PEMODELAN MATEMATIKA UNTUK JAM AIR JENIS POLYVASCULAR CLEPSYDRA DENGAN KASUS VISCOSITY DOMINATED. Linda Maria Evi Dewi 1 dan Widowati 2

Transkripsi

1 PEMODELAN MATEMATIKA UNTUK JAM AIR JENIS POLYVASCULAR CLEPSYDRA DENGAN KASUS VISCOSITY DOMINATED Linda Maria Evi Dwi dan Widowai, Jurusan Mamaika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Sodaro, S.H, Smarang 575 linda_m Absrac. Th principl_work of polyvascular clpsydra war clocks is o mak h consan flow on h las vssl. A viscosiy dominad cas can influnc a liquid flow in his clpsydra, bsid h numbr of h vssl which build his clpsydra, will influnc a consan flow duraion. Th incrasing h numbr of h vssl will incras h duraion of h consan flow. A cas sudy a PT Tira Sidaama is givn ovrify h principl_work of his clpsydra. Kywords: Polyvascular clpsydra, prinsip krja, aliran konsan, jam air.. PENDAHULUAN Pada masa millnnium spri skarang, banyak ala-ala canggih yang lah dimukan dan mngalami prkmbangan psa, spri kompur, lapop, psawa rbang, psawa lpon, jam dan lain sbagainya. Jam mrupakan salah sau ala yang pning unuk khidupan manusia. Hal ini dikarnakan jam adalah suau ala yang dipakai unuk mnghiung waku, dan nunya siap manusia mmprhiungkan waku dalam mlwai kahidupannya. Pada masa sblum Mashi, bangsa Msir mnggunakan maahari sbagai ala pnunjuk waku. Pada prkmbangannya manusia kmudian mnmukan jam air aau disbu juga clpsydra. Jnis jam air ini mrupakan ala pnunjuk waku prama yang idak mnggunakan sinar maahari. Manusia kmudian mulai mnmukan jam mkanik. Jnis jam ini prama kali dikmbangkan di Eropa. Jnis jam yang dimukan slanjunya adalah jam aom. Salah sau jam jnis ini adalah jam NIST F- yang dicipakan olh Naional Insiu of Scinc and Tchnology (NIST), di ouldr, Colorado. Jam aom ini sampai skarang dijadikan sbagai sandard frkunsi prhiungan waku di dunia. Di sini pnulis mngulas jam air dan ingin mncari prinsip krja jam air sra mmodlkan aliran air yang kluar dari bjana dalam suau modl mamaika. Pnulis bukan ingin mnggunakan lagi jam air sbagai ala pnunjuk waku api ingin mngkaji nang prinsip krja sbuah jam air dan mngaplikasikan prinsip krja jam air rsbu dalam prmasalahan nyaa, yaiu pada prusahaan air minum PT Sidaama. PT Sidaama mrupakan prusahaan yang mmproduksi air minum murni dngan sism Rvrs Osmosis (RO).. HUKUM POISSEUILLE Viscosias mrupakan ukuran gskan di bagian dalam suau fluida [5]. Fluida sbnarnya rdiri aas bbrapa lapisan, karna adanya viscosias diprlukan gaya unuk mluncurkan sau lapisan fluida di aas lapisan fluida yang lain. Misalkan dalam spoong pipa yang radius dalamnya R dan panjangnya L mngalir fluida yang viscosiasnya η. Sbuah silindr kcil bradius r brada dalam ksimbangan brgrak dalam kcpaan konsan. Hal ini disbabkan gaya dorong yang imbul akiba prbdaan kanan anara ujung-ujung silindr iu

2 Jurnal Mamaika Vol., No., April 8:-9 sra gaya kknalan yang mnkan pada prmukaan luar. Gaya dorong ini adalah, p p π () ( ) r briku akan diunjukkan gambar gaya rhadap sunsur fluida knal. pπ r p π p p Gambar. Gaya Trhadap Sunsur Silindris Fluida Knal Mnginga kmbali fk viscosias, gaya kknalan dirumuskan sbagai, dv dv ηa = η. π rl. () dr dr dv dngan adalah gradin kcpaan pada dr jarak radial r dari sumbu. Tanda ngaif dibrikan karna v brkurang bila r brambah. Slanjunya prsamaan () diingralkan unuk mmprolh prsamaan unuk kcpaan v, yaiu v L p p dv = η L R r dr r ( R ( ) ) r p p v = r () ηl dngan r adalah suau nilai r rnu pada suau nilai v rnu pula. Unuk jari-jari silindr dalam pipa mndaar yang masih brubah-ubah, maka kcpaan aliran fluida dalam pipa juga akan brubah mngikui prubahan jarijari. Dalam hal ini smakin bsar jari-jari silindr dalam pipa, maka akan smakin kcil kcil kcpaan aliran fluidanya. Shingga prsamaan () dapa diuliskan sbagai briku, p p v = ( R ( r) ) () ηl Unuk mnghiung kcpaan pngosongan q aau volum fluida yang mlwai sbarang pnampang pipa prsauan waku dapa diuraikan sbagai briku. Volum fluida dv yang mlwai ujung-ujung unsur ini waku d ialah v da d, dngan v adalah kcpaan pada radius r dan da ialah luas pnampang mlinang pipa. Dngan mngambil rumusan v dari prsamaan () dan da = π r dr. Dalam prsamaan () nilai r masih dapa brubah-ubah, olh karna iu r = r, shingga diprolh, p p dv = ( R r ) π r dr d ηl Volum yang mngalir mlwai sluruh pnampang linang diprolh dngan mngingralkan sluruh unsur anara r = dan r = R. R ( p p ) ( R r ) R p p q = π r dr = L π η 8 η L (5) Rumus ini prama kali dirumuskan olh Poissuill dan dinamakan hukum Poissull. [5].. JAM AIR JENIS POLYVASCULAR CLEPSYDRA Tip paling sdrhana dari jam air disbu ouflow clpsydra. Dimana air dalam bjana rsbu mngalir kluar mlalui sbuah pipa yang mlka di dindingnya. Salah sau clpsydra yang rua adalah clpsydra jnis ini [8]. Jnis lain lagi adalah inflow clpsydra. Pngukuran waku didasarkan pada kinggian air yang mngalir masuk k dalam sbuah bjana. Inflow clpsydra ini yang dulu digunakan olh orang Yunani unuk mngukur waku. Ada variasi lain dari jnis inflow clpsydra yaiu sinking bowl clpsydra. Inflow clpsydra ini brbnuk mangkuk dngan lubang didasarnya. Sinking bowl ini dimukan di India skiar M.

3 Linda Maria Evi Dwi dan Widowai (Pmodlan Mamaika unuk Jam Air Jnis Polyvascular Clpsydra ) Karna adanya masalah dngan aliran air yang idak ap, para insinyur Cina mnmukan jnis polyvascular clpsydra. Solusi lain dari masalah laju air ini adalah mnggunakan suau plampung dalam ovrflow ank yang brfungsi sbagai sopcock (kran). Plampung ini mncgah masuknya air apabila kinggian air mningka. giu pula sbaliknya mmbiarkan air masuk apabila kinggian air mnurun.. MODEL MATEMATIKA Misal rdapa bjana sjumlah N yang mmbnuk polyvascular clpsydra. Pada dinding masing-masing bjana pada bagian dasarnya mlka sbuah pipa yang brfungsi unuk mngalirkan air. Mulamula sluruh bjana pnuh risi air. Slain iu dibrikan pula sbuah bjana pnampung yang pada awalnya kosong. jana bjana rsbu dirangkai spri pada Gambar, Gambar. Rangkaian Polyvaskular Clpsydra dngan N jana Misalkan y i adalah kinggian air pada bjana i pada saa. Karna mulamula bjana dalam kadaan pnuh, di- = misalkan kinggian air mula-mula ( ) adalah sauan inggi. Karna bjana brbnuk silindr maka volum air di dalam bjana adalah luas alas dikalikan inggi air dalam bjana. V = π R y { ( )} i dngan: V : Volum dalam bjana R : Jari-jari bjana Dalam bjana, dbi air dipngaruhi olh volum air dan brapa lama waku yang diprlukan unuk mngalirkan volum air rsbu. Dbi air yang mninggalkan bjana dapa dihiung dngan, dyi q = π R (6) d dngan hukum konsrvasi massa dbi air yang mninggalkan pipa sama dngan dbi air yang mmasuki bjana dikurangi dbi air yang mninggalkan bjana. Unuk bjana prama karna idak ada dbi air yang mmasuki bjana maka prsamaan unuk bjana dinyaakan spri pada prsamaan (7), dy π R = y d 8η L dy d = y (7) 8 π R ηl sdangkan bjana dua dan srusnya sampai bjana k N prsamaannya dinyaakan spri pada prsamaan (8), dy π R = y y d 8η L 8ηL (8) misalkan s =, prsamaan (7) 8 π R ηl dan (8) dapa diulis dalam prsamaan (9) dan (), dy ( ) y = (9) d dy = s y s y () d Syara baas unuk prsamaan (9) dan () adalah y i ( ) =, i =,,... N Prsamaan (9) dapa dislsaikan scara langsung dan diprolh solusi sbagai briku, y = Prsamaan () mrupakan prsamaan diffrnsial biasa. Dapa dislsaikan 5

4 Jurnal Mamaika Vol., No., April 8:-9 dngan mnggunakan fakor ingral s d shingga diprolh solusi sbagai briku, y = + s y ( ) ( ) ( ) = s + s + s dngan mnggunakan induksi mamaika diprolh solusi unuk y N adalah sbagai briku, N ( s ) ( s ) ( s ) = + s ( N )!!! Solusi dari y N ini dapa pula diuliskan sbagai, m s ( s ) m= N m =! dapa disdrhanakan mnjadi, m s = m! ( ) m= Lmma [8]: Jika = c >, maka N! N Nc > Lmma di aas mmbrikan jaminan brapa lama waku yang dibuuhkan agar air mncapai kinggian rnu. 5. ANALISA KESTAILAN MODEL Prsamaan (9) dan () dapa dimisalkan mnjadi, = y i = s yi i N N s y, () unuk i N Prsamaan () ini dapa diuliskan dalam bnuk mariks sbagai briku, s... y s s... y : : : = : : : N... s y N N... s s Dngan mnggunakan analisa ksabilan Liapunov dapa dinukan ksabilan dari sism di aas asalkan nilai s dikahui. 6. STUDI KASUS Pada bagian ini akan dibahas sudi kasus pada prusahaan air minum PT Sidaama. PT Sidaama adalah prusahaan yang mmproduksi air minum murni dngan sism Rvrs Osmosis (RO). Prusahaan ini mmproduksi air minum dngan mrk b s. Air minum b s diproduksi dalam bnuk air minum cup dan galon. Dalam sudi kasus ini akan dibahas produksi air minum b s dalam bnuk cup. Dalam pngisian air k dalam cup cup prusahaan mnggunakan sau buah angki dngan dua buah kran oomais yang mngalirkan air masuk dan kluar angki. Kran di bawah angki brguna unuk mngaur volum air yang masuk k dalam cup, sdangkan kran di aas angki brguna unuk mngaur kinggian air dalam angki. Hal ini dikarnakan, aliran kluar dari angki harus konsan. Aliran konsan ini diprolh jika kinggian air dalam angki konsan. Daa dari prusahaan nang angki mpa pnampung air adalah sbagai briku: - Tangki yang diprgunakan brbnuk silindr dngan diamr cm dan inggi cm. - Pipa mpa mngalirnya air dari masing-masing angki mlka pada bagian dasar angki dngan panjang cm dan diamrnya,5 cm. Karna prusahaan hanya mnggunakan sau angki, maka aliran konsan hanya rjadi sbnar. Hal ini mngakibakan kran di aas angki mmbuka dan mnuup dalam frkunsi inggi. Akibanya kran ini cpa rusak. Olh karna iu prusahaan ini agar aliran konsan lbih lama. Dimaksudkan agar kran pada bagian aas angki lbih aw. Prusahaan mnganggap aliran air konsan mulai dari angki pnuh hingga kinggian 8 cm. Olh karna iu 6

5 Linda Maria Evi Dwi dan Widowai (Pmodlan Mamaika unuk Jam Air Jnis Polyvascular Clpsydra ) prusahaan ingin mngahui brapa lama waku yang dibuuhkan unuk mncapai kinggian 8 cm. Waku yang diprolh akan digunakan unuk dimasukkan dalam program kompur guna mmbuka dan mnuup kran oomais. Agar kinggian air konsan dalam waku yang lbih lama maka prusahaan harus mnambah jumlah angki dan mnyusunnya spri rangkaian polyvascular clpsydra. rdasarkan prinsip krja polyvascular clpsydra, smakin banyak angki yang digunakan maka smakin lama aliran konsannya. Namun karna krbaasan ruang, prusahaan hanya bisa mnyusun buah angki. Gambar. Rangkaian Tiga Tangki dngan Kran Oomais Karna pipa mpa mngalirnya air kcil maka rdapa kasus viscosiy dominad. Olh karna iu unuk mncari ahu brapa lama aliran konsan dapa digunakan modl jam air jnis polyvascular clpsydra kasus viscosiy dominad. Misalkan, y i : kinggian air pada angki k i unuk i =,, Modl mamaika spri yang lah diprolh pada bagian sblumnya adalah sbagai briku, dy = y () d dy = s y s y () d dy = s y s y () d Sblumnya akan dihiung bsarnya s rlbih dahulu. rp s = 8 R ηl s = (,5) ( )( 9,8) 8 (,5 ) ( )(,) maka s =,9698 apabila dislsaikan akan diprolh y adalah sbagai briku, bsarnya ( ) y =,9698 Modl kinggian air pada angki kdua sbagai briku,,96988 y = ( + 87, 9 ) Slanjunya modl prubahan kinggian air pada angki kiga. ( ) =,9698 y + 87,9 + 5,987 Mncari brapa waku yang dibuuhkan agar air mncapai kinggian 8 cm dapa digunakan Lmma. Akan dicari rlbih dahulu kapan y. ( ) 8 =,9698 ( ) rdasarkan Lmma jika = ( )! maka,9698 > Diprolh,9698 >, 9 aau >,7 maka =,77 diprolh ( )! = aau,9698 Analisa ksabilan sism Prsamaan (), () dan () dapa diuliskan sbagai briku, =, 9968 y =,9968 y, 9968 y =,9968 y, 9968 y (5) Tiik ksimbangan rjadi pada ẏ =, ẏ = dan ẏ =. Apabila dicari dngan prhiungan y =, y = dan y =. Prsamaan (5) dapa diuliskan dalam bnuk mariks sbagai briku, 7

6 Jurnal Mamaika Vol., No., April 8:-9,9968 =,9968,9968,9968 misalkan,9968 A =,9968,9968,9968 d(a) = -,6 y y,9968 y,9968 Karna drminan A idak sama dngan nol maka A mariks non singular. Unuk mncari ksabilan sism dinukan dngan mncari mariks dfini posiif P yang mmnuhi kondisi briku,, dngan Q adalah marik ral dfini posiif. Dipilih mariks Q adalah mariks sbagai briku, 5,896,9968 Q = 5,896,9968,687 p p p Misal mariks P = p p p p p p Mariks P yang mmnuhi prsamaan dngan Q adalah mariks spri disbu sblumnya adalah P = Nilai Eign dari mariks P adalah λ =,65, λ =, 6 dan λ =,69 Olh karna iu mariks P adalah mariks dfini posiif. Karna dapa dinukan mariks P yang dfini posiif dan mmnuhi kondisi maka sism pada prsamaan (), () dan () sabil. 7. KESIMPULAN Prinsip krja polyvascular clpsydra adalah mmbua aliran air pada bjana rakhir konsan. Hal ini akan diprolh apabila kinggian air pada bjana rakhir konsan. rdasarkan pmbahasan nang modl mamaika unuk jam air jnis polyvascular clpsydra, smakin banyak bjana yang digunakan akan smakin lama aliran air konsan. Waku yang diprlukan agar air mncapai suau kinggian rnu brbanding lurus dngan prkalian anara jumlah bjana, slisih inggi mula-mula dngan kinggian diinginkan yang dipangkakan sau pr jumlah bjana, pangka dua dari jari-jari bjana, kofisin viscosias za dan panjang pipa mpa mngalirnya air. Sra waku brbanding rbalik dngan prkalian bilangan naural (), pangka mpa dari jari-jari pipa, massa jnis za dan prcpaan graviasi. Pada iik ksimbangan modl yang diprolh sabil. 8. SARAN Prinsip krja polyvascular clpsydra dapa digunakan pada PT Sidaama unuk mmbua frkunsi mmbuka dan mnuupnya kran oomais brkurang. Dngan brkurangnya frkunsi ini dharapkan kran oomais lbih ahan lama. Pnliian lbih lanju nang polyvascular clpsydra dngan kasus inviscid (viscosias diabaikan) dapa dilakukan unuk polyvasclar clpsydra dngan pipa brdiamr bsar. 9. DAFTAR PUSTAKA []. Anonim, Poisuill s Law, hp://n.wikipdia.org/wiki/poisuill %75_law, diakss anggal Okobr 7 []. Anonim, Viscosiy, hp://n.wikipdia.org/wiki/viscosiy, diakss anggal Okobr 7 []. Anonim, Viscosiy, hp://wiki.xronics.com/indx.php/vi scosiy, diakss anggal Okobr 7 8

7 Linda Maria Evi Dwi dan Widowai (Pmodlan Mamaika unuk Jam Air Jnis Polyvascular Clpsydra ) []. Anonim, Sjarah Jam Air, diakss anggal Spmbr 7 [5]. Anon H. (987), Aljabar Linar Elmnr, Edisi Klima, Erlangga, Jakara. [6]. Giancoli (), Fisika, Edisi Klima, Jilid, Erlangga, Jakara. [7]. Gion, Th Thory of Opraion of a Tim-Flow Clock, diakss anggal 8 Spmbr 7. [8]. Goodnow. J, ORR. R, Ross. D, Mahmaical Modls of War Clocks, RossWarClocks, diakss anggal 5 Juli 7 [9]. Hyprphysic, Poisuill s Law Calculaion, hp://hyprphysics.phyasr.gsu.du/hbas/poicon.hm/, diakss anggal Okobr 7 []. Kasuhiko O. (995), Discr-Tim Conrol Sysm, Scond diion, Prnic Hall, Nw Jrsy. []. Lynch. N, Tim Synchronizaion, Massachuss Insiu of Tchnology (6), hp:// 5/spring6/nos/lc6.pdf, diakss anggal 8 Spmbr 7. []. Purcl, dkk (987), Kalkulus dan Gomri Analiis, Erlangga:Jakara. []. Ross S. L. (98), Diffrnsial Equaions Third Ediion, John Wily and Sons: Singapor. []. Wissin. E. W, Taylor Sris, Mahworld, hp://mahworld.wolfram.com/taylor Sris.hml, diakss anggal Okobr 7 [5]. Zmansky. S. (96), Fisika unuk Univrsias, Mkanika. Panas. unyi, ina Cipa:Jakara. 9