Bab 1 Ruang Vektor. I. 1 Ruang Vektor R n. 1. Ruang berdimensi satu R 1 = R = kumpulan bilangan real Menyatakan suatu garis bilangan;

Transkripsi

1 Bab Ruang Vktor I. Ruang Vktor R n. Ruang brdimnsi satu R = R = kumpulan bilangan ral Mnyatakan suatu garis bilangan; Ruang brdimnsi dua R = bidang datar ; Stiap vktor di R dinyatakan sbagai pasangan trurut dua bilangan ral dalam sumbu x dan sumbu y; Gambar. Vktor pada suatu bidang mmpunyai komponn x dan y Bila ditulis sbagai A= (a,a ) vktor mnyatakan sbuah titik Dapat juga ditulis sbagai A a i a j a a dimana i, j adalah vktor satuan spanjang sumbu x dan sumbu y vktor A dikatakan mrupakan kombinasi linir dari vktor a dan a FMIPA-ITB Pag I-

2 Dalam hal ini i (,0) dan j (0,) adalah vktor satuan, yaitu vktor yang panjangnya satu, masing spanjang sumbu x, sumbu y dan saling tgak lurus I. Panjang vctor dan jarak dua titik Panjang vktor (norm) A dapat dihitung dari dalil Phytagoras; A a a A a a Untuk vktor di R 3 = dalam ruang. Prinsipnya sama; Bila ditulis sbagai ; A= (a,a,a 3 ) vktor mnyatakan sbuah titik Jika ditulis A a i a j a k a a a dikatakan vktor A mrupakan kombinasi linir dari 3 3 vktor a, a dan a 3 Dalam hal ini i (,0,0), j (0,,0) dan k (0,0,) adalah vktor satuan yakni vktor yang panjangnya satu dan saling tgak lurus satu sama lain. Vktor dngan sifat sprti ini disbut vktor ortonormal (panjang/norm satu dan saling tgak lurus) Panjang vktor (norm) A dapat dihitung dari dalil Phytagoras; A a a a A a a a 3 3 FMIPA-ITB Pag I-

3 Gambar Vktor dalam ruang mmpunyai komponn x,y dan z I. 3 Oprasi pada vktor Sifat vktor dapat dipindah asal norm dan arahnya ttap, jadi jika ada dua vktor A B dan C = A + B dan Diagram brikut mnyatakan pnjumlahan kdua vktor ini C = A + B adalah sama; Gambar. Pnjumlahan vktor I. 4 Cara mnghitung pnjumlahan vktor; Jika A dan B dua vktor di R n maka C = A + B juga mrupakan vktor yang ada di R n, artinya FMIPA-ITB Pag I-3

4 Jika A =(a,a,..,a n ) dan B =(b,b,..,b n ) maka C = A + B = (a +b,a + b,..,a n + b n ) Contoh Misalkan A =(,,-) dan B = (3,4,-5) maka; ) C = A + B = (4,6,-7) ) C = A - B = A + (- B )=(,,-)+ (-3,-4,5)= (-,-,3) C 3A 3,, 3, 6, 6 3) I. 5 Jarak antara dua titik Jika A =(a,a ) dan B =(b,b ) maka jarak A k B sama saja dngan mnghitung panjang (norm) vktor AB Gambar. 3 Jarak antara dua titik A dan B idntik dngan panjang vktor AB B A Dari gambar kita lihat; B Jadi panjang vktor; = A + AB atau AB BA b, b a, a b a, b a FMIPA-ITB Pag I-4

5 AB ( b a ) ( b a ) ( a b ) ( a b ) BA I. 6 Prkalian Vktor ) Prkalian titik (innr product/dot product) Dfinisi andaikan A dan B vktor di R atau di R 3 maka didfinisikan; A B = A. B Cos sudut yang dibntuk diantara vktor A dan B (prhatikan gambar 3) Rumus cosinus a b c bccos b a c accos c a b abcos Rumus sinus a b c Sin Sin Sin Gambar. 4 Sgitiga smbarang AB A B A. B Cos atau dapat juga ditulis; B A A B A. B Cos atau AB A. B Cos A B B A atau dapat ditulis kmbali; FMIPA-ITB Pag I-5

6 A B ( a a ) ( b b ) ( b a ) ( b a ) a b a b jadi A B a b a b I. 7 Dfinisi Untuk ruang dimnsi n, R n prinsipnya sama, jika A ( a, a,... a n ) dan B ( b, b,... b n ) maka A B ab ab... anbn I. 8 Prkalian vktor (cross product) Dfinisi; Prkalian vktor atau prkalian silang hanya didfinisikan untuk R 3 Jika A =(a,a,a 3 ) dan B =(b,b,b 3 ) maka A B didfinisikan sbagai; i j k a a a a a a AB a a a3 = i j k b b b b b b b b b A B i ( a b a b ) j( a b a b ) k( a b a b ) I. 9 Thorma ) A B = - ( B A ) skw symmtry ) A ( B +C ) = A B + A C hukum distribusi 3) c( A B ) = (c A ) B c suatu skalar 4) A ( A B ) = 0 ortogonalitas trhadap A 5) B ( A B ) = 0 ortogonalitas trhadap B 6) A x B A B ( A B) A B sin Idntitas Lagrang FMIPA-ITB Pag I-6

7 7) A B = O A dan B brgantungan linir, (yang satu mrupakan klipatan yang lain) disini O adalah vktor nol, yaitu vktor dngan panjang nol Ilustrasi; Gambar. 5 Prkalian dua vktor mnntukan arah I. 0 Mnntukan Himpunan Ortonormal dngan Pross Gramm-Schmidt Dibrikan himpunan vctor Y= a,b,c,d ingin dicari himpunan vctor ortonormal O=,, 3, 4 Pnylsaian Jawab I : Buat Vktor Ortonormal a = a II : Buat Ruang Vktor W dngan dan b W=,b W =α +βb, α,β bil ril smbarang Jika shingga. =0 α+βb. =0 α. +βb. =0 α+βb. =0 α=-βb. = -βb. +βb Ambil β= =b- b. =,maka dan Ortonormal. FMIPA-ITB Pag I-7

8 III: Buat Ruang Vktor U=,,c 3 3 U =α +β +γc, α,β,γ smbarang i α +β +γc =0 3 α + β(0) + c. =0 Ambil γ= α=-c.. ii α +β +γc = β + γc. =0 β c. =c- c. - c IV Buat ruang vctor V,,, d V d d d 0 ambil d d d 0 d d d 3 0 d 3 Dngan dmikian kita prolh d d d d Shingga himpunan ortonormal O sudah dapat ditntukan O,,, Ilustrasi 3 4 FMIPA-ITB Pag I-8

9 . Diktahui :,0,,,,0,,,0 A Carilah himpunan ortonormalnya? Pnylsaian: Misal = a = (-,0,), b=(-,,0), c =(-..0) a. Untuk a, 0,,0, a b. Untuk 0 Buat ruang vktor B, b Maka ada B,,0,,0,0,,0, b b Maka:,, 0,, 0, 0,, 0,,, 0, 0,,,,,,, 3 c. Untuk, Maka ada 3 c c c 3 3,,0,,0,0,,0,,, 0,,,, 3 3 3,, 0, 0,,,,, ,, 0,, 0, 0,, 0,,, 0,,,, FMIPA-ITB Pag I-9

10 Maka:,, ,, Shingga diprolh: O,0,,,,,,,, 3 6 I. Hitung Volum Kotak Vktor A dan B mmbntuk alas sbuah kotak. Vktor C mnyatakan rusuk tgaknya. Hitunglah volum kotak trsbut. Pnylsaian Gambar. 6 Kotak dibntuk olh tiga vctor A, B dab C. Sudut disbut inklinasi. Volum kotak V A B C Volum = Luas alas kali tinggi= Luas jajaran gnjang kali tinggi FMIPA-ITB Pag I-0

11 V Luassgi tiga tinggi A B sin C cos A B sin C cos A B C cos A B C Ilustrasi. Hitung luas, inklimasi dan volum kotak yang dibangun olh vktor :,,3,, 3,,0, A B dan C dimana A dan B sbagai alas dan C sbagai rusuk tgak Pnylsaian: i j k 3 3 A B 3 i j k i 5 j 7k,5, Jadi volum V A B C Volum kotak = 3 satuan isi,5, 7,0, A B C A B C cos 3,5, 7, 0, cos cos cos 95,5 3, 5 Jadi, sudut inklimasi nya adalah 95,5 o I. Kbrgantungan Linir Vktor Di R n Dfinisi n Jika S dapat dinyatakan sbagai S aibi ab ab... anbn dngan a i suatu konstanta dan b i mnyatakan suatu vctor. Maka S disbut mrupakan kombinasi linir dari b i Dfinisi n Jika i i... n n S a b a b a b a b O. FMIPA-ITB Pag I-

12 Himpunan vctor b, b,..., bn disbut bbas linir jika dan hanya jika a a... an o Himpunan vctor b, b,..., b n disbut brgantungan linir jika ada salah satu a i dalam S yang tidak sama dngan nol Ilustrasi ) Priksa apakah C, dapat dinyatakan sbagai kombinasi linir dari dua vctor A 3, 4 dan B, 5 Pnylsaian cari ai dari prnyataan :, 3, 4, 5 3, 4 5 C a A a B a a a a a a Jadi diprolh prsamaan linir; 3a a a a 3 4a 5a a 4a 5 0 Kita prolh a, a 3 3 Jadi ada a dan a yang mmnuhi jadi vctor C mrupakan kombinasi linir dari vctor A dan vctor B ) Priksa apakah,3 A 3,6 dan B, C dapat dinyatakan sbagai kombinasi linir dari dua vctor Pnylsaian cari ai dari prnyataan :,3,,4, 4 C a A a B a a a a a a Jadi diprolh prsamaan linir; a a () a 4a 3 0 Tidak konsistn, jadi tidak ada a dan a yang mmnuhi jadi vctor C bukan mrupakan kombinasi linir dari vctor A dan vctor B. 3) Priksa apakah 4,8 A 3,6 dan B, C dapat dinyatakan sbagai kombinasi linir dari dua vctor Pnylsaian: cari ai dari prnyataan : 4,8 3,6, 3,6 C a A a B a a a a a a FMIPA-ITB Pag I-

13 Jadi diprolh prsamaan linir; 3a a 4 6aa 8 Kdua prsamaan ini adalah idntik jadi kita hanya dapat mnyatakan Kita prolh a 43a Jadi ada a dan a yang tak hingga banyaknya yang mmnuhi. Jadi vctor C mrupakan kombinasi linir dari vctor A dan vctor B I. 3 Ruang Bagian (sub-spac) Dfinisi M himpunan satu atau lbih vctor dari suatu ruang vctor V dinamakan ruang bagian V jika mmnuhi ) u M, vm u vm ) R u M I. 4 Soal Latihan ) Hitunglah sudut antara A dan B srta panjang C A + B jika; A=(,) dan B=(-,4) ) Panjang vktor A =(,-) dan B = (3,4) mmbntuk rusuk jajaran gnjang hitunglah luas jajaran gnjang trsbut 3) Sbuah kotak dibangun olh rusuk-rusuk yang dinyatakan olh 3 vktor ; A, B dan C. Jika A dan B diambil sbagai alas. a) Buktikan bahwa isi kotak trsbut adalah V = ( A x B ) C. b) Slanjutnya apabila diktahui vktor A =(,,0) dan B =(-,,0) dan C =(,,3). Hitunglah volum kotak jika A dan B mnyatakan rusuk dari alas kotak trsbut. Hitung juga kmiringan(inklinasi),, dari kotak itu FMIPA-ITB Pag I-3

14 Daftar Isi Bab Ruang Vktor... I. Ruang Vktor R n... I. Panjang vctor dan jarak dua titik... I. 3 Oprasi pada vktor... 3 I. 4 Cara mnghitung pnjumlahan vktor;... 3 I. 5 Jarak antara dua titik... 4 I. 6 Prkalian Vktor... 5 I. 7 Dfinisi... 6 I. 8 Prkalian vktor (cross product)... 6 I. 0 Mnntukan Himpunan Ortonormal dngan Pross Gramm-Schmidt... 7 I. Hitung Volum Kotak... 0 I. 3 Ruang Bagian (sub-spac)... 3 I. 4 Soal Latihan... 3 FMIPA-ITB Pag I-4