu analisis model kerusakan produk dan analisis model ongkos garansi. Penjelasan dari kedua bagian ersebu diberikan beriku ini. V.1.1 Analisis Model Kerusakan Produk Pada sub bab ini akan dijelaskan perilaku fungsi laju kerusakan r() dan fungsi densias f() erhadap parameer λ dan μ. Kedua fungsi ini berperan pening dalam penenuan model ongkos garansi. Fungsi Laju Kerusakan r() Fungsi laju kerusakan r() adalah fungsi yang meningka dengan lama penggunaan produk, durasi penggunaan produk τ() dan siklus penggunaan produk N(). r() dienukan oleh parameer λ dan μ. Fungsi r() diberikan oleh persamaan IV.8. Perilaku fungsi r() erhadap parameer λ diunjukkan pada Tabel 5.1 beriku. Nilai parameer λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan μ = 1, unuk = 0,, 3 Tabel 5.1 Nilai r() Unuk λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan μ = 1 λ ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, ,716 4,722 5,811 7,861 12,917 17, ,245 8,444 10,562 14,694 24,826 34, ,749 12,111 15,312 21,528 36,736 51,816 42

2 Grafik hubungan anara nilai fungsi r() dan nilai dari Tabel 5.1 diunjukkan oleh Gambar ,000 40,000 λ=1 r() 30,000 20,000 λ=2 λ=3 λ=5 λ=10 λ=15 10,000 0, Gambar 5.1 Grafik r() dan Unuk λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 dan μ = 1 Dari Gambar 5.1 erliha bahwa fungsi r() meningka dengan perambahan nilai parameer λ, unuk nilai eap. Tabel 5.2 menjelaskan perilaku fungsi r() erhadap parameer μ. Nilai parameer 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 unuk waku = 0,, 3. Tabel 5.2 Nilai r() Unuk λ = 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 μ ,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1, ,716 3,544 3,434 3,305 3,174 3, ,245 5,888 5,687 5,472 5,264 5, ,749 8,222 7,937 7,639 7,355 7,246 43

3 Grafik hubungan anara nilai fungsi r() dan nilai pada Tabel 5.2 dijelaskan dengan Gambar ,000 9,000 8,000 r() 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 μ=1 μ=2 μ=3 μ=5 μ=10 μ=15 1,000 0, Gambar 5.2 Grafik r() dan Unuk dan, λ = 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 Dari Gambar 5.2 erliha bahwa fungsi r() menurun dengan perambahan nilai parameer μ, unuk nilai eap. Semakin sering produk digunakan maka semakin besar nilai λ sehingga fungsi r() meningka. Sebaliknya semakin sering produk berada pada kondisi idak digunakan maka nilai μ berambah sehingga fungsi r() menurun. Dari penjelasan ersebu dapa disimpulkan bahwa fungsi r() meningka unuk kenaikan nilai λ dan menurun unuk kenaikan nilai μ. Teapi nilai λ lebih berpengaruh erhadap fungsi r() dibandingkan dengan nilai μ. 44

4 Fungsi Densias f() Fungsi densias f() mengindikasikan disribusi kerusakan produk selama renang waku erenu. Fungsi f() diberikan oleh persamaan IV.11. Perilaku fungsi f() erhadap parameer λ diberikan oleh Gambar 5.3. λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 dan μ = 1 unuk = 0,, 3. 2,600 2,400 2,200 2,000 1,800 f() 1,600 1,400 1,200 1,000 0,800 λ=1 λ=2 λ=3 λ=5 λ=10 λ=15 0,600 0,400 0,200 0, Gambar 5.3 Grafik f() dan Unuk λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 dan μ = 1 45

5 Dari Gambar 5.3 erliha bahwa fungsi f() meningka dengan perambahan nilai parameer λ, unuk nilai eap. Perilaku fungsi f() erhadap parameer μ dijelaskan oleh Gambar 5.4. Nilai parameer 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 unuk waku = 0, 1,, 3. 1,200 1,000 0,800 μ=1 f() 0,600 0,400 μ=2 μ=3 μ=5 μ=10 μ=15 0,200 0, Gambar 5.4 Grafik f() dan Unuk λ = 1 dan μ = 1, 2, 3, 5, 10, 15 Dari Gambar 5.4 erliha bahwa fungsi f() menurun dengan perambahan nilai parameer μ, unuk nilai eap. Dari penjelasan ersebu dapa disimpulkan bahwa parameer λ lebih berpengaruh erhadap fungsi r() dibandingkan parameer μ. 46

6 V.1.2 Analisis Model Ongkos Garansi Ekspekasi ongkos garansi dipengaruhi oleh laju kerusakan produk r() dan sraegi layanan garansi yang diberikan. Ekspekasi ongkos garansi dengan sraegi layanan J s (W 1 ) diberikan oleh persamaan IV.17. Bagian ini akan memberikan nilai W 1 opimal yang meminimasi nilai J s (W 1 ). Secara analiik Nilai W 1 * diperoleh dengan kondisi urunan perama dan urunan kedua sebagai beriku: d dw dan d dw J s J ( W1 ) 0 s ( W1) 0 Solusi secara analiik idak dapa diperoleh karena ruminya persamaan sehingga pencarian W 1 * dilakukan dengan cara numerik. Beriku diberikan algorima unuk mendapakan W 1 *. Langkah langkah unuk mendapakan solusi dari permasalahan ersebu adalah: 1. Tenukan nilai parameer-parameer yang diperimbangkan dalam model 2. Cari nilai W 1 * yang meminimumkan J s (W 1 ) dengan menggunakan algorima golden secion. Algorima pencarian solusi ersebu adalah sebagai beriku: Langkah inisialisasi 1. Tenukan panjang inerval penghenian l Tenukan inerval awal pencarian [a 1, b 1 ]. 3. Tenukan Z a b dan Z a b a1, α=0, a1 4. Hiung nilai J s (Z 1k ) dan J s (Z 2k ), enukan k =1 dan lanju ke langkah uama. Langkah uama 1. Jika b a l, berheni, solusi opimal erleak pada inerval [a k, b k ]. k k Jika sebaliknya, unuk Z J Z Z J Z Js k s 2k Js k s 2k 1 lanju ke langkah 3. 1 lanju ke langkah 2 dan unuk 2. Tenukan ak 1 Z1k dan bk 1 bk. Tenukan Z1k 1 Z2k dan 2k 1 k 1 k 1 k 1 Z a b a. Hiung nilai J s (Z 2k+1 ), lanju ke langkah 4. 47

7 3. Tenukan ak 1 ak dan bk 1 Z2k. Selanjunya eapkan Z2k 1 Z1k dan a b a Z. Hiung nilai J s (Z 1k+1 ) dan lanju ke 1k 1 k 1 1 k 1 k 1 langkah Gani k dengan k+1 dan kembali ke langkah 1. V.2 Conoh Numerik Pada sub bab ini akan diberikan conoh numerik unuk mendapakan Gambaran solusi W 1 *. V.2.1 Penenuan parameer Penenuan nilai parameer merupakan langkah awal dalam mencari solusi model. Parameer yang digunakan dalam penghiungan nilai ekspekasi ongkos garansi J s (W 1 ) diampilkan pada Tabel pada Tabel 5.3 beriku: Tabel 5.3 Nilai Parameer Sraegi Layanan Parameer Nilai Sauan W 3 Sauan waku ( bulan, ahun) C r 2 Sauan uang / produk C m 1 Sauan uang / produk λ 1 Jumlah kondisi digunakan / sauan waku μ 1 Jumlah kondisi idak digunakan / sauan waku V.2.2 Hasil numerik Meode numerik yang menggunakan algorima golden secion dengan langkah inisialisasi sebagai beriku: 1. Panjang inerval penghenian l 0,1. 2. Inerval awal pencarian [a 1, b 1 ] = [0, 3]. 3. Z 1 = 1,146 dan Z 2 = 1,854. Dengan menggunakan nilai parameer pada Tabel 5.3, maka hasil rinci perhiungan dengan algorima golden secion seperi pada Tabel 5.4 beriku. 48

8 Tabel 5.4. Hasil Perhiungan Algorima Golden Secion Ierasi a b l Z 1 Z 2 J s (Z 1 ) J s (Z 2 ) 1 0,000 3,000 3,000 1,146 1,854 10,283 10, ,000 1,854 1,854 0,708 1,146 10,952 10, ,708 1,854 1,146 1,146 1,416 10,283 10, ,146 1,854 0,708 1,416 1,584 10,246 10, ,146 1,584 0,438 1,313 1,416 10,224 10, ,146 1,416 0,270 1,249 1,313 10,233 10, ,249 1,416 0,167 1,313 1,352 10,224 10, ,249 1,352 0,103 1,288 1,313 10,226 10, ,288 1,352 Pencarian berheni sampai ierasi ke sembilan dengan inerval pencarian (1,288; 1,352). Nilai W 1 * diesimasi sebagai nilai engah inerval pencarian yaiu 1,320 dengan nilai J s (W 1 ) adalah 10,244. V.2.3 Verifikasi Program Program Mahcad bersifa sensiif erhadap perubahan nilai awal pencarian. Verifikasi program dilakukan unuk memasikan bahwa program yang digunakan memberikan hasil yang benar. Verifikasi dilakukan dengan membandingkan hasil perhiungan yang diperoleh dari program Mahcad 13 dengan hasil algorima golden secion. Hasil verifikasi program unuk nilai parameer dari Tabel 5.3 dengan W = 2, 3, 4, dan 5 diberikan pada Tabel 5.5. W Tabel 5.5 Verifikasi Program Mahcad 13 Golden Secion Error (%) W 1 * J s (W 1 ) W 1 * J s (W 1 ) 2 0,767 5,923 0,756 5,924 1, ,315 10,224 1,320 10,224 0, ,848 15,812 1,846 15,812 0, ,372 22,668 2,368 22,668 0,169 Dari Tabel 5.5, nilai W 1 * yang diperoleh dari algorima golden secion dengan W 1 * hasil program Mahcad 13 hampir sama. Ini dapa diliha dari nilai error yang relaif kecil, anara 0,1% hingga 1,5%. Karena iu perhiungan ekspekasi ongkos layanan garansi selanjunya menggunakan Mahcad

9 V.3 Analisis Sensiifias Analisis sensiifias dilakukan unuk meliha pengaruh perubahan parameer erhadap perilaku solusi model. Nilai parameer yang diubah adalah parameer λ, parameer ongkos pengganian C r, dan parameer periode garansi W. Perubahan parameer yang dilakukan adalah: 1. λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dengan μ = 1; C r = 2, 3, 5, 7, 10, dengan C m = 1, unuk W = 2 dan W = W = 2 dan W = 3; C r = 2, 3, 5, 7, 10, dengan C m = 1, unuk λ = 3. Ekspekasi ongkos garansi dengan sraegi layanan J s (W 1 ) dibandingkan dengan ekspekasi ongkos garansi dengan sraegi layanan J r (W). V.3.1 Perubahan Parameer λ Tabel 5.6 menampilkan perilaku W 1 * dan J s (W 1 ) unuk nilai λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan W = 2. Tabel 5.6. Ekspekasi Ongkos Garansi Unuk W = 2 C r λ J r (W) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) 1 0,767 5,923 0,770 6,920 0,775 8,914 0,780 10,908 0,789 13,898 7, ,814 6,946 0,814 7,946 0,815 9,945 0,816 11,944 0,817 14,942 9, ,845 7,959 0,845 8,959 0,845 10,959 0,845 12,958 0,845 15,958 11, ,883 9,973 0,883 10,973 0,883 12,973 0,883 14,973 0,883 17,973 15, ,927 14,988 0,927 15,988 0,927 17,988 0,927 19,988 0,927 22,988 25, ,947 19,993 0,947 20,993 0,947 22,993 0,947 24,993 0,947 27,993 35,833 Dari Tabel 5.6, unuk C r = 3 dapa dijelaskan bahwa nilai W 1 dan J s (W 1 ) berambah unuk kenaikan λ, dan nilai J s (W 1 ) kurang dari nilai J r (W) unuk semua λ. Pada λ = 3, diperoleh nilai W 1 adalah sama unuk semua C r, sedangkan nilai J s (W 1 ) berambah unuk kenaikan C r. Nilai J s (W 1 ) kurang dari nilai J r (W) unuk C r = 2, 3, dan 5, sedangkan unuk C r = 7 dan 10, nilai J s (W 1 ) lebih dari nilai J r (W). Dari penjelasan ersebu dikeahui bahwa unuk C r = 3 garansi dengan sraegi layanan epa dierapkan dari pada garansi dengan perbaikan. Unuk λ = 3, sraegi layanan garansi epa dierapkan hanya hingga C r = 5. Jika C r lebih dari 5 maka garansi dengan perbaikan lebih epa dierapkan. 50

10 Perilaku W 1 * dan J s (W 1 ) unuk nilai λ = 1, 2, 3, 5, 10, 15, dan W = 3 diampilkan pada Tabel 5.7. Tabel 5.7. Ekspekasi Ongkos Garansi Unuk W = 3 C r λ J r (W) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) 1 1,315 10,224 1,315 11,224 1,315 13,224 3,000 14,875 3,000 14,875 14, ,359 12,584 1,359 13,584 1,359 15,584 1,359 17,584 3,000 19,796 19, ,385 14,907 1,385 15,907 1,385 17,907 1,385 19,907 1,385 22,907 24, ,415 19,498 1,415 20,498 1,415 22,498 1,415 24,498 1,415 27,498 33, ,449 30,850 1,449 31,850 1,449 33,850 1,449 35,850 1,449 38,850 56, ,463 42,144 1,463 43,144 1,463 45,144 1,463 47,144 1,463 50,144 79,230 Dari Tabel 5.7, unuk C r = 3 diperoleh bahwa nilai W 1 dan J s (W 1 ) berambah unuk kenaikan λ, dan nilai J s (W 1 ) kurang dari nilai J r (W) unuk semua λ. Pada λ = 3, diperoleh nilai W 1 adalah sama unuk semua C r, sedangkan nilai J s (W 1 ) berambah unuk kenaikan C r. Nilai J s (W 1 ) kurang dari nilai J r (W) unuk seluruh C r. Dari penjelasan ersebu dikeahui bahwa unuk C r = 3 sraegi layanan garansi epa dierapkan dari pada rekifikasi dengan perbaikan. Unuk λ = 3, sraegi layanan garansi epa dierapkan unuk seluruh C r. Dari penjelasan Tabel 5.6 dan 5.7 dapa disimpulkan bahwa unuk nilai C r erenu, nilai W 1 dan J s (W 1 ) meningka dengan kenaikan λ. unuk nilai λ erenu, nilai W 1 eap aau meningka dengan kenaikan nilai C r, sedangkan nilai J s (W 1 ) meningka dengan kenaikan nilai Cr. V.3.2 Perubahan Parameer W Tabel 5.8 menampilkan perilaku W 1 * dan J s (W 1 ) unuk nilai W = 2 dan 3, dan λ = 3. 51

11 Tabel 5.8. Ekspekasi Ongkos Garansi Unuk λ = 3 C r W J r (W) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) W 1 J s (W 1 ) 2 0,814 6,946 0,814 7,946 0,815 9,945 0,816 11,944 0,817 14,942 9, ,359 12,584 1,359 13,584 1,359 15,584 1,359 17,584 3,000 19,796 19,796 Dari Tabel 5.8 erliha bahwa unuk C r = 5, nilai W 1 dan J s (W 1 ) meningka unuk perambahan nilai W. Nilai J s (W 1 ) kurang dari nilai J r (W) unuk kedua nilai W. Pada W = 2, nilai W 1 dan J s (W 1 ) meningka unuk perambahan nilai C r. Nilai J s (W 1 ) kurang dari nilai J r (W) unuk nilai C r = 2, 3, 5, dan 7. Hal yang sama erjadi unuk W = 3, sehingga diperoleh bahwa pada W = 2 dan 3, sera λ = 3, sraegi layanan garansi epa dierapkan hanya hingga C r = 7. Jika C r lebih dari 7 maka garansi dengan perbaikan epa dierapkan. Dari uraian di aas disimpulkan bahwa unuk nilai C r erenu, nilai W 1 dan J s (W 1 ) meningka dengan kenaikan W. unuk nilai W erenu, nilai W 1 eap aau meningka dengan kenaikan nilai C r, sedangkan nilai J s (W 1 ) meningka dengan kenaikan nilai Cr. 52