BAB VI APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Transkripsi

1 BAB VI APIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIA Tujuan Pmblajaran Tujuan dari pmblajaran PD, adalah mmbawa mahasiswa unuk brpikir sara mamais, nang pmahaman fnomna alam smsa ini. Pmaparan fnomna alam smsa k bahasa mamaik, sring disbu sbagai pmodlan. Pada bab ini isilah pmodlan diukar mnjadi Aplikasi. Sbab isilah pmodlan, mmrlukan bsi ilmu yang komplks dalam mnnukan variabl-variabl yang harus disrakan dalam analisis fnomna alam yang diplajari. Sdangkan isilah Aplikasi hanya brkisar pada fnomna yang lah dibahas, namun masih mmungkinkan dilakukan inovasi-inovasi, ssuai dngan prkmbangan knologi maupun kbuuhan manusia. A. Pndahuluan Prsamaan diffrnsial mrupakan dasar pning unuk mamaika knik. Banyak hukum-hukum fisika dan knologi yang dapa dinyaakan sara mamaik ruama dalam bnuk prsamaan diffrnsial. Pada bab ini dioba unuk mngubah bbrapa jnis masalah fisika, mkanika, lkronika, dan gomris k dalam bnuk prsamaan diffrnsial dan brbagai mod pnylsaiannya. Sara khusus mmbnuk modl unuk mnnukan prsamaan diffrnsial ssuai dngan kadaaan fisis yang dibrikan. Prubahan masalah fisis mnjadi prsamaan diffrnsial disbu pmodlan (liha bab sau). Prosdur ini sanga pning dalam ilmu knologi dan fisika. Prosdur pmodlan lbih mudah dipahami dngan ara mngmbangkan bbrapa onoh dan pnylsaiannya. B. Prumbuhan dan Pluruhan aju pluruhan bahan radioakif pada siap waku dinukan olh prbandingan banyaknya radioakif pada siap wakunya. Dmikian juga dngan

2 laju prumbuhan suau bakri di dalam laruan slalu sbanding dngan populasi bakri pada siap saa (waku prhiungan). Bila m mnyaakan massa suau unsur radio akif pada waku, aau banyaknya populasi bakri didalam suau laruan pada waku, maka hubungan pluruhan aau prumbuhan rhadap waku iu dinyaakan olh prsamaan: dm k.m...() dimana k sbagai fakor prbandingan, aau konsana unuk za rnu. Sbagai onoh: radium yang mluruh dngan mngluarkan sinar alpa. Misalkan laju pluruhannya brbanding lurus dngan muaannya pada siap saa, dan 5% dari muaan awalnya hilang dalam waku 664 ahun, brapa waku paruh radium? (waku paruh adalah waku yang diprlukan agar muaan radio akif brkurang mnjadi sparuh dari muaan awalnya, karna pluruhan). Variabl m dan pada prsamaan () dapa diulis dm m ln m m() k k. k.. bila kondisi awal, pada saaa =, muaan radio akifnya sbanyak m o, maka. didapa = m. Prsamaan umumnya mnjadi: ln m() k m o. syara bbas yang dikahui adalah pada saa = 664 ahun, muaan radio akif, rsisa mnjadi,75 m o prsamaan mnjadi:,75m ln,75 664k k,4 prsamaan khusunya mnjadi: o m o. k m() m o.,4 Slanjunya, dngan mmanfaakan prsamaan ini akan didapa waku paruh radium sbagai briku:

3 ,5m o ln,5 m o.,4,4 6ahun Jadi waku paruh radium adalah 6 ahun. C. Prubahan Tmpraur Hukum Nwon nang pndinginan bnda mnyaakan bahwa, laju prubahan mpraur suau bnda pada siap waku, brbanding lurus dngan prbandingan mpraur bnda dngan mpraur di skiarnya pada siap waku. Ambil sbagai mpraur bnda pada siap saa dan M mpraur diskiarnya (ap) pada siap saa. Hukum Nwon mngnai pndinginan aau pmanasan dinyaakan dalam bnuk prsamaan diffrnsial, yaiu: dt k (T M)...() Dimana k sbagai konsana prbandingan mpraur bnda dari waku k waku. Conoh : Bila mpraur diskiarnya 4 o C dan mpraur bnda urun dari 7 o C mnjadi 5 o C dalam waku 45 mni. Brapa mpraur bnda slah jam 5 mni. Jawab Karna mprau disklilingnya M = 4 o C ap, maka prsamaan () dapa diulis dt (T - 4) k Hasil ingral : ln (T 4) = k. + ln C ln (T 4) = ln k + ln Aau : T() =. k + 4 T 4 =. k Unuk mndapakan C dikahui syara baas pada saaa =, T = 7 o C, didapa =. Prsamaan mnjadi: T() = k + 4 (jawaban umum) Syara baas brikunya adalah, pada saa = 45 mni, T = 5 o C. subsiusikan kadaan ini k dalam prsamaan, didapa:

4 5 = k ln = 45 k k =,54 Prsamaan khususnya adalah, T() = -, Slanjunya pada saa = 5 mni, mpraur bnda mnjadi: T().. 56,6 o,54.5,79 C 4 4 =,78 bilangan pokok log naural. Jadi mpraur bnda slah jam 5 mni adalah 56,6 o C. D. Garan Pgas Pgas spiral spanjang l, rganung pada pnahan (gambar), mnuru hukum hook, arikan aau kanan sjauh s yang dibrikan pada pgas rsbu mnimbulkan gaya prlawanan F yang brbanding lurus dngan k sbagai konsana pgas, ssuai dngan bahan, kbalan, dan bnuk pgas F k. s, dimana Gambar 6. Garan Pgas Objk A sbra W = m. g, diganung dibagian bawah pgas dan dibiarkan sampai simbang (b). Ambil sumbu koordina vrikal dngan arah posiif k

5 bawah dari garis horizonal iik, iik P diarik k bawah sjauh o lalu dilpas (). Ada dua jnis prmasalahan grakan iik p, yaiu; () grakan harmonis sdrhanan dan () garan rdam.. Grakan Harmonis Sdrhana Pada grakan ini diasumsikan idak ada ahanan udara aau gskan pada sism. Bila objk A yang diarik ( C ) kmudian dilpas, ia akan brgrak karah k aas, mlwai iik asal, karna adanya gaya Hook sbsar F = -k. s. Mnuru hukum ksimbangan Nwon F = m.a, dimana m = W adalah g massa dari objk A dan a prpaan dari gskan sra g adalah prpaan graviasi bumi, shingga dapa diulis : m.a W d. g k. k....() Mrupakan prsamaan diffrnsial ordo dua dalam bnuk prubahan jarak rhadap waku, slah pgas dilpas dari arikan. Prsamaan dapa diulis dalam d k.g bnuk:. W k.g Prsamaan karakrisiknya adalah : m W Dnganakar akar : m, k.g W didapa: Bila k.g W Dngansyarabaas,pada saa () o os Bi, maka jawaban umumnya adalah : dan sin () d ; o osb B o sin B sin d dan B B osb

6 () sin os Didapa jawaban khusus unuk grakan harmonis sdrhana dalam bnuk : () = o os B dngan B kg W Grakan ini mnyaakan grakan naik urun brjarak o sauan dari iik. o dinyaakan sbagai ampliudo dari grakan priodik dngan priod π. B Prsamaan grak dngan prsamaan rsbu di aas dinyaakan sbagai grakan harmonis sdrhana. Conoh : Objk brmassa 5 lb diganung pada pgas spiral vrikal, shingga pgas brgrak sjauh 6 inh dan simbang. Bila bban diambah sbsar lb dan dibiarkan sampai simbang, kmudian diarik sjauh foo, lalu dilpaskan. Tnukanlah prsamaan grakan bnda pada pgas rsbu (dngan asumsi idak ada ahanan udara aau grakan lainnya dalam sism), Jawab : Ambil graviasi g = f/s dngan bban 5 lb, prambahan panjang Jadi : F 5 ks k k lb f unuk mndapakan k gunakan kadaan awal f, Prsamaan grakan unuk bban ambahan lb, dngan k = dan g = adalah:

7 Prsamaan karakrisik: W d. g d. m 6 m, 4i Jawaban umum PD nya adalah () = os 4 + sin 4 d Syara baas pada saa =, = dan v = () () d Jadi prsamaan gsknya adalah : () 4 4 sin 4.. os os 4 Grakan iik P adalah gskan harmonis sdrhana dngan priod π =,57 dik dan ampliudo f di bawah iik. Tiik P brgrak naik urun dari f di bawah iik k f di aas iik dan kmbali k iik siap,57 dik.. Garan Trdam Pada knyaaannya siap grakan slalu mngalami ahanan dan gskan pada sismnya, shingga grakannya mnjadi idak harmonis sdrhana. Pada umumnya hambaan yang rjadi akan mrdam kpaan ssaanya. Arah gaya yang mrdam brlawanan dngan arah grakan bnda. Mnuru hukum Hook dapa diulis prsamaan grak dalam bnuk: d gq d W kg W F W d g k k q v d q

8 Dimana q hambaan posiif dan v = mnyaakan gaya prlambaan. Bila diambil B k g = W mnjadi: d, kpaan dari paikl. Harga q v d d E B g q dan E = W prsamaan Prsamaan ini mrupakan prsamaan diffrnsial homogn ordo dua, dngan prsamaan karakrisik : m + E m +B = Ada alrnaif (kasus) jawaban yang brhubungan dngan harya E 4B, yaiu posiif, ngaif dan nol. Kasus (E 4B < ) Harga akar-akarnya bilangan komplks yaiu m, = α βi, jawaban umumnya adalah () = Fakor lim ~ α α ( sin β + os α β ) aau y(). sin (β γ). α dinyaakan sbagai fakor rdaman. Pada umumnya α, Prsamaan ini disbu sbagai grakan harmonis rdam. Ampliudo adalah α, yang didkai nol pada saa ~ Kasus (E 4B = ). Pada kasus ini harga akar-akar prsamaan karakrisiknya sama. Bila dinyaakan dngan α, maka jawaban umum dari prsamaan diffrnsial adalah: X() = ( + ) Prsamaan grakan yang dinyaakan olh prsamaan ini adalah rdaman kriis grakannya bukan garan. α

9 Kasus (E 4B > ) Harga akar-akar prsamaan karakrisiknya ral dan brbda. Bila dinyaakan dngan α dan α, maka jawaban umum unuk prsamaan diffrnsial adalah: () α grakan dngan prsamaan ini dinyaakan sbagai ovr rdaman juga bukan mrupakan garan.. α (a) Dampd (b) Criial Dampd (b) Ovr Dampd Gambar 6. Grakan Ovr Rdaman Conoh : Bila gaya rdaman sbsar, v dibrikan pada sism grakan onoh rdahulu, maka prsamaan diffrnsial yang diprolh unuk grakan iik p mnjadi: d, d 6 dngan akar-akar prsamaannya: m, = -,6 5, 97 = -,6 4i Jawaban umumnya adalah () =,6 ( sin 4 + os 4) unuk syara baasan, d =, =, dan v didapa: d,6 (). 4,6 os4 4,6 sin 4 (4,4,6 )... ()

10 ,6 (). () sin 4 os4,5. Dari (), didapa =,5.,4 =,.. Prsamaan mnjadi (),6 (, sin 4 +,5 os 4). grakan iik p sanga lamba. Grakan harmonis dirdam dngan fakor rdaman kira-kira π,57 dik.,6 dan priod E. Rangkain Elkrik Kbanyakan rangkaian lisrik dapa dinyaakan dalam bnuk prsamaan diffrnsial linir, Gambar briku mnunjukan suau rangkaian yang rdiri dari gaya grak lisrik E (bau barai aau gnraor, rsisor R, indukor, kondnsor, dan saklar s yang dihubungkan sara sri. V R = i.r di V =.. V =. q Gambar 6.4 Rangkaian RC RC mnggunakan nrgi yang dibrikan olh ggl E. Rsisor mnggunakan nrgi unuk mngaasi ahanan arus lisrik yang mlwainya sama spri gsran aliran air di dalam pipa saluran. Enrgi yang digunakan olh rsisor sbsar V R = I. R yang diukur dngan sauan ohm.

11 Indukor digunakan unuk mnsabilkan aliran arus lisrik, dngan ara mnaikkan aau mnurunkan arus, dngan ara mnambah aau mngurangi di nrgi lisrik, ngi yang digunakan olh indukor sbsar V I =. Condnsor, biasa disbu kapasior rdiri dari pla-pla yang risolasi, gunannya unuk mnyimpan muaan parikl. Enrgi yang digunakan olh ondnsr sbsar V I. q Dimana noasi-noasi yang digunakan adalah: q i = muaan lisrik diukur dngan sauan oulomb (C) = waku dalam dik = arus lisrik, diukur dngan sauan ampr (A) = lkromoiv for (ggl) diukur dngan vol (v) C = apasisan dalam farad (F) R = ahanan dalam ohm = kofisin indukansi dalam hndri (H). Hukum Kirhoff kdua (hukum volas) mngaakan bahwa: Pada rangkaian ruup, jumlah volas (nrgi lisrik sluruh lmn yang rpasang), sama dngan jumlah volas yang dikluarkan olh lkromoiv for E() pada iap wakunya. Unuk rangkaian pada gambar RCl yang dilayani olh lkromoiv E() dan saklar s. Hukum Kirhoff yang dibua dalam prsamaan diffrnsial adalah: di Ri q C E()...( ) unuk mndapakan I pada iap waku, subsiusikan didapa: dq i k dalam () dan d q R dq C q E()...( ) Ini adalah PD non homogn dngan jawaban umum dapa diarikan dalam bnuk q sbagai fungsi. Turunan dari jawaban ini rhadap mnghasilkan

12 i dq. Bnuk ini dapa digunakan unuk mnyaakan arus I sbagai fungsi dngan ara mndiffrnsialkan () karah, inga bahwa dq i aau q i... Didapa: d i R di R.i d E() Jawaban umum dari prsamaan ordo dua non homogn ini mnyaakan i sbagai fungsi (kuar arus rhadap waku). Conoh Hiunglah arus I sbagai fungsi, slah saklar diuup pada rangkaian RC rdiri dari rsisor, kondnsor, dan kondukor, barai = vol dan saklar (s) yang dihubungkan sara sri. Bila R = 6, =, h dan C =. -4 F. Jawab : Hukum Kirhoff kdua : d q R dq C q E() d q 6 dq,,.. 4 q., (D 8D 5.)q 6 PD ordo dua dngan jawaban umum. Fungsi komplmnr dngan prsamaan karakrisik [m [(-4 + i)] [m-(-4+i)] = m, = - 4 i Jadi q = -4 ( sin + os ) Ingral khusus dngan mmisalkan q p = A. q p = subsiusikan k dalam prsamaan didapa: A = 6 A =,4. - Didapa jawaban umum q() = -4 ( sin + os ) +,4. - Syara baas:

13 q dq i (b) (a) dq ( ( 4 4,. (..) ( 4(,4. sin sin,4..) ) ( os ). os ).) jadi q() = - 4,4. sin,4. os sbagai prsamaan muaan q rhadap waku. I() = 4 sin sbagai prsamaan kua arus I rhadap waku. Conoh Rangkaian rdiri dari rsisor R, indukor dan pmbangki lisrik sinusoidal E() = k.sin.w. bila pada saa saklar diuup = rdapa E() = nukanlah prsamaan kua arus. Jawab : Mnuru hukum Kirhoff kdua : d (i. i. R i() R K di R i k.sin ω di R K i sin ω R K ) sin ω. R sin ω. K M R (Rsin ω ω osω) R dimana: M R ω, dan sbagai konsana.

14 K ω Dari kadaan awal =, i = didapa shingga: M i K M ( W. R R sin ω W osω) mrupakan kua arus I pada saa >. Caaan, unuk rus brambah R mndkai nol. Shingga unuk yang bsar R dapa diabaikan. dimana: Hal ini mnybabkan prsamaan mnjadi dua bagian, yaiu i = i T + i S. K W T R sin ω W os ω sbagai ransin urrn M i K is M R sin ω W osω sbagai sadysaurrn F. Mkanika Hukum dasar mkanika adalah hukum Nwon F d (mv), dimana m sbagai massa bnda yang brgrak, v kpaan, waku dan F gaya pnybab grakan bnda. Karna massa bnda konsan, maka prsamaan dapa diulis: dv m. d m. ds F dngan s jarak mpuh grakan, a prpaan di aas prmukaan bumi. Massa m dipngaruhi olh graviasi dan mnghasilkan gaya bra sbsar W = m. g. Sism m.a sauan yang digunakan dalam mmbahas mkanikan adalah:. CGS (m, grm, s). Bila m dalam gram, maka a dalam m s dalam dyn grm.m s.. MKS (m, kg, s). Bila m dalam kg, maka a dalam m s Nwon kg.m s., shingga F shingga F dalam

15 . FPS (f, lb, s). Bila m dalam lb, maka a dalam f, shingga F = m. a s = f, shingga F = m. a = W. a dalam lbf. Di aas bumi g = f s g s = 9,8 m 98 m. Conoh : Tali brmassa m rganung pada pasak pada iap sisinya. Hiung waku agar ali lpas dari pasak bila (a) gskan diabaikan dan (b) gskan yang rjadi anara pasak dan ali sama dngan bra sau mr ali, g = m. d Jawab : 8 m m a. Massa oal ali m kg bila iap waku dik ali brgrak sjauh m k arah ali rpanjang maka kadaan disribusi gaya adalah: F = ( + ) m.g m.g - (8 ) m.a = 6m + m. 4m + m d d Bagi prsamaan dngan m dan nilai a, maka dapa diulis: Adalah (PD) ordo dua ak homogn dngan solusi: ) Fungsi komplmnr dngan prsamaan karakrisik m m m shingga ) Ingral khusus dngan mmisalkan p = A; p = subsiusikan k dalam prsamaan didapa:

16 A A p Jawaban umum PD adalah: () = Dngan syara baas: d () () ().. Jadi prsamaan grak ali adalah : () Tali akan lpas dari pasak jika = 8 jadi, 8 inga oh -, prsamaan dapa diulis; osh osh 5 osh 5 ; dari kalkulaor didapa:,9 dik Jadi, waku agar ali lpas dari pasak adalah,9 dik. Cara lain : Dari prsamaan : 4. () 9,899 (), 5 - ln 9,899 ln, 6 5 4,899,9(bnar) -,9(idak bnar) mg b. Bila gaya gsk pnahan, maka prsamaan mnjadi F mg 8 mg mg

17 d didapa () ; spri jawaban di aas, - Syara baas : d jadi () () , 4 4 Tali lpas dari pasak jika = 8, jadi : osh - 8 osh 6,5 dik jadi, waku agar ali lpas dari pasak adalah,5 dik. G. nduan Balok Horizonal Sbaang balok yang diumpu pada kdua sisinya akan mngalami lnduan (dflksi) karna bban branya sndiri aau bban lainnya. Dngan asumsi bahwa bahan dan bnuk balok uniform dngan sra-sra mmanjang. Konsnrasi gaya bra bban mraa q N/m, dari balok rsbu rpusa diiik bra (nr of graviy).

18 Gambar 6.5 ngkungan f(), Akiba Bban Mraa Sra-sra balok yang smula sjajar dngan sumbu daar mnjadi mlnur karna bban gaya bra. nuran maksimum rjadi pada iik bra balok (di ngah-ngah). Sra-sra balok mmbnuk suau kurva f() dalam sism koordina sumbu y. Olh karna iu prlu diari bnuk prsamaan mamaika dari f(). Dngan mngambil iik pandang, irisan balok pada jarak (iik P) dari salah sau umpuan (disini diambil iik A). Mnuru mkanika, momn yang rjadi rhadap iik P, dari sluruh gaya yang bkrja pada balok dan sismnya (a) idak brganung pada bagian pandangan poongan dan (b) momn yang rjadi dinyaakan dngan E.I R Mp...(). Dalam hal ini E = modulus lasis [N/m ] dan I = momn inrsia irisan balok [m 4 ] dan R = jari-jari klngkungan [m], (kurva lasis) diiik P, dan Mp momn rhadap iik P [N m]. Unuk mmprmudah bahasan, ambil koordina iik P(, y) Karna kofisin arah kurva f() adalah dy/d di smua iik dan jari-jari R adalah

19 R dy d d y d dy dy karna sara mkanik sanga kil dan d d pada kadaan ini dapa diambil: R d y d dngan dmikian prsamaan () mnjadi: bila dflksi maksimum, maka d y.i. d E Mp...() Bila bban mraa balok q N/m, panjang balok mr maka gaya vrikal pada umpuan A dan B masing-masing R A = R B = q l [N]. Gaya bra balok spanjang adalah W = q. Dngan dmikian momn gaya pada iik p adalah: Mp = ql - q p = ql - q ½ R A gl Gambar 6.6 Momn dngan Gaya Di ii P

20 d y Slanjunya () mnjadi:.e I ql q mrupakan prsamaan d diffrnsial ordo dua yang dapa dislsaikan dngan ingral langsung dan syara dy l baas = ; y = dan ; pada saa akan didapa: d q 4 y() l l 4 E.I sbagai prsamaan lnduan balok. nduan maksimum rjadi bila l shingga y ma q E. I.4 4 l 6 l. l. 8 l 4 5 g l 84E. I Soal-soal :. Jika aju prumbuhan kara di prmukaan pla logam sbanding dngan luas A() pada iap waku dan luas rsbu mnjadi dua kali lipa dalam sau minggu, brapa kali lipa luas kara rsbu slah sau ahun (5 minggu).. Bila waku paruh uranium 9 U slama 74 ahun. Brapa prsn yang rsisa slah ahun, ahun dan 5 ahun?. Trmomr rbaa 5 o C. sau mni kmudian rmomr rsbu mnunjukan angka 9 o C. Brapa lama waku yang diprlukan agar rmomr rsbu mnunjukan angka 4,9 o C. 4. Bsi rongsokan brmpraur o C dimasukan k dalam anur lisrik, mni kmudian mpraurnya mnjadi 5 o C. bila mpraur pngoran o C, brapa lama pross pnairan bsi rsbu di dalam anur lisrik. Tmplaur udara saa iu 7 C. 5. Sbuah bnda dilmpar vrikla k aas dngan kpaan awal v o. Bukikan bahwa waku mpuh bnda sampai kmbali dua kali waku mpuh unuk mnapai iik ringgi. Tnukan kpaan saa kmbali k mpa smula.

21 6. Objk sbra N diganung pada bagian bawah pgas spiral, shingga mrgang sjauh 9,8 m slah kadaan simbang, bban rsbu diarik kbawah sjauh 5 m, diukur dari dalam kadaan diam slah dibbani. Tnukanlah prsamaan grakan yang dihasilkan dngan asumsi idak ada gskan dan hambaan udara. 7. Bila gaya rdaman dibrikan pada soal 6, sbsar, v, nukanlah prsamaan graknya. 8. Sbuah pgas dngan k = 7 N/m rganung vrikal dngan ujung aasnya ap. Objk brmassa 7 kg diganungkan pada ujung bawah, slah simbang obyk rsbu diarik k bawah sjauh 5 m dan dilpaskan. Tnukan prsamaan grak yang rjadi, bila gskan diabaikan. 9. Rsisor R = ohm, induor = hndri dan barai E vol dihubungkan sara sri olh saklar s. Pada saa = saklar diup, kua arus I =. nukan prsamaan arus I pada saa >, bila (a) E = 4; (b) E = - dan () E = 5 sin 5.. Rsisor R=5 ohm dan ondnsor =, farad disambung sara sri dngan barai E = vol. Bila pada saa = rsapa muaan sbsar 5 oulomb pada kondnsor. Tnukan banyaknya muaan dan kua arus pada >.. Tnukan kua arus yang mngalir pada iap abang, bila rangkaian lrik spri gambar di samping.

22 . Suau jaringan lisrik rsiri aas induor,5 H, rsisor ohm, ondnsaor dngan mirofarad dan ggl sbsar E = vol. Tnukan kua arus I dan banyaknya muaan q, jika pada saa =, I = dan q =.. Tali rganung pada pasak dngan panjang masing-masing dan 5 m pada iap sisinya. Bila massa ali m kg iap mrnya, nukanlah waku agar ali lpas dari pasak bila (a) anpa ada gskan dan ahanan udara, (b) gskan anara ali dngan karol sama dngan bra iap mr ali. 4. Tangki air brbnuk silindr singgi h mr, risis air pnuh, luas pnampang angki A m, bila di dasar angki dibri lubang sluas a m, nukanlah waku agar air dalam angki kluar sngahnya. Brapa lama agar angki iu mnjadi kosong? 5. Balok horizonal spanjang l, dijpi pada saa salah sau sisinya dan sisi lainnya bbas. Carilah prsamaan kurva lnduannya. Hiung dflksi maksimum yang rjadi, bila bban mraanya sbsar q N/m. 6. balok horizonal spanjang l, diumpu pada kdua sisinya. Carilah prsamaan lnduannya dan lnduan maksimum jika di ngah-ngahnya dibri bban q N dan bban mraa balok q N/m. 7. Prahu diarik dngan kpaan km/jam. Pada saa = ala pnarik dilpas. Orang yang ada di aas prahu mulai mndayung sarah dngan grakan, dngan gaya 9 N. Jika massa orang dan prahu 5 kg dan hambaan yang dialami prahu 6,5 v [m/d]. Carilah kpaan prahu slah dik. 8. Suau bnda brgrak pada garis lurus, shingga kpaan awalnya mnjadi kali lbih bsar dari jarak mpuhnya pada garis iu. Tnukan prsamaan graknya jika pada saa =, v = 5 m/d.

23