Solusi Numerik Persamaan Gelombang Air Dangkal Linear Menggunakan FEM

Transkripsi

1 SEMIAR ASIOAL MATEMATIKA DA PEDIDIKA MATEMATIKA UY 5 T 7 Solui umeri Peramaan Gelombang Air Dangal Linear Menggunaan FEM ienai Binaari Unieria egeri Yogyaara nienai@uny.ac.i Abra Paa ulian ini aan iajian olui numeri peramaan gelombang air angal linear menggunaan finie elemen meo FEM). Solui numeri iperole engan mengaproimai oluinya menggunaan ombinai linear fungi bai yang emuian iebu en funcion. Hail ari imulai menunjuan bawa unu benu air pergeraan yang ama profile gelombang awal berariai berganung paa lama pergeraan aar. Semain cepa pergeraan aar profile gelombang awal aan emain mirip engan benu air pergeraan aar. Kaa unci: Pergeraan Daar Peramaan Gelombang Air Dangal Linear Finie Elemen Meo I. PEDAHULUA Seja erjainya i Ace Deember 4 Gelombang Tunami menjai opi yang erenal i biang peneliian fluia arena perbeaan araeriinya engan gelombang-gelombang yang lain. Gempa bumi elalu mengawali erjainya gelombang unami. Paa unami ace eimograf mencaa bearan gempa bumi aala 8.8 SR aan eapi emuian peneliian lebi lanju menemuan bawa gearan yang erjai i Ace erebu mencapai SR an ira-ira erjai elama meni geraan paaan. Hanya alam iungan jam lebi ari. orang erbunu an lebi ari 5 orang inyaaan ilang. Ole arena iu unami ering juga iebu engan gelombang pembunu. Banya penelii mempelajari enang propagai gelombang unami arena unami berbea alam moel pembanginya an alam araeriinya yaiu perioe panjang gelombang an ecepaan. Tunami apa memilii perioe ampai meni panjang gelombang - m an ecepaan m/. Tunami erjai arena gangguan impulif ari air lau yang iebaban ole perubaan benu paa aar lau ecara iba-iba lau ebagai cono ana longor leaan gunung berapi gempa bumi yang erjai i bawa an lain-lain. Dari beberapa penyebab Tunami gempa merupaan penyebab uamanya. Karaerii gelombang unami ienuan ole penyebabnya. Paa generai paif gelombang permuaan awal yang iailan merupaan ranlai ari perubaan benu air aar lau. Peneliian lebi lanju ole Duy an Diaz 7 ) menganalia enang gelombang i permuaan an geraan bawa ecara analii menggunaan ranformai Fourier. Hail peneliian menunjuan bawa gelombang awal i permuaan ipengarui ole profil bawa an urai geraan. Diaumian bawa aar lau mula-mula aala aar unu au eaa yaiu i mana geraan erjai engan cepa profil gelombang awal anya ranlai ama eperi alam Paie Generaion. Aan eapi unu au yang lain emain lama pergeraan aar lau maa gelombang yang iailan juga aan emain berbea. Teori lanjuan ari generai paif biaa iebu engan generai aif. Peneliian ini ibaai paa fluia yang memenui iga ifa ia ermampaan incompreible) ia enal inici) an ia berroai irraional). Sala au moel pergeraan fluia yang anga erenal aala peramaan air angal. Dimialan aala eleai permuaan lau poenial free urface an ealamaan paa poii an aa. Meipun peramaan air angal mewaili onii fluia ecara lengap aan eapi formulanya anga omple. Ole arena iu maala ini emuian ibaai paa gelombang engan ampliue anga ecil. Paa peneliian ini iambil perubaan aaru lau eringgi aala m. Jai i ini ia menempaan eringgi iur lau eformai aala m. Tujuan ari baa ini aala unu membenu maala e alam benu linear eingga olui aan mua ianalia. 99

2 ISB Di ini ia anya memperaian paa eleai i permuaan. Dengan emiian engan menggunaan aumi paa baa ia menapaan ua peramaan yang ienal ebagai Linear Air Dangal Peramaan ebagai beriu g an Peramaan ) aala peramaan i permuaan menunjuan eiamunginan air mengalir melalui permuaan era emenara ) aala peramaan Bernoulli yang menyaaan bawa eanan i permuaan air aru lenyap. ilai awal ) menunjuan bawa einggian aar ebelum geraan an juga fluia ia memilii poeni i permuaan beba. Maala iferenial ini aala maala nilai awal. Unu menganalii maala ini ia eai maala engan menggunaan meoe pengali. Meoe pengali aala raegi unu mengerai informai engan mengalian peramaan iferenial engan fungi yang euai an emuian menginegraian. Meoe ini biaanya iebu ebagai formulai ariaional aau formulai lema. Formulai ini memunginan penggunaan Meoe Galerin yaiu cara alami memproyeian peramaan e ruang bagian aproimai erbaa imeni. Paa ulian ini aan ianalii eleai gelombang menggunaan ema numeri. Peramaan Linear Air Dangal Peramaan aan iiriiai ecara paial. Ole arena iu einggian gelombang apa igambaran ebagai ombinai linear ari fungi aar. Di ini ia menggunaan fungi a linear ebagai fungi aar. Kemuian inegrai wau aan ilauan engan menggunaan Runge Kua aau ODESOLVER paa MATLAB. II. IMPLEMETASI UMERIK A. Formulai Variaional Seperi yang iebu ebelumnya bawa paa maala nilai awal ini igunaan meoe galerin. Unu ebarang fungi yang erefinii paa alian eua rua a) an b) engan eingga mengailan 4) g 5) Dengan menggunaan inegrai parial 4) apa iuli ulang ebagai beriu Paa baaan ini fungi iebu engan fungi e. Unu menyeeranaan pengiungan ipili fungi e yang memenui. Dari ini iperole

3 SEMIAR ASIOAL MATEMATIKA DA PEDIDIKA MATEMATIKA UY 5 7 B. Diriiai Diriiai ilauan paa omain ruang. Dimialan omain ruang iparii menjai ub omain ole arena iu erapa + noe. Diini ubomain ering iebu engan elemen. Tanpa mengurangi ifa eumuman iini ipili elemen eragam imana emua elemennya mempunyai lebar yang ama yaiu. Jai iini iperole. i i i Eleai gelombang igambaran ebagai ombinai linear ari fungi aar. Paa peneliian ini fungi aar yang igunaan aala fungi a linear ebagai beriu : oerwie if if Ilurai ari fungi erebu apa ilia paa Gambar ebagai beriu : Gambar. Fungi Ten Dengan menggunaan fungi a linear aau ering juga iebu engan fungi en fungi eleai gelombang an fungi poenial i permuaan apa iaproimai ebagai beriu : 9 8 Ole arena iu eleai gelombang an poenial i permuaan ia lagi berganung aa ruagn aan eapi anya berganung aa wau aja. Subiuian 8) an 9) paa 7) an 5). Kemuian ipili + fungi en ebagai fungi e maa aan iperole + peramaan ebagai beriu :. ) ) ) ) ) ) ) )

4 ISB g unu.. Peramaan erebu apa inyaaan alam operai mari ebagai beriu : c B A ga A imana a A ' ' b B c c Mialan aar lau berbenu aar ebelum erjai geraan lau. Ole arena ealamannya onan. Selanjunya imialan perubaan ealaman apa inyaaan ebagai S f imana f aala perubaan benu aar lau an S aala epeneni wau fungi. Mialan T aala urai lama pergeraan aar lau. Paa peneliian ini beberapa imulai ilauan engan bermacam-macam nilai T. ebagai ilurai beriu merupaan ail imulai unu T = ei an T = 5 ei engan fungi wau ebagai beriu : 4 co T T T S Ilurai fungi 4 apa ilia paa Gambar beriu : Gambar. Time Depenencie for T = 5. Karena f aala fungi aa omain ruang ole arenanya f apa iaproimai ebagai ombinai linear aa fungi aar ebagai beriu :

5 SEMIAR ASIOAL MATEMATIKA DA PEDIDIKA MATEMATIKA UY 5 f f ll l Dariini iperole S f. l l l Subiuian ) paa ) iperole A f B S B S A ga 4 A engan A B an B aala mari riiagonal. A ) ) B ) ) B f f f f f f f f f f f f f f f f 4 f f f f f f f f f Beraaran nilail awal an Aproimai ) menggunaan 8) an 9) iperole

6 ISB an Karena beba linear maa iperole + nilai awal yaiu an unu = +. Dariini apa ilia bawa ) an 4) aala iem peramaan iferenial linear orer au. Jai erapa + peramaan engan + fungi wau yang ia ieaui an. Solui ari iem peramaan ini apa icari engan menggunaan ofware MATLAB yaiu ODESOLVER. Terapa bermacam-macam ipe ODESOLVER. Paa peneliian ini igunaan ODE45 yaiu meoe unu menyeleaian iem peramaan iferenial beraaran rumu paa meo Runge Kua. ilai-nilai parameer yang igunaan paa imulai program ini apa ilia paa Tabel beriu. PARAMETERS Parameer Simbol ilai Domain ruang -8 4 ampai 8 4 m Lebar elemen 5 m Domain wau ampai Panjang ineral wau.5 Percepaan graiai g 9.8 m / Kealaman mula-mula 4 m Paa peneliian ini igunaan cono imana benu aar lau eela erjai gempa aala peregi aau iiluraian paa Gambar beriu. Jia nilai ari S ama engan maa ealamannya menjai fungi aa ruang aja. Gambar. Deformai Peregi Hail imulai paa eleai gelombang menggunaan proeur ODE45 unu T = ei apa ilia paa gambar 4 beriu : Gambar 4. Eleai i permuaan aa = = = 7 = = 5 = 5 an =. 4

7 SEMIAR ASIOAL MATEMATIKA DA PEDIDIKA MATEMATIKA UY 5 Durai pergeraan aar lau ei an eperi yang apa ilia paa Gambar 4 gelombang aan mulai meramba eela ei eja geraan perama. Ampliuo eringgi eleai beriar 85 m iperole paa = ei. Seela ei gelombang meramba e anan an e iri engan ampliuo yang ama eiar 4 m. Dibaningan engan au perama beriu ini aala ail imulai eleai permuaan unu T = 5 ei. Seperi yang apa ilia bawa gelombang aan meramba eela aar lau bereni bergera an mencapai ampliuo eringgi eiar eenga ari profil awal 4 m egera eela iu. Kemuian eela 5 ei gelombang meramba e anan an e iri engan ama ampliuo 7 m. Gambar 4. Eleai i permuaan aa = = = = 5 = 75 = an = 5. III. SIMPULA DA SARA Dari imulai apa iimpulan bawa unu geraan yang ama profil gelombang awal aan berbea erganung paa berapa lama aar lau bergera. Semain cepa pergeraan lau profil eleai permuaan aan erlia ama. Paa awalnya elama geraan permuaan aan bergera e aa eapi egera eela aar lau bereni bergera gelombang aan meramba e anan an iri. Ampliuo eringgi icapai paa aa air geraan eaa. DAFTAR PUSTAKA [] D. Duy F. Dia Waer wae generae by a moing boom in Tunami an nonlinear wae pringer berlin eielberg pp reference) [] I.M aon. Finie elemen imulaion of e allow-waer equaion moel on a limie-area omain. Appl. Ma. Moelling 979 Vol Ocober. pp [] F. Imamura A.C Yalciner G. Ozyur Tunami moelling manual. Unpublie. [4] M. Aazae. An inroucion o e finie elemen meo for ifferenial equaion.. Unpublie. [5]. Binaari. Gelombang yang ibangian ole pergeraan bawa lau. Proiing of Seminar Maemaia an Peniian Maemaia. Juruan Peniian Maemaia FMIPA UY. pp. MT-59 oember. [] A. Sayma. Compuaional flui ynamic Eiion. 9. [7] H. Zang e al. Moeling an iualizaion of unami. Pure an Applie Geopyic. 5 8) pp

8 ISB [8] M.S Gocenbac. Uneraning an implemening e finie elemen meo. Sociey for Inurial an Applie Maemaic..