BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. Solusi Numri Modl H-R dngan RKF Modl H-R ang trbntu dari tiga prsamaan diffrnsial ord satu ang saling brhubungan atau tropl. Prsamaan trsbut brsifat autonomous ang brarti brdiri sndiri scara splisit dari variabl pnusunna tanpa variabl watu ang mmpngaruhina msipun diturunan dari fungsi watu. H-R mngmbangan prsamaan analitina dari tahun s.d. untu mniru dinamia sistm ang trjadi dalam pnjalaran impuls pada sl saraf. Modl ini mrupaan modl pndrhanaan (simplif modl) ang mngacu pada fnomna sprimn ang tlah dilauan olh Hodgin-Hul atau ang lbih dinal dngan modl H-H. Pnjaralan impuls saraf pada satu sl saraf mmprlihatan dinamia ang ompls dan has. Fnomna trsbut diantarana adalah adana potnsial istirahat potnsial ambang (thrshold) hingga timbulna potnsial asi atau spi. Namun hal trsbut hana mrupaan sbagian cil dari fnomna-fnomna lain ang lbih ompls dan mnari untu diplajari. Pada mulana H-R mnmuan prsamaan pnjalaran impuls saraf dngan dua buah variabl pubah dari prsamaan diffrnsial biasa ord satu ang autonomous prsamaan ini mrupaan modl H-R ang lbih dinal dngan slow fast sstm. Sistm prsamaan ini dianggap brhasil untu mniru fnomna spi pnjalaran impuls pada sl saraf dan mnutupi lmahan dari modl pndrhanaan ang ditmuan olh FitHug-Nagumo (FH-N). Namun modl ini masih mmilii urangan untu mnjlasan fnomna firing-adapting. Shingga pada tahun H-R mmformulasian prsamaanna mnjadi tiga prsamaan diffrnsial ord satu ang saling tropl. Pnambahan satu pubah disamping dua pubah sblumna dimasudan untu mmprlihatan tingah lau pnjalaran ang lbih nata sprti (bursting dan adaptation). Prsamaan analiti ang dibangun olh H-R mrupaan prsamaan nonlinir ang tida mudah dipcahah untu mncari solusi fisisna shingga didalam ilmu sains pnlsaian solusi trsbut dapat dilauan scara numri. Bana mtod numri ang sudah dinal dapat mmcahan solusi dari prsamaan diffrnsial biasa diantarana mtod Eulr Hund dan Rung-Kutta. Dalam asus ini pnlsaian numri dari modl H-R dilauan dngan mtod RKF (lihat.6 Rung-Kutta-Fhlbrg ). Mtod ini adalah pnmpurnaan dari mtod Rung-Kutta ord dan truji lbih bai dngan mnghasilan nilai salahan (rror valu) ang paling cil dari mtod sblumna. Implmntasina adalah mmasuan prsamaan H-R dalam mtod RKF. Mtod RKF mncacah sjumlah titi shingga mnghasilan tratori dalam ruang fasa trtntu brdasaran prsamaan brupa fungsi ang dibntu dari modl H-R. Trdapat tiga fungsi dari prsamaan H-R ang bisa dibntu dari prsamaanna (prsamaan hal. 7): f f f a I (a) d (b) ( b( ) ) (c) Ktiga fungsi ang tlah dibntu trsbut disubstitusian mtod RKF sbagai briut (lihat prsamaan dan pada hal. ):

2 (a) (b) (c) (d) () (f) (g) (h) (i) (j)

3 Z () (l) (m) (n) (o) (p)

4 Konstanta-onstanta trsbut dibangun brdasaran mtod RKF ang aan mmbntu prubahan titi-titi untu tratori dngan mnggunaan prsamaan ord (lihat.7 Mtod Rung-Kutta-Fhlbrg ) disajian sbagai briut: (6a) (6b) (6c) Untu dimana t nilai ang dissuaian sbagai inisial dan n (jumlah itrasi) mrupaan batas itrasi ( s.d. n ). t t h (q) mrupaan prubahan watu dngan t h t adalah slang watu n diinginan untu mninjau tratori dari prsamaan H-R. Prlu ditahui dalam mtod RKF sarat untu mninjau itrasi titi data dngan aurasi tinggi diprluan nilai n ang jauh lbih bsar dari t. Pnjlasan diatas mrupaan tahapan untu mnmuan sbuah solusi numri brupa grafi tratori untu mmbuat simulasi sistm dinamia pnjalaran impuls di dalam sl saraf dngan mnggunaan prangat luna MATLAB ang dapat dilihat pada Gambar. Grafi trsbut mrupaan simulasi ang mmprlihatan fnomna trbntuna potnsial asi dngan nilai satuan potnsial shingga dapat dissuaian dngan nilai ang sbnarna dari nilai potnsial asi brdasaran sprimn H-H. Konstanta-onstanta ang trdapat dalam prsamaan H-R dapat dijlasan sbagai briut (lihat. Modl Matmatia Hindmarsh-Ros) : a dan b ang mnjlasan tntang pngaruh dari potnsial mmbran saat (slow dnamics). Slow dnamics adalah adaan saat trbuanna saluran Na + ani saat potnsial didalam mmbran sl saraf mulai mningat mnuju potnsial asi. Prubahan variabl ini aan mrubah nilai potnsial asi dan lamana pross prubahan potnsial mnuju potnsial asi. Dalam asus ini prubahan nilai aan mmbuat prbandingan baru untu mnra uantitas dari pross pmbntuan potnsial asi bahan dngan prubah sampai trtntu harga trtntu dapat mmbuat tratori simulasi potnsial

5 asi ang tida ssuai dngan fnomna ang ada. Apliasina ada pada adaan sl saraf mahlu hidup ang mmilii fnomna brbda untu mnataan uantitas pross trbntuna potnsial asi. Prubahan varibl a dan b dibandingan antara Gambar Gambar 6 dan Gambar 7. Prubahan variabl trsbut braitan dngan aratristi dari buaan pintu Na + stiap sl saraf dan brgantung juga pada ondisi fisi dari sl saraf. Smain lama buaan dari pintu Na + maa aan mngaibatan pmbntuan potnsial asi ang smain trlambat pada Gambar 7. Variabl d adalah onstanta ang ditntuan dari prcobaan shingga tida ada pnjlasan husus dari prubahan variabl ini pada trbntuna potnsial asi namun apabila variabl ini diubah maa tratori ang trbntu aan mnunjuan fnomna lain diluar fnomna ang dicari dari simulasi ini. I adalah arus masuan dalam hal ini buan mrupaan bsarna arus ang prsis dibrian pada suatu sl saraf hidup namun mrupaan arus dugaan dari uantitas fnomna potnsial asi ang tlah didapatan sblumna. Variabl adalah rcovr variabl Gambar. Simulasi potnsial asi dngan prangat luna MATLAB dari prsamaan H-R. I.7A a b d dan dan adalah titi simbangan dari dua dimnsi sistm H-R ang aan brnilai dirina sndiri apabila tida ada inputan didalam sistm (dapat dilihat dngan mnggunaan GUI pada sub-bab Gambar 6. Simulasi potnsial asi.). dngan prangat luna MATLAB dari prsamaan H-R. I.7 A a b d dan. Potnsial asi mrambat mlalui mmbran sl saraf dan mmbntu potnsial asi.. Prubahan potnsial asi saat slow dnamics aibat prubahan nilai a dan b.

6 6 Gambar 7. Simulasi potnsial asi dngan prangat luna MATLAB dari prsamaan H-R. I.7 A a b d dan. Pada variasi nilai trtntu prubahan nilai a dan b mmbuat simulasi diluar fnomna pada I ang sama. Dinamia spiing mrupaan pola potnsial asi ang mnjalar spanjang ason sl saraf tanpa mngalami bursting ang artina tida ada pngulangan scara srmpa pada suatu umpulan prambatan potnsial asi. Prilau bursting dianggap pola pnjalaran ang has arna mnumpuna potnsial asi dalam satu watu pnjalaran ang singat dimisalan sprti laju tranfr sinal nurotransmitr prsatuan panjang ason. Adapun prilau fast spiing mrupaan prilau umum pada sl saraf ang mnunjuan pngulangan spiing scara normal dalam priod ang lbih cpat. Fast Spiing trjadi pada sl saraf dngan hantaran impuls sarah. Dngan mmvariasian I maa didapatan sjumlah data ang trsaji pada Tabl briut : Tabl. Dinamia sistm pnjalaran impuls pada sl saraf dngan variasi I input Slang variasi I Dinamia sistm ang trjadi 0 I. Spiing I. Bursting dngan spi. I. Bursting dngan spi. I. Bursting dngan 6 spi. I.77 Bursting dngan 7 spi.7 I. Bursting dngan spi.6 I. Bursting dngan spi. I. Bursting dngan 0 spi. I. Bursting dngan spi. I. Bursting dngan spi.6 I.66 Bursting dngan spi.67 I.76 Bursting dngan spi.77 I. Bursting dngan spi. I. Bursting dngan 6 spi. I.00 Bursting dngan 7 spi.0 I.07 Bursting dngan spi.0 I. Bursting dngan spi. I. Bursting dngan 0 spi. I. Bursting dngan spi. I.7 Bursting dngan spi I. Bursting dngan spi. I.0 Bursting dngan spi I. Chaotic Bursting. I Spiing

7 7 (a) (c) (b) (d) Gambar. Dinamia sistm pnjalaran impuls pada sl saraf. (a) Untu I.A Busting dngan spi. (b) Untu I.0A Busting dngan spi. (c) Untu I.A Chaotic Busting. (d) Untu I.60A Fast Spiing.

8 Tabl diatas mrupaan sbuah hasil simulasi ang mmprlihatan fnomna-fnomna trbntuna potnsial asi didalam pnjalaran impuls pada sl saraf. Trlihat dari tabl smain bsarna inputan arus sarah I mngaibatan smain trbntuna fnomna bursting ang dimulai dari fnomna dasar ani spiing. Trlihat pada naian slang 0.0A trbntulah sbuah spi tambahan hingga pada I.7A tpat brahirna pnjumlahan spi pada bursting scara linar. Prlu ditahui fnomna bursting mrupaan sbuah fnomna trbntuna pnumpuan jumlah potnsial asi atau spi pada watu trtntu dan mmbntu pola ang tratur spanjang pnjalaran impuls didalam sl saraf. Fnomna ini sangat umum trjadi dan mnjadi hal ang pnting untu mmprlihatan ondisi normal dan tidana suatu sl saraf dari aratristina mnampaian sinal nutransmitr. Jumlah spi ang trbntu brgantung dari bsarna arus ang di brian pada stiap jnis dari sl saraf. Analisa pnambahan linir pada arus dan pmbntuan spi pada bursting trhnti saat arus brada pada I.7A arna pada saat I.A potnsial asi mnjalar dngan pola spi bursting ang mningat mnjadi spi dan mbali mnurun mnjadi spi fnomna slanjutna mrupaan fnomna chaotic bursting ang brarti trjadi fnomna acau pada bursting. Trjadina hal trsbut mrupaan tmuan ang trait dngan trbatasan prsamaan H-R dalam mnjlasan fnomna pnambahan jumlah spi ang linir untu stiap pnambahan jumlah arus. Namun hal trsbut tida spnuhna mnjadi lmahan dari modl ini pada nataanna modl ini juga mnjlasan tntang acauan pulsa dari potnsial asi ang mnjalar dalam sbuah sl saraf aibat brlbihna impuls ang dibrian shingga mngaibatan sl saraf mngalami chaos Smntara itu untu I.A simulasi prsamaan mmprlihatan fnomna spiing scara priodi ang aan smain cpat dngan pnambahan arus.. Analisa Bifurasi dan Dinamia Sistm Tingah lau potnsial asi (singgl spiing) ang tlah dibahas sblumna mrupaan sbagian cil dari fnomna pnjalaran impuls pada sl saraf. Masih bana fnomna lainna ang trjadi dan mrupaan fnomna ang wajib untu ditahui dan diplajari diantarana adalah tingah lau bursting chaotic bursting bursting adapting dan lain-lain. Tingah lau trsbut dapat dilihat dari grafi simulasi dngan variasi inputan I arus pada prsamaan atau impuls (rangsangan) dan adaan dari sl saraf (onstanta dalam prsamaan) sndiri. Dalam asus ini analisis bifurasi dan dinamia sistm mrupaan analisis ang ang digunaan untu mnganalisa prsamaan shingga dapat mmbntu bbrapa fnomna diatas. Sprti ang tlah disbutan sblumna pngrtian bifurasi adalah prubahan tratori dalam ruang fasa (dalam hal ini potnsial asi) ang trjadi disitar titi stabilan. Titi stabilan mrupaan titi ang ditntuan dngan mmbuat smua fungsi dari prsamaan diffrnsial tropl sama dngan nol. Kasus ini mnggunaan tiga prsamaan diffrnsial H-R : f f f f f f a d (7a) b I (7b)

9 a I 0 d 0 b 0 (7c) Kmudian didapatan prsamaan polinomial sbagai briut : d a b b I 0 () untu I. 7 a b d 0.00 dan Aar-aar dari prsamaan trsbut adalah titi stabilan 0 dalam ruang fasa ang brgantung pada variasi I. Dngan mngtahui titi stabilan untu maa didapatan titi stabilan untu dan ani : Tingah lau pnjalaran impuls pada sl saraf untu stiap bsar inputan (variasi I ) aan mnunjuan nilai titi stabilan ang slalu brubah hal trsbut braibat pada timbulna polapola pnajalaran impuls ang brvariasi dalam slang watu trtntu dan mmastian adana fnomna-fnomna ang tlah disbutan sblumna (bursting chaotic bursting bursting adapting dan lain-lain) pada suatu harga I dalam slang trtntu pula. Shingga dapat dianalisa dan diprdisi bagaimana dinamia sistm pnjalaran impuls ang aan trjadi di dalam sl saraf. Namun sblum mnganalisa dinamia sistm lbih lanjut prlu dilauan pngaratrisasian dari harga-harga simbangan untu mngtahui jnis bifurasi dari pmbntu dinamia sistmna. Harga ign mrupaan harga ang didapatan dari titi ritis pada suatu sistm dngan mlauan substitusi nilai salah satu nilai atau sluruhna dari dalam suatu matris untu mlauan pngaratrisasian. Karatrisasi disini adalah untu mngtahui jnis bifurasi apa ang tlah dialami suatu sistm dari prsamaan sa pmbntuna. Harga ign aratristi didapatan dngan mlauan linarisasi prsamaan H-R untu mmbntu Jacobian Matri (lihat prsamaan hal. ) : a J d 0 (a) b 0 prsamaan matris harga ign aratristi adalah sbagai briut : J X X (b) dimana J mrupaan matri prsgi N N dan mrupaan harga ign aratristi ang dapat ditntuan dngan mnlsaian prsamaan aratristi briut (lihat prsamaan 0 hal. ) I 0 dt J dimana I adalah matris idntitas a 0 0 dt d 0 b 0 0 a dt d 0 0 b 0 (0) ssuai dngan aturan Cramr maa didapatan prsamaan polinomial untu sbagai briut : 0

10 0 ( a ) ( ) ( ) 0 ( )( )( b) ( )()( ) d () untu I. 7 a b d 0.00 dan Maa didapatan aar-aar dari harga ign aratristi sbagai briut: i i. Harga-harga ign aratristi diatas mnntuan jnis-jnis bifurasi pada dinamia sistm pnjalaran impuls pada sl saraf. Dngan mnggunaan Tabl (hal. ) harga ign ang dimilii sistm saat I. 7 adalah trdiri dari bilangan rill dan ompls shingga titi fous trbntu pada ruang fasa. Pada prubahan input brupa I aan mrubah pola tratori ang trjadi pada sistm pola trsbut dijlasan pada Gambar a dan Gambar b. (a) (b) Gambar. Analisa bifurasi pada prsamaan H-R Pada Gambar a mrupaan pola potnsial au si ang bntu dari pola bifurasi pada tratori Gambar b dimana pada Gambar pola tratori mmbntu suatu cndrungan bifurasi ang trjadi dari sistm dan mmbntu bifurasi Hopf dan bifurasi Sadl-Nod. Bifurasi Hopf pada dasarna mlibatan tratori ang brsifat priodi dimana trjadi prubahan jnis titi ritis dari titi fous dngan atrator positif mnjadi atrator ngatif disrtai dngan munculan limit ccl. Limit ccl mrupaan sbuah tratori brbntu lingaran ang brsifat priodi ang muncul aibat prubahan stabilan fous. Sdangan bifurasi Sadl-Nod ang mungin trjadi aibat munculna dua atau lbih dari titi ritis. Dalam asus ini jumlah Limit ccl aan mnntuan pola spiing ang trjadi didalam sistm prsamaan H-R. Tabl mnunjuan bbrapa titi ang mngidntifiasi bifurasi ang trjadi pada dinamia sistm pnjalaran impuls di dalam sl saraf brdasaran modl H-R. Titi-titi trsbut dihasilan dari prubahan input brupa I arus sarah ang diubah untu mnmuan bbrapa titi ritis pada sistm dan mnmuan aratristi dari tratori sistm. Pola bifurasi brpran pnting dalam mnmuan sjumlah fnomna dalam pnjalaran impuls saraf atau pmbntuan pola potnsial asi slama mnjalar spanjang sl saraf.

11 Tabl. Bifurasi ang trjadi pada dinamia sistm dngan variasi I input I Jnis bifurasi ) Sadl- Nod i i Hopf Sadl- Nod (a) Pada titi trtntu dalam tratori mmbntu suatu pola bifurasi sprti trtra pada Gambar 0a dan Gambar 0c adalah bifurasi Sadl-Nod trbntu dngan mlihat harga ign aratristi brnilai rill dan lbih dari satu. Smntara itu bifurasi Hopf Gambat 0b trbntu dari adana nilai ign aratristi ang brnilai imajinr. Lta titi stimbangan pada sistm slalu brubah dngan prubahan nilai input I brupa arus sarah ang aan mnjadian sistm mmbntu suatu pola potnsial asi ang mnjalar spanjang sl saraf. (b)

12 (c) Limit ccl Gambar 0. Analisis bifurasi dngan variasi I input. (a) Bifurasi Sadl- Nod I 0.. (b) Bifurasi Hopf I.7. (c) Bifurasi Sadl-Nod I. Analisa dinamia sistm pada pnjalaranan impuls di dalam sl saraf aan mlihat lbih luas dari ang sbnarna trjadi pada prsamaan. Dngan adana titi-titi simbangan dan jnis bifurasi ang mnrtaina sistm trsbut brubah trhadap variasi I inputan mudian prubahan tratori ang mnunjuan bagaimana prsamaan mmbangun suatu dinamia sistm pada sl saraf.. GUI untu Dinamia Sistm H-R dngan MATLAB Graphical Usr Intrfac atau ang disingat GUI mrupaan suatu sarana singat dan populr untu mnampilan apliasi prangat luna shingga lbih mudah digunaan. Didalam pmbuatan GUI para programmr (pmbuat prangat luna) haruslah mmprhitungan sgi namanan pngguna untu mngass prangat luna trsbut. Shingga apa ang dimasud dari apliasi ang dibuat aan mudah dimngrti olh pngguna. Dinamia sistm pnjalaran impuls pada sl saraf dngan mnggunaan modl H- R mmilii bana asp dan variabl ang ditinjau. Pada sub-bab sblumna tlah dibahas mngnai solusi numri ang mnampilan bntu fisis dari prsamaan H-R dan mudian tlah dibahas mngnai dinamia sistm srta bifurasina. Namun smua hal trsbut hana dapat diass dan dipahami olh piha-piha trtntu. GUI ali ini aan mnampilan suatu apliasi tntang simulasi pnjalaran impuls pada sl saraf dngan mnggunaan modl H- R. Pada Gambar diprlihatan fisi dari apliasi ang dimasud. Pada apliasi trsbut trdapat variabl onstanta dan inputan ang mnusun prsamaan H-R srta trdapat pula luaran apabila program dijalanan dngan mnan tombol PROSES dan hasil aan ditampilan pada ais prtama (lihat Gambar ). Tombol trsbut mrupaan pmicu program ang aan mnjalanan srangaian pross simulasi dngan mtod RKF ang tlah disbutan sblumna dari modl H-R. Bila tlah mnampaan hasil pada grafi luaran ang prtama maa dapat mnganalisa tindajaun briutna dngan mnan tombol PLOT. Pnggunaan tombol PLOT adalah untu mngass ota dit dibawah labl ZOOM shingga smua ais aan trisi dngan luaran ang diinginan srta dapat dianalisis dngan mlihat labl dari stiap ais (lihat Gambar ). Sdangan tomnol RESET adalah tombol untu mngmbalian smua ondisi apliasi stlah mlauan prubahan trhadapat variabl onstanta dan inputan dari prsamaan H-R.

13 Gambar. GUI simulasi H-R modl. Sjumlah ontanta dan input dapat diubah untu mlauan analisis dari pnjalaran impuls pada sl saraf. Kluaran prtama stlah mnan tombol PROSES. Gambar. Pnggunaan tombol PLOT. Untu mndapatan grafi ang lbih dat shingga mmudahan untu dianalisis.

14 Pada sub bab sblumna dibahas mngnai onstanta ang mrupaan titi simbangan saat sistm jia tida dibri arus atau impuls. Gambar pada GUI disajian saat I 0 maa aan trbntu titi simbangan pada 0 hal trsbut brarti pada ondisi tida dibri arus sistm aan brada dalam simbangan titi-titi trsbut dan inilah mrupaan fisis dari sifat sl saraf ang slalu mnuju pada adaan simbang ssaat stlah dibri rangsangan brupa arus atau impuls. Gambar. Sifat dari onstanta sbagai titi smbangan bagi 0 pada saat I 0 pada sistm. Nilai trsbut mnjlasan sifat sl saraf ang slalu mnuju adaan smula ssaat stlah dibri rangsangan. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN. Ksimpulan Simulasi dinamia sl saraf mnggunaan modl Hindmarsh-Ros mrupaan suatu simulasi ang dapat dilauan untu mnjlasan tntang dinamia pnjalaran ang trjadi didalam sl saraf. Modl ini dapat mnunjuan fnomna-fnomna sprti spiing-bursting dan chaotic bursting dngan mngubah input brupa arus sarah ang mrupaan fnomna pngmbangan dari modl pnjalaran impuls didalam sl saraf. Prubahan input brupa arus sarah aan mngaibatan transisi fnomna dari spi mnjadi bursting dan mmunculan fnomna chotic bursting spanjang pnjalaran impuls didalam sl saraf. Fnomna chotic bursting mmunginan trbntuna fas pningatan jumlah spi untu naian 0.0A dari input dalam sistm. Pningatan trsbut trjadi scara linir pada rang input I.7A dan mnampaan fnomna mnimpang pada rang diatas input trsbut olh trbatasan dari prsamaan dan prilau dari sl saraf ang sbnarna. Mtod RKF mrupaan mtod numri untu mmcahan prsamaan