HUBUNGAN ANTARA BROWNIAN MOTION (THE WIENER PROCESS) DAN SURPLUS PROCESS

Transkripsi

1 HBNGAN ANTARA BROWNIAN MOTION (THE WIENER PROCE DAN RPL PROCE Tohap Manuung Pogam sudi Maemaika FMIPA nivesias am Raulangi Jl Kampus nsa Manado, 955 ABTRAK uau analisis model coninous-ime menjadi cakupan yang akan dibahas dalam ulisan ini Dengan demikian pengenalan poses sochasic akan sanga bepean Dua poses akan di analisis yaiu poses compound Poisson Bownian moion Poses compound Poisson sudah menjadi model sandad unuk Ruin analysis dalam ilmu akuaia emenaa Bownian moion sanga beguna dalam eoi keuangan moden juga dapa digunakan sebagai appoksimasi unuk poses compound Poisson Hal pening dalam ulisan ini adalah menujukkan bagaimana suplus pocess bedasakan poses esiko compound Poisson dihubungkan dengan Bownian moion wih Dif Pocess Kaa kunci: Bownian moion wih Dif pocess, poses suplus, compound Poisson RELATIONHIP BETWEEN BROWNIAN MOTION (THE WIENER PROCE AND THE RPL PROCE ABTRACT An analysis of coninous-ime models is coveed in his pape Thus, his equies an inoducion o sochasic pocesses Two pocesses ae analyzed: he compound Poisson pocess and Bownian moion The compound Poisson pocess has been he sandad model fo uin analysis in acuaial science, while Bownian moion has found consideable use in moden financial heoy and also can be used as an appoximaion o he compound Pisson pocess The impoan hing is o show how he suplus pocess based on compound poisson isk pocess is elaed o Bownian moion wih dif pocess Keywods: Bownian moion wih dif pocess, suplus pocess, compound Poisson PENDAHLAN Poses Bownian Moion, juga disebu Wiene Pocess aau Whie Noise, elah digunakan secaa exensif dalam menjelaskan bebagai fenomena fisik Ahli umbuh-umbuhan dai Inggis menemukan poses ini ahun 87 menggunakannya unuk menjelaskan coninuous iegula moion paikel yang dicelupkan dalam caian Tahun 95 Albe Einsein menjelaskan geakan ini dengan mendalilkan ubukan abadi (pepeual collision paikel dengan medium disekianya Nobe Wiene menyajikan deskipsi analiik poses esebu dalam suau dee (98 ejak masa iu kemudian dalam banyak big aplikasi mulai dai mekanika quanum sampai dengan menjelaskan ingka haga pada pasa saham poses ini elah digunakan Poses ini menjadi pondasi model eoi keuangan moden Dalam ulisan ini akan dibahas bebeapa model poses dalam asuansi misalnya: suplus pocess,coninous ime pocess, Poisson Pocess sea yang isimewa adalah Bownian moion wih dif pocess ehingga ujuan uama ulisan ini adalah menunjukkan hubungan suplus pocess bedasakan poses esiko compound poisson dihubungkan dengan Bownian moion melalui dif pocess

2 8 Junal Ilmiah ains Vol No, Apil TINJAAN PTAKA Model Aggegae Loss Aggegae loss adalah oal keugian yang dialami oleh pemegang polis yang haus dianggung oleh peusahaan asuansi dalam suau peiode waku eenu Meode yang digunakan unuk mempeoleh aggegae loss adalah mencaa masingmasing besa klaim (paymens menjumlahkan semua klaim esebu Aggegae loss dapa dinyaakan dengan suau peubah acak Banyak klaim dalam sau peiode dai suau poofolio dapa dinyaakan dengan peubah acak N Besa masing-masing klaim dapa dinyaakan dalam peubah acak,, Dengan demikian dipeoleh suau model collecive isk = N, N =,, ( di mana = jika N = Asumsi-asumsi yang haus dipehaikan pada aggegae loss unuk model collecive isk yaiu: Dibeikan N=n, peubah acak,,, n meupakan peubah acak yang bedisibusi idenik saling bebas Dibeikan N=n, disibusi besama dai peubah acak,,, n idak beganung pada nilai n Disibusi dai peubah acak N idak beganung kepada nilai-nilai dai peubah acak,, Poses Poisson Pada bagian ini diunjukkan model yang memeiksa suplus secaa koninu dai waku ke waku Kaena model-model yang ada cendeung suli menganalis, kia akan membaasi model yang digunakan, dimana model yang digunakan adalah banyak klaim( numbe of claims mempunyai disibusi Poisson Dalam hal ini akan dipekenalkan poses Poisson pendekaan waku koninu unuk model Ruin Kia akan mempeimbangkan sifa-sifa dasa poses Poisson N ; menyaakan banyak klaim dalam poofolio suau bisnis Jadi, N adalah banyak klaim pada (,] Definisi fomal poses Poisson adalah sebagai beiku Definisi Poses banyak klaim ; adalah poses Poisson dengan N nilai jika kondisi-kondisi beiku epenuhi: N = Poses banyak klaim mempunyai saionay and independen incemens Banyak klaim dalam ineval selang adalah Poisson yang edisibusi dengan mean yaiu, unuk semua s, dipeoleh P N s N s n n e, n,, ( n! asionay incemens adalah disibusi banyak klaim dalam ineval eap hanya beganung dalam panjang ineval aau dikaakan idak ada end effec Independen Incemens adalah banyak klaim dalam ineval secaa saisik bebas dai banyak klaim pada seiap ineval sebelumnya (no ovelapping he pesen ineval Poses suplus uplus Pocess meupakan salah sau model poses asuansi uplus pocess diulis sebagai c (aau mungkin juga dalam vesi discee-ime,,,,, yang menguku suplus dai poofolio pada saa Pada saa =, u =, disebu iniial suplus Dalam hal ini, suplus dalam ilmu akunansi menyaakan excess funds yang idak dipelukan jika poofolio diakhii pada hai ini nuk hal yang ongoing nilai posiif menyajikan pelindungan ehadap kemalangan uplus pada saa adalah P, ( dimana P ; adalah poses pemi (pemium pocess yang menguku seiap pemium (ne of expenses yang dikumpulkan sampai waku, ; adalah poses ugi (loss pocess, yang menguku seiap keugian yang dibayakan sampai waku Beiku ini adalah obsevasinya: P dapa diuliskan aau pemi-pemi yang dipeoleh, yang sesuai dapa dibayakan aau keugiankeugian yang ejadi, yang sesuai P eganung pada u unuk u ebagai conoh, deviden bedasakan keugian-keugian masa lalu yang dapa menguangi pemi sekaang

3 Manuung: Hubungan Anaa Bownian Moion 9 Adalah mungkin, meskipun idak pelu, unuk memisahkan komponen fekuensi seveiy dai Misalkan N ; menjadi poses klaim yang mencaa banyak klaim pada saa Kemudian misalkan Baisan N,, idak haus emasuk vaiabel independen and idenically disibued (iid Akan eapi, jika iid baisannya independen pada N unuk semua, maka mempunyai sebuah disibusi compound Ada dua kasus spesial suplus pocess yaiu: Model discee-time Misalkan kenaikan (incemen pada suplus Pocess selama ahun didefinisikan sebagai W P P,,, ( Maka pekembangan suplus adalah W,,, (5 Akan elaif mudah mempelajai disibusi ;,, yang dibeikan, dimana peubah acak W adalah independen unuk baik W s aau hanya eganung pada nilai - Keeganungan W pada - mempebolehkan unuk membaya deviden bedasakan suplus di akhi ahun sebelumnya (kaena W beganung pada P Model Coninous-Time Dalam kebanyakan kasus suli unuk menganalisis model coninous-ime Hal ini menyebabkan disibusi gabungan haus dikembangkan di seiap iik waku, idak hanya pada himpunan iik-iik waku yang ehiung(counable au model yang elah exensive di analisis adalah poses klaim compound poisson dimana pemi-pemi dikumpul pada nilai yang bukan acak koninu konsan, P (, (6 oal loss pocess adalah N dimana N ; adalah Poisson pocess Poses esiko Bownian Moion Tujuan dai ulisan ini adalah unuk menunjukkan hubungan anaa Bownian moion (Wiene Pocess suplus pocess ;, dimana u c, (7 ; adalah oal loss pocess yang didefinisikan oleh N,, dimana N ; adalah poses Poisson dengan nilai when N Pada sub bagian sebelumnya diasumsikan bahwa keugian-keugian individu,, adalah disibusi idenik saling bebas peubah acak posiif dimana funsi pembangun momen ada uplus Pocess ; adalah naik koninu (inceasing coninuously dengan kemiingan (slope c, Nilai pemi pe uni waku, downwad jumps beuu-uu dai,, pada andom jump imes T, T, Misalkan u c, (8 ehingga = Kaena mempunyai disibusi compound, pocess ; mempunyai c c vaians Va( elanjunya, beiku ini akan dipekenalkan poses sokasik yang sesuai bedasakan Bownian moion Definisi Poses sochasic unuk coninuous-ime ; adalah Bownian W W pocess jika: W = ; ; mempunyai sasionay and independen incemens; nuk seiap >, W adalah edisibusi nomal dengan mean vaians Definisi Poses sochasic coninuousime W ; disebu poses Bownian moion wih dif jika memenuhi sifa-sifa dai poses Bownian moion kecuali W mempunyai mean bukan unuk

4 5 Junal Ilmiah ains Vol No, Apil PEMBAHAAN Pada bagian ini akan diunjukkan bagaimana suplus pocess (8 bedasakan poses esiko Poisson dihubungkan dengan Bownian moion dengan dif pocess Kia akan mengambil limi dai poses (8 sebagai ekpekasi bilangan downwad jumps menjadi besa secaa simulan besa lompaan menjadi kecil Kaena Bownian moion dengan dif pocess dikaakeisasi oleh mean yang sanga kecil vaians yang sanga kecil, kia mendoong fungsi mean vaians menjadi sama unuk dua poses Dalam hal ini, Bownian moion dengan dif dapa dianggap sebagai apoksimasi ehadap compound Poisson bedasakan suplus pocess ama halnya, poses compound Poisson dapa digunakan sebagai apoksimasi unuk Bownian moion Misalkan c E ( menunjukkan mean vaians yang sanga kecil dai Bownian moion dengan dif pocess Kemudian ] (9 c ] ] ( elanjunya, unuk mencapai limi, kia membua lompaan (jump nilai sebagai suau bagian skala bebeapa peubah acak lainnya, sehingga = α, dimana mempunyai mean vaians eap Kemudian ] c ] ] Maka aga, dienukan Kaena poses ; adalah poses coninuous ime yang sasione independen incemen, sehingga poses ; and ; Hal ini kemudian juga menjadi kasus limiing pocess Kaena =, kia hanya pelu membenuknya, bahwa unuk seiap, dalam limi, edisibusi nomal dengan mean vaians menuu definisi definisi Kia akan menyelesaikan ini dengan mempehaikan fungsi pembangun momen (momen geneaing funcion dai M ( M ( Maka ln M ( [ c Kaena lim M [ M ] ( c E exp[ ( c exp c (! ]!!! [ M ] (!, kia mempunyai exp!!! dimana mgf dai disibusi nomal dengan mean vaians Ini menunjukkan bahwa limiing pocess adalah Bownian moion dengan dif pocess Kaena banyak iik jump meningka dengan ak hingga, poses menjadi nowhee diffeeniable ifa lain dai poses Bownian moion adalah bahwa pah nya adalah fungsi koninu dai dengan peluang ecaa inuiif, ini ejadi kaena besa lompaan menjadi kecil saa Akhinya, oal jaak yang dilewai pada (,] oleh poses adalah D c c N,, ]

5 Manuung: Hubungan Anaa Bownian Moion 5 yang mempunyai nilai ekpekasi D] c ] ] ] ] ] ] Nilai esebu menjadi ak hingga pada saa Jadi, lim E [ D] Ainya bahwa ekpekasi jaak yang dilewai dalam ineval waku behingga adalah besa ak hingga KEIMPLAN Kaena = u, kia dapa menambahkan hanya nilai u (iniial suplus unuk Bownian moion dengan dif pocess kemudian meggunakan ] ] c unuk Mengembangkan apoksimasi poses ] u c, Tenu saja, nilai yang lebih besa lompaan yang lebih kecil menjadi apoksimasi yang lebih baik nuk blok police asuansi yang sanga besa (sebagai conoh, seluuh peusahaan asuansi, hal ini akan lebih epa Dalam kasus ini, peluang uin uama disibusi waku sampai uin dengan mudah dipeoleh dai apoksimasi Bownian moion dengan dif pocess DAFTAR PTAKA Kalin,, Taylo, HM (975: A Fis Couse in ochasic Pocesses econd Ediion Klugman, ua A, Panje, Hay H, Willmo, Godon E (:Loss Models fom Daa o Decisions econd Ediion New Jesey: John Wiley & ons Rieske H,apo WI, Poses sokasik, caaan kuliah (MA-9, penebi ITB Ross, (996: ochasic Pocesses, econd Ediion, New ok: John Wiley & ons