ISOMORFISMA PADA GRAF P 4
|
|
- Erlin Sanjaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ISOMORFISMA PADA GRAF P Eka Adhistiasari, I Ktut Budayasa 2 Jurusan Matmatika, Fakultas Martmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam, UNESA Kampus Ktintang 6023,Surabaya tias-adhis@yahoocoid, ktutbudayasa@yahoocom 2 ABSTRAK Dibrikan dua buah graf sdrhana dan trhubung, G dan G, dngan drajat minimum δ=3 dan minimal 5 titik Didfinisikan graf lintasan dari graf G dngan k titik, P k (G), adalah graf yang mmpunyai himpunan titik yang brupa himpunan lintasan dari graf G Jika graf G dan G mmnuhi salah satu dari dua kondisi : jika u adalah sbuah titik dari suatu sgitiga di G maka d(u), G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf maka akan dibahas mngnai sbarang isomorfisma dari graf lintasan P yaitu P (G) k P (G ) bisa dibangun olh sbuah isomorfisma(titik) dari G onto G srta hubungan isomorfisma suatu graf trhubung G dngan graf lintasannya atau G P (G) Kata kunci : Isomorfisma, isomorfisma(titik), hubungan isomorfisma IPENDAHULUAN Tori graf prtama kali diprknalkan olh Lonhard Eulr pada tahun 736 dalam mnylsaikan masalah jmbatan Konigsbrg, Rusia Walaupun graf tlah banyak diplajari sjak dulu, namun smakin majunya tknologi komputr, tlah mmbangkitkan minat baru untuk mmplajari graf dan mnjadikannya sbagai salah satu cabang matmatika yang akhir-akhir ini brkmbang psat Diantaranya adalah banyaknya pnmuanpnmuan baru mngnai graf Mulai jnis-jnis graf yang tlah banyak diknal sprti Complt graph, Bipartit, Complt Bipartit, Cycl, Path, Star, Catrpillar Pndfinisian graf lintasan (Path graph) prtama kali pada sbuah jurnal Matmatika yang brjudul Path Graphs olh Brorsma dan Hod, shingga jurnal trsbut sringkali dijadikan acuan dalam pngmbangannya Banyak ahli matmatika mmplajari tntang prluasan konsp trsbut Salah satunya pada jurnal matmatika yang brjudul Isomorphisms of P Graphs yang disusun olh Xuliang Li dari Northwstrn Poly tchnical Univrsity dan Biao Zhao dari Xinjiang Univrsity Brdasarkan jurnal trsbut, skripsi kali ini mmbahas mngnai isomorfisma suatu graf lintasan Tujuan pnulisan skripsi ini adalah untuk mngtahui bahwa suatu isomorfisma graf lintasan P, P(G) k P (G ), bisa dibangun olh suatu isomorfisma titik dari G k G srta hubungan isomorfik antara suatu graf G dngan graf lintasan P -nya Graf lintasan P k (G) dari sbuah graf G adalah graf yang titik-titiknya mrupakan himpunan k, dimana k adalah himpunan sluruh lintasan dari G dngan k titik (k ) Trkait dngan isomorfisma suatu graf, salah satu fungsinya adalah dalam bidang kimia yaitu untuk mngidnifikasi struktur kimia suatu atom Tulisan in mrupakan hasil rangkuman dan kolaborasi dari dfinisi-dfinisi srta torma-torma pada sumbr [], [2], [3], [], dan [5] 2 KAJIAN PUSTAKA 2 GRAF Dfinisi 2 Sbuah graf G brisikan dua himpunan yaitu himpunan brhingga tak kosong V(G) dari obykobyk yang disbut titik dan himpunan brhingga (mungkin kosong) E(G) yang lmn-lmnnya disbut sisi sdmikian hingga stiap lmn dalam E(G) mrupakan pasangan tak brurutan dari titik-titik v di V(G) Dngan kata lain, V(G) disbut himpunan titik G dan himpunan E(G) disbut himpunan sisi G Banyaknya lmn pada V(G) dan E(G) brturut-turut dinyatakan dngan V(G) dan E(G) Dfinisi 22 Misal G graf, k Misal k (G) adalah himpunan smua lintasan di G dngan k titik Didfinisikan graf lintasan dari G dan dinotasikan P k (G) adalah graf yang himpunan titiknya (G) dan himpunan sisi ε k (G)dngan sifat untuk sbarang H,K (G) dngan H= x x 2 x 3 x k dan K= y y 2 y 3 y k trdapat k k
2 sbuah sisi HK ε k (G) jika dan hanya jika x i =y i+ atau y i = x i+ untuk i k- 22 ISOMORFISMA Dfinisi 22 Dua buah graf G dan H dikatakan isomorfik, bisa ditulis GH jika trdapat fungsi bijktif f : V(G) V(H) sdmikian hingga u, v V(G) jika dan hanya jika f u, f(v) V(H) brhubungan langsung Dfinisi 222 Isomorfisma titik dari G H adalah sbuah fungsi bijktif f : V(G) V(H) sdmikian hingga u, v V(G) brhubungan langsung jika dan hanya jika f u, f(v) V(H) brhubungan langsung Himpunan isomorfisma titik dari G H dinotasikan dngan ( GH, ) Dfinisi 223 Isomorfisma sisi dari G H adalah sbuah fungsi bijktif f : E(G) E(H) sdmikian hingga dua sisi trkait di G jika dan hanya jika pta(imags) dari kdua sisi trsbut juga trkait di H Jlas bahwa isomorfisma sisi dari dua graf adalah sbuah isomorfisma titik dari graf garisnya Himpunan isomorfisma sisi dari G H dinotasikan dngan ( GH, ) Slanjutnya akan disdrhanakan bahwa ( P ( G), P ( G')) ( G, G') dan disbut anggota-anggota isomorfisma P dari G k G 3 PEMBAHASAN Akan dibahas mngnai bbrapa kondisi yang mnunjukkan sbarang isomorfisma dari graf lintasan, yaitu P (G) k P (G ) bisa dibangun olh suatu isomorfisma titik dari G onto G srta hubungan isomorfisma suatu graf G k graf lintasan P -nya Pada pmbahasan brikut ini, graf yang dibahas hanya trbatas pada graf trhubung sdrhana dngan minimal 5 titik dan δ =3 Dfinisi 3 Nigborhood atau prskitaran dari suatu titik u pada graf dinotasikan N(u) adalah suatu himpunan yang didfinisikan sbagai N(u) ={ v V ( G) u v} Dfinisi 32 Dibrikan bilangan bulat tak ngatif d Himpunan dari smua graf dngan drajat minimum d dinotasikan G d Shingga bisa ditulis G d ={G δ(g) d} Dfinisi 33 Fungsi f ( GG, '), didfinisikan sbuah pmtaan f* yaitu f*(tuvw) = f(tu)f(uv)f(vw) untuk suatu lintasan P, tuvw di G dan f* mrupakan pmtaan yang dibangun olh f yang dinotasikan *( G, G') { f * f ( G, G')} Torma 3 Jika G,G G 3 maka, * ( G, G') ( G, G') 2 Fungsi T : * (, ') ( G, G ') G G yang dibrikan olh T(f) = f* mrupakan fungsi satu-satu Misal tuvw adalah sbuah lintasan P di G dan f ( GG, ') maka f(tu), f(uv), f(vw), E G Karna f mngawtkan ktrkaitan dan takktrkaitan, diktahui bahwa f(tu)f(uv)f(vw) mrupakan sbuah lintasan mpat titik di G Dngan kata lain f* mrupakan fungsi dari (G) (G ), shingga jlas bahwa f* adalah fungsi bijktif Karna f* mrupakan fungsi dari (G) (G ) dan dibangun olh fungsi f maka f* ( GG, ') Dngan kata lain diprolh * ( G, G') ( G, G') 2 Misal f, f 2 ( GG, ') dan f f 2 Maka ada sbuah sisi uv sdmikian hingga f (uv) f 2 (uv) Karna G G 3 maka bisa ditmukan suatu lintasan P, misal tuvw sdmikian hingga f *(tuvw) f 2 *(tuvw) Jadi, fungsi T adalah fungsi satu-satu Dfinisi 3 Misal tuvw mrupakan lintasan P Didfinisikan sisi uv adalah sisi tngah atau middl dg dari P dan tuvw = wvut (simtris) Dfinisi 35 S(uv) adalah himpunan dari smua lintasan P dngan sisi tngah brsama uv Sbarang subst dari S(uv) dinamakan doubl star (bintang ganda) pada sisi uv Pmtaan f : ( G) ( G') dinamakan mngawtkan doubl star (doubl star-prsrving) 2
3 jika himpunan f (S(uv)) adalah sbuah doubl star di G untuk stiap sisi uv dari G Torma 32 MisalG,G G 3 dan f : ( G) ( G') mrupakan pmtaan satu-satu atau fungsi bijktif Fungsi f adalah fungsi yang dibntuk olh isomorfisma sisi dari G k G jika dan hanya jika f f dan adalah isomorfisma P yang mngawtkan doubl star Fungsi f fungsi yang dibangun olh isomorfisma sisi dan f : ( G) ( G'),maka ada sbuah lintasan P, misal tuvw di G dan f (tu)f (uv)f (vw) mrupakan sbuah lintasan P di G Mnurut dfinisi 36, sisi uv mrupakan sisi tngah brsama shingga stiap diambil lintasan P lain di G maka sisi tngahnya ttap uv dan slalu trdapat pta yang lain juga di G, shingga trdapat S(uv) dan doubl star pada uv di G f ( GG, ') dan f(s(uv)) adalah sbuah doubl star dari G dngan kata lain f mrupakan isomorfisma P yang mngawtkan doubl star, karna f f mmiliki sifat yang sama dngan f, maka juga isomorfisma P yang mngawtkan doubl star f Misal f dan adalah isomorfisma P yang mngawtkan doubl star Jadi, untuk stiap sisi uv di G, trdapat sbuah sisi u v di G sdmikian hingga f ( S( uv)) S( u' v') Slain itu, u v scara tunggal ditntukan olh uv karna f fungsi bijktif (trdapat korspondnsi satu-satu) Jika f ( S( uv)) S( u' v') dan G G 3 maka f ( S( u ' v')) S( uv) Dapat disimpulkan bahwa fungsi f mnntukan fungsi yang didfinisikan dngan baik f : E( G) E( G') yang mana f ( S( uv)) S( f( uv)) Tidak sulit untuk mlihat bahwa f adalah fungsi bijktif Akan dibuktikan bahwa f mngawtkan ktrhubungan dan tak-ktrhubungan Faktanya, jika tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, maka ada sbuah lintasan P di S(tu) yang trhubung k suatu lintasan P di S(uv) Karna f adalah suatu isomorfisma P dan f ( S( tu)) S( f ( tu)) bolh dikatakan juga f ( S( uv)) S( f ( uv)), maka trdapat sbuah lintasan P di S( f( tu )) yang trhubung k suatu lintasan P di S( f( uv )) Ini brakibat bahwa f (tu) brhubungan langsung f dngan f (uv) di G Karna mmiliki sifat yang sama sprti f, maka f mngawtkan takktrhubungan Tahap akhir akan dibuktikan bahwa f dibangun olh f Misal tuvw sbuah lintasan P dan misal xtuv S tu Karna f mngawtkan doubl star, diktahui f(xtuv) f ( S( tu)) S( f ( tu)) dan f(xtuv) brhubungan langsung dngan f(tuvw) S( f( uv )) Maka f (tu) f (uv) adalah lintasan P 3 brsama dari f(xtuv) dan f(tuvw) Karna simtri, f (uv)f (vw) adalah lintasan P 3 lain dari f(tuvw) dan karna itu f(tuvw)= f (tu) f (uv) f (vw) Lmma 3 Misal G,G G 3 dan fungsi f mrupakan isomorfisma P dari G k G Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf maka f mrupakan fungsi yang mngawtkan doubl-star jika dan hanya jika untuk stiap lintasan P 3, tuv, di G, f(x tuv),, f(x r tuv) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama dan f(tuvy ),, f(tuvy s ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, dimana x i N(t) \{u,v} untuk i r dan y j N v \{u,v} untuk j s Fungsi f mrupakan fungsi yang mngawtkan doubl star, jadi uv E(G), u v E(G ) Jika tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, maka ada sbuah lintasan P, xtuv S(tu), yang trhubung langsung dngan lintasan P di S(uv), misal tuvy Karna f mngawtkan doubl star, f(xtuv) f(s(tu)), maka ada titik-titik x lain yang trkait dngan t atau x i N(t), shingga f(x tuv), f(x 2 tuv),, f(x r tuv) mmpunyai sisi tngah brsama Bgitu juga dngan titik-titik y lain yang trkait dngan v dngan kata lain y j N v, shingga f(tuvy ),f(tuvy 2 ),, f(tuvy s ) juga mmpunyai sisi tngah brsama Misal uv sbarang sisi dari G dan misal tuvw, t uvw adalah dua lintasan P di S(uv) Akan dibdakan dalam kasus yaitu : Kasus : mpat titik t,t,w dan w adalah pasangan titik brbda 3
4 Dari kondisi ini, diktahui bahwa f(tuvw) dan f(tuvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama dan f(tuvw ) dan f(t uvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Maka f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sisi tngah brsama Kasus 2 : t = t atau w = w Dari kondisi ini, diktahui bahwa f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Kasus 3 : t = w ttapi t w atau t = w ttapi t w Dngan pmbuktian yang sama dngan kasus, bisa ditunjukkan bahwa f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sisi tngah brsama Kasus : t = w dan t = w Jika G dan G mmnuhi (), maka trdapat sbuah titik x N(u) \{t,v,t } Dari kondisi ini, diktahui bahwa f(tuvw) dan f(xuvw) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, f(xuvw) dan f(xuvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, dan f(xuvw ) dan f(t uvw ) mmpunyai sisi tngah brsama Maka f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Dngan mnjumlahkan kasus-kasus di atas, diktahui f(s(uv)) adalah sbuah doubl star dari G dngan kata lain fungsi f mrupakan fungsi yang mngawtkan doubl star Lmma 32 Misal f ( G, G') dan x tuv, x 2 tuv,tuvy srta tuvy 2 mrupakan mpat lintasan P dari G, maka f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sisi tngah brsama jika dan hanya jika f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sisi tngah brsama Diktahui bahwa x tuv, x 2 tuv, tuvy srta tuvy 2 mrupakan lintasan P di G dan f ( G, G') Fungsi f mrupakan fungsi bijktif, jlas bahwa f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sisi tngah brsama Misal tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, shingga ada sbuah lintasan P, xtuv S(tu), yang trhubung langsung dngan lintasan P di S(uv), misal tuvy Shingga f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) juga mmpunyai sisi tngah brsama Bgitu juga sbaliknya Lmma 33 f ( G, G') dan x tuv, x 2 tuv,tuvy srta tuvy 2 mrupakan mpat lintasan P dari G Jika f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak mmpunyai sisi tngah brsama maka f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mrupakan sbuah C di G x tuv, x 2 tuv,tuvy srta tuvy 2 mrupakan lintasan P di G Jlas bahwa x tuv, x 2 tuv mmpunyai sisi tngah brsama tu Jika pta dari kdua lintasan trsbut, f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak mmpunyai sisi tngah brsama maka f tidak mngawtkan doubl star Mnurut Lmma 32, f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) juga tidak mmpunyai sisi tngah brsama Shingga bisa disimpulkan lintasan P trsbut mmbntuk sikl C Torma 33 Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf f ( G, G') jika dan hanya jika f mrupakan fungsi yang dibangun olh sbuah isomorfisma sisi dari G k G, dngan kata lain P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika graf garis L(G) isomorfik k L(G ) Dari Torma 32, hanya prlu dibuktikan bahwa f dan f mngawtkan doubl star Karna G mmpunyai sifat yang sama sprti G, hanya prlu ditunjukkan bahwa f mngawtkan doubl star Bagian jika sudah jlas Maka akan dibuktikan bagian hanya jika Hanya prlu ditunjukkan bahwa f mmnuhi kondisi dari Lmma 3 Misal tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, x tuv,, x m tuv dan tuvy, tuvy n mnjadi lintasan P dari G, dngan x i N(t)\{u,v} untuk i m, y i N(v)\{u,t} untuk j n Jika G dan G mmnuhi kondisi (), maka m 2 dan n 2 Tanpa mnghilangkan prumuman, mngingat f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) Misal bahwa f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak
5 mmiliki sisi tngah brsama Brdasarkan Lmma 33, f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmbntuk sbuah C di G (dinotasikan C = abcda), katakan f(x tuv)=abcd, f(x 2 tuv)=cdab, f(tuvy )=bcda dan f(tuvy 2 )=dabc Karna G dan G mmnuhi kondisi (), maka ada 2 titik p,q N(x ) dan sbuah titik z N(u)\{v} sdmikian hingga px tu, qx tu dan x tuz adalah lintasan P di G Jika f(x tuv) dan f(x tuz) mmpunyai sisi tngah brsama, dan kduanya f(x tuv) dan f(x tuz) trhubung langsung k f(px tu), diktahui bahwa f(x tuv) dan f(x tuz) mmpunyai lintasan P 3 brsama, katakan saja abc, dan f(x tuz) = abcd Jadi f(x tuz) trhubung langsung k f(tuvy 2 ), ttapi x tuz tidak trhubung langsung dngan tuvy 2 di G, sbuah kontradiksi untuk fakta bahwa f ( G, G') Jika f(x tuv) dan f(x tuz) tidak mmpunyai sisi tngah brsama, brdasarkan Lmma 33, f(x tuv), f(x tuz), f(px tu) dan f(qx tu) mmbntuk sbuah sikl C di G (dinotasikan dngan C ) Jlas bahwa, C = C, jadi didapat f(x tuz) = f(x tuv), sbuah kontradiksi Maka f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sisi tngah brsama Dari Lmma 32, didapat bahwa f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Jika G dan G mmnuhi kondisi (2), akan dibdakan mnjadi 3 kasus dibawah ini : m 2 dan n 2 Tanpa mnghilangkan prumuman, mngingat f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) Misalkan bahwa f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak mmpunyai sisi tngah brsama Brdasarkan Lmma 33 f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmbntuk sbuah C di G, trjadi kontradiksi Maka f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, dan f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama 2 m= dan n 2 ( atau n= dan m 2) Jika m=, sisi tv harus lmn E(G) Karna G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf, trdapat dua titik p,q N(x ) dan titik z N(u)\ {t,v} sdmikian hingga px tu, qx tu dan x tuz adalah lintasan P di G Sbuah pmbuktian yang sama sprti kasus, yang mnunjukkan bahwa f(x tuv) dan f(x tuz) mmiliki sisi tngah brsama, dan f(px tu), f(qx tu) mmiliki sbuah sisi tngah brsama Misal f(x tuv)=abcd, f(px tu)=habc, f(qx tu)=kabc dan f(x tuz)=abc Karna kduanya f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) brhubungan langsung k f(x tuv) ttapi tidak dngan f(x tuz), maka f(tuvy )=bcdw dan f(tuvy 2 )=bcdw, dngan kata lain f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sisi tngah brsama 3 m= dan n= Karna graf G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf, trdapat dua titik p,q N(x ) dan titik z N(u)\ {t,v} sdmikian hingga px tu, qx tu dan x tuz adalah lintasan P di G Sbuah pmbuktian yang sama sprti kasus, yang mnunjukkan bahwa f(x tuv) dan f(x tuz) mmiliki sisi tngah brsama, dan f(px tu), f(qx tu) mmiliki sbuah sisi tngah brsama Karna f(tuvy ) brhubungan langsung dngan f(x tuv) shingga kduanya mmiliki lintasan P 3 yang sama di G Jlas bahwa x tuv dan tuvy mmpunyai sisi tngah brsama Dngan mnjumlahkan kasus-kasus diatas, dapat dibuktikan bahwa f adalah fungsi yang mngawtkan doubl star Torma 3 Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf f ( G, G') jika dan hanya jika f mrupakan fungsi yang dibangun olh sbuah isomorfisma dari G k G, dngan kata lain P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika G isomorfik k G Torma brikut mrupakan Torma 32 dalam Slctd Topics in Graph Thory [, 5
6 hal276] yang tlah dibuktikan olh R L Hmmingr dan L W Bink : G dan G graf trhubung, ttapi G dan G bukan graf sprti pada gambar yang ditunjukkan di bawah ini, stiap f adalah isomorfisma sisi dari G k G jika dan hanya dibangun olh sbuah isomorfisma dari G k G G G (i) Dari Torma 32 pada [], didapat bahwa stiap f isomorfisma dari G k G maka ada f yang mrupakan isomorfisma sisi dari G k G atau dngan kata lain jika GG maka L(G) L(G ) (ii) Dari Torma 33 didapat bahwa jika L(G) L(G ) maka P (G) P (G ) Shingga dari (i) dan (ii) didapat bahwa jika GG maka P (G) P (G ) (i) Dari Torma 33 didapat bahwa jika P (G) P (G ) maka L(G) L(G ) (ii) Dari torma 32 pada [], didapat bahwa stiap f yang mrupakan isomorfisma sisi maka f dibangun olh isomorfisma dari G k G atau dngan kata lain L(G) L(G ) maka GG Shingga dari (i) dan (ii) bisa disimpulkan bahwa jika P (G) P (G ) maka GG Akibat 3 Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf Maka pmtaan P mrupakan fungsi satusatu Dari Torma 3, didapat bahwa pmtaan P mrupakan pmtaan bijktif, shingga jlas bahwa pmtaan trsbut juga pmtaan satu-satu G G Lmma 3 Graf P tidak mmuat sgitiga Brdasarkan dfinisi 3, graf lintasan mrupakan graf yang himpunan titiknya k (G) dan himpunan sisi ε k (G) dngan sifat untuk sbarang H,K k (G) dngan H = x x 2 x 3 x k dan K = y y 2 y 3 y k trdapat sbuah sisi HK ε k (G) jika dan hanya jika x i = y i+ atau y i = x i+ untuk i k- Shingga dua buah titik akan trhubung dngan sbuah sisi jika titik-titik trsbut mmpunyai slisih satu sisi dari lintasan yang mnjadi lmn titik trsbut Jadi jlas bahwa graf P tidak mmuat sgitiga Andaikan graf P mmuat sgitiga (*) Misal X,Y,Z P (G), maka X= x x 2 x 3 x,y= y y 2 y 3 y, Z=z z 2 z 3 z Jika X brhubungan langsung dngan Y maka X akan brgsr satu titik k kanan atau Y brgsr satu titik k kiri Jika Y brhubungan langsung dngan Z maka Y juga akan brgsr satu titik k kanan dan bgitu pula sbaliknya Shingga antara X dan Z trdapat slisih atau gap 2 titik, dan tidak mungkin X akan brhubungan langsung dngan Z (trjadi kontradiksi dngan (*)) Jadi bnar bahwa graf P tidak mmuat sgitiga Torma 35 Graf trhubung G dikatakan isomorfik k graf lintasan P -nya jika dan hanya jika G mrupakan sbuah sikl dngan panjang minimal Misal G mmpunyai n titik Maka P (G) harus mmpunyai n titik juga Jadi G harus mmpunyai tpat n subgraf P Karna G trhubung, maka G mmpunyai sbuah pohon rntang T (mnurut Torma 2) Misal sbuah lintasan trpanjang di T mnjadi x x 2 x r- x r (r ) Jika d(x r- ) = m 3, misal N(x r- )\ {x r-2, x r} = {x r+, x r+2, x r+m-2} Jika T mrupakan tranformasi kdalam sbuah pohon T* dngan mmindahkan sisi-sisi akhir x r- x i dari x r-, dan mnambahkan itu k titik akhir x i-, i = 6
7 (a) r+,, r+m-2, kmudian banyaknya lintasan P di T* lbih rndah daripada di T dngan (d(x r- ) - 2)(d(x r-2 ) - 2), yang tidak ngatif Jika d(x r- ) = 2, misal T s mnjadi sbuah pohon bagian gantung dari x j, 3 j r-2, dan misal x adalah nighbor dari x j di T s Jika T mrupakan transformasi kdalam sbuah pohon T* dngan mmindahkan pohon bagian gantung T s dari x j dan mnambahkannya k titik akhir x r dari pohon hasil, maka banyaknya lintasan P di T* lbih rndah daripada di T dngan (d(x)- )(d(x j )- 2) + d(x j- ) + d(x j+ )-3, yang positif Dngan mngulang dua prubahan diatas, stiap pohon T bisa brubah k P n yang mmpunyai n-3 subgraf P Jika T tidak mmpunyai lbih dari n subgraf P, maka itu tidak mmpunyai sbuah titik x i dngan drajat 6 atau lbih di lintasan trpanjang x x 2 x r- x r (r ), untuk 3 i r-2, sprti prubahan diatas bisa mmprolh T kdalam sbuah P n dngan sbuah prubahan paling sdikit pada banyaknya lintasan P dan T, dan maka G akan mmiliki paling sdikit (n-)+ = n+ subgraf P Dngan cara yang sama, T tidak mmpunyai dua atau lbih titik x i dngan drajat atau 5, atau atau lbih titik dngan drajat 3 dilintasan trpanjang x x 2 x r- x r (r ), untuk 3 i r-2 Dan misal u mnjadi sbuah nighbor dari x i, 3 i r-2, maka d(u) 3 Jika d(u)=3, maka hanya ada satu titik dngna drajat 3 di {x i 3 i r-2} Susunan yang mungkin trsisa dari pohon rntang G: (d) Pada kasus (a), banyaknya subgraf P adalah sama dngan banyaknya titik P (G) mmuat titik trasing jika dua titik brhubungan langsung dari sbuah sisi yang trkait dngan dua sisi trakhir Dngan dasar dari graf P, bisa dilihat bahwa G tidak bisa mnjadi sbuah pohon Pada kasus (b) dan (c), sbuah sisi harus ditambahkan dngan sdikitnya n lintasan dngan panjang 3 untuk mndapatkan sbuah graf Akan ttapi, pada Lmma 3, maka sdikitnya ada 3 subgraf P yang ditambahkan n- atau n-2 titik yang ditunjukkan pada pohon rntang T dan P (G) mmpunyai sdikitnya n+ titik Pada kasus (d), pnambahan dari sbuah sisi utama pada sbuah graf tunggal G, karna sbaliknya itu trmasuk dalam kasus (b) atau (c) Ktika α 2 atau β 2, maka sdikitnya subgraf P yang ditambahkan n- 3 titik yang ditunjukkan pada pohon rntang T dan P (G) mmpunyai sdikitnya n+ titik Ktika α = dan β =, jika banyaknya titik yang brdrajat 3 adalah dua maka G mmuat n+3 subgraf P, dan jika banyaknya titik yang brdrajat 3 trsbut adalah satu maka G mmuat n+ subgraf P Satu kmungkinan yang trsisa adalah dngan mnambahkan satu sisi yang brhubungan langsung dngan dua titik akhir dari T, dan G adalah sbuah sikl dngan panjang minimal (b) Misalkan G = C n, n dngan V(C n ) = {v 0,v,v 2,v 3,, v n- } Untuk stiap i,0 i n,maka : X i = v i v i+ v i+2 v i+3 V(P C n ) dngan indks v diambil modulo n Karna 0 i n, maka V(P C n ) = n (c) Titik X i di P C n hanya brhubungan langsung dngan titik-titik : 7
8 X i+ = v i+ v i+2 v i+3 v i+ dan X i = v i v i v i+ v i+2 sdmikian shingga d P (C n ) X i = 2 ; i, 0 i n Dngan dmikian bisa disimpulkan P C n = C n Shingga didapat P (G) G 2 SARAN Dalam mmplajari lbih mndalam mngnai graf lintasan, P k (G) graf lintasan dngan k titik, k bsrta aplikasi yang trkait dapat mnjadi suatu inspirasi PENUTUP SIMPULAN Brdasarkan pmbahasan sblumnya, diprolh ksimpulan sbagai brikut : Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini: i Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) ii G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf maka, a P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika graf garis L(G) isomorfik k L(G ) b P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika G isomorfik k G c Pmtaan P mrupakan fungsi satusatu 2 Jika G sbuah graf maka P (G) tidak mmuat sgitiga 3 Hubungan isomorfis suatu graf G dan graf lintasan P (G) diprolh bahwa, G P (G) jika dan hanya jika graf G mrupakan sikl dngan panjang minimal DAFTAR PUSTAKA [] Budayasa, I Ktut, PhD(2007) Tori Graph dan Aplikasinya Surabaya Univrsity Prss, Univrsitas Ngri Surabaya [2] HJBrorsma and C Hod (989)Path graph J Graph Thory 3(2), pp27- [3] Li,Xuliang and Zhao B(997) Isomorphisms of P-graphs Australasian Journal of Combinatorics 5, pp35-3 [] R L Hmmingr and L W Bink(978) Lin graphs and lin digraphs, in: Slctd Topics in Graph Thory (Eds L W Bink and R J Wilson), pp Acadmic prss, London [5] Witno,Amin(2006)Graph Thory WON Sris in Discrt Mathmatics and Modrn Algbra vol [Onlin] ts/wonpdf) [Diakss: 2 Mi 202] 8
II. LANDASAN TEORI. digunakan sebagai landasan teori pada penelitian ini. Teori dasar mengenai graf
II. LANDASAN TEORI 2.1 Konsp Dasar Graf Pada bagian ini akan dibrikan konsp dasar graf dan dimnsi partisi graf yang digunakan sbagai landasan tori pada pnlitian ini. Tori dasar mngnai graf yang akan digunakan
Lebih terperinciKARAKTERISASI ELEMEN IDEMPOTEN CENTRAL
Jurnal Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) KAAKTEISASI ELEMEN IDEMPOTEN CENTAL HENY W M PATTY, ELVINUS ICHAD PESULESSY, UDI WOLTE MATAKUPAN 3,,3 Staf Jurusan Matmatika FMIPA UNPATTI Jl Ir M Putuhna, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciFUNGSI DOMINASI ROMAWI PADA LINE GRAPH
Bultin Ilmiah Mat. Stat. dan Trapannya (Bimastr) Volum 04, No. 2 (2015), hal 119 126. FUNGSI DOMINASI ROMAWI PADA LINE GRAPH Ysi Januarti, Mariatul Kiftiah, Nilamsari Kusumastuti INTISARI Himpunan D disbut
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI ANTI AJAIB SUPER (PTSAAS) PADA GABUNGAN GRAF BINTANG GANDA DAN LINTASAN
JIMT ol. 9 No. 1 Juni 01 (Hal. 16 8) Jurnal Ilmiah Matmatika dan Trapan ISSN : 450 766X PELABELAN TOTAL SISI ANTI AJAIB SUPER (PTSAAS) PADA GABUNGAN GRAF BINTANG GANDA DAN LINTASAN Nurainun 1, S. Musdalifah,
Lebih terperinciOnline Jurnal of Natural Science, Vol.3(1): ISSN: March 2014
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF ULAT BULU DAN BIPARTITE LENGKAP I W. Sudarsana 1, Fitria and S. Musdalifah
Lebih terperinciPELABELAN PRIME CORDIAL UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI YANG DIPERUMUM
JIMT Vol. 4 No. Juni 07 (Hal 56-69) ISSN : 450 766X PELABELAN PRIME CORDIAL UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI YANG DIPERUMUM S.Pranata, I. W. Sudarsana dan S.Musdalifah 3,,3 Program Studi Matmatika Jurusan
Lebih terperinciOPERASI GABUNGAN, JOIN, KOMPOSISI DAN HASIL KALI KARTESIAN PADA GRAF FUZZY SERTA KOMPLEMENNYA. Tina Anggitta Novia 1 dan Lucia Ratnasari 2
OPERASI ABUNAN JOIN KOMPOSISI DAN HASIL KALI KARTESIAN PADA RAF FUZZY SERTA KOMPLEMENNYA Tina Anggitta Novia Lucia Ratnasari Program Studi Matmatika FMIPA UNDIP Jl Prof Sodarto SH Smarang 5075 Abstract
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 7
Mata Kuliah : Matmatika Diskrit Program Studi : Tknik Informatika Minggu k : 7 MATRIK GRAPH Sbuah graph dapat kita sajikan dalam bntuk matrik, yaitu : a. Matrik titik (Adjacnt Matrix) b. Matrik rusuk (Edg
Lebih terperinciAplikasi Integral. Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan
Aplikasi Intgral Intgral dapat diaplikasikan k dalam banyak hal. Dari yang sdrhana, hingga aplikasi prhitungan yang sangat komplks. Brikut mrupakan aplikasi-aplikasi intgral yang tlah diklompokkan dalam
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagan n akan dbrkan konsp dasar graf dan blangan kromatk lokas pada suatu graf sbaga landasan tor pada pnltan n 21 Konsp Dasar Graf Bbrapa konsp dasar yang dgunakan dalam pnltan
Lebih terperinciPembahasan Soal. Pak Anang SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Disusun Oleh :
Pmbahasan Soal SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disrtai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Disusun Olh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pmbahasan Soal SIMAK UI 2011 Matmatika
Lebih terperinciBAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM
BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM Aplikasi modl matmatika banyak muncul dalam brbagai disiplin ilmu pngtahuan, sprti isika, kimia, konomi, prsoalan rkayasa (tknik msin, sipil, lktro). Modl matmatika yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mngnai tori dan trminologi graph, yaitu bntuk-bntuk khusus suatu graph. Di sini uga akan dilaskan mngnai minimum spanning tr, pmrograman 0-, dan aplikasi
Lebih terperinciHASIL DAN PEMBAHASAN. Gambar 3 Proses penentuan perilaku api.
6 yang diharapkan. Msin infrnsi disusun brdasarkan stratgi pnalaran yang akan digunakan dalam sistm dan rprsntasi pngtahuan. Msin infrnsi yang digunakan dalam pngmbangan sistm pakar ini adalah FIS. Implmntasi
Lebih terperinciTeori graf. Graf digunakan untuk merepresentasikan objekobjek dan hubungan antara objek-objek tersebut.
06//0 Tori graf Sumiyatun, S.Kom Pndahuluan Graf digunakan untuk mrprsntasikan objkobjk dan hubungan antara objk-objk trsbut. Gambar di bawah ini sbuah graf yang mnyatakan pta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciOleh : Bustanul Arifin K BAB IV HASIL PENELITIAN. Nama N Mean Std. Deviation Minimum Maximum X ,97 3,
Kpdulian trhadap sanitasi lingkungan diprdiksi dari tingkat pndidikan ibu dan pndapatan kluarga pada kluarga sjahtra I klurahan Krtn kcamatan Lawyan kota Surakarta Olh : Bustanul Arifin K.39817 BAB IV
Lebih terperinciMinggu Ke XII Matriks dan Graf
Minggu K XII. Matriks dan Graf Misal G adalah graf dngan titik-titik,,,., dan garis-garis,,,, n. Kadang-kadang dngan praktis khususnya untuk alasan-alasan prhitungan, dapat mngganti G dngan suatu matriks.
Lebih terperinciIntegral Fungsi Eksponen, Fungsi Trigonometri, Fungsi Logaritma
Modul Intgral Fungsi Eksponn, Fungsi Trigonomtri, Fungsi Logaritma Dr. Subanar D PENDAHULUAN alam mata kuliah Kalkulus I Anda tlah mngnal bahwa intgrasi adalah pross balikan dari difrnsiasi. Jadi untuk
Lebih terperinciAnalisis Rangkaian Listrik
Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Mnggunakan Transformasi Fourir - Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4) BAB Analisis Rangkaian Mnggunakan Transformasi Fourir Dngan pmbahasan
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah METODE-METODE DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
Ringkasan atri Kuliah ETODE-ETODE DASAR PERSAAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Pndahuluan Prsamaan dirnsial adalah prsamaan ang mmuat turunan satu atau bbrapa) ungsi ang takdiktahui skipun prsamaan sprti itu harusna
Lebih terperinciPENENTUAN POLA - POLA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE ENAM TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA GARIS 5. (Skripsi) Oleh SITI FATIMAH
PENENTUAN POLA - POLA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE ENAM TANPA GARIS PARALEL DENGAN BANYAKNYA GARIS 5 (Skripsi) Olh SITI FATIMAH FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR
Lebih terperinciUJI KESELARASAN FUNGSI (GOODNESS-OF-FIT TEST)
UJI CHI KUADRAT PENDAHULUAN Distribusi chi kuadrat mrupakan mtod pngujian hipotsa trhadap prbdaan lbih dari proporsi. Contoh: manajr pmasaran suatu prusahaan ingin mngtahui apakah prbdaan proporsi pnjualan
Lebih terperinciBab 1 Ruang Vektor. I. 1 Ruang Vektor R n. 1. Ruang berdimensi satu R 1 = R = kumpulan bilangan real Menyatakan suatu garis bilangan;
Bab Ruang Vktor I. Ruang Vktor R n. Ruang brdimnsi satu R = R = kumpulan bilangan ral Mnyatakan suatu garis bilangan; -3 - - 0. Ruang brdimnsi dua R = bidang datar ; Stiap vktor di R dinyatakan sbagai
Lebih terperinci8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik
8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 8.. Fungsi Logarithma Natural. Sudaratno Sudirham Dfinisi. Logaritma natural adalah logaritma dngan mnggunakan basis bilangan. Bilangan ini, sprti halna
Lebih terperinciMETODE ITERASI KELUARGA CHEBYSHEV-HALLEY UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Yuli Syafti Purnama 1 ABSTRACT
METODE ITERASI KELUARGA CHEBYSHEV-HALLEY UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Yuli Syafti Purnama Mahasiswa Program Studi S Matmatika Fakultas Matmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam Univrsitas Riau Kampus
Lebih terperinciMETODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR E. Yuliani, M. Imran, S. Putra Mahasiswa Program Studi S Matmatika Laboratorium Matmatika Trapan, Jurusan
Lebih terperinciPada gambar 2 merupakan luasan bidang dua dimensi telah mengalami regangan. Salah satu titik yang menjadi titik acuan adalah titik P.
nurunan Kcpatan Glombang dan Glombang S Glombang sismik mrupakan gtaran yang mrambat pada mdium batuan dan mnmbus lapisan bumi. njalaran mnybabkan dformasi batuan.strss atau tkanan didfinisikan gaya prsatuan
Lebih terperinciDeret Fourier, Transformasi Fourier dan DFT
Drt Fourir, Transformasi Fourir dan DFT A. Drt Fourir Drt fourir adalah drt yang digunakan dalam bidang rkayasa. Drt ini prtama kali ditmukan olh sorang ilmuan prancis Jan-Baptist Josph Fourir (1768-18).
Lebih terperinciBab 6 Sumber dan Perambatan Galat
Mtod Pnlitian Suradi Sirgar Bab 6 Sumbr dan Prambatan Galat 6. Sumbr galat. Data masukan, misal hasil pngukuran (galat bawaan). Slama komputasi (galat pross), galat ang timbul akibat komputasi 3. Galat
Lebih terperinciAnalisis Dinamis Portal Bertingkat Banyak Multi Bentang Dengan Variasi Tingkat (Storey) Pada Tiap Bentang
Analisis Dinamis Portal Brtingkat Banyak Multi Bntang Dngan Variasi Tingkat (Story) Pada Tiap Bntang Hiryco Manalip Rky Stnly Windah Jams Albrt Kaunang Univrsitas Sam Ratulangi Fakultas Tknik Jurusan Sipil
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA KELOMPOK UMUR, JENIS KELAMIN DAN JENIS PEKERJAAN PADA PENDERITA HIV/AIDS DI KABUPATEN BANYUMAS
18Novmbr 17 Tma 7: Ilmu-Ilmu Murni (Matmatika, Fisika, Kimia dan Biologi) HUBUNGAN ANTARA KELOMPOK UMUR, JENIS KELAMIN DAN JENIS PEKERJAAN PADA PENDERITA HIV/AIDS DI KABUPATEN BANYUMAS Olh Agung Prabowo
Lebih terperinciPENENTUAN RUTE TERPENDEK DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA CHEAPEST INSERTION HEURISTIC (STUDI KASUS: PT.
Bultin Ilmiah Math. Stat. dan Trapannya (Bimastr) Volum 04, No. 3 (2015), hal 295 304. PENENTUAN RUTE TERPENDEK DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA CHEAPEST INSERTION HEURISTIC (STUDI KASUS: PT. Wicaksana Ovrsas
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Data penelitian diperoleh dari siswa kelas XII Jurusan Teknik Elektronika
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. DESKRIPSI DATA Data pnlitian diprolh dari siswa klas XII Jurusan Tknik Elktronika Industri SMK Ma arif 1 kbumn. Data variabl pngalaman praktik industri, kmandirian
Lebih terperinciMODUL PERKULIAHAN REKAYASA FONDASI 1. Penurunan Tanah pada Fondasi Dangkal. Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
MODUL PERKULIAHAN REKAYASA FONDASI 1 Pnurunan Tanah pada Fondasi Dangkal Fakultas Program Studi Tatap Muka Kod MK Disusun Olh Tknik Prnanaan Tknik A41117AB dan Dsain Sipil 9 Abstrat Modul ini brisi bbrapa
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde I
Univrsitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputr Tknik Informatika Prsamaan Difrnsial Ord I Dfinisi Prsamaan Difrnsial Prsamaan difrnsial adalah suatu prsamaan ang mmuat satu atau lbih turunan fungsi
Lebih terperinciPertemuan XIV, XV VII. Garis Pengaruh
ahan jar Statika ulyati, ST., T rtmuan X, X. Garis ngaruh. ndahuluan danya muatan hidup yang brgrak dari satu ujung k ujung lain pada suatu konstruksi disbut bban brgrak. isalkan ada sbuah kndaraan mlalui
Lebih terperinciMuatan Bergerak. Muatan hidup yang bergerak dari satu ujung ke ujung lain pada suatu
Muatan rgrak Muatan hidup yang brgrak dari satu ujung k ujung lain pada suatu konstruksik disbut bb bban brgrak Sbuah kndaraan mlalui suatu jmbatan, maka akan timbul prubahanbh nilai i raksi kimaupun gaya
Lebih terperinciTransformasi Satu Peubah Acak (Lanjutan) Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2016
Transformasi Satu Pubah Acak (Lanjutan) Dr. Kusman Sadik, M.Si Dpartmn Statistika IPB, 06 Transformasi Pubah Acak (Lanjutan) B. Mtod Pnggantian Pubah Mtod ini mrupakan pngmbangan dari mtod fungsi sbaran.
Lebih terperinciTransformasi Satu Peubah Acak (Bagian II) Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2017
Transformasi Satu Pubah Acak Bagian II) Dr. Kusman Sadik, M.Si Dpartmn Statistika IPB, 07 Transformasi Pubah Acak Lanjutan) B. Mtod Pnggantian Pubah Mtod ini mrupakan pngmbangan dari mtod fungsi sbaran.
Lebih terperinciROKET AIR SMA NEGERI 21 MAKASSAR
ALAT PERAGA FISIKA ROKET AIR SMA NEGERI 21 MAKASSAR I. PENDAHULUAN 1. Latar Blakang Trkadang di waktu snggang srang siswa tatkala kbanyakan mrka mnggunakannya untuk brmalas-malasan, mlakukan hal yang tak
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR 2.1 Pengertian Pasang Surut
BAB II TEORI DASAR 2.1 Pngrtian Pasang Surut Pasang surut air laut (pasut) adalah pristiwa naik turunnya muka air scara priodik dngan rata-rata priodnya 12,4 jam (di bbrapa tmpat 24,8 jam) (Pond dan Pickard,
Lebih terperinciDebuging Program dengan EasyCase
Modul asyc 1 Dbuging Program dngan EasyCas Di susun Olh : Di dukung olh : Portal dukasi Indonsia Opn Knowlodg and Education http://ok.or.id Modul asyc 2 KATA PENGANTAR Puji syukur kpada guru sjatiku Gusti
Lebih terperinciTINJAUAN ULANG EKSPANSI ASIMTOTIK UNTUK MASALAH BOUNDARY LAYER
TINJAUAN ULANG EKSPANSI ASIMTOTIK UNTUK MASALAH BOUNDARY LAYER HannaA Parhusip Cntr of Applid Mathmatics Program Studi Matmatika Industri dan Statistika Fakultas Sains dan Matmatika Univrsitas Kristn Sata
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Blakang Di dalam dunia bisnis yang smakin ktat saat ini prusahaan dituntut untuk mmiliki banyak kunggulan komptitif agar dapat brsaing dngan yang lainnya. Maka dari itu, prusahaan
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI e/m ELEKTRON
Pnntuan Nilai E/m Elktron 013 PENENTUAN NILAI /m ELEKTRON Intan Masruroh S, Anita Susanti, Rza Ruzuqi, Zaky Alam Laboratorium Fisika Radiasi, Dpartmn Fisika Fakultas Sains Dan Tknologi, Univrsitas Airlangga
Lebih terperinci1. Proses Normalisasi
BAB IV PEMBAHASAN A. Pr-Procssing Pross pngolahan signal PCG sblum dilakukan kstaksi dan klasifikasi adalah pr-procssing. Signal PCG untuk data training dan data tsting trdapat dalam lampiran 5 (halaman
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. MICRO BUBBLE GENERATOR Micro Bubbl Gnrator (MBG) mrupakan suatu alat yang difungsikan untuk mnghasilkan glmbung udara dalam ukuran mikro, yaitu glmbung dngan diamtr 00 μm []. Aplikasi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. berbagai macam seperti gambar dibawah (Troitsky M.S, 1990).
BAB II TINJAUAN USTAKA 2.1 Struktur Rangka Baja Extrnal rstrssing Scara toritis pningkatan kkuatan pada rangka baja untuk jmbatan dapat dilakukan dngan pmasangan prkuatan pratkan kstrnal pada rangka trsbut.
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciTransformasi Peubah Acak (Lanjutan)
Dpt. Statistika IPB, 0 Transormasi Pubah Acak Lanjutan B. Mtod Pnggantian Pubah Mtod ini mrupakan pngmbangan dari mtod ungsi sbaran. Misalkan diktahui kp bagi p.a. adalah x. Jika didinisikan p.a. lainna
Lebih terperinciFUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK BAB I FUNGSI EKSPONEN
BAB I FUNGSI EKSPONEN Dfinisi Fungsi ksponn aalah fungsi f yang mnntukan k. Rumusnya ialah f(. Fungsi ksponn ngan pubah bbas + yi ( an y bilangan ral aalah (cos y + i sin y. Dari finisi ini, jika : y 0
Lebih terperinciTinjauan Termodinamika Sistem Partikel Tunggal Yang Terjebak Dalam Sebuah Sumur Potensial. Oleh. Saeful Karim
Tinjauan Trmodinamika Sistm artikl Tunggal Yang Trjbak Dalam Sbua Sumur otnsial Ol Saful Karim Jurusan ndidikan Fisika Fakultas ndidikan Matmatika dan Ilmu ngtauan Alam Univrsitas ndidikan Indonsia 00
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN KEPUSTAKAAN
BAB II TINJAUAN KEPUTAKAAN II.1 PENDAHULUAN Yild lin adalah suatu pmcahan yang dapat digunakan dalam plat bton dimana trjadinya tgangan llh dan rotasi scara plastis muncul. Tori ini dapat digunakan dalam
Lebih terperinciRANCANG BANGUN PATCH RECTANGULAR ANTENNA 2.4 GHz DENGAN METODE PENCATUAN EMC (ELECTROMAGNETICALLY COUPLED)
RANCANG BANGUN PATCH RECTANGULAR ANTENNA 2.4 GHz DENGAN METODE PENCATUAN EMC (ELECTROMAGNETICALLY COUPLED) Winny Friska Uli,Ali Hanafiah Ramb Konsntrasi Tknik Tlkomunikasi, Dpartmn Tknik Elktro Fakultas
Lebih terperinciIV. HASIL DAN PEMBAHASAN
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN A. KARAKTERISTIK MUTU DAN REOLOGI CPO AWAL Minyak sawit kasar (crud palm oil/cpo) mrupakan komoditas unggulan Indonsia yang juga brpran pnting dalam prdagangan dunia. Mngingat
Lebih terperinciTURUNAN RANGKUMAN MATERI. '( x) lim. '( x) lim lim 0. Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan sebagai berikut. f (x+h) f (x) x x + h
TURUNAN RANGKUMAN MATERI Turunan fungsi f() traap ifinisikan sbagai brikut f f ( ) f ( ) '( ) lim 0 f (+) f () + Scara gomtri turunan fungsi i = mrupakan grain/kmiringan kurva fungsi trsbut i =. Torma:
Lebih terperinciBAB III TEORI DASAR ANTENA SLOT DAN ANTENA ARRAY
BAB III TEORI DASAR ATEA SLOT DA ATEA ARRAY 3. Antna Slot Slot antna biasanya digunakan pada frkunsi antara 300 MHz dan 4 GHz. Antna ini sangat populr karna dapat dipotong dan dipasang pada prmukaan apapun,
Lebih terperinciBAB 3 METODOLOGI PERANCANGAN. 35 orang. Setiap orang diambil sampel sebanyak 15 citra wajah dengan
BAB 3 METODOLOGI PERANCANGAN 3.1 Input Data Citra Wajah Pada pnlitian ini, digunakan sbanyak 525 citra ajah yang trdiri dari 35 orang. Stiap orang diambil sampl sbanyak 15 citra ajah dngan pncahayaan yang
Lebih terperinciTinjauan Termodinamika Pada Sistem Partikel Tunggal Yang Terjebak Dalam Sebuah Sumur Potensial
injauan rmodinamika ada Sistm artikl unggal Yang rjbak Dalam Sbua Sumur otnsial Dngan mngmbangkan ubungan trmodinamik yang sdrana untuk pngumpulan partikl yang tunggal yang ditmpatkan pada dara potnsial.
Lebih terperinciPENERAPAN MIN PLUS ALGEBRA PADA PENENTUAN RUTE TERCEPAT DISTRIBUSI SUSU
J. Math. and Its ppl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 829-605X Vol. 4, No. 2, Dsmbr 207, 5-24 PENERPN MIN PLUS LGEBR PD PENENTUN RUTE TERCEPT DISTRIBUSI SUSU Vivi Suwanti, Poht Bintoto 2, Riski Nur Istiqomah
Lebih terperincimodel pengukuran yang menunjukkan ukur Pengukuran dalam B. Model Mode sama indikator dan 1 Pag
Modl Modl Pngukuran dalam Pmodlan Prsamaan Struktural Wahyu Widhiarso Fakultas Psikologi UGM Tulisan ini akan mmbahas bbrapa modl dalam SEM yang unik. Dikatakan unik karna jarang dipakai. Tulisan hanya
Lebih terperinciPENGGUNAAN JARINGAN SYARAF TIRUAN UNTUK PENGKLASIFIKASIAN STATUS GIZI SKRIPSI. Oleh: INDA SAFITRI NIM
PENGGUNAAN JARINGAN SYARAF TIRUAN UNTUK PENGKLASIFIKASIAN STATUS GIZI SKRIPSI Olh: INDA SAFITRI NIM. 065009 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
Lebih terperinciModifikasi Analytic Network Process Untuk Rekomendasi Pemilihan Handphone
Modifikasi Analytic Ntwork Procss Untuk Rkomndasi Pmilihan Handphon Fry Dwi Hrmawan Jurusan Informatika Fakultas MIPA, Univrsitas Sblas Mart Surakarta frydh@yahoocom Ristu Saptono Jurusan Informatika Fakultas
Lebih terperinciMODEL PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN MEMPERTIMBANGKAN MASA KADALUARSA DAN PENURUNAN HARGA JUAL
ISSN : 407 846 -ISSN : 460 846 MODEL PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN MEMPERTIMBANGKAN MASA KADALUARSA DAN PENURUNAN HARGA JUAL Chrish Rikardo *, Taufik Limansyah, Dharma Lsmono Magistr Tknik Industri,
Lebih terperinciANALISIS KINERJA STRUKTUR PADA BANGUNAN BERTINGKAT BERATURAN DAN KETIDAK BERATURAN HORIZONTAL SESUAI SNI
ANALISIS KINERJA STRUKTUR PADA BANGUNAN BERTINGKAT BERATURAN DAN KETIDAK BERATURAN HORIZONTAL SESUAI SNI 03-1726-2012 Hotma L Purba Jurusan Tknik Sipil,Univrsitas Sriwijaya Korspondnsi pnulis : hotmapurba@hotmail.com
Lebih terperinciPemodelan Faktor-faktor yang Mempengaruhi Prestasi Mahasiswa Pasca Sarjana ITS dengan Regresi Logistik dan Neural Network
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol., No., (Spt. 202) ISSN: 230-928X D-36 Pmodlan Faktor-faktor yang Mmpngaruhi Prstasi Mahasiswa Pasca Sarjana ITS dngan Rgrsi Logistik dan Nural Ntwork Wijdani Anindya Hadi
Lebih terperinciANALISA PENGARUH PACK CARBURIZING MENGGUNAKAN ARANG MLANDING UNTUK MENINGKATKAN SIFAT MEKANIS SPROKET SEPEDA MOTOR SUZUKI
Analisa Pngaruh Pack Carburizing Mnggunakan Arang Mlanding (Mas ad dkk.) ANALISA PENGARUH PACK CARBURIZING MENGGUNAKAN ARANG MLANDING UNTUK MENINGKATKAN SIFAT MEKANIS SPROKET SEPEDA MOTOR SUZUKI Mas ad,
Lebih terperinciMINAT SISWA TERHADAP EKSTRAKURIKULER OLAHRAGA BOLA VOLI DI SMA N 2 KABUPATEN PACITAN
Artikl Skripsi MINAT SISWA TERHADAP EKSTRAKURIKULER OLAHRAGA BOLA VOLI DI SMA N 2 KABUPATEN PACITAN SKRIPSI Diajukan Untuk Mmnuhi Sbagian Syarat Guna Mmprolh Glar Sarjana Pndidikan (S.Pd.) Pada Jurusan
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciGambar IV.6. Gambaran kontur bidang sesar yang menggambarkan bentuk ramp-flat-ramp pada border fault di Sub-cekungan Kiri.
Pada pta struktur waktu (Gambar IV.4) trlihat bntuk ssar utama yang cukup unik dibagian tngah. Bntuk ini dipngaruhi olh konfigurasi Batuan Dasar yang dihasilkan olh struktur brumur Pra-Trsir. Pada pta
Lebih terperinciPENGEMBANGAN BAHAN AJAR FISIKA BERBASIS MASALAH UNTUK MENUMBUHKAN HIGHER ORDER THINKING SKILL (HOTS) SISWA KELAS X POKOK BAHASAN FLUIDA STATIS
PENGEMBANGAN BAHAN AJAR FISIKA BERBASIS MASALAH UNTUK MENUMBUHKAN HIGHER ORDER THINKING SKILL (HOTS) SISWA KELAS X POKOK BAHASAN FLUIDA STATIS Siti Ainur Rohmah, Sutarman dan Lia Yuliati Jurusan Fisika,
Lebih terperinciPERKEMBANGAN TEORI ATOM & PENEMUAN PROTON, NEUTRON, ELEKTRON. Putri Anjarsari, S.Si., M.Pd
PERKEMBANGAN TEORI ATOM & PENEMUAN PROTON, NEUTRON, ELEKTRON Putri Anjarsari, S.Si., M.Pd putri_anjarsari@uny.ac.id PERKEMBANGAN TEORI ATOM Dmokritus Dalton Thomson Ruthrford Bohr Mkanika glombang Dmokritus
Lebih terperinciBAB IV KEADAAN/KONDISI PEMONDOKAN DAN KEBERADAAN MAHASISWA DI PEMONDOKAN MARGOSARI
BAB IV KEADAAN/KONDISI PEMONDOKAN DAN KEBERADAAN MAHASISWA DI PEMONDOKAN MARGOSARI Pada bab ini akan dipaparkan scara singkat tntang gambaran umum kbradaan sklompok mahasiswa pada sbuahindkos ataupmondokan
Lebih terperinciIDE - IDE DASAR MEKANIKA KUANTUM
IDE - IDE DASAR MEKANIKA KUANTUM A. Radiasi Bnda Hitam 1. Hasil-Hasil Empiris Gambar 1. Grafik fungsi radiasi spktral bnda hitam smpurna a. Hukum Stfan Hukum Stfan dapat dituliskan sbagai total = f df
Lebih terperinciPengembangan Modul Berbasis Pendekatan Saintifik..
Pngmbangan Modul Brbasis Pndkatan Saintifik.. PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS PENDEKATAN SAINTIFIK PADA KD 3.8 MENDESKRIPSIKAN PASAR MODAL DALAM PEREKONOMIAN KELAS XI IPS SMAN 1 MOJOKERTO Putri Fbrina Kasaomada
Lebih terperinciPENDEKATAN NUMERIK FUNGSI GAMMA UNTUK PERHITUNGAN LEVY FLIGHT PADA ALGORITMA CUCKOO SEARCH
Sminar Nasional Matmatika dan Aplikasinya, Oktobr 07 PENDEKATAN NUMERIK FUNGSI GAMMA UNTUK PERHITUNGAN LEVY FLIGHT PADA ALGORITMA CUCKOO SEARCH Eto Wuryanto ), Dyah Hrawati ), Kartono 3), Rimuljo Hradi
Lebih terperinciPresentasi 2. Isi: Solusi Persamaan Diferensial pada Saluran Transmisi
Prsntasi Isi: Solusi Prsamaan Difrnsial pada Saluran Transmisi Rprsntasi sinyal dalam bntuk phasor Pmikiran Dasar Sinyal harmonis mudah untuk diturunkan dan diintgralkan Smua sinyal fungsi waktu bisa dirprsntasikan
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciFisika Dasar II Listrik, Magnet, Gelombang dan Fisika Modern
Fisika Dasar II Listrik, Magnt, Glombang dan Fisika Modrn Pokok Bahasan Mdan Listrik dan Dipol Listrik Abdul Waris Rizal Kurniadi Novitrian Sparisoma Viridi Mdan Listrik Artinya daripada ini... Mrka lbih
Lebih terperinciBAB 2 DISTRIBUSI INDUK DAN DISTRIBUSI SAMPEL
BAB DISTRIBUSI IDUK DA DISTRIBUSI SAMEL.. EDAHULUA Jika suatu bsaran mmiliki nilai ssungguhnya sdangkan hasil ukurnya adalah maka kita mngharapkan hasil pngamatan mndkati, namun knyataannya tidak slalu
Lebih terperinciSAMBUNGAN BALOK PENDUKUNG MOMEN
BAB VI SABUNGAN BALOK ENDUKUNG OEN 1. TUJUAN ERKULIAHAN A. TUJUAN UU ERKULIAHAN (TU) Stlah mmplajari matri tntang sambungan balok pndukung momn, scara umum anda diharapkan : 1. ampu mnjlaskan pngrtian
Lebih terperinciBAB 2 DASAR TEORI 2.1 TEORI GELOMBANG LINIER. Bab 2 Teori Dasar
BAB 2 DASAR TEORI Glombang air mrupakan manifstasi dari suatu rambatan nrgi yang mmiliki frkunsi dan priod. Glombang air yang trjadi di laut dapat disbabkan olh angin, grakan kapal, gmpa atau gaya gravitasi
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Semoga laporan ini bermanfaat. Jakarta, Februari 2015 Kepala Biro Perencanaan, Pengawasan,dan Kerja Sama. Hartoyo
KATA PENGANTAR Sgala puji kpada Allah SWT, karna atas rahmat-nya, Biro Prncanaan, Pngawasan, dan Krja Sama, Ombudsman RI dapat mlaksanakan sluruh tugas dan fungsi pada tahun 2015 dngan baik. Laporan Akuntabilitas
Lebih terperinciPROFIL DATA PENGOBATAN DALAM USADA TENUNG TANYALARA
PROFIL DATA PENGOBATAN DALAM USADA TENUNG TANYALARA Wahyuni, N.N.S 1, Warditiani, N.K. 1, Lliqia, N.P.E. 1 1 Jurusan Farmasi Fakultas Matmatika Dan Ilmu Pngtahuan Alam Univrsitas Udayana Korspondnsi: Ni
Lebih terperinciBAB 4 MODEL MATEMATIKA PENGARUH TERAPI OBAT TERHADAP DINAMIKA VIRUS HIV DALAM TUBUH
BAB 4 MODEL MATEMATIKA PENGARUH TERAPI OBAT TERHADAP DINAMIKA VIRUS HIV DALAM TUBUH Sjak bbrapa ahun yang lalu, ilmuwan asal Amrika Marin Nowak dan Sbasian Bonhoffr mncoba mmplo daa dari pnliian oba ani-hiv.
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Invrs Fungsi Misalkan : D R! y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
Lebih terperinciBAB V DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
BAB V DISTRIBUSI ROBABILITAS DISKRIT 5.. Distribusi Uniform Disrit Bila variabl aca X mmilii nilai,,... dngan probabilitas yang sama, maa distribusi uniform disrit dinyataan sbagai: f (, ) ;,,... paramtr
Lebih terperinciANALISIS NOSEL MOTOR ROKET RX LAPAN SETELAH DILAKUKAN PEMOTONGAN PANJANG DAN DIAMETER
Analisis Nosl Motor Rokt RX-1 LAPAN... (Ahmad Jamaludin Fitroh, Sari) ANALISIS NOSEL MOTOR ROKET RX - 1 LAPAN SETELAH DILAKUKAN PEMOTONGAN PANJANG DAN DIAMETER Ahmad Jamaludin Fitroh, Sari Pnliti Pnliti
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Fungsi Invrs Misalkan : D R a y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
Lebih terperinciRELEVANSI SIKAP ILMIAH SISWA DENGAN KONSEP HAKIKAT SAINS DALAM PELAKSANAAN PERCOBAAN PADA PEMBELAJARAN IPA DI SDN KOTA BANDA ACEH
70 RELEVANSI SIKAP ILMIAH SISWA DENGAN KONSEP HAKIKAT SAINS DALAM PELAKSANAAN PERCOBAAN PADA PEMBELAJARAN IPA DI SDN KOTA BANDA ACEH Olh Sardinah, Tursinawati, dan Anita Noviyanti Abstrak: Hakikat sains
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciMODEL PENGENALAN POLA : KASUS PEMILAHAN WARNA SUARA SARON DAN BONANG PADA GAMELAN JAWA
MODEL PEGEALA POLA : KASUS PEMILAHA WARA SUARA SARO DA BOAG PADA GAMELA JAWA Sumarna #1, Risanuri Hidayat, Ph. D. *2 # Mahasiswa Pasca Sarjana Jurusan Tknik Elktro FT UGM *Dosn Pasca Sarjana Jurusan Tknik
Lebih terperinciANALISIS LOG-LOGISTIK UNTUK MENGGAMBARKAN HUBUNGAN DOSIS-RESPON HERBISIDA PADA TIGA JENIS GULMA
ANALISIS LOG-LOGISTIK UNTUK MENGGAMBARKAN HUBUNGAN DOSIS-RESPON HERBISIDA PADA TIGA JENIS GULMA Olh : Yanti Muliyaningsih G40026 PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. fungsi dari faktor produksi adalah fungsi dari modal (capital) dan tenaga kerja
BAB II TINJAUAN USTAKA 2.1. Landasan Tori 2.1.1. nawaran Agrgat nawaran Agrgat atau Aggrgat Supply adalah jumlah total dari barang dan jasa yang ditawarkan dalam suatu prkonomian pada tingkat harga. Modl
Lebih terperinciMODEL PENGENALAN POLA : KASUS PEMILAHAN WARNA SUARA SARON DAN BONANG PADA GAMELAN JAWA. Abasrak
MODEL PENGENALAN POLA : KASUS PEMILAHAN WARNA SUARA SARON DAN BONANG PADA GAMELAN JAWA Sumarna #, Risanuri Hidayat * # Dosn Jurusan Pndidikan Fiaika FMIPA UNY, (sumarna@uny.ac.id) *Dosn Pasca Sarjana Jurusan
Lebih terperinciANALISIS PERPINDAHAN PANAS KONVEKSI PAKSA NANOFLUIDA AIR-Al2O3 DALAM SUB-BULUH VERTIKAL SEGIENAM
ISSN : 2355-9365 -Procding of Enginring : Vol.4, No.1 April 2017 Pag 632 Abstrak ANALISIS PERPINDAHAN PANAS KONVEKSI PAKSA NANOFLUIDA AIR-Al2O3 DALAM SUB-BULUH VERTIKAL SEGIENAM FORCED CONVECTION HEAT
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciPENGENALAN ANGKA MELALUI PERMAINAN DADU DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA ANAK USIA 5-6 TAHUN
PENGENALAN ANGKA MELALUI PERMAINAN DADU DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA ANAK USIA 5-6 TAHUN Mlania, Masluyah Suib, Dsni Yuniarni Pndidikan Guru Pndidikan Anak Usia Dini FKIP Untan, Pontianak Email :
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN
AUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN Reni Tri Damayanti Mahasiswa Pascasarjana Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Email: si_cerdazzz@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu topik yang menarik untuk
Lebih terperinci