PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN

Transkripsi

1 PENENTUAN PELUANG BETAHAN DALAM MODEL ISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TANSFOMASI LAPLACE AMIUDDIN SEKOLAH PASCASAJANA INSTITUT PETANIAN BOGO BOGO 8

2 PENYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBE INFOMASI Dngan ini saya mnyataan bahwa tsis dngan judul Pnntuan Pluang Brtahan dalam Modl isio Klasi dngan Mnggunaan Transformasi Lapla adalah arya saya dngan arahan dari omisi pmbimbing dan blum diajuan dalam bntu apapun pada prguruan tinggi manapun Sumbr informasi yang brasal atau diutip dari arya yang ditrbitan maupun tida ditrbitan dari pnulis lain tlah disbutan dalam ts dan diantuman dalam Daftar Pustaa di bagian ahir tsis Bogor, Juni 8 Amiruddin

3 ABSTACT AMIUDDIN Dtrmination of Survival Probabilitis in th Classial is Modl Using Lapla Transform Undr dirtion of I GUSTI PUTU PUNABA and EFFENDI SYAHIL Th purpos of this thsis is to show that, for th lassial ris modl, xpliit solutions for survival probability in a finit tim horion an b obtaind through th invrsion of doubl Lapla transform of th distribution of tim to ruin To do this, th probability of ultimat non-ruin funtion as dvlopd by Grbr and Shiu (998) is bing onsidrd Two mthods usd in this rsarh ar Lapla transform and analyti invrsion In analyti invrsion, algbrai manipulations and Lapla omplx invrsion formula ar applid Th Lapla omplx invrsion uss rsidu thorm and Laurnt sris xpansion for omplx funtions At th nd som numrial rsults using Mathmatia softwar ar prsntd Th numrial rsults show that th inras in survival probability valu is ausd by th inras in initial apital or prmium inom, and th orrsponding dras is ausd by th inras in tim Kywords: lassial ris modl, doubl Lapla transform, tim to ruin, ruin probability

4 INGKASAN AMIUDDIN Pnntuan Pluang Brtahan dalam Modl isio Klasi dngan Mnggunaan Transformasi Lapla Dibimbing olh I GUSTI PUTU PUNABA dan EFFENDI SYAHIL Dalam prusahaan asuransi, modl risio lasi adalah modl untu mnntuan aumulasi ayaan prusahaan pada suatu watu trtntu (t), yang ( ) ditulis sbagai U ( t ) u t N t X, t dan U () u Pubah u adalah i i modal awal, adalah rata-rata prmi yang masu pr satuan watu, X i adalah bsar laim -i dan N( t) adalah banyanya laim yang trjadi dalam intrval watu [,t] X i dngan i,, 3,, N( t) adalah variabl aa sbanya N( t) yang diasumsian saling bbas dan X i juga bbas trhadap N( t) Dngan mngasumsian bahwa { N( t), t } adalah pross Poisson dngan laju, maa N ( t) i X, t, adalah pross Poisson majmu, shingga U ( t) pross stoasti i mrupaan Suatu prusahaan asuransi dinyataan jatuh atau bangrut jia U ( t ) Pluang jatuh adalah fungsi dalam u dan t, dinotasian sbagai ( u, t), dan pluang brtahan dinotasian sbagai ( u, t), shingga ( u, t) ( u, t) Jia X i mngiuti suatu sbaran trtntu, maa solusi splisit dari ( u, t) dapat ditntuan Tujuan pnlitian ini adalah mnntuan fungsi sbaran pluang brtahan ( ( u, t ) ) dngan asumsi X i mnybar sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran Dari masing-masing solusi ditntuan ontoh prhitungannya dngan mnggunaan softwar Mathmatia Langah awal dalam pnntuan fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi adalah mnntuan fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pada pubah aa yang mnybar sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran Langah briutnya, didfinisian suatu fungsi pluang brtahan ( ( u, t ) ) dan suatu fungsi dalam u ( ( u ) ) Dari dua fungsi trsbut ditntuan fungsi transformasi Laplanya, yaitu ˆ( s, ) dan ˆ( s) fungsi Lapla dari fungsi patan pluang yang di dalamnya mmuat Langah ahir, dngan spansi drt Malaurin dan formula invrs ompls, fungsi ˆ( s, ) diubah mnjadi fungsi ( u, t) Fungsi trahir adalah fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi Pnlitian ini mnunjuan bahwa, fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi dapat ditntuan mlalui transformasi Lapla dan invrs Lapla Espansi drt Malaurin dan formula invrs ompls digunaan pada analisis invrs Lapla

5 Untu mngtahui prilau dari masing-masing fungsi sbaran, dilauan bbrapa prhitungan numri dngan mnggunaan softwar Mathmatia Hasil ahir mnunjuan bahwa nilai pluang brtahan aan nai jia modal awal dan prmi diprbsar dan aan turun jia intrval watu diprpanjang Dngan hasil ini, nilai pluang brtahan suatu prusahaan asuransi untu bbrapa watu (t) dpan dapat ditntuan dan dapat diatur dngan mnntuan modal awal (u) dan bsar prmi () Kata uni: modl risio lasi, transformasi Lapla ganda, watu jatuh dan pluang jatuh

6 Ha ipta mili IPB, tahun 8 Ha ipta dilindungi Undang-undang Dilarang mngutip sbagian atau sluruh arya tulis ini tanpa mnantuman atau mnybut sumbr a Pngutipan hanya untu pntingan pndidian, pnlitian, pnulisan arya ilmiah, pnyusunan laporan, pnulisan riti atau tinjauan suatu masalah b Pngutipan tida mrugian pntingan yang wajar IPB Dilarang mngumuman dan mmprbanya sbagian atau sluruh arya tulis dalam bntu apapun tanpa iin IPB

7 PENENTUAN PELUANG BETAHAN DALAM MODEL ISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TANSFOMASI LAPLACE AMIUDDIN Tsis sbagai salah satu syarat untu mmprolh glar Magistr Sains pada Dpartmn Matmatia SEKOLAH PASCASAJANA INSTITUT PETANIAN BOGO BOGO 8

8 Judul Tsis : Pnntuan Pluang Brtahan dalam Modl isio Klasi dngan Mnggunaan Transformasi Lapla Nama : Amiruddin NIM : G5568 Distujui Komisi Pmbimbing Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Ktua Drs Effndi Syahril, Grad Dipl S Anggota Ditahui Ktua Program Studi Matmatia Trapan Dan Solah Pasasarjana Dr Ir Endar H Nugrahani, MS Prof Dr Ir Khairil A Notodiputro, MS Tanggal Lulus: Tanggal Ujian: 9 Juli 8

9 Pnguji Luar Komisi pada Ujian Tsis : Dr Ir Endar H Nugrahani, MS

10 PAKATA Puji syuur pnulis panjatan pada Allah SWT atas sgala arunianya shingga tsis ini brhasil dislsaian Tma yang dipilih dalam pnlitian yang dilasanaan sja bulan Januari 8 ini ialah pluang brtahan dalam modl risio lasi dngan judul Solusi Esplisit Pada Pluang Brtahan Dalam Modl isio Klasi Trima asih pnulis uapan pada Bapa Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Bapa Drs Effndi Syahril, Grad Dipl S slau dosn pmbimbing yang tlah banya mmbri saran Disamping itu pnulis sampaian uapan trima asih pada Dpartmn Agama publi Indonsia yang tlah mmbrian basiswa untu studi Uapan trima asih juga disampaian pada istri, ana dan sluruh luarga, atas doa dan duungannya Smoga arya ilmiah ini brmanfaat Bogor, Juni 8 Amiruddin

11 IWAYAT HIDUP Pnulis dilahiran di Boyolali pada tanggal 5 Juli 969 dari ayah H Chamdani dan ibu Hj Suparti Pnulis mrupaan putra mpat dari lima brsaudara Tahun 987 pnulis lulus dari MAN Suraarta dan pada tahun 99 lulus dari IAIN Sunan Kalijaga Yogjaarta Tahun 995 pnulis diangat mnjadi PNS di lingungan Dpartmn Agama dngan NIP 575 dan ditugasan sbagai guru matmatia di MTsN Sumbrlawang Sragn Pnulis ditrima sbagai mahasiswa pasasarjana Institut Prtanian Bogor tahun ajaran 6/7 mlalui slsi pnrimaan basiswa tugas blajar yang dislnggaraan olh Dpartmn Agama publi Indonsia rja sama dngan Institut Prtanian Bogor

12 DAFTA ISI Halaman DAFTA TABEL xii DAFTA GAMBA xiii DAFTA LAMPIAN xiv I PENDAHULUAN Latar Blaang Prumusan Masalah 3 Tujuan Pnlitian 4 uang Lingup Pnlitian 5 Sistmatia Pmbahasan 3 II KONSEP DASA 4 Pross Poisson 4 Sbaran Pubah Aa 5 3 Sbaran Jumlah dari Pubah Aa-Pubah Aa Yang Saling Bbas 8 4 Transformasi Lapla 8 5 Drt Malaurin 6 Formula Invrs Kompl III PENENTUAN PELUANG BETAHAN 3 Modl sio Klasi 3 Sbaran dari Klaim Tunggal 3 33 Sbaran dari Jumlah Klaim 6 34 Pluang Jatuh dan Pluang Brtahan 6 35 Transformasi Lapla Pada dan ( u, t ) 7 36 Transformasi Lapla Pada f 37 Invrs Kompl Pada ˆ x

13 IV PEHITUNGAN NUMEIK 36 4 Paramtr 36 4 Hasil Prhitungan Numri Analisis Hasil Prhitungan 4 V KESIMPULAN DAN SAAN 43 5 Ksimpulan 43 5 Saran 43 DAFTA PUSTAKA 44 LAMPIAN 45 xi

14 DAFTA TABEL Halaman 4 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi 37 4 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar Erlang() dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar Erlang() dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar Erlang() dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, 4 47 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial ampuran dngan paramtr, dan b 3, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi 4 48 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial ampuran dngan paramtr, dan b 3, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, 4 49 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial ampuran dngan paramtr, dan b 3, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, 4 xii

15 DAFTA GAMBA 3 Grafi fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial Halaman (,5) 3 3 Grafi fungsi sbaran pluang pubah aa trsbar sponnsial (,5) 3 33 Grafi fungsi patan pluang pubah aa trsbar rlang() (,5) 4 34 Grafi fungsi sbaran pluang pubah aa trsbar rlang() (,5) 4 35 Grafi fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial ampuran (, 5;, 75 dan b, 5) 5 36 Grafi fungsi sbaran pluang pubah aa trsbar sponnsial ampuran (, 5;, 75 dan b, 5) 6 37 Dua aar prsamaan dasar Lundbrg 8 38 Grafi fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial (,5 ) 39 Grafi fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar Erlang() (,5 ) 3 Grafi fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial ampuran (, 5;, 75 dan b, 5 ) xiii

16 DAFTA LAMPIAN Halaman Lampiran 46 Lampiran 49 Lampiran 3 79 xiv

17 Latar Blaang Masalah BAB I PENDAHULUAN Dalam prusahaan asuransi, pross surplus adalah pross aumulasi ayaan yang dinotasian dngan U ( t) dan didfinisian olh Bowrs (997) sbagai U ( t) u t S( t ), t dan U () u () Pubah u adalah modal awal (initial apital), adalah rata-rata prmi yang masu pr satuan watu, t adalah watu dan S( t) adalah pross aumulasi laim (aggrgat laims pross) Prsamaan () dinal sbagai modl risio lasi Pross aumulasi laim, dngan notasi S( t), (5) sbagai Pubah aa N ( t ) i didfinisian olh Dison S( t) X, X i untu i,, 3,, N( t ) () i X i adalah bsar laim -i dan N( t) adalah banyanya laim yang trjadi dalam intrval watu [,t] Untu smua i,, 3,, N( t), X i adalah pubah aa ontinu sbanya N( t) yang diasumsian saling bbas dan X i juga bbas trhadap N( t) Dalam apliasi asuransi, X i dapat diasumsian mngiuti suatu sbaran trtntu Dalam pnlitian ini, sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran X i diasumsian mnybar Pngambilan tiga asumsi brnaan dngan mtod transformasi Lapla Transformasi Lapla pada fungsi patan pluang dari sbaran ponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran lbih sdrhana dibanding dngan transformasi Lapla pada sbaran yang lain Hal ini juga braibat pada pnrapan mtod invrs Lapla Suatu prusahaan asuransi dinyataan jatuh atau banrut jia U ( t ) Pluang jatuh adalah fungsi dalam u dan t, dinotasian sbagai ( u, t), dan pluang brtahan dinotasian sbagai ( u, t), (996) shingga ssuai dngan oss ( u, t) ( u, t ) (3)

18 Prumusan Masalah Dari latar blaang masalah trsbut di atas, masalah pnlitian dapat dirumusan sbagai briut: Bagaimana mnntuan fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi ( ( u, t ) ), jia bsarnya laim yang datang ( X ) mnybar: a sponnsial, b Erlang() dan sponnsial ampuran? Jia pubah dalam modl risio lasi (u, dan t) dan paramtr dalam fungsi patan pluang dari tiga sbaran trsbut ditntuan, bagaimana ontoh hasil prhitungan numrinya? 3 Tujuan Pnlitian Brdasaran prumusan masalah di atas, tujuan pnlitian ini adalah sbagai briut: Mnntuan fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi ( ( u, t ) ), jia bsarnya laim yang datang ( X ) mnybar: a sponnsial, b Erlang() dan sponnsial ampuran Mnntuan ontoh hasil prhitungan numrinya, jia pubah-pubah dalam modl risio lasi dan paramtr dalam fungsi patan pluang pada tiga sbaran trsbut ditntuan 4 uang Lingup Pnlitian uang lingup pnlitian ini adalah sbagai briut: Modl risio lasi Fungsi pluang dalam modl risio lasi 3 Fungsi patan pluang dari pubah aa yang mnybar sara sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran i i

19 4 Transformasi Lapla pada fungsi pluang dalam modl risio lasi dan fungsi patan pluang dari pubah aa yang mnybar sara sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran 5 Formula invrs ompls 6 Program omputasi dngan softwar Mathmatia 5 Sistmatia Pmbahasan Dalam mmahami modl risio lasi, dibahas bbrapa onsp dasar, yaitu: pross Poisson, sbaran pubah aa, sbaran jumlah dari pubah aapubah aa yang saling bbas, transformasi Lapla dan formula invrs ompls Konsp dasar ini disajian pada bab II Langah awal dalam pnntuan fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi adalah mnntuan fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pada pubah aa yang mnybar sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran Langah briutnya, didfinisian suatu fungsi pluang brtahan ( ( u, t ) ) dan suatu fungsi pluang jatuh dalam u ( ( u ) ) Dan dari dua fungsi trsbut ditntuan fungsi transformasi Laplanya, yaitu ˆ( s, ) dan ˆ( s) yang di dalamnya mmuat fungsi Lapla dari fungsi patan pluang Langah ahir, dngan formula invrs ompls, fungsi ˆ( s, ) diubah mnjadi fungsi ( u, t) brtahan pada modl risio lasi Fungsi trahir adalah solusi splisit pada pluang Ktiga langah trsbut di atas disajian pada bab III Slanjutnya dalam bab IV dan bab V masing-masing disajian simulasi atau ontoh prhitungan dan simpulan ahir dari pnlitian ini Bbrapa torma dan prsamaan yang ada dalam bab II dan bab III mmrluan buti, pnjlasan atau uraian aljabar Untu mngftifan pnulisan dan padatan isi, rangaian buti, pnjlasan atau uraian aljabar ditulis pada lampiran dan lampiran Sdangan program untu mnntuan ontoh hasil prhitungan numri disajian dalam lampiran 3 3

20 BAB II KONSEP DASA Konsp dasar yang ditulis dalam bab ini, mrupaan bbrapa dasar auan yang aan digunaan untu mnganalisa modl risio lasi dan mnntuan fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi Diantara dasar auan trsbut adalah: pross Poisson, sbaran pubah aa, sbaran pada jumlah dari bbrapa pubah aa yang saling bbas, transformasi Lapla, drt Malaurin dan formula invrs ompls Pross Poisson Dfinisi Pross stoasti Pross stoasti (stohasti pross) { N ( t), t T} adalah olsi dari pubah aa Untu stiap t dalam himpunan inds T, N ( t) mrupaan pubah aa Jia t mnyataan watu, maa N( t) mnyataan ondisi pross saat t Jia T himpunan inds trhitung maa, { N( t), t T} disbut pross stoasti watu disrt dan jia T ontinu, maa { N( t), t T} disbut pross stoasti watu ontinu Dfinisi Pross pnaahan oss (996) Suatu pross stoasti{ N( t), t } disbut sbagai pross pnaahan (ounting pross) jia N( t) mnyataan banyanya jadian yang trjadi dalam slang watu [, t ] dan N( t ) harus mmnuhi: (i) N( t ) (ii) N( t ) brnilai bulat (iii) Jia s t, maa N( s ) N( t) (iv) Untu s t, N ( t ) N ( s) mnyataan banya jadian yang trjadi dalam slang watu (s,t] oss (996) Dfinisi 3 Pross Poisson Suatu pross pnaahan { N( t), t } disbut pross Poisson (Poisson pross) dngan laju,, jia: 4

21 (i) N () (ii) pross mmilii naian bbas (iii) banyanya jadian yang trjadi dalam stiap slang watu spanjang t mnybar Poisson dngan rataan t Shingga untu smua s, t t n P[ N( t s) N( s) n] ( t), n,,, n! Dfinisi 4 Pross Poisson majmu brlau oss (996) Suatu pross stoasti{ S( t), t } disbut sbagai pross Poisson majmu (ompound Poisson pross), jia dapat dinyataan sbagai N ( t ) S( t) X, t, i dimana { N( t), t } adalah pross Poisson dngan laju, untu smua i,, i 3,, X i adalah pubah aa iid (indpndnt and idntially distributd) dan juga bbas trhadap { N( t), t } Pubah aa iid adalah pubah aa yang saling bbas dan mmilii sbaran yang idnti oss (996) Sbaran Pubah Aa Dfinisi 5 Fungsi sbaran pada pubah aa disrt Jia X adalah suatu pubah aa disrt, maa fungsi F didfinisian pada (,+ ) sbagai F(t) P(X t) dan disbut sbagai fungsi sbaran (distribution funtion) pada X Fungsi F mrupaan aumulasi dari smua pluang X yang yang nilainya trmuat dalam slang (,t], shingga F disbut juga sbagai fungsi distribusi umulatif (umulativ distribution funtion) dari X yang mmnuhi: (i) F fungsi ta turun, jia t u maa F(t) F(u) (ii) lim F( t ) t (iii) lim F( t) t (iv) lim F( t ) F( t) n n 5 Ghahramani ()

22 Dfinisi 6 Fungsi pluang pubah aa disrt Fungsi pluang p pada pubah aa disrt X dngan himpunan nilai yang mungin { x, x, x3,} adalah suatu fungsi dari yang mmnuhi: (i) p( x ), jia x { x, x, x3,} (ii) p( x ) P( X x ) dan p( x ), ( i,,3,) (iii) i i p( x ) i i i Ghahramani () Jia X adalah pubah aa disrt, maa fungsi sbarannya dinyataan sbagai n F( t) p( x ), x t x, i dimana p adalah fungsi pluang (probability funtion) Dfinisi 7 Nilai harapan pubah aa disrt Misalan X adalah pubah aa disrt dngan i n n Ghahramani () himpunan nilai yang mungin adalah A Jia p(x) adalah fungsi pluang dari X, maa nilai harapan (xptd valu) dari pubah aa X didfinisian sbagai E( X ) x p( x) x A dan E( X ) diataan ada jia x p( x) onvrgn mutla x A Ghahramani () Dfinisi 8 Simpangan bau dan ragam pubah aa disrt Misalan X adalah pubah aa disrt dngan himpunan nilai yang mungin adalah A, p(x) adalah fungsi pluang dari X dan E( X ) adalah nilai harapan dari X, maa X dan Var(X) masing-masing adalah simpangan bau (standard dviation) dan ragam (varian) dari X didfinisian sbagai dan X X X E[( ) ] X Var( ) E[( ) ] Ghahramani () 6

23 Dfinisi 9 Fungsi patan pluang pada pubah aa ontinu Misalan X pubah aa ontinu brnilai ral Suatu fungsi patan pluang (probability dnsity funtion) pada X yang dinotasian sbagai f ( x) adalah fungsi ral yang mmnuhi b P( a X b) f ( x) dx, a,b a Jia E, maa P( X E ) f ( x) dx E oss (7) Dfinisi Fungsi sbaran pluang pada pubah aa ontinu Jia f adalah fungsi patan pluang dari pubah aa X yang ontinu dngan fungsi sbaran F, maa f harus mmnuhi: (i) f ( x) dx ' (ii) F ( x) f ( x) (iii) (iv) a P( X a) f ( x) dx a P( a X b) P( a X b) P( a X b) P( a X b) f ( x) dx b a Ghahramani () Mnurut oss (996), jia X adalah pubah aa ontinu, maa fungsi sbarannya dapat dinyataan sbagai F( t) dimana f(x) adalah fungsi patan pluang t f ( x) dx f ( x) dx, Dfinisi Nilai harapan pada pubah aa ontinu Jia X adalah pubah aa ontinu dngan f sbagai fungsi patan pluang, maa nilai harapan dari X didfinisian sbagai t E( X ) xf ( x) dx Ghahramani () 7

24 Dfinisi Simpangan bau dan ragam pada pubah aa ontinu Jia X adalah pubah aa ontinu dngan E( X ), maa X dan Var(X) masing-masing adalah simpangan bau dan ragam dari X yang didfinisian sbagai X E[( X ) ] dan Var( X ) E[( X ) ] ( x ) f ( x) dx Ghahramani () 3 Sbaran Jumlah dari Pubah Aa-Pubah Aa yang Saling Bbas Torma Torma onvolusi Misalan X dan Y adalah dua pubah aa yang saling bbas dngan fungsi patan pluang brturut-turut f dan f srta fungsi sbaran pluang brturutturut F dan F Jia g dan G brturut-turut adalah fungsi patan pluang dan fungsi sbaran pluang dari X + Y, maa dan g( t) f ( x) f ( t x) dx () G( t) f ( x) F ( t x) dx () Buti torma ada pada lampiran sub Bntu () dan () dapat juga ditulis sbagai: g( t) f ( y) f( t y) dy dan 4 Transformasi Lapla Dfinisi 3 Transformasi Lapla G( t) f ( y) F ( t y) dy Ghahramani () Transformasi Lapla dari fungsi f ( t), t, adalah fungsi [f] pada pubah ral s yang dinyataan sbagai [f](s) f ˆ( s ) st f ( t) dt st lim f ( t) dt (3) Transformasi trdfinisian untu smua bilangan ral s jia limit (3) ada Borrlli dan Colman (998) Mnurut Dison (5), untu fungsi f dngan dua pubah bbas (x,y), yaitu f ( x, y), x dan y maa 8

25 dan ˆ(, ) sy (, ) f x s f x y dy (4) ˆ(, ) x (, ) Shingga transformasi ganda dapat ditulis sbagai f y f x y dx (5) ˆ(, ) x sy (, ) f s f x y dxdy (6) Bbrapa bntu transformasi Lapla, yang braitan dngan apliasi dalam tori risio, sbagaimana dimuan olh Dison (5) adalah transformasi Lapla pada jumlah dua fungsi atau lbih, fungsi intgral, fungsi turunan dan onvolusi fungsi Misalan h, h masing-masing adalah fungsi dan, masing-masing adalah onstanta Jia tranformasi Lapla dari h dan h ada, maa Lihat lampiran sub sy h y h y dy hˆ s hˆ s ( ) ( ) ( ) ( ) (7) Misalan h adalah fungsi yang mmilii transformasi Lapla dan x H ( x) h( y) dy, maa transformasi Lapla dari H ( x ) dngan H () adalah Lihat lampiran sub 3 H ˆ ( s ) hˆ ( s ) s (8) d Misalan h ( y ) dy adalah turunan dari h trhadap y maa transformasi Laplanya adalah sy d h( y) dy shˆ ( s) h() dy (9) Lihat lampiran sub 4 sbagai Misalan onvolusi dari fungsi h dan h adalah h h h didfinisian h( x) h ( y) h ( x y) dy, 9

26 maa transformasi Lapla dari h adalah Lihat lampiran sub 5 hˆ ( s) hˆ ( s) hˆ ( s ) () Misalan H dan h brturut-turut adalah fungsi sbaran dan fungsi patan pluang dari pubah aa X yang ontinu dngan H(), maa Lihat lampiran sub 6 5 Drt Malaurin Dfinisi 4 Drt Malaurin f ( ) Drt Malaurin dari suatu fungsi f() ditulis sbagai sx E[ ] hˆ ( s ) () () () (3) ( ) f () f () f () 3 f () f ()!! 3!! ( ) f ()! Dngan f () ( ) f ( ) dan ( f ) ( ) adalah turunan - dari f ( ) Stwart (3) adalah: Bbrapa drt Malaurin yang digunaan dalam pmbahasan pada bab III (i) 3!! 3!! (ii) xp 3!! 3!! (iii) a 3 3 a a a a (iv) a 3 3 a a a a Lihat lampiran sub 7

27 6 Formula Invrs Kompls Dfinisi 5 Fungsi analiti Misal U C, C adalah sistm bilangan ompls dan fungsi f : U C Jia f ( ) dngan U turunannya ada, maa f disbut fungsi analiti pada U Dfinisi 6 Singularitas Marsdn (973) Misal (,, ) { } dan (,, ) B(, ) {} Fungsi f diataan mmpunyai singularitas di jia ada sdmiian hingga f fungsi analiti pada (,, ) Singularitas diataan trhapusan jia untu smua n n Dfinisi 7 sidu Marsdn (973) Misalan f fungsi analiti yang mmpunyai sbuah singularitas di, maa f dapat ditulis dalam spansi Laurnt sbagai dan b b f ( ) a a ( ) ( ) b disbut sbagai rsidu dari f di Dfinisi 8 Formula invrs ompls Marsdn (973) Misalan fungsi rasional f ( ) g( ) / h( ) adalah transformasi Lapla dari f ( t) dan singularitas C dari f ( ) adalah solusi dari h( ) lapla dari f ( ) adalah t f ( t ) sidu dari f ( ) di stiap titi singularitas C Misalan g( ) dan h( ) mmpunyai singularitas di,, maa invrs Marsdn (973) maa rsidu dari fungsi g( ) rasional f ( ) g( ) / h( ) adalah, h'( ) h'( ) dngan g( ), h( ) dan

28 BAB III PENENTUAN PELUANG BETAHAN 3 Modl isio Klasi Sbagaimana tlah disbutan dalam bab I, bahwa prsamaan () adalah modl risio lasi Dngan mnsubstitusian prsamaan () dalam prsamaan () diprolh ( ) i U ( t ) u t N t X, t dan U () u i Pubah u adalah modal awal (initial apital), adalah rata-rata prmi yang masu pr satuan watu, t adalah watu,, N( t ), shingga Xi adalah bsar laim -i dngan i,, 3, X i Pubah aa N( t) mnyataan banyanya laim yang trjadi dalam intrval watu [,t] Untu smua i,, 3,, N( t), adalah pubah aa ontinu sbanya N( t) X i yang diasumsian saling bbas dan X i juga bbas trhadap N( t) Dngan mngasumsian X i mngiuti sbaran trtntu, maa analisis trhadap U ( t) dapat dilauan Dalam tsis ini, X i diasumsian mngiuti sbaran sponnsial, sbaran Erlang() atau sbaran sponnsial ampuran Karna N( t) adalah banyanya laim yang trjadi dalam intrval watu [,t], maa N( t ), N( t) brnilai bulat, N( s) N( t) untu s t dan untu s t, N( t) N( s) mnyataan banya jadian yang trjadi dalam intrval watu (s,t] Shingga mnurut dfinisi, N( t) adalah pross pnaahan Jia { N( t), t } diasumsian sbagai pross Poisson dngan laju, dan X i dngan i,, 3,, N( t ) diasumsian sbagai pubah aa indpndnt and idntially distributd dan juga bbas trhadap { N( t), t }, maa mnurut N ( t) dfinisi 4, { S( t) X, t } adalah pross Poisson majmu i i

29 3 Sbaran dari Klaim Tunggal Misalan laim tunggal yang dinotasian dngan X adalah pubah aa ontinu mmilii fungsi sbaran F( x) dngan F () pluang f ( x ), maa : f ( x) F' ( x) Ssuai dngan pmbahasan sub bab 3, bahwa laim tunggal dan fungsi patan X i dngan i,, 3,, N( t) diasumsian mngiuti sbaran sponnsial, sbaran Erlang() dan sbaran sponnsial ampuran 3 Klaim Trsbar Esponnsial Jia X i trsbar sponnsial dngan paramtr, maa mnurut oss (996), fungsi patan pluangnya dapat dinyataan sbagai dan fungsi sbaran pluangnya dapat ditulis sbagai Lihat lampiran sub f ( x ) x dngan x (3) x F( x ) Gambar 3 dan 3 adalah grafi sbagai ilustrasi prilau dari fungsi patan dan fungsi sbaran pluang untu pubah aa yang trsbar sponnsial dngan laju,5 Gambar 3 Grafi fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial (,5) 3

30 Gambar 3 Grafi fungsi sbaran pluang pubah aa trsbar sponnsial (,5) 3 Klaim Trsbar Erlang() Jia X i trsbar Erlang() dngan paramtr, maa fungsi patan pluangnya mnurut Dison dan Hipp () dapat dinyataan sbagai ( ) x f x x dngan dan fungsi sbaran pluangnya dapat ditulis sbagai Lihat lampiran sub x F( x ) x+ x (3) Gambar 33 dan 34 adalah grafi sbagai ilustrasi prilau dari fungsi patan dan fungsi sbaran pluang untu pubah aa yang trsbar Erlang() paramtr,5 Gambar 33 Grafi fungsi patan pluang pubah aa trsbar Erlang() (,5) 4

31 Gambar 34 Grafi fungsi sbaran pluang pubah aa trsbar Erlang() (,5) 33 Klaim Trsbar Esponnsial Campuran Jia X i trsbar sponnsial ampuran dngan paramtr dan dngan proporsi b dan ( b), maa fungsi patan pluangnya mnurut Garia (5) dapat dinyataan sbagai x x f ( x) b +( b) dngan x (33) dan fungsi sbaran pluangnya dapat ditulis sbagai Lihat lampiran sub 3 x x F( x ) [ b +( b) ] Gambar 35 dan 36 adalah grafi sbagai ilustrasi prilau dari fungsi patan dan fungsi sbaran pluang untu pubah aa yang trsbar sponnsial ampuran dngan paramtr,5;,75 dan b,75 Gambar 35 Grafi fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial ampuran (, 5;, 75 dan b, 75) 5

32 Gambar 36 Grafi fungsi sbaran pluang pubah aa trsbar sponnsial ampuran (, 5;, 75 dan b, 75) 33 Sbaran dari Jumlah Klaim Misalan F adalah fungsi sbaran dari pubah aa X Jia F * F adalah onvolusi dari F dngan F yang dinotasian sbagai F, shingga F F * F F 3 F * F * F F *( F * F) F * F F 4 F * F * F * F F *( F * F * F) F * F3 F n F * F * F * * F n onfolusi dari F maa Fn adalah fungsi sbaran dari Z nx F *( F * F * * F) F * Fn- (n-) onvolusi dari F Fungsi sbaran dan fungsi patan pluang dari jumlah laim (aggrgat laims) dapat dinotasian brturut-turut sbagai Ft ( x ) dan ft ( x ) Shingga : F t N ( t) F F * F * F 3 ** F N ( t ) dan f t f N ( t) f * f * f 3 ** f N ( t ) 34 Pluang Jatuh dan Pluang Brtahan Pluang jatuh dan pluang brtahan dalam watu trbatas (finit tim) pada suatu prusahaan asuransi sampai watu t dngan modal awal u dinotasian sbagai ( u, t ) dan ( u, t ), shingga: brturut-turut ( u, t) ( u, t ) (34) 6

33 Pluang jatuh dan pluang brtahan dalam watu tatrbatas (infinit tim) adalah (u, ) (u) dan ( u, ) ( u), shingga ( u) ( u) Misalan T adalah watu untu jatuh, maa T inf{ t U ( t) } jia U ( t) untu-smua t Pluang jatuh dalam watu tatrbatas adalah suatu fungsi dalam u Grbr dan Shiu (998) mndfinisian fungsi trsbut sbagai dan didfinisian fungsi sbagai ( u) P[ T U () u] T ( u) E[ I( T ) U () u ], (35) dngan I adalah fungsi indiator dan adalah paramtr ta ngatif dalam bidang ompl Untu, ( u) ( u ) Fungsi dapat ditulis sbagai Lihat lampiran sub 4 t ( u) ( u, t) dt t ˆ( u, ) ( u,) (36) 35 Transformasi Lapla pada dan ( u, t) t Misalan g( t) adalah fungsi patan pluang dari watu antar datangan dua laim yang brurutan Fungsi sgra stlah laim prtama trjadi, sbagaimana disampaian olh Garia (5), dapat ditulis sbagai : ( u ) t g( t) f ( x) dx f ( x) ( u t x) dx dt u t u t u t t t g( t)[ F( u t)] dt + g( t) f ( x) ( u t x) dxdt (37) Lihat lampiran sub 5 Dngan mnsubstitusian g( t) t prsamaan (37) diprolh u t ( ) t ( ) t ( u ) [ F( u t)] dt + f ( x) ( u t x) dxdt (38) 7

34 Untu s u t, maa t ( s u) /, dt ds / dan u s, shingga ( u ) s ( ) u / ( ) s / ( ) s / [ F( s)] ds + f ( x) ( s x) dxds u u Lihat lampiran sub 6 (39) Turunan ( u) trhadap u pada prsamaan (39) adalah d u ( u) ( u) [ F( u)] f ( x) ( u du x) dx (3) dan transformasi Lapla dari (3) adalah Lihat lampiran sub 7 () [ ˆ( )] ˆ( s ) s f s s fˆ( s (3) ) Untu mnntuan singularitas C dari prsamaan (3), pnybutnya dibri nilai Kondisi ini dapat ditulis sbagai s f ˆ( s ) (3) Prsamaan (3) olh Dison dan Hipp () disbut sbagai Prsamaan dasar Lundbrg Prsamaan trsbut mmilii aar ta ngatif p dan aar ngatif sbagaimana diilustrasian pada gambar 37 Gambar 37 Dua aar prsamaan dasar Lundbrg Jia, maa p dan adalah ofisin pnysuaian Lundbrg Untu s p, () [ fˆ ( p )] (33) p 8

35 dan Lihat lampiran sub 8 ˆ ˆ p [ f ( p)] s [ f ( s)] ˆ( s ) (34) s fˆ( s ) Pluang jatuh suatu prusahaan dalam intrval watu [,t] adalah ( u, t) dan jia t, maa ( u,), shingga ( u, t ) ( u, t) ( u, t) ( u,) (35) Dan prsamaan (35) disubstitusian prsamaan (34) mnjadi ( u, t ) ( u, t) ( u, t) ( u,) (36) Transformasi Lapla dari (36) dngan paramtr dan s mnghasilan : ˆ( u, ) ( u) dan ˆ( s, ) ˆ( s) (37) s Lihat lampiran sub 9 Prsamaan (34) disubstitusian prsamaan (37) mnghasilan ˆ( s, ) () [ ˆ s f ( s)] s s fˆ( s ) s fˆ ( s) s () [ fˆ ( s)] s( s fˆ ( s)) s s () (38) s( s fˆ ( s)) Untu s p, dngan alasan dan buti yang sama sprti pada prsamaan (33), maa () p (39) Prsamaan (39) disubstitusian prsamaan (38) mnghasilan : ˆ( s, ) s p p s (3) s( s fˆ ( s)) ps( s fˆ ( s)) 9

36 36 Transformasi Lapla pada f 36 Klaim Trsbar Esponnsial Jia X i mnybar sponnsial dngan paramtr, maa mnurut prsamaan (3) fungsi patan pluangnya dapat dinyataan sbagai Dan transformasi Lapla dari (3) adalah Lihat lampiran sub f ( x ) x dngan x (3) f ˆ( s ) s, ( s ) (3) Gambar 38 adalah grafi sbagai ilustrasi prilau dari fungsi f ˆ( s ), yaitu transformasi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial dngan paramtr,5 Gambar 38 Grafi fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial (,5) 36 Klaim Trsbar Erlang() Jia X i mnybar Erlang() dngan paramtr, maa mnurut prsamaan (3) fungsi patan pluangnya dapat dinyataan sbagai ( ) x f x x dngan x (33)

37 Transformasi Lapla dari (33) adalah f ˆ( s ) ( s), ( s ) (34) Lihat lampiran sub Gambar 39 adalah grafi sbagai ilustrasi prilau dari fungsi f ˆ( s ), yaitu transformasi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar Erlang() dngan paramtr,5 Gambar 39 Grafi fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar Erlang() (,5) 363 Klaim Trsbar Esponnsial Campuran Jia X i mnybar sponnsial ampuran dngan fungsi patan pluang sprti dalam prsamaan (33), yaitu x x f ( x) b +( b) dngan x, (35) maa transformasi Lapla dari (35) adalah f ˆ( s ) b + ( s b), ( s ) s (36) Lihat lampiran sub

38 Gambar 3 adalah grafi sbagai ilustrasi prilau dari fungsi f ˆ( s ), yaitu fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar sponnsial ampuran dngan paramtr,5;,75 dan b,75 Gambar 3 Grafi fungsi Lapla dari fungsi patan pluang pubah aa trsbar Erlang() (, 5;, 75 dan b, 75) 37 Invrs Kompls pada ˆ 37 Klaim Trsbar Esponnsial Prsamaan (3) disubstitusian prsamaan (3) mnjadi s s (37) Slanjutnya prsamaan (37) disubstitusian prsamaan (3) diprolh ˆ( s, ) p ps( s ) s s ( p s)( s) ps( s s s s ) 3 ( )( ) p s s p s p s p s p s ps (38)

39 Invrs prtama dari ˆ( s, ), yaitu mngganti s dngan u mnjadi ˆ( u, ) dapat ditntuan mlalui formula invrs ompl pada transformasi Lapla yang dimuaan olh Marsdn (973) sbagai briut : us ˆ( u, ) (sidu dari ˆ( s, ) pada stiap singularitas dalam C) (39) Singularitas trjadi pada s dan s Sdangan s p mrupaan singularitas yang trhapusan, arna rsidunya brnilai Shingga us ˆ( u, ) us s ˆ ˆ s ( s, ) s s ( s, ) u ( p ) p p p p 3p (33) Lihat lampiran sub 3 Invrs dua dari ˆ( u, ), yaitu mngganti dngan t mnjadi ( u, t) Invrs dari suu prtama adalah dan invrs dari suu dua adalah rsidu dari : shingga t u ( p ) p p p p 3p, (33) ( u, t ) (sidu dari (33) pada stiap singularitas dalam C) (33) Jia s disubstitusian prsamaan (37), diprolh Untu, maa diprolh tiga titi pnting yaitu, (333) r dan Ktiga titi trsbut mrupaan singularitas dari rsidu (34) stlah dialian dngan d / d Nilai dari r disbut ofisin pnysuaian Lundbrg Turunan dari trhadap adalah d d (334) Lihat lampiran sub 4 Aar-aar dari prsamaan dasar Lundbrg, yaitu p dan mmilii hubungan sbagai 3

40 Lihat lampiran sub 5 p (335) Jia prsamaan (333) disubstitusian prsamaan (335) diprolh p (336) Lihat lampiran sub 6 Prsamaan (333) dan (336) disubstitusian (33), diprolh t t t u u xp Lihat lampiran sub 7 Hasil (337) dialian dngan (334) diprolh : (337) xp Lihat lampiran sub 8 Shingga t t t u u ( ) (338) ( u, t ) (sidu dari (338) pada stiap singularitas dalam C) (339) Evaluasi rsidu dua singularitas prtama, yaitu dan r mnghasilan ngatif, dan ini tida mmbrian mana pada nilai pluang sbagaimana diharapan dari ( u, t) Sdangan aan mnghasilan pmbagi yang nilainya Shingga haruslah, misalan atau s (338) s xp ( t u t) xp ( u t) xp t Lihat lampiran sub 9 (34) Prsamaan (34) disubstitusian (339) diprolh ( u, t ) s xp ( t u t) xp ( u t) xp t (34) 4

41 Prlu diatat bahwa nilai trgantung pada dan nilai trgantung pada Padahal brjalan dari sampai Aibatnya prsamaan (35) blum dapat digunaan untu mnntuan nilai ( u, t) Dalam hal ini fator tiga, mpat dan lima pada suu dua dari (34) dapat diuraian dngan mnggunaan drt uasa (powr sris) j j j, (34) j xp ( u t) ( u t)! dan (343) xp t ( t)! Lihat lampiran sub (344) diprolh Prsamaan (34), (343) dan (344) disubstitusian prsamaan (34) ( u, t ) j j ( t u t ) j s j ( u t) ( t)!! Mnurut dfinisi 7, rsidu pada singularitas adalah ofisin dari shingga, ( u, t ) ( t u t) ( u t) ( t)!( )! j j j ( t u t ) ( u t) ( t)!( j )! Lihat lampiran sub j (345) Prsamaan trahir adalah fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim yang mnybar sponnsial 5

42 37 Klaim Trsbar Erlang() Prsamaan (34) disubstitusian prsamaan (3) mnjadi s ( s) (346) yang mmpunyai tiga aar prsamaan, yaitu : Q, dan p dngan hubungan Q p Untu p jia dan hanya jia Jia (34) disubstitusian prsamaan (3) diprolh p s ˆ( s, ) ps( s ) ( s) ( p s)( s) ps s( s) ( s) ( s) ( p s)( s) ps s s s s s s s 3 ( p s)( s) ps s s s s s s s 3 (347) Invrs prtama dari ˆ( s, ), yaitu mngganti s dngan u mnjadi us ˆ( u, ) (sidu dari ˆ( s, ) pada stiap singularitas dalam C) (348) Singularitas trjadi pada s Q luar dari domain f ˆ( s) dan singularitas s p trhapusan Shingga us ˆ ( u, ) us s ˆ ˆ s ( s, ) s s ( s, ) u ( p ) p Lihat lampiran sub 3 (349) Invrs dua dari ˆ( u, ), yaitu mngganti dngan t mnjadi ( u, t) Invrs Lapla dari suu prtama adalah dan invrs Lapla dari suu dua adalah rsidu dari : t u ( p ) p (35) 6

43 shingga ( u, t ) (sidu dari (35) pada stiap singularitas dalam C) (35) Jia s disubstitusian prsamaan (346), diprolh (35) Untu, maa diprolh tiga titi pnting yaitu, dan 3 r, Ktiga titi trsbut mrupaan singularitas dari rsidu (35) stlah dialian dngan d / d dan r adalah ofisin pnysuaian Lundbrg Turunan dari trhadap adalah d d Lihat lampiran sub (353) Aar-aar dari prsamaan dasar Lundbrg, yaitu p dan mmilii hubungan sbagai p dan jia prsamaan (35) disubstitusian prsamaan (354) diprolh (354) p 3 (355) Lihat lampiran sub 4 Prsamaan (35) disubstitusian (35) mudian dialian dngan (353), diprolh xp t t t t t u u u p t t t t t u u u xp t t t t t u u u xp p Lihat lampiran sub 5 (356) 7

44 Shingga ( u, t ) (sidu dari (356) pada stiap singularitas dalam C) (357) sidu suu prtama dari (356) pada singularitas atau, adalah xp t u t xp u t xp t Lihat lampiran sub 6 Misalan a u t dan b t, maa (358) dapat ditulis mnjadi (358) a xp t u t xp xp b Dngan drt uasa trhadap diprolh (359) j t u t a b j!! j ( ) j t u t a b j ( )! ( )! j t u t j j j j a b a b ( )! j! ( )! j! j (36) Lihat lampiran sub 7 Untu mnntuan rsidu suu dua dari (356) dngan mrubah /p mnjadi fungsi dalam Dari prsamaan (346) dapat ditulis mnjadi 3 s s s Lihat lampiran sub 8 (36) Jia a, p a 8 dan a 3, maa 3 s as as a 3 (36) Dari prsamaan (354) dan (35) dapat ditulis mnjadi a ( ) a3 p( ) Lihat lampiran sub 9, (363)

45 dan 3 Lihat lampiran sub 3, srta p p p p (364) (365) Lihat lampiran sub 3 Solusi dari prsamaan trahir untu /p ada dua ttapi hanya satu yang mrprsntasian /p, yaitu : h( ) 3 p 4 (366) Lihat lampiran sub 3 Prsamaan (366) dapat disprsian dalam Malaurin s Sris, sbagai p (367) Lihat lampiran sub 33, dngan! d d h ( ) (368) Shingga rsidu suu dua dari (356) pada singularitas, dngan a u t dan b t, adalah atau a b t u t!! j j t u t a b a b j j ( )!( j )! ( )!( j )! j (369) Dngan mnsubstitusian prsamaan (36) dan (369) dalam prsamaan (357) diprolh : 9

46 ( u, t) t u t j j j j a b a b ( )! j! ( )! j! j j j t u t a b a b ( )!( j )! ( )!( j )! j j j t u t j j j j a b a b ( )! j! ( )! j! j j j a b a b ( )!( j )! ( )!( j )! j j Dngan mnsubstitusian mbali nilai a dan b diprolh ( u, t ) t u t j j j ( u t) ( t) ( )! j! j j j ( u t) ( t) j ( )!( j )! (37) Prsamaan trahir adalah fungsi sbaran pluang brtahan dari modl risio lasi untu bsar laim yang mnybar Erlang() 373 Klaim Trsbar Esponnsial Campuran Prsamaan (36) disubstitusian prsamaan (3) diprolh ˆ( s, ) p s ps( s fˆ ( s)) p s ps s b + ( b) s s ( p s )( s )( s ), h( s) Lihat lampiran sub 34, (37) dngan h( s ) 3 ps( s ( ) s [ ( b ) b ] s ) 3 (37)

47 Untu h( s ) mmpunyai aar prsamaan, Q, dan p yang mmnuhi Q p dan p brgra dari Dan brgra dari anan iri yaitu dari r hingga Q di luar domain f ˆ( s), shingga tida digunaan dalam valuasi invrs Singularitas s p adalah singularitas trhapusan, shingga invrs prtama dari (37) adalah rsidu dari r(s) pada singularitas s dan s Dngan shingga Lihat lampiran sub 35 r( s ) ( p s)( s)( s), h'( s) (373) ˆ( u, ) u r( ) (374) Invrs suu prtama dari (384) adalah dan invrs suu dua dari (374) adalah rsidu dari fungsi Dari prsamaan (3) dapat di tulis sbagai t + u r( ) (375) f ˆ( ) (376) dan jia prsamaan (376) disubstitusian (375) mudian dialian dngan '( ), diprolh dan dapat ditulis mnjadi ( fˆ ) t u r '( ) (377) xp t t t t t t t b t b u u u u p xp t t t t t t t b t b u u u u t t t t t t t b t b u u u u xp p (378) Lihat lampiran sub 36 Dngan mnsubtitusian dalam suu prtama dari (378), diprolh: 3

48 xp ( ) t t t t t b t b u u u ( ) t t u ( u t) b xp t b xp t (379) Lihat lampiran sub 37 Drt uasa dari untu masing-masing fator adalah:, ( u t ) ( u t)!, xp t b ( t b )! dan xp t b dngan d b xp t! d Shingga prsamaan (379) dapat ditulis mnjadi t t u ( u t) ( t b )!! t t u j j l j l l ( t b ) ( u t) ( j l )! ( l )! (38) Dngan ara yang sama, disubstitusian dalam suu prtama dari (378), diprolh t t u ( u t) ( t ( b) )!! t t u j j l ( t ( b) ) ( u t) ( j l )! ( l )! j l l, (38) dngan j j d b xp t j j! d 3

49 Untu mrubah suu dua dari (378) dalam drt uasa, /p harus disprsian sbagai fungsi dalam Dari prsamaan (376) dan (3) diprolh dan dngan a a a3 Lihat lampiran sub 38 b b s b ( b) s 3 s as as a 3 s (38) Prsamaan (38) mmpunyai tiga aar pnylsaian, yaitu p, dan Dan untu mmilii hubungan a3 p a a ( ) p( ) Dngan mnsubstitusian prsamaan (39) (393), diprolh p ( ) p( ) sbagai fungsi dalam dapat ditulis : ( ) fˆ ( ) (383) (384) b b ( ) ( ) (385) Jia disubstitusian prsamaan (384), diprolh prsamaan dalam x p, yaitu : b x b x b dngan b b b ( ( ) ) b b b b ( ) ( ( ) ) ( ) b ( ) (386) Lihat lampiran sub 39 33

50 Prsamaan trahir mmpunyai dua aar solusi, ttapi hanya satu yang mmprsntasian /p, yaitu x( ) p b b 4b b b Fungsi x( ) dapat disprsian dalam drt Malaurin sbagai briut : x( ) d dngan d! d d x ( ) Shingga untu, suu dua dari prsamaan (378) dapat ditulis sbagai t t u j d j l ( t b ) ( u t) ( j l )! ( l )! j l l, (387) sbagai Dngan ara yang sama, untu dapat diturunan fungsi /p dngan y( ) p a a 4a a a, a b b ( ( ) ( ) ( ) ) a ( ) ( b ( b) ) ( b) ( b) a ( ) (388) Lihat lampiran sub 4 Fungsi y( ) dapat disprsian dalam drt Malaurin sbagai y( ) f dngan f! d d y( ) Shingga untu, suu dua dari prsamaan (378) dapat ditulis sbagai t t u j f j l ( t ( b) ) ( u t) ( j l )! ( l )! j l l (389) Hasil substitusi prsamaan (389), (387), (38) dan (38) (378) disubstitusian prsamaan (374) diprolh : 34

51 ( u, t ) j j l j l l t t u ( t b ) ( u t) d ( j l )! ( l )! t t u ( t ( b) ) ( u t) f ( j l )! ( l )! j j l j l l (39) Prsamaan trahir adalah fungsi sbaran pluang brtahan dari modl risio lasi untu bsar laim yang mnybar sponnsial ampuran 35

52 BAB IV PEHITUNGAN NUMEIK Dngan mmprhatian fungsi sbaran pluang brtahan dari masingmasing sbaran laim, sbagai mana ditulis pada prsamaan (345), (37) dan (39), prhitungan numri tida mudah dilauan sara manual Hal ini disbaban adanya inds j dan yang brjalan dari sampai ta hingga Untu itu prhitungan numri dilauan dngan mnggunaan softwar Mathmatia Program prhitungan numri bsrta hasil outputnya dapat dilihat pada lampiran 3 Agar hasil aslinya dapat dilihat dngan jlas, maa printoutnya ttap dalam format Mathmatia 4 Paramtr Untu mnntuan nilai fungsi pluang brtahan dalam modl risio lasi ( ( u, t ) ), ditntuan nilai dari bbrapa paramtr dan pubah yang diprluan Pubah dari modl risio lasi adalah u dan t, sdangan paramtrnya adalah Paramtr dari fungsi patan pluang pubah aa bsarnya laim adalah, dan b Sdangan adalah paramtr fungsi patan pluang pubah aa watu antar datangan dua laim yang brurutan Modal awal (u) ditntuan sbsar,,, 3, 4, 5 dan Bsar prmi () dipilih ;, dan, agar lihatan prbdaannya Untu bsar laim mnybar sponnsial dan Erlang(), watu (t) dipilih,, 3,, Sdangan untu bsar laim mnybar sponnsial ampuran, nilai t dipilih,, 3,,8 Untu bsar laim yang mnybar sara sponnsial, nilai sbsar dan untu bsar laim yang mnybar sara Erlang() nilai diambil sbsar Sdangan pada bsar laim yang mnybar sara sponnsial ampuran nilai, dan b brturut-turut dipilih /, dan /3 sbagai paramtr fungsi patan pluang pubah aa watu antar datangan dua laim yang brurutan, dipilih sbsar Paramtr trahir ini adalah mrupaan paramtr pross Poisson 36

53 Msipun bbrapa paramtr tlah ditntuan di dpan, untu prluan splorasi, pmbaa dapat mnntuan sndiri smua paramtr ssuai dngan inginan 4 Hasil Prhitungan Numri Karna trbatasan tampilan yang dimilii olh Mathmatia, hasil prhitungan disusun mbali di dalam worst pada softwar Exl Hasil prhitungan nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi sara lngap dapat dilihat pada tabl 4 sampai dngan tabl 49 Intrprtasi dari nilai-nilai yang ada pada stiap tabl adalah pluang brtahan suatu prusahaan asuransi dalam intrval watu [,t] dngan modal awal u dan bsar prmi pr satuan watu adalah Misalnya nilai,455 yang trtra pada tabl 4 baris 5 olom 3 mnyataan bahwa suatu prusahan dngan modal awal dan prmi yang masu pr satuan watu adalah, dalam intrval watu [,5] mmilii nilai pluang brtahan sbsar,455 Nilai yang diprolh brasumsian bahwa laim mnybar sponnsial dngan rataan 4 Esponnsial ( ) Tabl 4 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,53778,7546,87584,9384,96993,98558,999674,385753,6838,7873,87574,9378,966, ,3879,5497,764,883,89398,93557,9963 4,77574,49389,656836,77385,854568,9858, ,4996,455,6798,733435,8846,8863, ,789,446,57647,698457,7987,8573, ,33,39368,545864,66786,76337,83338,9784 8,97894,3773,59634,6485,736987,854, ,86743,3537,496834,66799,7384,7995,96497,7787,336967,47678,5957,6963,77659,

54 Tabl 4 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,536599,76944,8894,94854,975,98658,99969,4736,64543,79438,883674,935598,964993, ,344789,574,7354,8354,98,9499, ,36693,5475,683593,79476,869793,9973,9945 5,84,4887,64558,76489,84638,89734, ,688,45957,6455,735,86458,8778, ,4566,436536,588633,75959,793894,8585,9858 8,33374,47448,566579,68384,77359,84636, ,389,434,54735,66434,75539,8444,9736,4573,38744,5387,6469,73857,89433,96897 Tabl 43 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,548979,76956,884583,94373,9746,986773,99978,47733,66876,8578,894,949,96768, ,3748,597469,749936,848385,98,947577, ,3359,55373,7879,83567,88334,9835,9953 5,346,563,67565,784753,85996,955, ,9349,496865,649395,76534,839443,89478, ,7985,4778,67755,73988,8357,87984,9863 8,68867,4683,6954,749,853,86575, ,59846,4474,593966,7648,795,853335,9794,567,43558,5847,69763,7788,847,

55 4 Erlang() ( ) Tabl 44 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar Erlang() dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,474548,7484,8947,95835,984633,99456,99998,346,6347,83,93,95555,9843, ,79447,53469,7946,8544,9446,966, ,4587,48,673468,8563,889485,93968,998 5,786,43959,68556,765553,85847,974, ,9854,4737,5943,7348,8893,8957,9946 7,83937,38543,565,69943,894,873763, ,744,3675,53353,6796,776989,853, ,636,34863,5989,64783,753993,8334,983943,5479,366,489337,659,73745,8476, Tabl 45 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar Erlang() dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,48848,7533,89786,96744,98563,994945,99998,3646,6355,8499,9867,9639,9863, ,37657,565,7533,867694,934,96668, ,7376,5745,7594,8966,95384,9494,9986 5,5577,4866,66889,796967,88453,9358,9974 6,33458,4543,63756,768776,857649,9597, ,65,436,683,7445,836888,899, ,9466,437,589956,765,8799,88393, ,6,39888,5776,73533,8757,8696,98947,9355,38546,55457,686459,784996,8567,

56 Tabl 46 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar Erlang() dngan paramtr, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,56,767,987,963,986559,9953,999984,3879,65554,88698,997,96498,984578, ,335338,59355,775365,8869,94798,97369,9995 4,34598,55845,735378,85754,9944,9576,9989 5,83769,5535,749,8448,899395,94494, ,6853,49838,67957,847,8883,93498, ,5688,47984,65858,78376,86657,99659, ,47459,464746,64,766577,854,98694, ,39799,4545,66444,7563,839568,898569,99574,33393,44444,63687,739463,884,8898, Esponnsial Campuran ( /, dan b/3) Tabl 47 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial ampuran dngan paramtr /, dan b/3, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,56733,79685,887,9539,95868,96887,996479,4448,67555,7989,85968,94776,93563,9987 3,3784,597869,7953,84794,86878,9435, ,3883,54689,669564,758493,8347,87465, ,978,498687,667,7898,7898,8466, ,737,464444,5933,684849,758483,868,9567 7,543,43636,55983,6559,7388,794, ,38658,4796,533596,687,7594,768669,

57 Tabl 48 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial ampuran dngan paramtr /, dan b/3, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,58846,79866,8835,96879,9534,969637,99657,46369,6888,799485,86559,98884,93834,9937 3,39765,6785,737364,85487,8698,987, ,35698,5663,68976,77439,83556,88747, ,36745,575,65749,73994,8559,85567, ,343,49653,694,79449,77898,8375,9666 7,86586,47437,59386,68376,7554,89,9534 8,74,45484,56958,6688,73434,79847,9455 Tabl 49 Nilai pluang brtahan dalam modl risio lasi untu bsar laim mnybar sponnsial ampuran dngan paramtr /, dan b/3, paramtr watu antar datangan dan bsar prmi, t Nilai Pluang Brtahan u u u u3 u4 u5 u,593767,8455,88699,9865,95474,97376,99666,48969,74,8767,8744,975,94835, ,467,635335,7579,85395,8773,9366, ,384,588789,7745,78839,84667,8896, ,35495,55389,67345,75768,83,8673, ,33436,56393,6454,73787,79744,84779, ,37938,549,635,79687,777379,83,9584 8,347,485765,6576,69534,75963,844, Analisis Hasil Prhitungan Dngan mmprhatian hasil prhitungan numri yang disajian dalam stiap tbl, mnunjuan bahwa: Prusahaan asuransi yang tida mmilii modal awal, dalam intrval watu trtntu masih mmilii harapan untu ttap brtahan, arna nilai 4

58 pluangnya tida Hal ini ditunjuan olh nilai-nilai yang ada pada olum u dari stiap tabl Prusahaan asuransi dngan modal awal yang lbih bsar aan mmilii harapan brtahan lbih bsar dibanding dngan prusahaan asuransi dngan modal awal yang lbih il 3 Prusahaan asuransi dngan modal awal, mmilii pluang brtahan yang bsar, bahan mndati Hal ini brarti harapan aan trjadi bangrutan pada prusahaan trsbut sangat il 4 Disamping dngan mmprbsar modal awal, usaha lain untu mningatan harapan brtahan pada prusahaan asuransi adalah dngan ara mningat rata-rata prmi yang masu pr satuan watu 5 Untu intrval watu yang smain lama, nilai pluang brtahan mnuju Shingga smain lama prusahaan asuransi brdiri, harapan untu ttap brtahan aan smain il 4

59 BAB V KESIMPULAN DAN SAAN 5 Ksimpulan Dngan mmprhatian uraian pada bab III dan IV, dapat disimpulan bahwa: Dalam modl risio lasi, untu bsar laim yang mnybar sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran, fungsi sbaran pluang brtahan dapat ditntuan dngan mnggunaan transformasi Lapla Esprsi dari fungsi sbaran pluang brtahan dalam modl risio lasi adalah suatu drt 3 Jia modal awal atau prmi dinaian, maa nilai pluang brtahan aan nai Brarti untu mningatan harapan brtahan, prusahaan asuransi harus mnambah modal atau mnaian prmi 4 Untu intrval watu yang smain lama, harapan brtahan prusahaan asuransi smain il 5 Saran Dngan mmprhatian hasil pnlitian ini, disaranan untu diadaan pnlitian lanjutan tntang pluang brtahan dalam modl risio lasi, dngan assumsi bsar laim mnybar slain sponnsial, Erlang() dan sponnsial ampuran 43

60 DAFTA PUSTAKA Borrlli L, Colman CS 998 Diffrntial Equations Nw Yor: John Wily & Sons, In Bowrs NL t al 997 Atuarial Mathmatis Nw Yor: Th Soity of Atuaris Dison DCM 5 Insuran is and uin Cambridg: Cambridg Univrsity Dison DCM, Hipp C 7 On Th Tim to uin for Erlang() is Prosss Insuran Mathmatis and Eonomis Vol 9, Garia JMA 5 Expliit Solutions for Survival Probabilitis in Th Classial is Modl Astin Bulltin 5, Vol 35 No I, 3-3 Grbr HU, Shiu ESW 998 On Th Tim Valu of uin North Amrian Atuarial Journal Vol, Ghahramani S Fundamntals of Probability Nw Jrsy: Prnti Hall, In Marsdn JE 973 Basi Complx Analysis San Franiso: WH Frman and Company oss SM 996 Stohasti Prosss Nw Yor: John Woly & Sons, In oss SM 7 Intrudution to Probability Modls Burlington: Elsvir, In Stwart J 3 Calulus Blmont: Thomson Larning, In 44

61 LAMPIAN 45

62 Lampiran Buti Torma Konvolusi Misalan f ( x, y) adalah fungsi patan pluang brsama dari pubah aa X dan Y, maa f ( x, y ) f( x) f( x ) Misalan U X Y, V X, h ( x, y) x y dan h (, ) x y x, maa diprolh sistm prsamaan x y u x y v yang mmilii solusi uni, yaitu x v, y u v dan matris jaobiannya adalah J x u y u x v y v, maa fungsi patan pluang brsama pubah U dan V adalah ( u, v ) f( v) f( u v) J f( v) f( u v) Shingga fungsi patan pluang dari pubah aa U X Y adalah dan dapat ditulis sbagai g( u ) ( u, v) dv f( v) f( u v) dv g( t ) f( x) f( t x) dx G( t ) g( u) du t t f ( x) f ( u x) dx du t f ( u x) du f ( x) dx F ( t x) f( x) dx f ( x) F ( t x) dx 46