BAB 2 CONTOH - CONTOH MODEL

Transkripsi

1 BAB COTOH - COTOH MODEL. Penahuluan Dalam bab ini kia akan mempelajari sejumlah conoh-conoh seerhana moel yang ibangun ari area yang berbea. Tujuan uamanya aalah unuk mengilusrasikan cara berpikir keika membangun moel an ipe moel maemaika yang apa iperoleh. Ini akan membanu sebagai laar belakang keika kia meniskusikan aspek-aspek formal ari moel alam Bab 3. Di sana kia akan menggunakan conoh-conoh ari bab ini sebagai ilusrasi. Dalam conoh ini kia akan menghairan moel alam sebuah cara yang erliha seperi alami alam aplikasi respekif.. Sisem ekologi Sebagai conoh perama kia akan mempelajari sisem ekologi ieal eriri ari ua spesies binaang imana masing-masing bersaing unuk makanan yang sama (kasus ) aau alam siuasi pemangsa-mangsa (kasus ). Kia erarik paa variasi jumlah iniviu ari presies ini. yaakan ( an ( aalah jumlah iniviu ari masingmasing spesies paa waku. Laju kelahiran unuk spesies iasumsikan menjai konsan masing-masing λ an λ. Kemuian aa keurunan λ i i ari spesies i yang lahir persauan waku. Laju kemaian nuk spesies aalah µ i an ini erganung paa erseianya makanan seperi halnya resiko imakan. Secara umum, kia apa menulis µ i = µ i (, ). Kemuian µ i (, ). i iniviu ari spesies i yang mai persauan waku.efek keseluruhan sekarang ieskripsikan oleh persamaan ifferensial ( = ( λ µ (, )) ( ) (.a) ( = ( λ µ (, )) ( ) (.b) Kia akan menguji kasus keuanya. Kasus : Spesies berkompeisi unuk makanan yang sama 9

2 Apabila spesies hiup paa makanan yang sama, jumlah oal ari spesimen akan menenukan perseiaan makanan an engan emikian laju kemaian. Kia mengasumsikan sebagai sebuah moel seerhana bahwa kemaian sebaning engan jumlah oal ini an memberikan µ, ) = γ + δ ( ) ; δ i > 0 i =, i ( + Dan iperoleh moel ( = ( λ γ ) ( δ ( ( + ( ) ( ) (.a) ( = ( λ γ ) ( δ ( ( + ( ) ( ) (.b) Dalam gambar., iperlihakan bagaimana an bervariasi keika λ = 3, λ =, γ = γ = δ = δ = Ini apa iperlihakan bahwa apabila (λ γ )/δ > (λ γ )/δ spesies keua akan punah an yang perama akan menekai jmlah (λ γ )/δ, secara iak berganung ari jumlah awal iniviu. Kasus : Pemangsa an Mangsa Asumsikan sekarang bahwa spesies perama memangsa spesies keua. Kemuian perseiaan makanan unuk spesies perama sebaning engan, an laju kemaiannya engan emikian berkurang keika meningka. Kia meneapkan hubungan yang seerhana µ ( = γ α, α > 0, ) Laju kemaian unuk spesies meningka alam cara yang sama keika meningka µ ( = γ + α, α > 0, ) Kemuian kia memperoleh moel ( = ( λ γ ) ( + α ( ( ) (.3a) ( = ( λ γ ) ( α ( ( ) (.3b) Hal yang alami unuk mengasumsikan bahwa pemangsa akan punah apabila iak aa mangsa, yaiu, λ γ < 0, an bahwa mangsa akan berlipa-lipa apabila iak aa pemangsa, yaiu λ γ > 0. Dalam gambar., kia meliha bagaimana an 0

3 bervariasi alam kasus yang khas ( λ =, γ =, λ =, γ =, α = α = ). Kia meliha bahwa jumlah osilasi isekiar nilai erenu. Ini bersesuaian engan observasi ari sisem seperi ini i alam. Dalam gambar.3, kia meliha berapa banyak kuli bulu kelinci (sepau salju kelinci) an kuli bulu binaang buas mirip harimau yang beli ari pemburu oleh perusahaan Huson Bay i Canaa selama ahun Ini apa iasumsikan bahwa jumlah ini secara aproksimasi sebaning engan kejaian ari spesies masingmasing. Komenar : Conoh ini berasarkan paa arikel klasik oleh V. Volerra, Variaions an Flucuaions of he umber of Iniviuals in Aimal Species Living Togeher, J. u Conseil, Vol. III, 98. Gambar.4. Tangki engan aliran bebas.3 Sisem Aliran Perhaikan sebuah ank engan aliran keluaran bebas seperi alam gambar.4. Tangki mempunyai penampang A(m ) an lubang aliran keluaran mempunyai luas a (m ). Keinggian cairan alam angki aalah h (m) engan aliran masuk u (m 3 /s) an alian keluaran q (m 3 /s). Kia ingin membenuk sebuah moel bagaimana aliran keluaran erganung paa aliran masuk. Hukum Bernaulli menggambarkan hubungan anara kecepaan aliran keluar v (m/s) an keinggian cairan alam angki v ( = gh( (-4) Disini g aalah percepaan graviasi. Hubungan anara aliran keluaran q an kecepaan aliran keluaran v iefinisikan oleh q ( = av( (-5)

4 Volume cairan alam angki paa waku aalah A.h( (m 3 ) an berubah sesuai engan perbeaan anara aliran masuk an aliran keluaran (ini isebu keseimbangan masa jika kerapaan konsan) : A. h( = u( q( (-6) Persamaan (-4) sampai (-6) sekarang membenuk sebuah moel unuk sisem angki paa gambar.4. Dengan mensubiusikan (.5) an (.4) ke alam (.6) kia memperoleh persamaan ifferensial non linier eksplisi unuk keinggian cairan : a g h( = h( + u( (-7) A A Dengan mengunakan.7 kia apa menenukan keinggian h( keika aliran masuk u( ikeahui. Seela iu aliran keluaran q( ienukan sebagai q ( = a g h( (-8) Dalam gambar.5, iperlihakan bahwa h( bervariasi keika u( =, 0 unuk h(0) = 0 an h(0) = (A =, a g = )..4 Sisem ekonomi Moel ekonomi nasional seerhana aalah berasarkan variabel-variabel funamenal beriku : Y( : penapaan koor nasional (GP), ahun C( : Komsumsi oal, ahun I( : insvesasi oal, ahun G( : pengeluaran pemerinah, ahun Secara efinisi y ( = c( + i( + g( (.9) Aa beberapa hubungan lain ianara keempa variabel ersebu. Dalam kenyaaannya, ini aalah rumi an beberapa hubungan eksak ari hukum alam hilang. Sekolah ekonomi yan berbea elah menenukan hubungan yang iseerhanakan yang berbea. Dalam conoh ini kia akan mempelajari moel Keynesian yang seerhana, moel muliplier akseleraor berasarkan P. Samuelsson. Asumsi-asumsi beriku ini igunakan berkaian engan mekanisme ekonomi :

5 . Komsumsi unuk ahun berjalan iasumsikan proporsional erhaap GP ahun lalu : c ( = ay( ) a > 0 (.0). invesasi iasumsikan porposional erhaap peningkaan alam konsumsi i ( = b( c( c( )) b > 0 (.) Keua alasan ersebu beralasan an harus menggambarkan karaker uama alam hubungan yang nyaa. Persamaan (-9) sampai (-) sekarang membenuk moel seerhana unuk sisem ekonomi nasiona. Tujuan kia engan moel ini aalah unuk menginvesigasi bagaimana pemerinah apa mempengaruhi ekonomi engan inervensi yang berbeabea. Secara jelas kia apa meliha bahwa GP y( aalah variabel hasil. Pemerinah apa mengonrol y( engan beberapa cara, engan mempengaruhi c( engan pajakpajak (peningkaan alam pajak penjualan aalah biasa unuk menurunkan konsumsi) aau engan mempengaruhi i( engan bunga bank (bunga bank renah mempermuah peminjaman uang sehingga meningkakan invesasi). Akan eapi alam conoh ini kia akan memperhaikan pengeluaran g( sebagai insrumen uama pemerinah unuk mempengaruhi ekonomi. Unuk memeriksa bagaimana g( mempengaruhi y( sanga perlu unuk menyusun ulang moel yang iberikan oleh persamaan (-9) sampai (-). Variabel c an i( alam persamaan (-9) apa ieleiminasi engan banuan persamaan (.0) an (.) yang akan memberikan: y ( = ay( ) + b( ay( ) ay( )) + g( (.) Hubugan anara y( an g( iberikan oleh persamaan perbeaan y(-(a+ab)y(-)+aby(-)=g( (.3) Kia apa menyusun moel engan mengekspresikan bagaimana variable y( an c( berubah ari ahun ke ahun. Berasarkan persamaan (.0) kia memperoleh c(+)=ay( Lebih lanju : y( + ) = c( + ) + i( + ) + g( + ) = c( + ) + b( c( + ) c( ) + g( + ) = ( + b) ay( bc( + g( + ) 3

6 Disini kia menggunakan (.9) alam persamaan perama, (.) alam persamaan keua an (.0) alam persamaan keiga. Dengan menggunakan noasi vecor an marik kia apa menulis hasilnya sebagai : c( + ) 0 a c( 0 = + g( + ) (.4) y( + ) b ( b + ) a y( Deskripsi (.3) an (.4) aalah ekivalen akan eapi ekspresi mariks (.4) memiliki beberapa keunungan alam simulasi yang akan kia liha nani. Dalam gambar.6 iperlihakan bagaimana GP berubah sesuai engan moel (.3) aau (.4) keika pengeluaran negara meningka sebesar sau uni paa ahun = (a = b = 0.5). Kia liha bahwa peningkaan alam pengeluaran begara menuru moel ini, memiliki ua konsekuensi paa GP. Suau peningkaan iba-iba yang mengikui secara angsung ari (.9). Ini mengakibakan peningkaan alam komsumsi menuru (.0) an berasarkan (.) peningkaan alam invesasi. Dengan emikian, inakan pemerinah memiliki efek gana ehaap ekonomi. Moel (.4) aalah moel yang sanga iseerhanakan. Moel ini apa ibua lebih eail an lebih eksak engan meningkakan jumlah variabel, membagi invesasi kealam area yang berbea-bea an sebagainya. Moel seperi iu, sanga berguna paa saa ini, unuk mempelajari an mempreiksi variabel-variabel ekonomi. Kesimpulan Conoh-conoh alam bab ini elah mengumpulkan ari area masalah yang berbea-bea engan karakerisik yang berbea-bea pula, bagaimanapun moel yang ihasilkan memperlihakan sejumlah ciri-ciri yang sama. Moel memiliki persamaan ifferensial aau sisem persamaan ifferensial yang menggambarkan beberapa variabel sisem berkaian sau sama lain. Ini memumgkinkan unuk menenukan variabel-variabel lain ari solusi persamaan iffereferensial. Keika kia bekerja alam waku iskri (bagian.4) kia memperoleh persamaan perbeaan aripaa persamaan ifferensial. Akan eapi, erpisah engan iu moel memiliki srukur yang sama. Persaamaan ifferensial muncul secara alami alam proses pembuaan moel. Kia elah memulai ari masalah engan ipe ini : bagaiamana variabel ini (jumlah hewan, keinggian cairan, GP) berubah erhaap waku? Karaker inamik ari sisem (liha 4

7 bagian.6) ngan emikian secara alami menghasilkan persamaan ifferensial an perbeaan. Kia juga mencaa bahwa pembangunan moel berisi eraja pengiealan yang berbea. Persamaan unuk rangkaian lisrik aalah eksak, persamaan uuk pergerakan bena elah berisi pengiealan ari ipe masa iik, mengabaikan hambaan uara an sebagainya. Hukum bernaulli hanya valia alam konisi yang iiealisasi seperi iak aanya urbulensi paa aliran keluaran an sebagainya. Meskipun isini penekaannya elah baik. Unuk conoh biologis an ekonomi bagaimanapun, erliha jelas bahwa asumsi laju kelahiran an hubungan ekonomi iak apa vali. Variabel-variabel ersebu, ilain pihak, secara kualiaif berkaraker sama engan konisi bahwa, alam semua kemungkinan, seharusnya apa iaplikasikan paa kenyaaan. Kemuian kia harapkan bahwa kelakuan moel memperlihakan sejumlah sifa-sifa esensial ari sisem. Pemoelan aalah sanga berharga meskipun alam kasus ini, karena pernyaaan moel aalah bukan konsekuensi remeh ari asumsi. 5