PENENTUAN MOMEN KE-3 DAN KE-4 DARI DISTRIBUSI GAMMA, BETA DAN WEIBULL SKRIPSI

Transkripsi

1 PNNTUAN MOMN K- DAN K- DARI DISTRIBUSI GAMMA, BTA DAN WIBULL SKRIPSI Olh : VITA NURYANI NIM : 5 JURUSAN MATMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TKNOLOGI UNIVRSITAS ISLAM NGRI (UIN) MALANG MALANG 8

2 PNNTUAN MOMN K- DAN K- DARI DISTRIBUSI GAMMA, BTA DAN WIBULL SKRIPSI Diajukan Kpada: Univrsias Islam Ngri (UIN) Malang Unuk mmnuhi Salah Sau Prsaraan Mmprolh Glar Sarjana Sains (S.Si) Olh : via Nurani NIM : 5 JURUSAN MATMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TKNOLOGI UNIVRSITAS ISLAM NGRI (UIN) MALANG MALANG 8

3 HALAMAN PRSTUJUAN PNNTUAN MOMN K- DAN K- DARI DISTRIBUSI GAMMA, BTA DAN WIBULL SKRIPSI Olh : via Nurani NIM. 5 Tlah dipriksa dan disujui unuk diuji Tanggal : Mar 8 Dosn Pmbimbing I Dosn Pmbimbing II Sri Harini, M. Si NIP. 5 8 Munirul Abidin, M. Ag NIP. 5 6 Mngahui Kua Jurusan Mamaika Sri Harini, M.Si NIP. 5 8

4 HALAMAN PNGSAHAN PNNTUAN MOMN K- DAN K- DARI DISTRIBUSI GAMMA, BTA DAN WIBULL SKRIPSI Olh: via Nurani NIM. 5 Tlah Diprahankan di Dpan Dwan Pnguji Skripsi dan Dinaakan Dirima Sbagai Salah Sau Prsaraan Unuk Mmnuhi Glar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal : 6 April 8 Susunan Dwan Pnguji : Tanda Tangan. Pnguji Uama Drs. H. Turmudi, M.Si. NIP Kua Pnguji Abdussakir, M.Pd. NIP Skaris Sri Harini, M.Si. NIP Anggoa Munirul Abidin, M.Ag. NIP. 5 6 Mngahui dan Mngsahkan Kua Jurusan Mamaika Fakulas Sains dan Tknologi Sri Harini, M.Si NIP. 5 8

5 MOTTO ã èøgs uρ «!$# ÈøŒÎ*Î/ āωî) š ÏΒ σè? r& C ø uζï9 šχ%. $Βuρ θèé) èƒ Ÿω š Ï%!$# n?ã š[ô_íh9$# Dan idak ada sorangpun akan briman kcuali dngan izin Allah; dan Allah mnimpakan kmurkaan kpada orang-orang ang idak mmprgunakan akalna. (Qs. Yunus : )

6 HALAMAN PRSMBAHAN Kuprsmbahkan kara ang sdrhana ini unuk. Aahanda M. Rifai dan Ibunda Lis Fadani, ang lah brsusah paah dalam mmbsarkan, mndidik, dan mmbrikan sgnap cina kasih kpadaku. Smoga Allah Sw mmbrikan kbahagiaan di dunia dan akhira. Kdua adikku, smoga jadi anak ang pinr, sholih & sholihah Sluruh Guru dan Dosnku ang dngan ikhlas lah mmbrikan ilmu kpadaku. Trima kasih banak aas ilmu ang lah ngkau brikan, smoga mnjadi ilmu ang manfa a dan barokah.

7 KATA PNGANTAR Alhamdulillah, Sgala puji sukur k hadira Allah Sw, karna hana aas sgala rahma dan hidaah-na pnliian ini dapa dislsaikan, hingga rsusun sbuah skripsi Pnnuan Momn K- dan K- Dari Disribusi Gamma, Ba Dan Wibull. Skripsi ini disusun unuk mmnuhi salah sau sara dalam mmprolh glar Sarjana Sains (S. Si) pada Jurusan Mamaika Fakulas Sains dan Tknologi Univrsias Islam Ngri (UIN) Malang. Pnulis mnadari bahwa banak pihak ang lah brparisipasi dan mmbanu dalam mnlsaikan pnulisan skripsi ini. Unuk iu, iringan do a dan ucapan rima kasih ang sbsar-bsarna pnulis sampaikan, uamana kpada:. Prof. Dr. H. Imam Supraogo slaku Rkor Univrsias Islam Ngri (UIN) Malang.. Prof. Drs. Suiman Bambang Sumiro, SU., D. Sc, slaku Dkan Fakulas Sains dan Tknologi UIN Malang.. Sri Harini, M. Si, slaku Kua Jurusan Mamaika Fakulas Sains dan Tknologi UIN Malang skaligus Dosn Pmbimbing I skripsi.. Munirul Abidin, M.Ag slaku Dosn Pmbimbing II rima kasih aas sgala masukan dan ksabaran dalam mmbimbing shingga pnulis dapa mnlsaikan skripsi ini. 5. Sluruh Dosn Fakulas Sains dan Tknologi Univrsias Islam Ngri (UIN) Malang ang lah mmbrikan ilmu pngahuan kpada pnulis.

8 6. Sluruh karawan dan saf Univrsias Islam Ngri (UIN) Malang. 7. Bapak dan Ibu rcina M. Rifa i dan Lis Fadani ang dngan spnuh hai mmbrikan dukungan moril maupun spiriuil sra kulusan do ana shingga pnulisan skripsi ini dapa rslsaikan. 8. Sluruh man-man Mamaika angkaan 9. Sluruh man-man kos Sukada, rima kasih kalian sudah mnjadi man dalam suka dan duka. Dan smua pihak ang lah mmbanu namun idak bisa disbukan sau prsau. Pnulis mnadari spnuhna bahwa masih banak rdapa kkurangan dalam pnulisan skripsi ini. Olh karna iu, dngan krndahan hai, pnulis mngharapkan saran dan kriik dari smua pihak ang brmanfaa pada pnulisan slanjuna. Akhir kaa, smoga skripsi ini brmanfaa bagi smua pihak pada umumna dan bagi pnulis sndiri pada khususna. Malang, Dsmbr 7 Pnulis

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PRSTUJUAN... ii HALAMAN PNGSAHAN... iii HALAMAN MOTTO... iv HALAMAN PRSMBAHAN... v KATA PNGANTAR... vi DAFTAR ISI... viii DAFTAR GAMBAR... ABSTRAK... i BAB I PNDAHULUAN. Laar Blakang.... Rumusan Masalah.... Tujuan Pnliian.... Baasan Masalah....5 Manfaa Kajian....6 Mod Pnliian Sismaika Pmbahasan... 6 BAB II KAJIAN TORI. Pubah Acak & Disribusina Pubah Acak Disribusi Pubah Acak Diribusi Pubah Acak Diskr Disribusi Pubah Acak Koninu Bbrapa Disribusi Koninu Khusus..... Disribusi Gamma..... Disribusi Ba..... Disribusi Wibull kspkasi dan Variansi Nilai Harapan (kspkasi) Variansi...

10 . Momn Dan Fungsi Pmbangki Momn Momn Fungsi Pmbangki Momn Skwnss Dan Kurosis Sbagai Fungsi Dari Momn Skwnss Kurosis Kajian Kagamaan Allah Sbagai Za Yang Ahli Mamais Sgala Ssuau Yang Dicipakan Allah Ada Ukuranna Prinah Unuk Mlaksanakan Sgala Ssuau Scara Tpa Brdasarkan Prhiungan... BAB III PMBAHASAN. Pnnuan Momn k- dan k- dari Disribusi Gamma, Ba dan Wibull Disribusi Gamma Disribusi Ba Disribusi Wibull Tinjauan Agama Trhadap Hasil Pmbahasan... 7 BAB IV PNUTUP. Ksimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

11 DAFTAR GAMBAR Gambar. Grafik Luas Darah Slang... Gambar. Grafik Disribusi Gamma... Gambar. Grafik Disribusi Ba... 7 Gambar. Grafik Disribusi Wibull... 8 Gambar. Kmncngan Suau Sbaran... 5 Gambar 5. Jnis Kurva Kurosis... 6

12 ABSTRAK Nurani, via. 7. Pnnuan Momn k- dan k- dari Disribusi Gamma, Ba dan Wibull. Skripsi, Jurusan Mamaika Fakulas Sains dan Tknologi Univrsias Islam Ngri Malang. Pmbimbing: ). Sri Harini, M. Si. ). Munirul Abidin, M. Ag. Kaa kunci: Pubah acak, momn, fungsi pmbangki momn, skwnss, kurosis Dalam saisika, raa-raa dan varian sbnarna mrupakan hal isimwa dari klompok ukuran lain ang disbu Momn, dari momn ini pula bbrapa ukuran lain dapa diurunkan. Pada sbagian bsar buku-buku ang mmbahas mngnai momn ini baik dalam liraur brbahasa Indonsia maupun liraur brbahasa Inggris, pmbahasan momn masih dalam ruang lingkup rbaas, akni pmbahasanna hana rbaas pada momn prama dan kdua scara umum. Namun dalam konks ini momn dapa dikmbangkan sampai pada momn k- dan k-, shingga akan mmudahkan dalam mnnukan kmncongan dan ksangkupan sra bra kdua ujung suau disribusi. Momn dari suau suau pubah acak didfinisikan dalam bagian aiu, momn ak rpusa dari suau pubah acak, dan momn rpusa dari suau pubah acak. Mod ang digunakan dalam pnnuan momn k- dan momn k- dari pubah acak adalah dngan mngahui momn prama dan momn kdua rlbuh dahulu aiu dngan mnurunkan scara brulang fungsi pmbangki momn. Jika momn ak rpusa prama mnaakan man dan momn pusa kdua mnaakan varian, maka pada momn kiga ang dibagi dngan pangka iga simpangan baku disbu kofisin skwnss (kmncongan kurva), sdangkan momn pusa kmpa ang dibagi dngan pangka mpa simpangan baku disbu kofisin kurosis (pmuncakan kurva). Pada disribusi gamma, ba, dan Wibull mmiliki kurva ang ak brauran dimana kurva rsbu mnggambarkan kidak normalan suau disribusi shingga diprlukan momn k- dan k- unuk mnnukan bsarna kmncongan dan pmuncakan kurva. Kofisin skwnss disribusi gamma adalah γ, kofisin ( ) skwnss disribusi ba adalah γ, sdangkan ( ) kofisin skwnss disribusi Wibull adalah γ

13 Kurosis dari disriusi gamma adalah 6 γ, kurosis dari disribusi ba adalah γ, dan kurosis dari disribusi Wibull adalah 6 γ

14 BAB I PNDAHULUAN. Laar Blakang Mamaika adalah suau ilmu pngahuan ang mndiakan suau krangka sismais ang dapa diplajari. Dalam mamaika murni, dfinisi, aksioma sra orma-orma dinaakan scara pa dngan mnggunakan lambang-lambang. Lambang ang digunakan mnaakan konsp absrak ang nilaina dinaakan olh dfinisina. Sjak awal khidupan manusia, mamaika mrupakan ala Banu unuk mngaasi sbagian prmasalahan ang ada diskiar lingkungan hidupna, baik ang brkaian dngan prhiungan mamais maupun masalah rapan. Olh karna iu mamaika digunakan unuk mmbanu mrumuskan pubah-pubah ang pnad, mnaakan anggapan-anggapan ang diprlukan scara pa, mmbangun analisis ang logis, sra mmprimbangkan analisis vrbal dari brbagai pubah ang diprbandingkan. Sbagai sbuah ilmu ang snaniasa brkmbang, saisika ak lupu dari hasra unuk mnrapkan mamaika di dalam bahasan-bahasanna. Brbagai konsp mamaika kini mnjadi ala analisis ang pning dalam ilmu saisik. Ilmu saisik modrn mmang cndrung mnjadi smakin sismais. Mnuru Abdussakir (7) alam smsa mmua bnuk-bnuk dan konsp mamaika, mskipun alam smsa rcipa sblum mamaika iu ada. Alam smsa sa sgala isina dicipakan Allah dngan ukuran-ukuran ang crma dan lii, dngan prhiungan-prhiungan ang mapan, dan dngan

15 rumus-rumus sra prsamaan ang simbang dan rapi. Sungguh, idak salah kirana jika mnaakan bahwa Allah Maha Mamais. Firman Allah dalam al- Quran sura Al-Qomar aa 9. 9 s)î/ ç oψø)nz > ó «ä. $ ΡÎ) Arina : Ssungguhna kami mncipakan sgala ssuau mnuru ukuran. Smua ang ada di alam ini, ada ukuranna, ada hiunganna, ada rumusna aau ada prsamaanna. Ahli mamaika aau ahli fisika idak mmbua rumus sdikipun, api mrka hana mnmukan rumus aau prsamaan rsbu. Apabila dalam khidupan rdapa suau prmasalahan manusia harus brusaha unuk mnmukan slsaianna dan solusina. Mmplajari mamaika ssuai dngan paradigma ulul albab, dimana kmampuan inlkual smaa idak cukup unuk blajar mamaika, api prlu didukung scara brsamaan dngan kmampuan mosional dan spiriual. Pola pikir ddukif dan logis dalam mamaika sanga brganung pada kmampuan inuiif dan imajinaif. Hal ini dilakukan dngan paradigma ulul albab, ang mngmbangkan pndkaan rasionalis, mpiris, dan logis. Pada hakkana pokok pmbahasan saisika mncakup kgiaankgiaan, gagasan-gagasan sra hasil ang sanga branka ragam. Mrka ang mndalami ilmu dibidang biasana mmaklumi knaaan bahwa disiplin ini bagi dua golongan bsar aiu saisik rapan dan mod saisik. Saisik rapan mrupakan isi praki dari saisik ang dibdakan mnjadi dua, aiu saisik ddukif (dskripif) dan saisik indukif (infrnsia). Sdangkan mod saisik mrupakan ori murni aau ori dasar ang brurusan dngan pnliian-

16 pnliian nang basis mamaika ang digunakan dalam mod saisik. Pmbukian rumus-rumus saisik ang digunakan, dan pngujian rhadap ksahihan aau kbnaran konsp saisika scara umum (Ngapuli, 99 : ). Dalam saisika, raa-raa dan varian sbnarna mrupakan hal isimwa dari klompok ukuran lain ang disbu Momn, dari momn ini pula bbrapa ukuran lain dapa diurunkan. Pada sbagian bsar buku-buku ang mmbahas mngnai momn ini baik dalam liraur brbahasa Indonsia maupun liraur brbahasa Inggris, pmbahasan momn masih dalam ruang lingkup rbaas, akni pmbahasanna hana rbaas pada momn prama dan kdua scara umum. Pada disribusi probabilias normal ang paling pning di dalam ksluruhan saisik adalah disribusi normal, dimana mmiliki grafik ang disbu kurva normal, ang brbnuk loncng, ang mnggambarkan kurang lbih bbrapa fnomna ang rjadi dialam, indusri, dan digunakan pula dalam pnliian (Walpol & dkk, : 7). Sdangkan pada disribusi gamma, ba, dan wibull mmiliki grafik ang disbu kurva ak brauran ang mana kurva rsbu mnggambarkan kidaknormalan laakna kurva normal. Shingga dngan mnnukan momn prama dan kdua saja idaklah cukup dan diprlukan momn k- dan momn k- unuk mnnukan kmncongan dan kruncingan dari disribusi rsbu. Dalam saisika mamaika sring dijumpai bbrapa bnuk fungsi, salah sauna aiu ang sring disbu sbagai fungsi pmbangki momn. Mnuru Walpol (995) kgunaan ang jlas dari fungsi pmbangki momn ialah unuk mnnukan momn disribusi. Bila fungsi pmbangki momn suau pubah acak

17 mmang ada, fungsi iu dapa dipakai unuk mmbangkikan aau mnmukan sluruh momn suau pubah acak rsbu. Jika dikahui fungsi pmbangki momn, maka dapa dinukan momn-momnna, aiu dngan mnurunkan fungsi pmbangki momn hingga n kali. Dapa dikahui momn pramana adalah man dan momn kdua adalah variansina. Dari laar blakang diaas, pnulis akan mngkaji nang Pnnuan Momn K- Dan K- Dari Disribusi Gamma, Ba, Dan Wibull.. Rumusan Masalah Brdasarkan laar blakang ang lah diuraikan, maka prmasalahanna dapa dirumuskan sbagai briku, aiu bagaimana cara pnnuan momn k- dan momn k- dari disribusi gamma, ba sra Wibull.. Tujuan Pnliian Ssuai dngan rumusan masalah, maka ujuan pnulisan skripsi ini aiu unuk mngahui cara pnnuan momn k- dan k- dari disribusi gamma, ba dan Wibull.. Baasan Masalah Mnginga sanga luas dan komplksna ori ang mmbahas nang hal-hal ang brkaian dngan momn, maka dalam pnulisan ini dibaasi dngan mnggunakan momn ak rpusa dan momn pusa.

18 . Manfaa Kajian Dngan mngusai mari pmbahasan fungsi pmbangki momn, maka akan dikahui fungsi disribusina, shingga mmudahkan pnnuan momn dan fungsi pmbangki momn dari suau disribusi..5 Mod Pnliian Dalam pnulisan skripsi ini pnulis mnggunakan kajian liraur aau pnliian pusaka, aiu pnliian ang brujuan unuk mngumpulkan daa dan informasi dngan banuan brmacam-macam marial ang rdapa diruang prpusakaan, spri: buku-buku, dokumnasi, caaan, jurnal dan inrn. Langkah-langkah pnliian ang pnulis lakukan adalah:. Dalam sudi liraur, pnulis mngumpulkan bbrapa pnunjang, dngan cara mmbaca dan mmahami mari ang brkaian dngan momn dan fungsi pmbangki momn variabl acak koninu sra disribusi-disribusi probabilias koninu khusus spri disribusi gamma, ba dan wibull. Liraur rsbu brupa buku-buku saisik mamaika, ori pluang, analisis mamaika dan ang lainna ang dapa mmbanu pnulis dalam mngumpulkan daa dan informasi.. Slah mmprolh bahan pusaka, maka langkah brikuna adalah mmilih fungsi pmbangki momn M ( ) f ( d ). Langkah slanjuna mncari nilai dari momn k- dan k- dari disribusi gamma, ba dan wibull dngan cara mnurunkan rumus dari fungsi pmbangki momn rsbu.

19 Bahan-bahan pusaka rsbu harus dibahas scara kriis dan mndalam shingga mndukung gagasan aau id unuk mnghasilkan ksimpulan dan saran..6 Sismaika Pmbahasan Agar pnulisan skripsi ini lbih rarah, mudah dilaah dan dipahami, maka digunakan sismaika pmbahasan ng rdiri dari mpa bab. Masingmasing bab dibagi k dalam bbrapa subbab dngan rumusan sbagai briku: BAB I PNDAHULUAN Pndahuluan mlipui: laar blakang prmasalahan, rumusan masalah, ujuan pnliian, baasan masalah, manfaa kajian, mod pnliian, dan sismaika pmbahasan. BAB II KAJIAN TORI Bagian ini rdiri aas konsp-konsp (ori-ori) ang mndukung bagian pmbahasan. Konsp-konsp rsbu anara lain mmbahas nang pubah acak & disribusina, bbrapa disribusi koninu khusus, kspkasi dan variansi, momn dan fungsi pmbangki momn, skwnss & kurosis. BAB III PMBAHASAN Pmbahasan brisi nang bagaimana mnmukan nilai momn k- dan k- dari disribusi gamma, ba dan Wibull, pnnuan momn k- dan k- dari disribusi gamma, ba dan Wibull. BAB IV PNUTUP Pada bab ini akan dibahas nang ksimpulan dan saran.

20 BAB II KAJIAN TORI. Pubah Acak & Disribusina.. Pubah Acak Dfinisi.: Pubah acak adalah suau fungsi ang mnghubungkan sbuah bilangan ral dngan siap unsur di dalam ruang conoh. (Walpol & Dkk, : 7) Pubah acak dilambangkan dngan huruf kapial dan huruf kcilna dalam hal ini, unuk mnaakan salah sau dianara nilai-nilaina. Dngan dmikian suau bilangan mrupakan ukuran dari karakrisik ang dilakkan pada siap kjadian dasar dari ruang conohna. Pubah acak diklasifikasikan mnjadi macam, aiu pubah acak diskr dan pubah acak koninu. (Wibisono, 5 : ) Dfinisi. : disbu pubah acak diskr bila pubah acak ang hana mndapa nilai brhingga aau banakna rbilang. (Dudwicz & Mishra, 995: 8) Conoh.: Sbuah kanong brisi klrng ang rdiri dari klrng mrah (M) dan 6 klrng hiam (H). Dalam kanong diambil klrng bruru-uru, hasil ang mungkin unuk sbagai pubah acak ang mnaakan banakna krng mrah ang diambil. Jadi ruang conohna { HH, MH,, HM, MM } dan pubah acak {,,, }

21 Dfinisi. : disbu sbagai pubah koninu jika lmnna dapa dinaakan dalam slang inrval, shingga nilaina dapa brupa bilangan bula maupun pcahan. (Supramono, 99 : ) Conoh. : Pngamaan rhadap jumlah kndaraan ang mlinas di jalan prookolr sudirman. Bila mnaakan pubah acak jumlah kndaraan ang mlinas, maka {,,,,... }.. Disribusi Pubah Acak... Disribusi Pubah Acak Diskr Sringkali unuk mmudahkan prhiungan smua probabilias pubah acak dinaakan dalam suau fungsi nilai-nilai spri f() aiu P( ) f. Pada pubah acak diskr, siap nilaina dapa dikaikan dngan probabilias. Himpunan pasangan ang bruruan [ f ], disbu disribusi probabilias pubah acak. Sbuah disribusi ang mncanumkan smua kmungkinan nilai pubah acak diskr briku probabiliasna disbu disribusi probabilias diskr (Wibisono, 5 : ). Pubah acak diskri dapa dinaakan sbagai: P F (.) dimana P adalah suau fungsi probabilias jika dan hana jika:. P unuk smua. i P i

22 Conoh. : Tnukan disribusi bagi kluarga Markus ang mrncanakan iga anak dngan mnaakan pubah anak laki-laki. Pnlsaian: Smua kmungkinan nilai briku probabiliasna dapa dibua abl disribusi sbagi briku : P 8 8 ( ) jumlah 8 dalam kluarga Markus ang mrncanakan anak., pubah acak aiu 8 banakna anak laki-laki mngaikan probabilias sbsar 8 pada nilai pubah acak idak ada anak laki-laki, probabilias sbsar 8 pada nilai pubah acak anak laki-laki, sbsar 8 pada nilai pubah acak anak laki-laki dan sbsar 8 pada nilai pubah acak smua anakna laki-laki.... Disribusi Pubah Acak Koninu Disribusi probabilias bagi pubah acak koninu idak dapa disajikan dalam bnuk abl, akan api disribusina dapa dinaakan dalam prsamaan ang mrupakan fungsi nilai-nilai pubah acak koninu dan dapa digambarkan dalam bnuk kurva (Wibisono, 5 : 6). Pubah acak koninu dapa dinaakan sbagai: f F d (.)

23 dimana f adalah fungsi probabilias jika dan hana jika:. f unuk smua f d (Dudwicz & Misra, 995 : 9) Conoh. : Sbuah pubah acak koninu ang mngambil nilai anara dan 5 mmpunai fungsi probabilias f. (a) Bukikan bahwa P ( < < 5). (b). Hiung P ( < ) dan (c). ( < <,5) P. Pnlsaian : f() 5 Gambar. Grafik Luas darah slang dan 5 a) bnuk kurva adalah rapzium dngan luas sama dngan alas dikalikan jumlah kdua sisi sjajar dibagi. Shingga L ( 5 ) 7 f ( 5) f karna 7 f ( ) dan f maka P ( < < 5) 5 b) Pada f ( ), api c) Pada dan f (,5) P f shingga 5 ( < ) ( ), 6,5 f shingga P 6,5 ( < <,5) (,5 ), 66

24 . Bbrapa Disribusi Probabilias Koninu Khusus.. Disribusi Gamma Mskipun disribusi normal dapa digunakan unuk mmcahkan brbagai prmasalahan knik sains, masih banak skali kadaan ang mmrlukan jnisjnis kpkaan brbda. Disribusi gamma mmainkan pranan ang sanga pning dalam ori anrian dan masalah kandalan (rliabilias). Dfinisi. : Jika suau bilangan ral sbarang dngan >, fungsi gamma dari adalah: Dfinisi.5 : ( ) d (.) Jika suau pubah acak koninu, maka fungsi prbabilias dari disribusi gamma dibrikan olh f ( ),, > (.) (Rosnkranz, 997 : 7) Torma. : Jika f() adalah fungsi probabilias dari disribusi gamma, maka M ( ) (Frund & Walpol, 987 : ) Buki : Karna disribusi gamma mrupakan disribusi dari pubah acak koninu, maka fungsi pmbangki momn adalah

25 M ( ). f ( d ) M. ( ) d. ( ) d Misal : ( ), dan maka d d ( ) dari prsamaan di aas dapa diprolh fungsi pmbangki momn : M ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) Jadi fungsi pmbangki momn disribusi gamma adalah M ( ) (.5)

26 Gambar. Grafik Disribusi Gamma Conoh.5: Di dalam kajian biomdis dngan ikus suau pnliian dosisanggapan digunakan brahan mnnukan pngaruh dosis bahan racun pada waku hidup mrka. Bahan racun rsbu adalah za ang scara raur dibuang k amosfr dari bahan bakar j. Unuk suau dosis bahan racun rnu kajian rsbu mnnukan bahwa waku brahanna dalam minggu, mngikui sbaran Gamma dngan 5 dan. Brapakah probabilias skor ikus hidup lbih lama dari 6 minggu? Pnlsaian: Ambil pubah acak sbagai waku brahan (waku kmaian). Probabilias ang dibuuhkan adalah P ( ) ( ) d P ( 6) 6 ( 5) 5 d Ingral di aas dapa dipcahkan mlalui pnggunaan fungsi gamma ak lngkap ang mnjadi fungsi disribusi kumulaif bagi disribusi gamma. Fungsi ini diulis sbagai :

27 F ( ; ) ( ) d jika kia ambil dan, kia dapakan P ( 6 ) 6 ( 5) d ang diunjukkan sbagai ( 6 ; 5) F nu saja unuk msalah ini, probabilias ikus brahan idak lbih lama dari pada 6 hari dibrikan olh P ( 6 ) F ( 6 ; 5), 75.. Disribusi Ba Dfinisi.6: Fungsi Ba (, ) Dfinisi.7 : B didfinisikan dngan ingral (, ) ( ) B d (.6) (Rosnkranz, 997:66) Jika suau pubah acak koninu, maka fungsi probabilias dari disribusi ba dibrikan olh: f ( ) ( ) ( ) for < < slainna (.7) Dimana > dan > (Frund & Walpol, 987 : 5)

28 Torma. : ( m, n) ( n, m) (.8) Buki: (Dudwicz & Mishra. 995 : 57) Dngan mnggunakan ransformasi, didapa m ( m n) ( ) n, d ( ) m n d n m ( ) d ( n,m) Torma. : ( m, n) Buki : Dngan mngambil z, didapa ( m) ( n) ( m n) ( m ) z m z d m dmikian pula, n ( n ), kmudian m n m n d d m n ( ) d d ransformasikan k polar koordina, ρ cos φ, ρ sinφ

29 sin cos π φ ρ ρ φ ρ φ φ ρ d d n m n m n m sin cos π ρ φ φ φ ρ ρ d d n m n m sin cos π φ φ φ d n m n m n m n m, dngan dmikian n m n m n m, Torma. : Buki : Unuk: ) ( d d d du u misalkan d dv v shingga [ ] du v dv u r uv [ ] d uv d

30 Gambar. Grafik Disribusi Ba.. Disribusi Wibull Tknologi modrn lah mmungkinkan orang mrancang banak sism ang rumi ang pnggunaanna, aau barangkali kamananna, brganung pada kandalan brbagai komponn dalam sism rsbu. Sbagai conoh, suau skring mungkin puus, iang baja mungkin mlngkung, aau ala pngindra panas ak bkrja. Komponn ang sama dalam lingkungan ang sama akan rusak dalam waku ang brlainan ang ak dapa diramalkan. Dfinisi.8: Pubah acak koninu brdisribusi Wibull, dngan paramr dan, jika fungsi probabilias brbnuk f, >, unuk lainna (.9) dngan > dan > Grafik disribusi wibull unuk dan brbagai paramr digambarkan pada Gambar. Dapa diliha bahwa kurva rsbu brubah

31 bnukna unuk nilai paramr ang brbda ruama paramr. jika, disribui wibull brubah mnjadi disribuai ksponnsial. unuk nilai >, kurva rsbu mnrupai kurva normal, api mnampilkan bbrapa kmncngan. Gambar. Grafik Disribusi Wibull Conoh.6 : Prhaikanlah bahwa fungsi laju kgagalan dibrikan olh Z, > jika dan hana jika disribusi waku kgagalan mrupakan disribusi Wibull Pnlsaian : f, > Asumsikan bahwa Z, > dngan R Z R f c Dari kadaan bahwa ( ) Z c. Kmudian bisa diulis ( ) d d c R kia dapakan bahwa c. Shingga R

32 f > dan, skarang, asumsikan bahwa f, > maka Z dinukan dngan mnuliskan Z f R dngan R d F d maka Z, >. kspkasi & Variansi.. Nilai Harapan (kspkasi) Dfinisi.9 : Jika adalah suau pubah acak diskri dan p() adalah fungsi pluang dari, maka nilai harapan (kspkasi) dari pubah acak adalah: Dfinisi. : ( ) P ( ) (.) Jika adalah suau pubah acak koninu dan f() adalah fungsi pada dari maka nilai harapan (kspkasi) dari pubah acak adalah: ( ) f d (.) (Dudwicz & Mishra, 995: 6)

33 Conoh.7: Misalkan suau pubah acak dngan fungsi pada pluang f 7 9 ( ),, jika < < unuk ang lainna Hiung nilai man () Pnlsaian: Prsamaan (.) pada dfinisi., maka: ( ) f d 7 9 ( ) d 7 9 ( ) d Dfinisi. : Misalkan suau pubah acak dngan fungsi pada pluang f dan g suau fungsi dari. Nilai harapan dari adalah: [ g( )] g f unuk diskri, dan (.) [ g( )] g f d unuk koninu (.) (Barns. 99 : )

34 Conoh.8: Misalkan fungsi pada pluang f, hiung [ g( )] ( ) g. 6 dngan Pnlsaian: Mnuru prsamaan. pada dfinisi., maka [ g( )] g f 6 ( ) 6 ( ) ( 6 ) 6 K 6 9 Torma.5 : Bila a dan b konsana, maka ( a b) a ) b ( (.) Buki: Mnuru prsamaan (.) pada dfinisi., maka Akiba (). Bila Akiba (). Bila ( a b) ( a b) f d d b f a f d ( ) a b ( ) b a a maka ( b) b b maka ( a ) a( ) (Walpol & Mrs, 995:6)

35 Torma.6 : Sifa-sifa nilai harapan (kspkasi). Bila c suau apan dan g( ), g( ), dan ( ) maka ( c) ;. c g fungsi ang harapanna ada,. ( cg ( )) cg ( ) ( g ( ) g ( )) g ( ) g ;. ( ) g ( ) jika g g unuk smua ;. g 5. g ( ) g ( ) Buki : (Dimisalkan adalah pubah acak koninu). ( c) cf d c f d c (Mnuru dfinisi., c f d ). ( c g ( )) c g f d f c g d c g ( ). ( g g ) ( g g ) f d f d g f g d g g

36 ssuai dngan sifa ingral ( b) a dan b adalah suau konsana. ( ) g ( ). g a d a d b d dngan f d g f d g g g jika ang sama. (Dudwicz & Mishra, 995 : 9) Sifa-sifa ini juga dapa dibukikan unuk pubah acak diskri dngan cara.. Variansi Dfinisi.: Misalkan pubah acak dngan disribusi pluang f dan raaan. Variansi adalah [( ) ] ( ) σ f (.5) bila diskri dan [( ) ] ( ) f ( d σ ) (.6) bila koninu Torma.7: Bila variansi adalah Var, maka ( ) (Walpol Mrs, 995 : 8) Var (.7)

37 Buki: ( ) ( ) var ( ) ( ) Torma.8: var ( a b) a var (.8) Buki: var ( a b) [( a b) ( a b) ] Conoh.9 : [ a( ) b a( ) b] [ a( ) a( ) b b] [ a( ) a( )] [ a ( )] [ a ( ) ] a ( ) a var Misalkan suau pubah acak dngan fungsi pada pluang f() (Dudwich & Mishra,995 : 55) f 5, jika 5 < <, unuk ang lainna maka varian dari adalah :

38 dngan mnggunak orma.7 maka: Var ( ) 5 ( ) ( ) d 5.5 ( ) d shingga : Var ( ) ( ) ,75. Momn & Fungsi Pmbangki Momn.. Momn Momn mrupakan nilai harapan suau gjala acak, misalkan; sorang pnjudi ang rarik mngahui harapan kmnanganna dalam suau prmainan, sorang pdagang dalam harapan kunungan dari produksina, dan lain sbagaina. Momn dibdakan mnjadi, aiu momn ak rpusa dan momn rpusa. Dfinisi.: Misalkan suau pubah dngan fungsi disribusi F(). Momn ak rpusa k-n n dari adalah ( ) n

39 Dfinisi.: Misalkan suau pubah dngan fungsi disribusi F(). Momn pusa k-n dari. (Dudwich & Mishra, 995 : 5) adalah n n Dfinisi.5 : Momn ak rpusa ( ) prama disbu man suau disribusi dasi, aau man dari, dan dinoasikan dngan. Dfinisi.6 : Momn pusa kdua ( ( ) disbu varian suau ) disribusi dari, aau varian dari, dan dinoasikan dngan ( σ ). (Frund & Walpol, 987 : 7)) Dari dua dfinisi di aas, dapa diuraikan dalam kasus ang brbda, aiu unuk pubah acak diskri dan pubah acak koninu.. Pubah acak diskri a. Momn ak rpusa Momn ak rpusa k- ( ) f Momn ak rpusa k- M ( ) f Momn ak rpusa k-n n n ( ) n f

40 b. Momn pusa Momn pusa k- ( ) ( ) f Momn pusa k- ( ) ( ) f M Momn pusa k-n n n ( ) n ( ) f. Pubah acak koninu a. Momn ak rpusa Momn ak rpusa k- ( ) f d Momn ak rpusa k- M ( ) f d

41 Momn ak rpusa k-n n b. Momn pusa n ( ) Momn pusa k- n f d ( ) ( ) f Momn pusa k- ( ) ( ) f M Momn pusa k-n n ( ) n ( ) f Hubungan briku rdapa di anara momn-momn (ak rpusa) dan momn-momn (pusa): ( ) σ ( ) ( ) 6 (Larsn & Mar, 986 : 8)

42 .. Fungsi Pmbangki Momn Mnuru Ronald dan Ramond (995). Kgunaan ang jlas dari fungsi pmbangki momn ini adalah unuk mnnukan momn-momn disribusi. Akan api, kgunaan ang rpning adalah unuk mncari disribusi dari fungsi pubah acak. (Walpol & Mrs. 995 : 6) Dfinisi.7 : Fungsi pmbangki momn dari suau pubah acak didfinisikan unuk siap bilangan riil sbagai M ( ). (Dudwich & Mishra, 995 : ) Dari dfinisi.7, dapa diuraikan dalam kasus ang brbda, aiu unuk pubah acak diskri dan pubah acak koninu. Fungsi pmbangki momn unuk pubah acak diskri aiu: ( ) M f Fungsi pmbangki momn unuk pubah acak koninu aiu:. (.9) M ( ). f ( d (.) ) (Spigl, 99:8) Conoh.7: Tnukan fungsi pmbangki momn dngan adalah pubah acak koninu dngan fungsi pada pluang f jika > unuk ang lainna

43 Pnlsaian: M ( ). f ( d ) d d ( ) Torma.9 : Bila fungsi pmbangki momn M dari pubah acak ada unuk T, n unuk T >, maka ( ) ada (,,,K ) n ( n n dan ( ) M ) d d n n M (Dudwich & Mishra, 995 : ) Buki : Dikahui bahwa M ( ) Dngan mnggunakan dr Maclaurin adalah!! K Jika digani maka ( )! ( )! K Shingga diprolh

44 M K! ) (! ) ( K! ) (! ) ( ) ( () K K ) (! ) (! ) ( ) (! ) ( ) ( n n n K K ) ( )! ( ) (! ) ( ) ( ) ( ) ( n n n M ) ( () M Momn k- dari pubah acak ) ( ) ( ) ( M ) ( () M Momn k- dari pubah acak M ) ( () () M Momn k- dari pubah aca M Sampai urunan k-n Jadi unuk mndapakan momn k-n dari suau pubah acak adalah dngan mnurunkan fungsi pmbangki momn sbanak n kali dan mmasukkan nilai variablna sama dngan nol, shingga rbuki bahwa ) ( ) ( n n n M d d Torma. : Jika M adalah fungsi pmbangki momn dari pubah acak dan a adalah suau konsana, maka fungsi pmbangki momn dari a adalah a M M a (.) (Spigl, 99 : 8)

45 a Buki: M ( ) Torma. : a ( a ) ( ) M M ( a) ( a) Jika M adalah fungsi pmbangki momn dari pubah acak, a dan b adalah suau konsana, maka fungsi pmbangki momn dari M b M ( a) a b a b adalah: (.) Buki : M ( a b) a b ( a b ) ( a ) b ( ) ( ) M b b ( a) M ( a) Dfinisi.8 : Fungsi pmbangki momn gabungan dari,, K K, didfinisikan K n unuk bilangan riil,, KK, sbagai: M K n KKK n n ( K K ) ( ), LL, n n, (.) (Dudwicz & Mishra, 995 : 5)

46 Torma. : Misal fungsi pmbangki momn gabungan dari (, ) ada, maka dan pubah acak bbas jika M ( ) M ( ) M,, Buki: M ( ) ( ),, ( ) ( ) ( ) M ( ) M Torma.: Misal,, K K, pubah acak ang brdisribusi idnik dan bbas K n Misalkan Y a KKK a a n n maka fungsi pmbangki momn dari Y adalah: M Y M ( a ) M ( a ) KKK M ( a ) n n (.) (Dudwicz, 995 : ) Y Buki : M ( ) Y a a KKK a n n ( a a ) a KKK n n a a a n n KK K a a a n n KK K ( ) ( a ) a ( an ) KK ( n ) K ( a ) M ( a ) KK M ( a ) M K n n

47 .5 Skwnss & Kurosis Sbagai Fungsi dari Momn.5. Skwnss Dalam banak kasus, suau sbaran frkunsi ang ramai akan mmiliki bnuk sbaran ang idak normal, shingga sanga brguna apabila mmiliki sbuah saisik ang mngukur sbrapa jauh pnimpangan bnuk sbaran iu dari bnuk sbaran normal. Skwnss digunakan unuk mnunjukkan simris idakna bnuk kurva ang dihasilkan dari sbaran suau gugus daa. Skwnss aau kmncngan suau kurva mmiliki ari bahwa salah sau kor dari kurva lbih mnjulur dibandingkan kor lain. Pada kurva smacam iu, nilai raa-raa dan mdian idak akan pa brada di sau iik ang sama. Dikaakan bahwa disribusi iu mncng k kanan, aau mmiliki kmncngan posiif (posiif skwnss), sbalikna disbu mncng kkiri, aau mmiliki kmncngan ngaif (ngaif skwnss), brganung dari apakah kor kanan aau kiri ang lbih mnjulur. Suau ukuran kmncngan ang paling banak digunakan adalah dngan mnggunakan momn pusa kiga dibagi dngan pangka iga simpangan baku ang dinaakan sbagai kofisin skwnss ( γ ) γ (.5) σ Ukuran diaas sring dinaakan dalam b γ. Unuk kurva ang simris smpurna, misalna kurva normal b adalah nol. γ (Harinaldi. 5 : )

48 Nilai skwnss dapa digunakan sbagai indikaor ksangkupan brdasarkan kriria briku: < : sbaran mnjulur ngaif aau sbaran mnjulur kkiri (a) γ : sbaran normal (simrik) > :sbaran mnjulur posiif aau sbaran mnjulur kkanan (b) Hal rsbur dapa digambarkan dalam kurva briku: a) b) Gambar 5. Kmncngan suau sbaran a) ngaip b) Posiip.5. Kurosis Mnuru Smbiring (995 : ), kurosis mnangku momn kmpa dan mngukur daar aau runcingna puncak sbaran dibandingkan dngan sbaran normal. Kurosis disbu juga pmuncakan kurva. Ukuran kurosis mnggunakan momn pusa kmpa dibagi dngan pangka mpa simpangan baku ang didfinisikan sbagai kofisin kurosis. γ (.6) σ ukuran ini sring dinaakan sbagai b. Unuk suau disribusi normal, b γ. Dngan alasan ini kurosis kadang-kadang didfinisiskan sbagai γ b. Shingga : γ (.7) σ

49 Kriria nilai kurosis unuk mndksi klandaian kurva adalah sbagai briku: a. Bila γ >, maka bnuk sbaran kurva lpokurik aiu kurva ang mmpunai puncak rlaif inggi / runcing. (a) b. Bila γ, maka bnuk sbaran kurva msokurik, aiu mmpunai puncak cpr / raa-raa. (b) c. Bila γ <, maka bnuk sbaran kurva plaikurik aiu kurva ang mmpunai puncak idak rlalu runcing aau cpr. (c) (a) (b) (c) Gambar 6. Jnis Kurva Kurosis a. Lpokurik b. Msokurik c. Plaikurik.6 Kajian Kagamaan.6. Allah Za Yang Ahli Mamais Mamaika iu pada dasarna brkaian dngan pkrjaan mnghiung, shingga idak salah jika kmudian ada ang mnbu mamaika adalah ilmu hiung aau ilmu al-hisab. Dalam urusan hiung mnghiung ini, Allah adalah rajana. Allah sanga cpa dalam mnghiung dan sanga lii. Al-Quran mnjlaskan bahwa Allah sanga cpa dalam mmbua prhiungan dan sanga lii. Dalam Al-Quran sura An-Nur aa 9 disbukan:

50 #sœî) # Lm ¹!$Β ã$ ôϑ à9$# çç7 øs 7πè É)Î/ >#u. öνßγè uηùår& (#ÿρã Ÿ Ï%!$#uρ ßìƒÎ ª!$#uρ ç/$ Ïm ç9 ùuθsù çν ΖÏã!$# ỳ uρuρ $\ ø çνô Ågs óοs9 çνu!$_ É>$ Ïø:$# Arina: Dan orang-orang kafir amal-amal mrka adalah laksana faamorgana di anah ang daar, ang disangka air olh orang-orang ang dahaga, api bila didaangina air iu dia idak mndapaina ssuau apapun. dan didapaina (kapan) Allah disisina, lalu Allah mmbrikan kpadana prhiungan amal-amal dngan cukup dan Allah adalah sanga cpa prhiungan-na. Dalam Al-Quran sura Maram aa 9 disbukan: # ã öνèδ ãuρ Λàι9 Áômr& ô s) 9 Arina: Ssungguhna Allah Tlah mnnukan jumlah mrka dan mnghiung mrka dngan hiungan ang lii. Dalam Al-Quran sura Al-An am aa 6 disbukan: Î7Å pø:$# äíuór& uθèδuρãνõçø:$# ã&s! Ÿωr& Èd,sø9$# ãνßγ9s9öθβ«!$# n<î)(#ÿρ Šâ ΝèO Arina: Kmudian mrka (hamba Allah) dikmbalikan kpada Allah, Pnguasa mrka ang sbnarna. Kahuilah bahwa sgala hukum (pada hari iu) kpunaanna. dan dialah pmbua prhiungan ang paling cpa. Dalam Al-Quran Sura Al-Baqarah aa disbukan: É>$ Ïø:$# ßìƒÎ ª!$#uρ (#θç7. $ ϑïiβòšåáρóοßγs97í s9ρé& Arina: Mrka Iulah orang-orang ang mndapa bahagian daripada ang mrka usahakan; dan Allah sanga cpa prhiungan-na. Mamaika juga brknaan dngan masalah saisik. Saisik adalah cabang dari ilmu mamaika ang brkaian dngan pngumpulan daa,

51 pngolahan daa, pnajian daa, analisis daa, dan pnarika ksimpulan daa. Dalam masalah mngumpulkan daa aiu mncaa aau mmbukukan daa, Allah juga ahlina. Dalam Al-Quran sura Al-Kahfi aa 9 disbukan: ÉΑ$Β $oψgn ƒuθ ƒθä9θà)ƒuρïšïù$ ϑïβ É)Ï ô±ãβ ÏΒÌôfßϑø9$# uisù Ü GÅø9$# ìåêãρuρ $Β (#ρß ỳ uρuρ $γ8 Áômr& HωÎ) οuî7. Ÿωuρ ZοuÉó ¹ â ÏŠ$óムŸω É GÅ6ø9$# # δ #Y nr& 7 /u ÞΟÎôàƒŸωuρ #ZÅÑ%n(#θèÏϑã Arina: Dan dilakkanlah kiab, lalu kamu akan mliha orang-orang brsalah kakuan rhadap apa ang (rulis) di dalamna, dan mrka brkaa: "Aduhai claka kami, Kiab apakah ini ang idak mninggalkan ang kcil dan idak (pula) ang bsar, mlainkan ia mncaa smuana; dan mrka dapai apa ang Tlah mrka krjakan ada (rulis). dan Tuhanmu idak mnganiaa sorang juapun". Kalau Allah mmang Maha Mamais, apakah Allah juga mngahui nang ingral? Subhanallah, Maha Suci Allah dari sifa-sifa kkurangan dan kidakahuan. Ilmu ang dimiliki manusia idak ada apa-apana jika dibanding ilmu Allah. Kmampuan manusia idak ada apa-apa jika dibanding dngan kmampuan Allah. Apa ang dikahui manusia, Allah mngahuina, bahkan lbih mngahuina. Jangankan ang dikahui manusia, ang idak dikahui manusiapun Allah mngahuina. Mamaika idak lain adalah ilmu ang mnjadi ala kbuuhan manusia. Mamaika lah dicipakan dan sngaja disdiakan unuk mnunun manusia mmahami kbsaran dan kkuasaan Allah. Mamaika iu idak lain adalah makhluq, Allah adalah khaliqna. Khaliq jlas mngahui dngan dil mngnai makhluqna. Jangankan ingral dan dfrnsial, bahkan apa ang blum

52 ( dikahui dan blum dilakukan manusia dalam mamaika, Allah sudah mngahuina. Ilmu Allah sanga luas iada baas, Allah mngahui ang ghaib dan ang nampak (Abdussakir, 7 : 88). Sbagaimana firman Allah dalam Al-quran sura Al-An am aa 7. à ãαθà)ƒ Πöθƒuρ Èd,sø9$Î/ š ö F{$#uρ ÏN uθ ϑ 9$#,n{ Ï%!$# uθèδuρ Éø óø9$# ãνî ã Í θ Á9$# Îû ã ΖムΠöθƒ Ûùßϑø9$# ã&s!uρ,sø9$# ã&è!öθs% ãθà6u sù çî6 ø9$# ãν Å6pø:$# uθèδuρ Íο γ ±9$#uρ Arina: Dan dialah ang mncipakan langi dan bumi dngan bnar. dan bnarlah prkaaan-na di waku dia mngaakan: "Jadilah, lalu rjadilah", dan di angan-nalah sgala kkuasaan di waku sangkakala diiup. dia mngahui ang ghaib dan ang nampak. dan dialah ang Maha Bijaksana lagi Maha Mngahui. Dalam sura Al-Mukminun aa 9. šχθàîô³ãƒ $ ϑã n? èfsùíο γ ±9$#uρÉø óø9$# ÄΝÎ ã Arina: Yang mngahui smua ang ghaib dan smua ang nampak, Maka Maha Tinggilah dia dari apa ang mrka prskuukan. Tidak ada ssuaupun ang lpas dari pngahuan Allah, rmasuk hal-hal dalam mamaika ang dianggap rumi olh manusia. Allah brfirman dalam Alquran sura Al-An am aa 59. Ìós7ø9$#uρ Îh9ø9$# Îû $Β ÞΟn èƒuρ uθèδ āωî)!$γßϑn èƒ Ÿω Éø óø9$# ßÏ?$ Β çν ΨÏãuρ * 5ôÛu Ÿωuρ ÇÚö F{$# ÏM ϑèàß Îû 7π 6m Ÿωuρ $γßϑn èƒ āωî) >πs%u uρ ÏΒ äýà)ó n@ $Βuρ & Î7 Β 5 GÏ. ÎûāωÎ) C Î/$ƒŸωuρ Arina: Dan pada sisi Allah-lah kunci-kunci smua ang ghaib; idak ada ang mngahuina kcuali dia sndiri, dan dia mngahui apa ang di

53 daraan dan di lauan, dan iada shlai daun pun ang gugur mlainkan dia mngahuina (pula), dan idak jauh sbuir biji-pun dalam kglapan bumi, dan idak ssuau ang basah aau ang kring, mlainkan rulis dalam Kiab ang naa (Lauh Mahfudz)". Jadi kalau di bumi ini ada ilmu mamaika, maka Allah adalah ahlina, ang paling mngahuina, Dialah ahli mamaika (mamaisi) ang srba maha. Kalau dibumi ada ilmu biologi, maka Allah ang paling ahu nang biologi. Kalau di bumi ada ilmu fisika, maka Allah ang paling ahu nang fisika. Tidak ada ang rsmbuni bagi Allah ssuaupun ang rjadi di bumi bahkan di langi. Allah brfirman dalam Al-quran sura Ali-Imran aa 5. Ï!$ϑ 9$# ÎûŸωuρÇÚö F{$# ÎûÖ ó «Ïø nã øƒs Ÿω!$# Î) Arina: Ssungguhna bagi Allah idak ada saupun ang rsmbuni di bumi dan idak (pula) di langi..6. Sgala Ssuau ang Dicipakan Allah Ada Ukuranna Prkmbangan sains ang luar biasa ang dicapai para ilmuwan mamaika, biologi, kimia dan fisika lah mlampaui sluruh ramalan masa dpan manusia dan mmbua banak orang rkagum-kagum. Prkmbangan dan pmanfaaan sains ang luar biasa brka kmajuan knologi ang psa rsbu, iada lain mrupakan buki ang mnunjukkan kagungan dan kkuasaan Allah SWT sra kbijaksanaan dan ksmpurnaan cipaan-na. Slain iu, prkmbangan ilmiah rsbu juga mmbukikan bahwa Allah SWT adalah bnar-bnar Sang Pncipa ang lah mncipakan alam smsa ini.

54 Prkmbangan dan pmanfaaan sains juga mmbukikan bahwa alam smsa idaklah rcipa scara kbulan, karna di dalamna rdapa prauran ang sanga lii dan hukum ang sanga rapi unuk mngndalikan dan mnjalankan alam smsa. Di samping iu dalam alam smsa rdapa sifa-sifa khas ang sudah disiapkan sdmikian rupa, shingga dapa ssuai unuk sgala bnda dan makhluk ang ada di dalamna. Smua ini mnafikan kmungkinan bahwa alam smsa rcipa scara kbulan, sbab suau prisiwa kbulan idak akan mampu mlahirkan prauran ang lii dan hukum ang rapi. Adana prauran dan hukum alam ang sanga akura ini, nu saja mngharuskan adana Sang Pngaur dan Sang Pncipa ang Maha Brkuasa dan Maha Bijaksana (Anonmous. hp://hbmulana.wordprss.com/. Diakss anggal 6 fbruari 8). Allah SWT lah brfirman : 9 s)î/ ç oψø)nz > ó «ä. $ ΡÎ) Arina: Ssungguhna kami mncipakan sgala ssuau mnuru ukuran. Dalam Al-Quran sura Ar-Ra du aa 8 disbukan: A # ø)ïϑî/ çν ΨÏã> ó «àuρ... Arina :...dan sgala ssuau pada sisi-na ada ukuranna. Dalam Al-Quran sura Al-Furqann aa disbukan: #\ƒï ø)s? çνu s)sù& ó «à,nzuρ... Arina:...dan dia Tlah mncipakan sgala ssuau, dan dia mnapkan ukuran-ukuranna dngan srapi-rapina

55 Aa-aa Allah ada ang rulis dalam kiab suci al-quran dan ada pula ang idak rulis di dalamna, aiu ang rbnang di jagad raa. Aa 8 dari sura Ar-Ra du dan aa dari sura Al-Furqan diaas mnjlaskan bahwa Allah mncipakan sgala ssuau dngan kadar ukuran ang lah diapkan. Dngan kaa lain idak ada aa Allah, baik ang rulis maupun ang rbnang iu ada aau rjadi bgiu saja, anpa disngaja. Smua sudah dirncanakan, diprhiungkan, dan diaur olh-na, bukan mrupakan ssuau ang kbulan. Apabila disngaja, nu ada maksud dan ujuanna. Maksud dan ujuan Allah mmbua iu smua ada ang bisa langsung dipahami manusia namun ada juga ang mmrlukan pnafsiran. Saa manusia mmrlukan pnafsiran, bisa jadi makna sbnarna dari aa-aa Allah iu rsingkap, api mungkin juga pnafsiran iu idak aau blum mncapai makna sbnarna. Namun ang pasi, manusia mmang diprinahkan unuk rus mnlaah dan mngkaji aa-aa Allah..6. Prinah Mlaksanakan Sgala Ssuau Scara Tpa Brdasarkan Prhiungan Sbagaimana lah kia kahui bahwa mnuru Al-Quran, manusia adalah makhluk ang brponsi unuk mnguasai ilmu pngahuan. Allah-lah ang mngajari manusia smua hal ang sblumna idak dikahuina: Λs> èƒóοs9$β z ΣM}$# zο æ Arina: Dia mngajar kpada manusia apa ang idak dikahuina. (Sura Al-Alaq aa 5)

56 Didorong dan dirangsang olh sudi al-quran, kaum muslim mmulai pngmbangan ilmu mamaika dngan pngahuan nang bilangan ( ilm aladad) dan ilmu hiung ( ilm hisab). Ilmu ini mnduduki mpa ismwa dalam ilmu pngahuan islam. Sumbr-sumbr kajian mamaika, sbagaimana sumbr ilmu pngahuan lainna dalam islam, adalah konsp Tauhid, aiu ksaan Allah. Kcinaan kaum muslim kpada mamaika langsung rkai dngan bilangan pokok dalam kimanan mrka, akni Tuhan Yang Sau (Tauhid). Mnlusuri pandangan al-quran nang ilmu pngahuan, mngundang kia mnngok skian banak aa al-quran ang brbicara nang alam raa ang rhampar luas dilangi dan di bumi disdiakan sbagai bahan unuk mmprolh ilmu pngahuan. Maka kia sbagai makhluk Allah Sw, harus bisa mnggunakan apa-apa ang ada di langi dan di bumi dngan sbaik-baikna dalam khidupan shari-hari. Spri ang dijlaskan pada sura Al-A laa aa -, ang brbuni sbagi briku : γsùu s% Ï%!$#uρ θ sù,n{ Ï%!$# Arina : ". Yang Mncipakan, dan mnmpurnakan (pncipaan-na),. Dan ang mnnukan kadar (masing-masing) dan mmbri punjuk. Pngrjaan oprasi hiung unuk mncari hasil dilakukan dalam pmblajaran mamaika mulai ingka dasar sampai prguruan inggi. Dalam pngrjaanna, maka ssorang diunu unuk brsikap lii, crna, hma, cpa dan pa. Saa mngrjakan masalah mamaika ssorang sbnarna diunu unuk mngrjakan dngan lii dan crma. Jangan sampai ada pngrjaan aau langkah ang salah. Langkah dmi langkah pngrjaan dilii dan dicrmai.

57 ( ( Slah diprolh hasilna, hasil iu prlu dick lagi apakah sudah mnjawab prmasalahan aau idak. Inina, mamaika mngajari ssorang unuk jli dan brhai-hai dalam mlangkah (Abdussakir, 7 : 7). Dalam AL-Quran aspk mamaika dijlaskan dalam sura Al-An am aa 5: $γèó ãρāωî) $² ø Ρß#ÏksçΡŸω( ÅÝó É)ø9$Î/ #u Ïϑø9$#uρŸ ø 6ø9$# (#θèù ρr&uρ... Arina:...dan smpurnakanlah akaran dan imbangan dngan adil. kami idak mmikulkan bban kpada ssorang mlainkan skdar ksanggupanna... Dan dalam sura Hud aa 85 disbukan: } $ Ζ9$# (#θý ö7s? Ÿωuρ ÅÝó É)ø9$Î/ šχ#u Ïϑø9$#uρ Α$u ò6ïϑø9$# (#θèù ρr& ÏΘöθs) ƒuρ Ï Å ø ãβçúö F{$# Îû(#öθsW ès? ŸωuρöΝèδu!$u ô r& Arina: Dan Suaib brkaa: "Hai kaumku, cukupkanlah akaran dan imbangan dngan adil, dan janganlah kamu mrugikan manusia rhadap hak-hak mrka dan janganlah kamu mmbua kjahaan di muka bumi dngan mmbua krusakan. Aa-aa di aas jlas-jlas mlakkan dasar kadilan bagi para ahli mamaika dan saisika. Mrka harus bkrja kras mnghiung bilanganbilangan ang scara pa brdasarkan ukuran (akaran), shingga smua pihak ang brkpningan bisa mrasa kadilan. Tidak bolh ada slisih aau inkonsisnsi dalam hiungan. Smuana harus dilaksanakan scara sksama dan akura shingga mnghasilkan kbnaran ang sahih. Smanga inilah ang ama dikankan olh Al-Quran. Kapan sra akurasi prhiungan ang dilakukan olh para ahli mamaika bukan saja dilakukan dmi mnjamin kadilan kpada siapa saja ang brkpningan, mlainkan juga dmi mmprolh informasi ang

58 bnar brdasarkan bilangan dan angka ang disajikan kpada mrka dan dmi mnjaga kadilan rhadap smua pihak dalam sgala kadaan. Dngan dmikian, dapa dinaakan disini bahwa Al-Quran bolh jadi lah banak mndorong manusa unuk malakukan pnliian nang prsamaan mamais. Al-Quran bukan saja lah mndorong mrka unuk mnghiung bilangan-bilangan scara pa brdasarkan daa-daa sra ukuran-ukuran ang mrk miliki mnuru kaidah-kaidah sainifik, mlainkan juga mndorong mrka mmlihara hubungan ang ra dngan Sang Pncipa mlalui hasil-hasil prhiungan ang dilakukanna. Iulah sbabna, mngapa mamaika diklaim sbagai mmiliki kdudukan ang ismwa dalam sains Islam. Dalam krajaan Allah, rdapa nraca dngan ksimbangan dan kadilan ang ama smpurna. Dia mmrinahkan agar ksmpurnaan iu diplihara sbaik-baikna dalam siap aspk khidupan manusia, rlbih lagi dalam hal kpaan dan kakuraan pnnuan angka dan bilangan sra ukuran ang mnjadi dasar bagi broprasina bidang indusri dan sains. Dari smua usaha para ahli mamaika ang bkrja kras mmbua prhiungan dngan akurasi ang inggi, ada Allah Yang Maha Mnghiung (Rahman, 7:). Dalam Sura An-Nisa aa 86 dijlaskan : $7ŠÅ m > ó «È ä. n?ã %.!$# Î)... Arina:...Ssungguhna Allah mmprhiungkan sgala ssuau.

59 BAB III PMBAHASAN. Pnnuan Momn K- Dan Momn K- Dari Disri Gamma, Ba Dan Wibull.. Disribusi Gamma Unuk mndapakan momn k- dan momn k- dari disribusi gamma adalah dngan mnurunkan prsamaan (.5) sbanak kali dan mmasukkan nilai variablna sama dngan nol.. Momn prama a. Momn ak rpusa prama ( ) d M d d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi momn ak rpusa prama adalah

60 . Momn Kdua a. Momn ak rpusa kdua ( ) d M d d ( ) d d d ( ) d d d d ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Jadi momn ak rpusa kduana adalah ( ) b. Momn pusa kdua ( ) ( )

61 Jadi momn pusa kduana adalah σ. Momn Kiga a. Momn ak rpusa kiga ) ( d M d d d d d d d d d

62 Jadi momn ak rpusa kigana adalah b. Momn pusa kiga [( ) ( )] [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Jadi momn pusa kigana adalah ( ) Jika momn ak rpusa prama ( ) mnaakan man ( ) dan momn puasa kdua ( ) mnaakan varian ( σ ), maka pada momn pusa

63 kiga ang dibagi dngan pangka simpangan baku σ mnaakan kofisin Skwnss γ. σ γ σ σ. Momn Kmpa a. Momn ak rpusa kmpa ) ( d M d d d d d d d. d d..

64 ( ) ( ( 6 6 ) 6 6 Jadi momn ak rpusa kmpana adalah 6 6 b. Momn pusa kmpa [( ) ( ) ] [( ) ( )] ( ) ( 6 ) ( ) ( ) 6 ( ) 6 ( )( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) Jadi momn pusa kmpana adalah 6

65 Shingga pada momn pusa kmpa mpa simpangan baku σ mnaakan kurosis ang dibagi dngan pangka γ. γ σ ( σ ) ( ) 6 ( 6 ) ( 6) 6 6. Disribusi Ba Unuk mndapakan momn k- dan momn k- dari dfinisi ba adalah dngan mnurunkan prsamaan (.) sbanak kali dngan f() pada prsamaan (.7) dan mmasukkan variablna sama dngan nol.. Momn prama a. Momn pusa prama ( ) dm d d d f d

66 f d f d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d dari prsamaan (.6) pada dfinisi.6 diprolh: ( ) ( ) ( ) ( ) B, karna: B (, ) maka: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi momn prama ak rpusa dari disribusi ba adalah

67 . Momn kdua a. Momn ak rpusa kdua ( ) d M d d d f d d d d d f d d d f d f d f d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

68 Jadi momn ak rpusa kdua adalah ( ) ( )( ) b. Momn pusa kdua ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi momn pusa kduana adalah ( ) σ ( )( )

69 . Momn kiga a. Momn ak rpusa kiga ( ) d M d d d f d d d d d f d d d f d f d f d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Jadi momn ak rpusa kiga adalah ( )( ) ( )( )( )

70 b. Momn pusa kiga [ ] [ ] Jadi momn pusa k iga adalah

71 Jika momn (ak rpusa) prama mnaakan man, dan momn (pusa) kdua mnaakan varian σ, maka momn (pusa) kiga ang dibagi dngan pangka iga simpangan baku σ mnaakan kofisin Skwnss γ. σ γ σ σ. Momn kmpa a. Momn ak rpusa kmpa d M d d f d d d f d d d d

72 d f d d d f d f d, B Jadi momn ak rpusa kmpa adalah b. momn pusa kmpa [ ] [ ] 6 6

73 Jadi momn pusa kmpa adalah Shingga pada momn pusa kmpa ang dibagi dngan pangka mpa simpangan baku σ mnaakan kurosis γ. σ γ σ

74 . Disribusi Wibull Unuk mndapakan momn k- dan momn k- dari disribusi Wibull adalah dngan mnurunkan prsamaan (.) sbanak kali dan mmasukkan variablna sama dngan nol. Momn prama a. Momn pusa prama ( ) dm d d d f d f d f d d d misalkan: shingga:, maka, dan d

75 d d d d d d d dngan mnggunakan fungsi gamma pada prsamaan., dfinisi., shingga diprolh d Jadi momn ak rpusa pramana adalah

76 . Momn kdua a. Momn ak rpusa kdua ( ) d M d d d f d d d d d f d d d f d f d f d d d Misalkan: shingga:, maka dan d

77 d d d d d d Jadi momn ak rpusa kduana adalah

78 b. Momn pusa kdua Jadi momn pusa kduana adalah σ. Momn kiga a. Momn ak rpusa kiga d M d d f d d

79 d f d d d d d f d d d f d f d d Misalkan:, maka, dan d, shingga: d d d

80 d d d Jadi momn ak rpusa kigana adalah b. Momn pusa kiga [ ] [ ]

81 Jadi momn pusa kigana adalah Jika momn (ak rpusa) prama mnaakan man, dan momn (pusa) kdua mnaakan varian σ, maka momn (pusa) kiga ang dibagi dngan pangka iga simpangan baku σ mnaakan kofisin Skwnss γ. σ γ σ

82 . Momn kmpa a. Momn ak rpusa kmpa d M d d f d d d f d d d d d f d d d f d f

83 d d Misalkan:, maka, dan d shingga: d d d d d d

84 Jadi momn ak rpusa kmpana adalah b. momn pusa kmpa [ ] [ ] Jadi momn pusa kmpana adalah 6

85 Shingga pada momn pusa kmpa ang dibagi dngan pangka mpa simpangan baku σ mnaakan kurosis γ. σ γ σ Tinjauan Agama rhadap Hasil Pmbahasan Al-Quran sanga mnkankan dalam sura Al-Qamar aa 9 bahwa Allah mncipakan sgala ssuau brdasarkan ukuran. Alam smsa mmua bnukbnuk dan konsp mamaika, mskipun alam smsa rcipa sblum mamaika iu ada. Alam smsa sra sgala isina dicipakan Allah dngan ukuran-ukuran ang crma dan lii, dngan prhiungan-prhiungan ang mapan, dan dngan rumus-rumus sra prsamaan ang simbang dan rapi. Sungguh, idak salah kirana jika mnaakan bahwa Allah Maha Mamais.

86 Aa 9 dari sura Al-Qamar di aas brari, Allah SWT lah mncipakan sgala ssuau dngan mmprhiungkan ukuran dan kssuaian unuk manusia, sra lah mmprsiapkan kondisi-kondisi ang cocok bagi manusia. Karnana, pncipaan alam smsa ssungguhna lah rlaksana dngan primbangan ang sanga bijaksana, bukan anpa primbangan. Di samping iu dalam alam smsa rdapa sifa-sifa khas ang sudah disiapkan sdmikian rupa, shingga dapa ssuai unuk sgala bnda dan makhluk ang ada di dalamna. Smua ini mnafikan kmungkinan bahwa alam smsa rcipa scara kbulan, sbab suau prisiwa kbulan idak akan mampu mlahirkan prauran ang lii dan hukum ang rapi. Adana prauran dan hukum alam ang sanga akura ini, nu saja mngharuskan adana Sang Pngaur dan Sang Pncipa ang Maha Brkuasa dan Maha Bijaksana (Fokus disi Th 5. hp://hbmulana.wordprss.com/. Diakss anggal 6 fbruari 8). Brdasarkan pmbahasan ang lah dipaparkan di dpan, didapakan bahwa dalam pnnuan momn k- dan momn k- harus mnnukan momn prama dan k- rlbih dahulu. Hal ini sjalan dngan apa ang ada dalam sura Al-Qamar aa 9 bahwa ssuau ang dibnuk pasi mmpunai ukuran, ujuan sra maksud rnu. Sbagaimna pada nilai momn prama dibnuk unuk mncari nilai momn kdua, nilai momn k- dibnuk unuk nilai mncari momn k- dan srusna. Tidak ada ssuau ang dicipakan Allah anpa sngaja. Smua sudah dirncanakan, diprhiungkan, dan diaur olh-na, bukan mrupakan ssuau ang kbulan. Smua ang ada di alam ini ada ukuranna, ada hiungan-hiunganna, ada rumusna, aau ada prsamaanna. Ahli mamaika idak mmbua suau rumus

87 sdikipun. Mrka hana mnmukan rumus aau prsamaan. Rumus-rumus ang ada skarang bukan dicipakan manusia, api sudah disdiakan. Manusia hana mnmukan dan mnimbolkan dalam bahasa mamaika. Brdasarkan sura Al-Furqan aa, bahwasanna prsamaan momn k- dan momn k- dalam bidang saisik mamaika bukan buaan manusia, api Allahlah ang lah mnnukanna. Pnulis hana mnmukan rumus aau prsamaan rsbu. Jadi sgala ssuau ang ada di bumi manusia dapa mnmukan dari hasil ang lah dilii dan smua ini Allah ang lah mnapkan. Manusia lah dibri akal olh Allah, shingga mrka harus mnggunakan nikma Allah rsbu unuk hal-hal ang ang brmanfaa. Dngan nikma ang lah dibrikan olh Allah rsbu, harus brusaha dngan sungguhsungguh dan harus akin bahwa siap prmasalahan pasi ada slsaianna. Allah lah brfirman dalam Al-Quran Sura Al-Baqarah aa 85 ang brbuni: nο Ïèø9$# (#θèïϑò6çgï9uρ uô ãèø9$# ãνà6î/ ß ƒìムŸωuρ ó ãšø9$# ãνà6î/ ª!$# ß ƒìムöνà6 ès9uρöνä δ $Β n?ã!$# (#ρçéi96çgï9uρ Arina:...Allah mnghndaki kmudahan bagimu, dan idak mnghndaki ksukaran bagimu. dan hndaklah kamu mncukupkan bilanganna dan hndaklah kamu mngagungkan Allah aas punjuk-na ang dibrikan kpadamu, supaa kamu brsukur. Dari aa rsbu, lah jlas bahwa Allah pasi mmbri kmudahan slah ksulian, asalkan manusia rsbu ap brusaha. Kaianna dngan pmbahasan ini aiu bahwa dalam prsoalan mamaika, prmasalahan ang ada harus dikrjakan dngan sungguh-sungguh dan mmilih mod ang pa unuk