PROSES ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN POLA PELAYANAN BERDISTRIBUSI GENERAL. Sugito 1, Abdul Hoyyi 2. Abstract

Transkripsi

1 Pross Antrian (Sugito) PROSES ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN POLA PELAYANAN BERDISTRIBUSI GENERAL Sugito, Abdul Hoyyi Staf Pngajar Jurusan Statistia FSM UNDIP Staf Pngajar Jurusan Statistia FSM UNDIP Abstract In th uuing procss, th distribution tsting is prformd to obtain th distribution of arrival and srvic distributions. Customr arrival distribution is obtaind basd on th numbr of arrivals or intr-arrival tim. Srvic distribution is obtaind basd on th numbr of arrivals or intr-arrival tim. In this papr w will discuss th procss in uuing with th arrival of th Poisson distribution and th gnral pattrn of srvic distribution Kywords : Quuing, Arrival Distribution, Srvic Distribution. Pndahuluan Antrian mrupaan ssuatu yang biasa ita jumpai di tmpat-tmpat playanan umum, misalnya antrian di stasiun rta api, antrian di trminal bis, antrian di rstoran cpat saji, antrian di antor pos, antrian di swalayan, dan masih banya lagi. Hal ini trjadi arna planggan yang mmbutuhan playanan tida sbanding dngan fasilitas playanan yang trsdia. Antrian yang trlalu panjang aan mrugian planggan maupun pnglola tmpat playanan, arna banya planggan yang aan luar dari antrian dan mninggalan tmpat trsbut. Karna mrupaan ssuatu yang wajar apabila ita mnginginan playanan yang cpat, shingga sdapat mungin mnghindari antrian. Kalaupun mngantri, hanya mmrluan watu tunggu ssingat mungin. Situasi antrian juga mrupaan bagian dari adaan yang trjadi dalam rangaian giatan oprasional yang brsifat random dalam suatu fasilitas layanan. Pngguna fasilitas atau planggan datang dngan watu yang aca, tida tratur dan tida dapat sgra dilayani shingga mra harus mnunggu cuup lama. Olh arna itu, pnydia layanan diharapan dapat mmbrian playanan dngan bai pada planggannya agar para planggan tida harus mnunggu cuup lama untu mmprolh playanan. Untu mmprtahanan planggan, sbuah sistm slalu brusaha untu mmbrian playanan yang trbai. Playanan yang trbai trsbut diantaranya adalah mmbrian playanan yang cpat shingga planggan tida dibiaran mnunggu trlalu lama. Dalam mngurangi watu tunggu tambahan fasilitas playanan dapat dibrian untu mngurangi antrian atau mnghindari antrian yang trus mmbsar. Untu mmbrian tambahan fasilitas playanan maa sistm aan mngluaran biaya tambahan yang aan mnimbulan pngurangan untungan, dan mungin sampai di bawah tingat yang dapat ditrima. Sbalinya, sring timbulnya antrian yang panjang aan mngaibatan hilangnya planggan atau nasabah. Pada tulisan ini aan dibahas pross antrian dngan datangan brdistribusi poisson dan pola playanan brdistribusi umum. Mliputi Pross antrian dngan datangan brdistribusi poisson dan pola playanan brdistribusi umum untu playanan tunggal dan playanan lbih dari satu (majmu). 5

2 Mdia Statistia, Vol. 6, No., Juni 03 : Tinjauan Pustaa.. Dsripsi Antrian Tori antrian dimuaan olh A.K Erlang sorang insinyur Dnmar pada tahun 909. Pross antrian mrupaan sbuah pross yang brhubungan dngan datangan planggan pada suatu fasilitas playanan. Kmudian mnunggu dalam suatu baris (antrian) untu mndapatan playanan.sistm antrian adalah suatu himpunan planggan, playanan dan suatu aturan yang mngatur datangan para planggan dan playanannya. Sbuah sistm antrian adalah suatu pross lahiran-matian dngan suatu populasi yang trdiri atas para planggan yang sdang mnunggu mndapatan playanan atau yang sdang dilayani. Suatu lahiran trjadi apabila sorang planggan tiba di suatu fasilitas playanan dan apabila planggannya mninggalan fasilitas trsbut maa trjadi suatu matian []... Unsur Dasar Antrian Mnurut [5] dalam pross antrian trdapat nam unsur pnting yang trait rat dngan sistm antrian trsbut, yaitu :. Distribusi datangan planggan. Distribusi Watu playanan 3. Fasilitas playanan 4. Disiplin playanan 5. Uuran sistm antrian 6. Sumbr pmanggilan.3.distribusi Kdatangan Distribusi datangan planggan biasanya diprhitungan mlalui watu antar datangan dua planggan yang brurutan pada suatu fasilitas playanan. Bntu ini dapat brgantung pada jumlah planggan yang brada dalam sistm ataupun tida brgantung pada adaan sistm trsbut. Bila bntu datangan ini tida disbut scara husus, maa dianggap bahwa planggan tiba satu pr satu. Asumsinya adalah datangan planggan mngiuti suatu pross dngan distribusi probabilitas trtntu. Distribusi yang sring digunaan adalah distribusi poisson. Asumsi distribusi poisson mnunjuan bahwa datangan planggan sifatnya aca dan mmpunyai rata-rata datangan sbsar lambda (λ). Situasi antrian di mana datangan dan brangatan (jadian) yang timbul slama intrval watu di ndalian dngan ondisi briut: Kondisi : Probabilitas dari sbuah jadian (datangan atau brangatan) yang timbul antara t dan t + s brgantung hanya pada panjang s, yang brarti bahwa probabilitas tida brgantung pada t atau jumlah jadian yang timbul slama priod watu (0,t). Kondisi : Probabilitas jadian yang timbul slama intrval watu yang sangat cil adalah positif tapi urang dari satu. Kondisi 3 : Paling banya satu jadian dapat timbul slama intrval watu yang sangat cil. Dari tiga ondisi diatas mnjabaran sbuah pross di mana jumlah jadian slama satu intrval watu yang dibrian adalah Poisson, dan olh arna itu watu antara bbrapa jadian yang brturut-turut adalah sponnsial. Maa dari prmasalahan itu dapat diataan bahwa tiga ondisi trsbut mwaili pross Poisson [7]. 5

3 Pross Antrian (Sugito).4. Distribusi Watu Playanan Distribusi watu playanan braitan dngan brapa banya fasilitas playanan yang dapat disdiaan. Distribusi watu playanan trbagi mnjadi dua omponn pnting, yaitu:. Playanan scara individual (singl srvic). Playanan scara lompo (bul srvic) Bntu playanan ditntuan olh watu playanan, yaitu watu yang dibutuhan untu mlayani planggan pada fasilitas playanan. Bsaran ini dapat trgantung pada jumlah planggan yang tlah brada didalam fasilitas playanan ataupun tida brgantung pada fasilitas trsbut. Watu playanan dapat brsifat dtrministi atau brupa suatu variabl aca yang distribusi probabilitasnya dianggap tlah ditahui. Pada suatu fasilitas playanan, planggan aan masu dalam suatu tmpat playanan dan mnrima playanan scara tuntas dari srvr. Bila tida disbutan scara husus, pada bntu playanan ini, maa dianggap bahwa satu playanan dapat mlayani scara tuntas satu planggan..5. Fasilitas Playanan Fasilitas playanan braitan rat dngan baris antrian yang aan dibntu. Dsain fasilitas playanan ini trbagi dalam tiga bntu, yaitu:. Bntu sris, dalam satu garis lurus ataupun garis mlingar. Bntu parall, dalam bbrapa garis lurus yang antara yang satu dngan yang lain parall. 3. Bntu ntwor station, yang dapat didsain scara sri dngan playanan lbih dari satu pada stiap stasiun. Bntu dapat juga dilauan scara parll dngan stasiun yang brbda-bda. Adapun dsain sistm antrian dapat dilihat sbagai briut :. Sistm antrian jalur tunggal (singl channl singl phas), di mana dalam sistm antrian trsbut hanya trdapat satu pmbri layanan srta satu jnis layanan yang dibrian. Gambar. Sistm antrian jalur tunggal. Sistm antrian jalur tunggal tahapan brganda (singl channl multi srvr), di mana dalam sistm antrian trsbut trdapat lbih dari satu jnis layanan yang dibrian, ttapi dalam stiap jnis layanan hanya trdapat satu pmbri layanan. Gambar. Sistm antrian jalur tunggal tahapan brganda 53

4 Mdia Statistia, Vol. 6, No., Juni 03 : Sistm antrian jalur brganda satu tahap (multi channl singl srvr), di mana dalam sistm antrian trdapat satu jnis layanan dalam sistm antrian trsbut, namun trdapat lbih dari satu pmbri layanan. Gambar 3. Sistm antrian jalur brganda satu tahap 4. Sistm antrian jalur brganda tahapan brganda (multi channl, multi srvr), di mana trdapat lbih dari satu jnis layanan dan trdapat lbih dari satu pmbri layanan dalam stiap jnis layanan. Gambar 4. Sistm antrian jalur brganda tahapan brganda.6 Disiplin Playanan Disiplin Playanan dalam antrian adalah aturan di mana para planggan dilayani [5]. Aturan ini dapat didasaran pada :. Prtama Masu Prtama Kluar ( FIFO). FIFO (First In First Out) mrupaan suatu praturan di mana yang dilayani trlbih dahulu adalah yang prtama ali datang.. Trahir Masu Prtama Kluar (LIFO). LIFO (Last In First Out) mrupaan suatu praturan di mana yang paling trahir datang adalah yang dilayani paling awal. 3. Playanan Aca (SIRO). SIRO (Srvic In Random Ordr) mrupaan suatu praturan di mana playanan dilauan scara aca. 4. Playanan Brdasaran Prioritas (PRI). PRI mrupaan suatu praturan di mana playanan didasaran pada prioritas husus..7 Sumbr Pmanggilan Suatu aratristi yang prlu ditahui dari sumbr pmanggilan ini adalah uurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang mmrluan playanan dari watu watu atau disbut jumlah total planggan potnsial. Ini bisa dianggap trbatas ataupun tida trbatas. Untu jumlah planggan yang trbatas jumlah unit dalam sistm antrian aan mmpngaruhi jumlah planggan potnsial di luar sistm pada stiap watu. 54

5 Pross Antrian (Sugito) Tingah lau pmanggilan populasi Ada tiga istilah yang biasa digunaan dalam antrian untu mnggambaran tingah lau pmanggilan populasi [] :. Jia mngiuti (rng), yani bila ssorang brgabung dalam antrian dan mudian mninggalannya.. Mnola (baling), brarti srta-mrta tida mau brgabung. 3. Mrbut (bul), mnunjuan ondisi di mana datangan trjadi scara brsama-sama tia mmasui sistm shingga ssorang brbut mnyrobot dpan. Bila tida disbutan scara husus, maa anggapan standarnya adalah bahwa smua planggan tiba satu pr satu dan juga bahwa tida trjadi pnolaan dan pmbatalan..8. Notasi Kndall Notasi Kndall digunaan untu mrinci ciri dari suatu antrian. Notasi yang ssuai untu mringasan aratristi utama dari antrian parall tlah scara univrsal dibauan dalam format briut : [7] ( a / b / c ) : ( d / / f ) a : Distribusi datangan b : Distribusi watu playanan c : Fasilitas playanan atau banyanya tmpat srvic (stasiun srial parall atau jaringan) d : Disiplin playanan (FIFO, LIFO, SIRO) dan prioritas playanan. E : 55suran sistm dalam antrian (trhingga atau ta trhingga) f : Sumbr pmanggilan (trhingga atau ta trhingga).9. Modl (M/G/) : (GD/ / ) Suatu sistm di mana planggan tlah slsai dilayani dan playanan itu dimulai lagi untu playanan briutnya dalam antrian, maa watu playanan trsbut brdistribusi random. Fungsi distribusi umulatif (CDF) dari watu playanan trsbut ditunjuan dngan F(t) dan fungsi dnsitasnya dngan f(t) jia ada. Pross datangan ini dinamaan Poisson, di mana pristiwa dari datangan para planggan dapat trjadi lbih dari satu ali pada slang watu atau ruang dngan paramtr [4]. Pross antrian saluran tunggal dngan datangan Poisson dan playanan umum dapat digambaran sbagai briut [5] : Gambar. Sistm Antrian (P-K) gambar (.) gambar (.) Gambar 5. Pross antrian saluran tunggal dan playanan umum 55

6 Mdia Statistia, Vol. 6, No., Juni 03 : 5-60 dimana: n = jumlah planggan dalam sistm t = watu untu mlayani planggan = jumlah planggan yang baru datang n = jumlah planggan stlah dilayani. Simbol yang digunaan pada Gambar 5, mnunjuan bahwa:. t mwaili watu tia j planggan brangat dan ( t t) mwaili watu tia planggan slanjutnya (j + ) brangat.. Notasi j, j +, j +,... tida harus diartian bahwa planggan masu dngan disiplin antrian playanan FCFS. Ttapi, hal itu hanya untu mmprnalan prbdaan brangatan planggan pada sistm. Hasil dari modl ini dapat digunaan untu bbrapa disiplin antrian, yaitu FCFS, LCFS, SIRO. Dari Gambar mmprlihatan bahwa: n, untu n 0 n ' (), untu n 0 Dari Prsamaan (), jia dalam sistm n = 0, maa sistm osong atau tida ada planggan dalam antrian dan tida ada yang dilayani. Brarti jumlah planggan yang aan dilayani hanya aan sama dngan (jumlah planggan yang baru datang). Brdasaran pngrtian di atas, untu mngtahui bsar pluang atau probabilitas dari datangan, maa: 0 Pr{ } Pr{ t} df(t) () Karna datangan yang trjadi mngiuti distribusi Poisson dan brdasaran prsamaan (), maa pluang datangan pada saat t adalah: t ( t) Pr{ t} (3)! Misalan jumlah planggan stlah dilayani n` sama dngan j dan jumlah planggan dalam sistm n, yaitu planggan yang blum dilayani dan yang sdang dilayani sama dngan i, maa dari Prsamaan () mnjadi: Pr{ j i } 0 0 t ji ( t) (j i )! df(t), untu j, untu j i -, i i -, i.0. Modl (M/G/c) : (GD/ / ) Pross antrian dngan datangan brdistribusi poisson dan pola playanan brdistribusi umum dngan playanan lbih dari satu adalah mnggunaan modl (M/G/c) : (GD/ / ). Untu modl (M/G/c) : (GD/ / ) [4], hasil utama yang bisa diprolh adalah probabilitas dari watu tunggu dalam sistm yang dibrian pada prsamaan L s Ws (5) dan untu watu tunggu dalam antrian modl (M/G/c) didapat dari prsamaan n t n Pr{ n dalam antrian stlah branga tan} t dw (t) (6) n! 0 (4) 56

7 Pross Antrian (Sugito) dngan panjang antrian rata-rata pada titi watu datangan, yaitu nn n 0 L adalah: L tdw (t) W (7) W dapat dicari dngan [6] : c c E[t ](E[t]) W c n ( E[t]) (c )!(c E([t]) n0 n! dimana W = sptasi watu tunggu dalam antrian c ( E[t]) (c )!(c E[t]) 3. Hasil dan Pmbahasan 3.. Formula Pollacz Khintchin Modl (M/G/):(GD/ / ) atau disbut juga dngan (P K) adalah suatu formula di mana aan diprolh pada situasi playanan tunggal yang mmnuhi tiga asumsi briut [3] :. Kdatangan Poisson dngan rata-rata datangan. Distribusi watu playanan umum atau gnral dngan sptasi rata-rata playanan E[t] dan varian var[t] 3. Kadaan stady stat di mana. Slanjutnya, Prsamaan () aan dibawa bntu formula P-K, yaitu: n` n (8) dngan didfinisian sbagai:, untu n 0 (9) 0, untu n 0 dngan n adalah jumlah planggan dalam sistm dan adalah fungsi yang mmtaan stiap n bilangan riil, yaitu jia n = 0 (dalam sistm tida ada planggan), maa tida ada yang dilayani dan apabila dalam sistm ada n > 0 planggan, maa ada planggan yang ditunjuan dngan nilai. Dngan mngasumsian bahwa solusi stady stat, yaitu bahwa rata-rata watu playanan lbih tinggi daripada rata-rata laju datangan dan mnganggap bahwa nilai dari jumlah planggan dalam sistm n, srta jumlah planggan ssudah dilayani n` dinotasian sama sbagai L s yang mwaili jumlah planggan, maa dapat diambil nilai sptasi dari variabl random, yaitu E[n] = E[n`] = L s dan E[n ] = E[(n`) ]. Dngan mngambil nilai ptasi dari dua sisi dari Prsamaan (8), diprolh: E[n`] = E[n] E[ ] + E[] (0) Shingga Prsamaan (0) mnjadi Ls Ls E[ ] E[] E[ ] E[] () Dngan mnguadratan Prsamaan (8), diprolh: ( n`) (n ) n n n () Karna dan n n, maa Prsamaan () mnjadi: (n`) n n n n n n 57

8 Mdia Statistia, Vol. 6, No., Juni 03 : 5-60 n n( ) ( ) - n( ) n (n`) ( ) n n ( n') ( ) ( ) n ( n') ( ) n (n`) ( ) n ( ) Dngan mngambil sptasi dari dua sisi, maa: E[n ] E[(n`) ] E[ ] E[ ( )] E[n] ( E[]) 0 E[ ] E[ ] E[ ] E[n] ( E[]) Dngan mnsubsitusian E[ ] E[] dari Prsamaan (), maa: E[ ] E[] (E[]) E[n] (3) ( E[]) Sarang, E[] dan E[ ] diprluan untu mnntuan E[n]. Karna datangan yang trjadi mnurut distribusi Poisson, maa Dari bntu: E [ t] P 0 dimana P adalah probabilita datangan dari planggan. t ( t) t ( t) Maa, E[ t]! ( )! dan, E [ 0 t ( t) ( )! t t t] t () ( t) ( )! P 0 0 t t ( t) ( )! t ( t)! t t ( ) () ( t) ( )! t t t t ( t) ( )! ( t) ( )! t t ( t) ( )( )! ( t) ( )! ( ) t t ( t) t ( t) t ( t) ( )! ( t) ( )! 58

9 Pross Antrian (Sugito) Shingga diprolh: E[ t] t dan E[ Dari harga harapan suatu man dan E [] E[] E [ E[ t]f (t)dt t] ( t) E[t] t t t f (t) dt f (t) dt dan var(t) E[t ] (E[t]), maa; E[t] (4) ] E[ t]f (t)dt ( t) t 0 0 t f (t)dt 0 0 f (t)dt tf(t)dt var[t] (E[t]) E[t] E[ ] (E[t]) var[t] E[t] (5) Dngan mnsubstitusian Prsamaan (4) dan (5) Prsamaan (3), maa : E[ ] E[] E [] E[n] ( E[]) (E[t]) var[t] E[t] E[t] (E[t]) ( E[t]) (E[t]) var[t] ( E[t]) (E[t]) var[t] ( E[t]) E[t]( E[t]) ( E[t]) E[t] (E[t]) var[t] Ls E[t] ( E[t]) dngan E[t] dan, maa var( t) L s (6) ( ) Prsamaan (6) dinal sbagai formula P-K, dimana: L s = jumlah atau banyanya planggan dalam sistm = rata-rata datangan planggan E[t] = sptasi watu playanan. Diasumsian bahwa n adalah onstan untu smua n, shingga cuup ditulis. Maa dalam pross antrian yang stady stat didapat [3] : L W dimana: L = jumlah planggan dalam sistm W = watu mnunggu dalam sistm dan L W 59

10 Mdia Statistia, Vol. 6, No., Juni 03 : 5-60 dimana: L = jumlah planggan dalam antrian W = watu mnunggu dalam antrian. Kmudian asumsian bahwa playanan rata-rata onstan untu smua n, shingga cuup ditulis dngan. Dngan mmbrian adalah rata-rata playanan, maa sptasi watu playanan adalah shingga: W s = watu mnunggu dalam sistm W s = watu tunggu dalam antrian + watu playanan Ws W Dialian dngan, didapatan: W s W. 4. Ksimpulan. Formula Pollacz Khintchin untu Modl (M/G/):(GD/ / ) adalah var( t) L s ( ) DAFTAR PUSTAKA. Aminudin, Prinsip-Prinsip Rist Oprasi, Erlangga, Jaarta, Bronson, R., Tori dan Soal-Soal Opration Rsrch, PT Glora Asara Pratama, Dimyati, A., Oprations Rsarch Modl-Modl Pngambilan Kputusan, Sinar Baru, Bandung, Gross, D and Haris, C. M., Fundamntal of Quuing Thory, Third Edition, John Willy and Sons, Inc., Nw Yor, Kaiay, T. J., Dasar Tori Antrian untu Khidupan Nyata, ANDI, Yogyaarta, Ross, S. M., Introduction to Probability Modls, Sixth Edition, Acadmy Prss, Nw Yor, Taha, H. A., Rist Oprasi, Jilid, Binarupa Asara, Jaarta,