MODEL PREDATOR DAN PREY DENGAN MODEL SUSCEPTIBLE - INFECTED SUSCEPTIBLE. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MODEL PREDATOR DAN PREY DENGAN MODEL SUSCEPTIBLE - INFECTED SUSCEPTIBLE. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang"

Doddy Kusnadi
6 tahun lalu
Tontonan:

1 MODEL PREDATOR DAN PREY DENGAN MODEL SUSCEPTIBLE - INFECTED SUSCEPTIBLE Firsy Nur Hidayai Sunarsih Djuwandi Program Sudi Maemaika F.MIPA Universias Diponegoro Jl. Prof. H. Soedaro S.H. Tembalang Semarang Absrac. A predaor-prey model wih infeced prey is an ineracion beween a predaor and a prey populaion wih infeced prey. This model is a resul of he predaor-prey model wih logisic growh in he prey populaion which is combined wih Suscepible-Infeced-Suscepible (SIS model in he prey. The equaions in his model are non linear differenial equaion wih hree dependen variables. In his sysem H( is size of prey populaion a ime I ( is he fracion of he prey ha are infecious a ime and P( is size of predaor populaion a ime. I is assumed ha infeced prey are vulnerable han by a facor q. Sabiliy analysis sysem is done o all five equilibria in his linearized. Each of sabiliy in hose equilibria poins is based on he eigen values. eywords: sabiliy SIS model eigen value equilibrium poin. PENDAHULUAN Ineraksi populasi yang paling kelihaan adalah yang melibakan pemangsaan (predasi predaion dimana seekor pemangsa (predaor memakan mangsa (prey []. Pemangsaan aau predasi diarikan sebagai pemanfaaan individu unuk memenuhi kebuuhan makanan bagi individu lain. Penggunaan sau individu oleh individu lain unuk makanan mempunyai pengaruh negaif pada perumbuhan poensial populasi prey dimana makanan biasanya diarikan dalam pengaruh yang posiif pada perumbuhan populasi predaor []. Pada ineraksi dua populasi ersebu keberadaan populasi prey yang erinfeksi dapa berpengaruh pada pemangsaan oleh predaor yaiu prey yang erinfeksi akan lebih lemah sehingga lebih mudah diserang unuk dimangsa oleh predaor. Model yang mendeskripsikan ineraksi dua populasi yaiu predaor prey dengan prey yang erinfeksi adalah model predaor prey dengan prey yang erinfeksi. Dari model ersebu akan dicari solusi keseimbangan dianalisis perilaku dari sisem yang dapa dienukan dengan menganalisis kesabilan dari solusi keseimbangan ersebu.. MODEL PREDATOR DAN PREY DENGAN PREY YANG TERIFESI Model predaor prey dengan prey yang erinfeksi diperoleh dari model predaor prey dengan perumbuhan logisik pada populasi prey yang dikombinasikan dengan model Suscepible-Infeced-Suscepible (SIS pada prey. Diasumsikan bahwa prey yang erinfeksi lebih mudah diserang unuk dimangsa oleh predaor yang dinyaakan dengan q yang bernilai lebih besar aau sama dengan. Model predaor prey dengan prey yang erinfeksi dinyaakan dengan sisem persamaan sebagai beriku []. dh H r H a( X + qyp d (..a dx H H XY b θ r H d r X + Y axp d + ( θ β γ H dy XY H β γy d r Y aqyp d H + ( θ dp ka d dengan H X + Y ( X + qy P cp Y X I S I H H (..b (..c (..d 4

2 Jurnal Maemaika Vol. No. April :4-9 diperoleh sisem persamaan sebagai beriku dh H r a( ( q I P H d + (..a di H ( I b r a( q ( I P I d β γ + θ dp d [ kah( + ( q I c]p Ada lima solusi keseimbangan model predaor prey dengan prey yang erinfeksi yaiu E ( E ( E E E 4 c r c ka a ka γ + b γ + b θr.. ANALISIS ESTABILAN SISTEM PERSAMAAN YANG DILINIERAN Persamaan (..a (..b (..c adalah sisem persamaan differensial non linier unuk menganalisis kesabilan dari iik keseimbangannya erlebih dahulu dilakukan pelinieran erhadap persamaan (..a (..b (..c kemudian persamaan dimisalkan dengan sisem persamaan sebagai beriku: dh H rh r aph aqiph + aiph d U( H I P (..a di β I β I γ I bi d H + θr I aqpi + aqi P + api ai P V ( H I P (..b dp kahp + kahqip kahip cp d W ( H I P (..c (..b (..c emudian O didefinisikan O H H I I O P P dengan P merupakan suau konsana I H dh maka di d d d d dp. Dengan demikian linierisasi d d dari persamaan (..a (..b (..c dengan menggunakan dere Taylor di iik ( H I P adalah sebagai beriku : d H + r ap ( q I O + ( + d ah P q O [ ah ( + ( q I ] O I θr O ( H + ( β ap ( q ( I γ + b θr O + ai ( q ( I O (.4.b [ ] kap ( ( q I O d + + kah P ( q O (.4.c + kah ( + ( q I c O Dari linierisasi di aas diperoleh mariks Jacobian pada iik keseimbangan H I P yaiu: ( J ( H I P a I θr kap( + ( q I ah P ( q a kah P ( q dengan: H a r ap + ( q I ah (+ ( q I ai ( q ( I kah ( + ( q I c ( ( ( + H β ap ( q I γ b θr a (.4.a Dianalisis perilaku kesabilan dari persamaan (..a (..b (..c dengan cara mensubsiusi nilai dari 5

3 Firsy Nur Hidayah Sunarsih Djuwandi ( Model Predaor Prey dengan Model Suscepible-. masing-masing iik keseimbangan ke dalam persamaan (.4.a (.4.b (.4.c sebagai beriku. a Tiik : E ( Dengan mensubsiusikan iik E ( ke dalam persamaan (.4.a (.4.b (.4.c diperoleh sisem yang dilinierkan sebagai beriku. ro (.5.a d ( β γ b O d (.5.b co (.5.c d Nilai eigen dari persamaan (.5.a (.5.b (.5.c adalah r β γ b c. Dengan demikian iik E ( idak sabil karena r >. Grafik O ( O ( O ( dengan > < < ( > digambarkan sebagai beriku. ro ao d ( β γ b + θr O d ( ka c O d Nilai eigen dari persamaan (.6.a (.6.b (.6.c adalah r β γ b + θr ka c. Dengan demikian iik E ( sabil jika yang bernilai riil non posiif. Grafik O ( O ( O ( (.6.a (.6.b (.6.c dengan < < < ( > > digambarkan sebagai beriku. Gambar. Grafik ( O O ( O ( unuk E ( dengan > < < ( >. Dari Gambar. dapa diliha bahwa populasi prey meningka sampai pada jumlah yang idak erbaas. Segkan populasi predaor populasi prey yang menular per oal populasi prey semakin berkurang. b Tiik : E ( Dengan mensubsiusikan iik E ( ke dalam persamaan (.4.a (.4.b (.4.c diperoleh sisem yang dilinierkan sebagai beriku. Gambar. Grafik ( O O ( O ( unuk E ( dengan < < < ( > > Dari Gambar. dapa diliha bahwa populasi prey populasi prey yang menular per oal populasi prey populasi predaor semakin berkurang. c r c Tiik : c E ka a ka Dengan mensubsiusikan iik c r c E ka a ka ke dalam persamaan (.4.a (.4.b (.4.c diperoleh sisem yang dilinierkan sebagai beriku. 6

4 Jurnal Maemaika Vol. No. April :4-9 d rc ka O cr c c + ( q O O ka ka k r( q c β γ b θr c O d + ka ka c cr c kr O + ( q O d ka a ka Nilai eigen dari persamaan (.7.a (.7.b (.7.c adalah: c c β r( q γ + b θr ka ka rc ka ± r c k a (.7.a rc 4 rc ka rc r c c ± 4rc. ka k a ka γ + b r O + d θ γ γ + b γ + b + a ( q O β β (.8.b co d (.8.c Nilai eigen dari persamaan (.9.a (.9.b (.9.c adalah r β + γ + b c. Dengan demikian iik ( β + + b O E γ + b idak sabil karena r >. Grafik O ( O ( O ( dengan < θ q > > < < ( < digambarkan sebagai beriku. Dengan demikian iik c r c ka E ka a ka sabil jika > c c c β r( q γ + b θr ka ka bernilai riil non posiif. E d Tiik 4: γ + b Dengan mensubsiusikan iik γ + b E ke dalam persamaan (.4.a (.4.b (.4.c diperoleh sisem yang dilinierkan sebagai beriku ro d (.8.a Gambar. Grafik ( unuk E O O ( O ( γ + b < < ( <. dengan > Dari Gambar. dapa diliha bahwa populasi prey populasi prey yang menular per oal populasi prey meningka sampai pada jumlah yang idak erbaas sera populasi predaor semakin berkurang. γ + b θr e Tiik 5: E 4 Dengan mensubsiusikan iik γ + b θr E 4 ke dalam persamaan (.5.a (.5.b (.5.c 7

5 Firsy Nur Hidayah Sunarsih Djuwandi ( Model Predaor Prey dengan Model Suscepible-. diperoleh sisem yang dilinierkan sebagai beriku. ro d γ + b θ r + a + ( q O (.9.a γ + b θ r θ r O d β + ( β + γ + b θ r O (.9.b γ + b θr γ + b θr + a ( q O β β γ + b θr ka ( q co d + (.9.c Nilai eigen dari persamaan (.9.a (.9.b (.9.c adalah r β + γ + b θr γ + b θr ka q + ( c. Dengan demikian iik E 4 γ + b θr sabil jika β > γ + b θr γ + b θr ka q + ( c bernilai riil non posiif. Grafik O ( O ( O ( dengan < θ q > < < < ( > > digambarkan sebagai beriku. Gambar 4. Grafik ( O O ( O ( unuk E 4 γ + b θr β dengan < < < ( > >. Dari Gambar 4. dapa diliha bahwa populasi prey populasi prey yang menular per oal populasi prey populasi predaor semakin berkurang. Secara simulasi masih dapa diunjukkan perilaku kesabilan dari masing-masing kurva O ( O ( O ( unuk persamaan (..a (..b (..c dengan iga kemungkinan yaiu > < < > Gambar 5. Grafik ( E ( dengan < ( >. O O ( da O ( > < unuk 8

6 Jurnal Maemaika Vol. No. April :4-9 < Gambar 6. Grafik ( O O ( O ( unuk E ( dengan > < < ( <. ersebu dicari solusi keseimbangan sehingga diperoleh lima iik keseimbangan pada iap-iap iik keseimbangan ersebu dilakukan analisis kesabilan pada sisem yang dilinerkan yang berdasar pada nilai-nilai eigennya. 5. DAFTAR PUSTAA []. Hehcoe H. W Wendy Wang Liao Han and Zhien Ma (4 A Predaor-Prey Model wih Infeced Prey. Journal of Theoreical Populaion Biology. 66 (Sepember : hp:// (accessed November 9. []. McNaughon S. J and Larry L Wolf (99 Ekologi Umum. Yogyakara: Gajah Mada Universiy Press. []. Neil A. C Jane B Reece and Lawrence G Michel (4 Biologi edisi kelima jilid. Jakara: Penerbi Erlangga. Gambar 7. Grafik ( unuk ( < (. O O ( O ( > E dengan < Dari Gambar dapa diliha bahwa populasi prey meningka sampai pada jumlah yang idak erbaas. Segkan populasi predaor populasi prey yang menular per oal populasi prey semakin berkurang. 4. PENUTUP Model predaor prey dengan prey yang erinfeksi merupakan sisem persamaan differensial non linier yang mempunyai iga variabel idak bebas yaiu H( yang menyaakan jumlah populasi prey pada waku I ( yang menyaakan jumlah populasi prey yang menular per oal populasi prey pada waku P( yang menyaakan jumlah populasi predaor pada waku. Dari sisem 9

dokumen-dokumen yang mirip

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. A. Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. A. Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN A. Permasalahan Nyaa Penyebaran Penyaki Tuberculosis Tuberculosis merupakan salah sau penyaki menular yang disebabkan oleh bakeri Mycobacerium Tuberculosis. Penularan penyaki