BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG 1.2 TUJUAN

Transkripsi

1 BAB PENDAHUUAN. ATAR BEAKANG Seringali ara enelii aau saisiawan melauan enganalisaan erhada suau eadaan/masalah dimana eadaan yang dihadai adalah besarnya jumlah variabel samel yang diamai. Unu iu erlu suau eni yang daa menransformasi variabel-variabel ersebu sehingga menjadi variabel-variabel baru yang jumlahnya jauh lebih sedii namun masih daa mereresenasian variabel-variabel asli. Salah sau eni yang daa digunaan dalam hal ersebu adalah analisis faor. Dalam analisis faor erdaa beberaa meode yang elah diembangan unu menenuan aau mengelomoan variabel dan menasir arameer dari analisis faor. Meodemeode ersebu adalah meode omonen uama, meode masimum lielihood, meode analisis image, meode analisis anoni, meode analisis faor alha, meode minres, dan meode emfaoran sumbu uama. Pada dasarnya model faor dimoivasi oleh ernyaaan erdaa seelomo variabel yang disebu variabel asli, variabel iu daa dielomoan dengan rieria variabel-variabel yang memilii orelasi yang inggi dan dielomoan dalam suau gru, semenara variabelvariabel dalam elomo yang berbeda orelasinya ecil. Dari seian banya meode enasiran arameer yang elah ersedia dalam maalah ini aan dibahas enasiran arameer dengan menggunaan meode masimum lielihood. Meode masimum lielihood harus memenuhi asumsi enormalan. Meode ini digunaan arena daa menghasilan nilai asiran arameer yang cuu bai.. TUJUAN Unu mengaji meode yang digunaan dalam saisia mulivaria hususnya dalam analisis faor sera menguasai eni analisis saisi yang daa diimlemenasian dalam banya eraan eneliian.

2 .3 RUMUSAN MASAAH. Bagaiman benu model faor Orohogonal.. Bagaimana memilih banyanya m faor umum yang ea dan sesuain dengan daa asus. 3. Bagaimana menasir arameer-arameer dalam analisis faor dengan menggunaan meode masimum lielihood 4. Bagaimana menginerresasian hasil-hasil enasiran 5. Bagaimana menggunaan.4 BATASAN MASAAH. Mengeahui benu model faor orhogonal. Meode yang digunaan adalah meode masimum lielihood 3. model faor yang digunaan adalah model faor orogonal 4. roasi vaor yang digunaan adalah roasi varimax

3 BAB II ANDASAN TEORI. VEKTOR DAN MATRIKS.. VEKTOR Definisi : Susunan bilangan real x, x,, x n sebanya n omonen disebu vecor diulis x x x = M x n aau x [ x x x ] = K. n Definisi : x y x Veor x = y aan sama dengan vecor y = jia dan hanya jia x M i = yi, unu M xn yn seia i =,,..., n. Definisi 3: Jumlah dua veor x dan y yang beruuran sama adalah z = x + y, dengan z i = x i + y i, unu seia i =,,..., n. Definisi 4: x x Panjang dari veor x = adalah M xn Definisi 5: x = x + x xn = x. Sebuah veor y diaaan ombinasi linear dari veor-veor x, x,...,x jia veor ersebu daa diulis dalam benu y=a x +a x +...+a x, dimana a,a,...,a adalah salar.

4 .. MATRIKS Definisi : Maris adalah susunan segi ema siu-siu dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan ersebu dinamaan enri. Sebuah maris A dengan baris dan n olom yang dinoasian A ( x) a a K an a a a K n = ; x n dinamaan uuran maris, dan a,a,a n enri-enri ada M M O M a a K an diagonal uama. Jia n= maa maris A disebu veor(veor olom) Jia =n maa maris A disebu maris ersegi. Definisi : Transos maris A adalah erama ada A menjadi baris erama ada seerusnya. Dengan sifa: ( A ) ( A + B) = A + B ( AB) Definisi 3: = A = B A A dengan mengubah olom menjadi baris sehingga olom A, olom edua menjadi baris edua, Jia A dan B maris dengan uuran sama maa jumlah A+B adalah maris yang dieroleh dengan menambahan bersama-sama enri yang bersesuaian dalam edua maris ersebu. Definisi 4: Jia A maris dan c salar, maa hasil ali (roduc) ca adalah maris yang dieroleh dengan mengalian masing-msing enri dari A oleh c. Definisi 5: Jia A maris m x r dan B maris r x n, maa hasil ali AB adalah maris m x n yang enri-enrinya dienuan sebagai beriu: dan

5 Unu mencari enri dalam baris i dan olom j dari AB, ilihlah baris i maris A dan olom j dari maris B. Kalianlah enri-enri yang bersesuaian dari baris dan olom ersebu bersama-sama dabn emudian ambahan hasil ali yang dieroleh. Definisi 6: Maris uadra (maris dengan n baris dan n olom) diaaan simeris jia A = A aau a ij =a ij unu seia i dan j. Teorema.: Misalan I maris uadra beruuran sama. I memilii bilangan ada diagonal uama dan bilangan 0 unu enri-enri lainnya sehingga IA=AI=A, maa dalam hal ini I disebu maris idenias. Definisi 7: Jia A maris uadra, dan jia daa dicari maris B sehingga AB = BA = I, maa A diaaan daa dibali(inverible) dan B dinamaan invers(inverse) dari A dinoasian B= Definisi 8: jia A. Misalan X adalah suau maris ersegi. Maris X disebu orogonal jia dan hanya XX = XX = I Dimana baris-barisnya (diandang sebagai vecor) saling ega lurus dan memunyai anjang yaiu XX = I. Maris orogonal yang memunyai anjang disebu maris oronormal. Definisi 9: Deerminan maris ersegi X { xij} X = x ; jia = x j + j X ( ) ; jia > = + = diberi noasi X adalah suau salar. Diman X ij adalah maris beruuran (-) x (-) yang dieroleh dari maris X dengan menghilangan baris e- dan olom e-j. Definisi 0:

6 Jia A adalah maris n x n, maa veor a nol x didalam R n dinamaan veor eigen (eigenveor) dari A jia A x adalah eliaan salar dari x ; yani, Ax = λ x Unu suau salar λ. Salar λ dinamaan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x diaaan vecor eigen yang bersesuaian dengan λ. Sehingga de( λ I - A) = 0. Definisi : Misalan A maris simeri dan [,,..., ] x Ax > 0 unu seia x 0. Teorema.: osiif. Definisi : x x x x n = disebu defini osiif jia Maris simeri A adalah defini osiif jia dan hanya jia semua nilai eigen A adalah Misalan A = { a ij } maris uadra dengan uuran x. Trace maris A, diulis r(a), adalah jumlah dari elemen diagonal uama, sehingga Definisi 3: r( A) = ii. Deomosisi seral dari maris X beruuran x diulis sebagai: X = λ e e + λ e e + + λ e e... Dimana λ, λ,..., λ adalah nilai eigen dari maris X dan e,e,...,e meruaan veor eigen yang elah dibauan, yaiu e,e i =, i =,,, dan e,e j = 0 unu i j. Definisi 4: Misalan A x adalah maris defini osiif dengan benu deomosisi seral A = λ e e dan E sebuah maris oronormal yang juga meruaan veor dengan elemen- i i i elemennya e,e,...,e, maa x = λi ix i = x xλx x A e e E E Dimana EE = E E = I dan Λ adalah maris diagonal yang beranggoaan λ, λ,..., λ dengan λ i 0. selanjunya Λ ½ adalah maris diagonal dengan λ i sebagai elemen diagonal e-i.

7 Sehingga dieroleh ersamaan / = λi i i = / Λ A e e E E Dimana A ½ meruaan maris aar uadra dari maris A.. VEKTOR RANDOM DAN MATRIKS RANDOM Veor random adalah veor yang elemen-elemennya berua variabel random, sedangan maris random adalah maris yang elemen-elemennya meruaan variabel random. Definisi : Misalan X = { x ij } maris orde (xn) adalah maris random, maa eseasi dari X diulis E[X] maris orde (xn). E[ X] E[ X] E[ X n] E[ X ] E[ X ] E[ X n] E[ X ] = M M O M E[ X ] E[ X ] E[ X ].3 VEKTOR RATA-RATA, MATRIKS VARIANSI KOVARIANS DAN MATRIKS KOREASI Maris random X={ x j } unu seia i =,,, orde (x) meruaan vecor random, raa-raa dari veor random X adalah E[ X] µ E[ X ] µ E[ X ] = = = µ M M E[ X ] µ dan variansi ovariansi dari vecor X adalah

8 = E[ X ][ X ] X X = E X X X M X µ µ µ ( X ) ( X )( X ) ( X )( X ) ( X )( X ) ( X ) ( X )( X ) = E M M O M ( X )( X ) ( X )( X ) ( X ) = M M O M Karena i = i unu seia i =,,, dan =,,, maa i =, sehingga = M M O M sehingga = M M O M 0 0 jia X,X,,X saling bebas maa ovariansi i = 0 Uuran eeraan anara variable random X dengan X adalah oefisien orelasi oulasi ρ i yang didefinisian dengan Dimana: i : ovariansi, : variansi ii Teorema.3: ρ i = ii i

9 Misalan X, X,,X n adalah samle random dari suau disribusi bersama dengan veor raa-raa µ dan maris variansi ovariansi. Maa. X meruaan enasir a bias unu µ, dan maris variansi ovariansi dari X adalah n, yaiu E[ X ] = µ dan Cov( X ) = n. n S = ( X j X )( X j X ) adalah enasir abias dari maris variansi ovarinsi yaiu n E[S] =.