PENYELESAIAN NUMERIK SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR DENGAN METODE HEUN PADA MODEL LOTKA-VOLTERRA. Rizka Oktaviani, Bayu Prihandono, Helmi

Transkripsi

1 Bulen Ilmia Mat. Stat. dan Terapanna (Bimater) Volume 3 No. (4) al PENYELESAIAN NUMERIK SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR DENGAN METODE HEUN PADA MODEL LOTKA-VOLTERRA Rizka Oktaviani Bau Priandono Helmi INTISARI Metode Heun adala uatu metode untuk mencari nilai fungi pada k x tertentu dari uatu maala nilai awal f(x). Maala nilai awal adala maala peneleaian uatu peramaan diferenial dengan arat awal ang tela diketaui. Diberikan uatu maala nilai awal pada item peramaan diferenial orde atu dengan dua variabel tak beba x(t ) = x dan (t ) =. Untuk meneleaikan maala nilai awal terebut terlebi daulu dicari nilai prediki variabel tak bebana pada t ang tela ditentukan dengan menggunakan metode Euler atau peramaan predictor metode Heun. Selanjutna nilai prediki dikoreki dengan menggunakan peramaan corector metode Heun ang dieleaikan dengan proe iterai. Iterai akan beren jika galat relafna kurang dari ε dengan ε merupakan nilai pemberenan ang tela ditentukan ebelumna. Metode Heun merupakan ala atu metode numerik ang dapat digunakan untuk mencari olui numerik dari item peramaan diferenial non linear model Lotka-Volterra ang dipengarui ole faktor pengambat pertumbuan. Peneleaian numerik dengan metode Heun pada item peramaan diferenial non linear model Lotka-Volterra dengan faktor pengambat pertumbuan menunjukkan bawa pertumbuan populai manga dan pemanga mengalami empat kondii ang akan berulang membentuk uatu oilai manga-pemanga. Interaki ang terjadi mengakibatkan ruakna populai manga. Hal ini euai dengan teori pemangaan aitu interaki ang terjadi antara manga dan pemanga akan mengakibatkan ruakna populai manga. Kata Kunci : Metode Heun dan Sitem Peramaan Diferenial Model Lotka-Volterra PENDAHULUAN Matemaka merupakan ilmu daar ang mempunai peranan ang cukup bear baik dalam keidupan eari-ari maupun dalam perkembangan ilmu pengetauan dan teknologi. Peramaan diferenial merupakan ala atu ilmu matemaka ang dapat digunakan untuk meneleaikan maala dalam berbagai ilmu pengetauan eper bidang ekonomi biologi fiika matemaka dan lain ebagaina. Maala terebut dapat dibentuk ke dalam model matema dengan menggunakan aumi-aumi tertentu. Peramaan diferenial adala uatu peramaan ang memuat turunan fungi. Berdaarkan jumla variabel bebana peramaan diferenial dibagi menjadi dua aitu peramaan diferenial biaa dan peramaan diferenial parial. Jika peramaan terebut ana mempunai atu variabel beba diebut peramaan diferenial biaa dan jika peramaan terebut mempunai lebi dari atu variabel beba diebut peramaan diferenial parial []. Gabungan dari beberapa peramaan diferenial diebut ebagai item peramaan diferenial. Sitem peramaan diferenial dibagi menjadi dua aitu item peramaan diferenial linear dan item peramaan diferenial non linear. Peneleaian item peramaan diferenial dapat dieleaikan ecara analik maupun numerik []. Dalam bidang biologi kuuna ilmu ekologi item peramaan diferenial dapat digunakan untuk memodelkan interaki dua populai. Secara matema model interaki pemangaan diperkenalkan ole Alferd J. Lotka (88-949) dan Vito Volterra (86-94). Lotka dan Volterra memformulaikan model matemaka terebut ke dalam item peramaan diferenial dan dikenal ebagai item peramaan diferenial Lotka-Volterra [3]. Peneleaian item peramaan diferenial model Lotka-Volterra dak mempunai olui ekak jika dieleaikan ecara analik. Tetapi dengan menggunakan metode numerik item peramaan terebut dapat mengailkan olui ekak atau pendekatan. 9

2 3 R. Oktaviani B.Priandono Helmi Metode numerik merupakan uatu metode untuk meneleaikan permaalaan-permaalaan ang diformulaikan ecara matema dengan cara operai itungan []. Metode numerik juga mampu meneleaikan uatu item peramaan diferenial ang bear non linear dan angat komplek dengan arat awal ang tela diketaui. Pencarian dengan menggunakan metode numerik mengailkan nilai perkiraan atau pendekatan dari peneleaian anali eingga peneleaian terebut memuat nilai kealaan. Pada penelian ini penuli tertarik menggunakan metode Heun dalam peneleaian numerik item peramaan diferenial non linear pada model Lotka-Volterra. Metode Heun merupakan metode predictor-corrector karena dalam peneleaianna metode ini dak perlu turunan fungi terlebi daulu tetapi dengan memprediki olui menggunakan peramaan predictor kemudian dikoreki dengan menggunakan peramaan corrector. Penelian ini bertujuan untuk mengkaji langka-langka dan mencari peneleaian numerik erta menganalii item peramaan diferenial non linear dengan metode Heun pada model Lotka- Volterra. Model digunakan merupakan model Lotka-Volterra ang dipengarui ole faktor pengambat pertumbuan dan dieleaikan dengan menggunakan metode Heun. Solui perkiraan awal pada metode Heun diperole dengan menggunakan metode Euler. Diberikan uatu maala nilai awal pada item peramaan diferenial orde atu dengan dua variabel tak beba ang mempunai nilai awal xt x dan t ang tela diketaui. Untuk meneleaikan maala nilai awal terebut terlebi daulu dicari nilai prediki variabel tak bebana pada aat t ang tela ditentukan dengan menggunakan metode Euler atau peramaan predictor metode Heun. Selanjutna nilai prediki dikoreki dengan menggunakan peramaan corrector metode Heun dan dieleaikan dengan proe iterai. Iterai ini akan beren jika galat relafna kurang dari dimana adala nilai pemberenan ang tela ditentukan ebelumna. METODE HEUN Metode Heun adala ala atu metode numerik ang dapat digunakan untuk meneleaikan berbagai peroalan matemaka ang mempunai maala nilai awal. Maala nilai awal merupakan maala peneleaian uatu peramaan diferenial dengan arat awal ang tela diketaui. Mial diberikan peramaan diferenial orde atu aitu: d dx Peneleaian peramaan diata iala Ce x. Peneleaian terebut memberikan banak kemungkinan untuk berbagai nilai koefiien C. Peneleaian tunggal dapat diperole jika terdapat nilai x tertentu untuk fungi x []. Metode Heun juga merupakan ala atu metode atu langka di dalam metode numerik. Metode numerik adala uatu metode peneleaian peramaan matema ecara pendekatan karena peneleaian ecara anali ulit untuk diperole. Peneleaian peramaan matema dengan menggunakan metode numerik mengailkan angka (numerik) ang bukan uatu fungi [4]. Metode Heun merupakan metode atu langka (one-tep) karena untuk menakir nilai t n dibutukan atu bua takiran nilai ebelumna aitu t n. Peneleaian numerik memberikan ail dengan perkiraan atau pendekatan dari peneleaian anali atau ekak eingga terdapat kealaan (galat) teradap nilai ekakna. Galat adala perbedaan antara nilai ekak dengan nilai ampiran dapat dituli [5]:

3 Peneleaian Numerik Sitem Peramaan Diferenial Non Linear dengan... 3 dimana: n t : nilai ekak n : nilai ampiran : galat teradap nilai ekak Bearna uatu galat dapat dinatakan dalam bentuk galat relaf aitu dengan membandingkan kealaan ang terjadi dengan nilai ekak. R t ( n ) atau dalam bentuk perentae R % t ( n ) dengan R adala kealaan relaf teradap nilai ekak. Dalam metode numerik nilai ekak biaana dak diketaui. Ole karena itu galat dapat juga dinatakan berdaarkan olui ampiranna eingga galat relafna dinamakan galat relaf ampiran: RH n Pada peritungan numerik ering dilakukan pendekatan ecara iterai dengan kealaan numerikna iala [4]: dengan ( r ) n RH : nilai ampiran pada iterai r ( r ) n : nilai ampiran pada iterai ke r ( r) ( r) n n ( r) n Proe iterai dienkan apabila RH adala nilai galat ang diinginkan. Nilai dari menentukan ketelian uatu maala. Semakin kecil nilai maka emakin teli oluina tetapi emakin banak proe iteraina. Pada metode Heun olui dari metode Euler dijadikan ebagai olui perkiraan awal (predictor). Selanjutna olui perkiraan awal ini diperbaiki dengan menggunakan metode Heun (corrector). Peneleaian peramaan diferenial dengan menggunakan metode Heun merupakan uatu proe mencari nilai fungi pada k t tertentu dari peramaan diferenial biaa f t [6]. Diberikan uatu peramaan diferenial orde atu ang mempunai arat awal t t f t t () Peramaan () diintegralkan pada kedua iina dengan bataan dari t i ampai dengan maka diperole: t f t t t f t t t i t n n

4 3 R. Oktaviani B.Priandono Helmi Selanjutna integral rua kanan aitu trapeium aitu: i i t t f t t i i f t t i i f t t () f t t dapat dieleaikan dengan menggunakan kaida i i i i f t f t f t t f t i i f t i i (3) Peramaan (3) diubtuikan ke peramaan () eingga diperole uatu formula ang dinamakan metode Heun: i i f i f i (4) dengan: i n i ampiran ekarang i ampiran ebelumna ukuran langka Pada peramaan (4) uku rua kanan mengandung i. Nilai dari i ini merupakan olui perkiraan awal (predictor) ang diitung dengan metode Euler peramaan Heun dapat dituli: Predictor : i i i i f t Corrector : i i f i f i Peramaan metode Heun dapat juga dieleaikan dengan menggunakan iterai aitu: k k i i [ f i f i ] dengan k 3 i 3 Diberikan item peramaan diferenial orde atu dengan dua variabel tak beba: x f t x x t g t x x t

5 Peneleaian Numerik Sitem Peramaan Diferenial Non Linear dengan Dengan maka formula Heun untuk uatu item peramaan berbentuk: Predictor : xi xi f xi i Corrector : i i g xi i k k k xi xi f xi i f xi i k k k i i g xi i g xi i (5) MODEL LOTKA-VOLTERRA Sitem peramaan diferenial dapat digunakan untuk memodelkan uatu permaalaan di berbagai bidang. Dalam bidang biologi kuuna ekologi item peramaan diferenial digunakan untuk memodelkan interaki dua populai. Interaki populai ang paling terliat adala ang melibatkan pemangaan dimana eekor pemanga memakan manga. Lotka-Volterra pertama kali menguulkan ebua model ederana untuk interaki dua populai antara atu peie dengan peie ang lain dengan memialkan xt dan t maing-maing menatakan banakna populai manga dan pemanga pada aat t. Model umum Lotka-Volterra dapat dituli: dx ax t bx t t x ta b t (6) d c t dx t t tc dx t Dengan abc dan d merupakan koefiien poif. a merupakan ngkat kelairan manga b menunjukkan ngkat kemaan manga akibat interaki dengan pemanga c menunjukkan ngkat kemaan pemanga edangkan d merupakan ngkat kelairan pemanga akibat interaki dengan manga [7]. Pada peramaan (6) a karena populai manga mempunai perediaan makanan berlebian dan karena itu bertamba banak c karena populai pemanga dak mempunai makanan eingga jumlana berkurang b karena populai manga mengalami penurunan akibat dimakan ole pemanga dan d karena populai pemanga mempunai perediaan makanan dari manga eingga pemanga bertamba banak. Sala atu tambaan mengenai model peramaan ang digambarkan pada peramaan (6) iala andaikan ada faktor pengambat pertumbuan ang dapat mempengarui populai manga dan pemanga eper iklim perediaan makanan dan waba penakit. Seingga mengakibatkan kedua populai manga dan pemanga berturut-turut akan berkurang jumlana pada aat maka item (6) dapat digan: dx d a E x t bx t t ( c E) t dx t t Ex t dan E t Peramaan (7) merupakan model Lotka-Volterra ang dipengarui ole faktor pengambat pertumbuan dimana abc dan d merupakan koefiien poif. a merupakan ngkat kelairan manga c menunjukkan ngkat kemaan pemanga b ngkat kemaan manga akibat interaki dengan pemanga dan d merupakan ngkat kelairan pemanga akibat interaki antara manga dan pemanga edangkan E merupakan nilai faktor pengambat pertumbuan manga dan pemanga []. (7)

6 34 R. Oktaviani B.Priandono Helmi APLIKASI NUMERIK Pada aplikai numerik ini diberikan conto kau tentang interaki pemangaan ang terjadi antara dua populai dimialkan interaki ang terjadi antara populai ku dan populai ular. Proe peneleaian peritungan dibantu dengan menggunakan program komputer. Pada conto kau diberikan beberapa aumi aitu jumla populai ku ekor dan populai ular 5 ekor ngkat kelairan ku iala 6 dan ngkat kemaan ku akibat interaki dengan ular iala edangkan ngkat kelairan ular iala 4 dan ngkat kemaan ular 3. Keadaan lingkungan di ekoitem juga akan mempengarui laju pertumbuan organime eingga terdapat faktor pengambat pertumbuanna aitu 3. Kau ini bertujuan untuk menentukan jumla populai ku dan ular elama bulan Juli ampai Deember. Peneleaian kau terebut dimulai dengan menentukan nilai awalna aitu x dan 5 dengan x adala populai ku dan adala populai ular. Bear koefiienna adala a 6 b c 3 d 4 dan E 3. Selanjutna diitung jumla populai ular dan ku pada waktu ang tela ditentukan dengan menggunakan metode Heun pada (ukuran langka peneleaian). Jumla populai manga pertama kali diitung dengan menggunakan predictor metode Heun pada aat ari pertama kemudian dikoreki dengan menggunakan corrector metode Heun. Peneleaian dengan menggunakan corrector metode Heun dilakukan dengan proe iterai menggunakan galat relaf ampiran ( 5 6 ) eingga akan diperole jumla populai ku dan ular pada ari pertama. Langka-langka peritungan dengan menggunakan metode Heun untuk ari pertama pada bulan Juli iala:. Mengitung predictor pada xi dan i Untuk i t i i i i i x x f t x 6 3 x x x x x i i g xi i x Mengitung corrector Iterai : Untuk i dan k k k k xi xi f xi i f xi i x x f t x f t x x 6x x 3x 6x x 3x

7 Peneleaian Numerik Sitem Peramaan Diferenial Non Linear dengan k k k i i g xi i g xi i g t x g t x 4x 3 3 4x Kemudian diitung galat relafna dengan menggunakan peramaan: k k k i i k i x x x eingga x Karena x dan maka iterai mai aru dilanjutkan. Iterai 6: Untuk i dan k x x f t x f t x x 6x x 3x 6x x 3x g t x g t x x 3 3 4x Kemudian diitung galatna: 6 5 x x x 6 x

8 Jumla Populai Tiku dan Ular 36 R. Oktaviani B.Priandono Helmi Karena 6x 6 maka iterai x dan pada t diberenkan dengan nilai x dan Selanjutkan dengan menggunakan cara ang ama iterai teru berulang ingga mencapai t 84 (akir bulan Deember). Hail peritungan numerik pada Dengan kata lain jumla populai t iala x dan ku dan ular elama 6 bulan atau 84 ari iala 68 ekor dan 65 ekor Tiku Ular t (Hari) Gambar. Grafik Pertumbuan Tiku dan Ular dari Bulan Juli Sampai Bulan Deember Pemangaan merupakan interaki ang terjadi antara dua atau lebi makluk idup ang menimbulkan kerugian bagi atu peie dan menguntungkan bagi peie lain. Hubungan ang terjadi antara manga dan pemanga menunjukkan bawa banakna populai manga ditentukan ole bear kecilna populai pemanga dan banakna populai pemanga ditentukan ole keterediaan manga. Pada Gambar terdapat empat kondii ang terjadi antara ular (pemanga) dan ku (manga) aitu:. Populai ular ang meningkat menebabkan ular membutukan perediaan makanan ang lebi banak. Hal ini mengakibatkan ngkat kemaan ku meningkat eingga populai ku mengalami penurunan.. Menurunna populai ku mengakibatkan perediaan makanan bagi ular menjadi berkurang. Hal ini mengakibatkan ngkat kemaan ular meningkat eingga populai ular menurun. 3. Menurunna populai ular mengakibatkan pemangaan ang terjadi teradap ku menurun eingga ngkat kelairan ku meningkat. Hal ini mengakibatkan populai ku menjadi meningkat. 4. Meningkatna populai ku mengakibatkan perediaan makanan bagi ular meningkat eingga ngkat kelairan ular juga meningkat. Hal ini mengakibatkan populai ular meningkat. Empat kondii ini akan teru berulang eingga mengailkan uatu bentuk oilai manga dan pemanga. Interaki manga-pemanga ang bear dan berkelanjutan akan mengakibatkan ruakna populai manga [8]. Berdaarkan ail penelian pada Gambar jumla populai manga mendeka jumla populai pemanga. Hal ini membukkan ruakna populai manga akibat adana interaki dengan pemanga.

9 Jumla Populai Tiku dan Ular Peneleaian Numerik Sitem Peramaan Diferenial Non Linear dengan Tabel. Data Hail Peritungan Populai Tiku dan Ular Pada Akir Bulan Juli Sampai Bulan Deember No. Tiku Ular Sumber: Analii Data Juli Agutu September Oktober November Deember t (Bulan) Tiku Ular Gambar. Grafik Pertumbuan Populai Tiku dan Ular Pada Akir Bulan Juli Sampai Bulan Deember Berdaarkan teori pemangaan ang tela diuraikan ebelumna dapat dikatakan peneleaian item peramaan diferenial non linear dengan menggunakan metode Heun uda euai. Hal ini dapat diliat bawa interaki manga-pemanga ang terjadi angat berpengaru dan meruak populai manga ingga pada t 84 jumla populai ku mendeka jumla populai ular dengan jumla populaina iala 68 ekor ku dan 65 ekor ular. PENUTUP Berdaarkan ail pembaaan dan conto aplikai numerik dapat diimpulkan bawa dalam meneleaikan maala nilai awal dengan metode Heun dimulai dengan menentukan nilai koefiien ang terdapat di dalam uatu peramaan. Selanjutna dicari nilai prediki variabel bebana pada t ang tela ditentukan dengan menggunakan metode Euler atau peramaan predictor metode Heun. Nilai prediki ang tela diperole dikoreki dengan menggunakan peramaan corrector metode Heun ang dieleaikan dengan proe iterai. Iterai akan beren jika galat relafna kurang dari dengan merupakan nilai permberenan ang tela ditentukan ebelumna. Peneleaian numerik dengan metode Heun pada item peramaan diferenial non linear model Lotka-Volterra dengan faktor pengambat pertumbuan menunjukkan bawa pertumbuan populai manga dan pemanga mengalami empat kondii eingga membentuk uatu oilai mangapemanga. Interaki ang terjadi mengakibatkan ruakna populai manga. Hail numerik ang

10 38 R. Oktaviani B.Priandono Helmi diperole dengan metode Heun ini uda euai dengan teori pemangaan aitu banakna populai manga ditentukan ole bear kecilna populai pemanga dan banakna populai pemanga ditentukan ole keterediaan manga. Interaki manga-pemanga ang bear dan berkelanjutan akan mengakibatkan ruakna populai manga. Penuli menarankan untuk penelian elanjutna dapat menggunakaan model ail perkembangan Lotka-Volterra ang lain dan mai banak metode ang dapat digunakan untuk meneleaikan item peramaan diferenial eper metode banak langka. DAFTAR PUSTAKA []. Triatmodjo B. Metode Numerik. Yogakarta: Beta Offet;. []. Finizio N. dan Lada G. Peramaan Diferenial Biaa dengan Penerapan Modern [Santoo W tran]. Jakarta: Ed ke- Erlangga; 988. [3]. Boce dan DiPrima. Elementar Differenal Equaon and Boundar Value Problem. New York: Seven Edion Jon wile & Son Inc;. [4]. Saongko S.B. Metode Numerik dengan Scilad. Yogakarta: Andi Offet;. [5]. Munir R. Metode Numerik. Bandung: Informaka; 3. [6]. Munif A. dan Hidaatulla A.P. Cara Prak Penguaaan dan Penggunaan Metode Numerik. Surabaa: Guna Wida; 3. [7]. Murra J.D. Matemacal Biolog I. An Introducon. New York: Tird Edion Springer- Verlag Inc;. [8]. Odum Eugene P. Daar-Daar Ekologi [Ir. Tjajono Samingan M.Sc. tran]. Yogakarta: Ed ke-3 Gadja Mada Univerit Pre; 993. RIZKA OKTAVIANI BAYU PRIHANDONO HELMI : Juruan Matemaka FMIPA UNTAN Ponanak rizkaoktaviani6@gmail.com : Juruan Matemaka FMIPA UNTAN Ponanak beipriandono@gmail.com : Juruan Matemaka FMIPA UNTAN Ponanak elmi35@aoo.co.id