PERTEMUAN 3 PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAM LINIER

Transkripsi

1 PERTEMUAN PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAM LINIER Setelah dapat membuat Model Matematika (merumukan) peroalan Program Linier, maka untuk menentukan penyeleaian Peroalan Program Linier dapat menggunakan metode, yaitu: Metode Grafik dan Metode Simplek.. Metode Grafik Penyeleaian maalah program Linier dengan menggunakan metode grafi pada umumnya mengikuti langkah-langkah ebagai berikut :. Merumukan maalah ali menjadi model matematika yang euai dengan yarat-yarat yang diperlukan dalam model Program Linier, yaitu mempunyai fungi tujuan, fungi kendala, yarat ikatan non-negatif.. Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat diperoleh daerah penyeleaian (Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)/Wilayah Kelayakan)/Daerah Fiibel yang titik-titik udutnya diketahui dengan jela.. Nilai fungi aaran (fungi tujuan) dihitung di etiap titik udut daerah penyelaaian (DMK). 4. Dipilih nilai yang euai dengan fungi tujuan (kalau memakimumkan berarti yang nilainya terbear dan ebaliknya). 5. Jawaban oal ali udah diperoleh. Catatan : Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan maalah program linier yang ber dimeni : x n atau m x, karena keterbataan kemampuan uatu grafik dalam menyampaikan euatu (ebenarnya grafik dimeni dapat digambarkan, tetapi angat tidak prakti). Contoh Soal : PT. Rakyat Beratu menghailkan macam produk. Baik produk I maupun produk II etiap unit laku Rp.,-. Kedua produk terebut dalam proe pembuatannya perlu mein. Produk I perlu jam mein A, jam mein B, dan 4 jam mein C. Produk II perlu jam mein A, jam mein B, dan jam mein C. Teredia mein A yang mampu beroperai jam per mein per hari,

2 teredia 6 mein B yang mampu beroperai jam per mein per hari, dan teredia 9 mein C yang mampu beroperai 8 jam per mein per hari. Berikan aran kepada pimpinan PT. Rakyat Beratu ehingga dapat diperoleh hail penjualan yang makimum! Dan berapa unit produk I dan produk II haru diproduki? Jawab : *) Merumukan permaalahan Program Linier ke dalam model Matematika : Mialkan : unit. Akan diproduki produk I ejumlah X unit dan produk II akan diproduki ejumlah X Maka Fungi tujuannya adalah : Mamakimumkan : Z = X + X MA MB MC Harga jual per unit Produk I jam jam 4 jam Rp.,- Produk II jam jam jam Rp.,- Jumlah Mein buah 6 buah 9 buah Lama Operai jam/mein jam/mein 8 jam/mein Total waktu Operai jam 6 jam 7 jam Keterangan : Lama operai adalah dalam jam/hari/mein. Memakimumkan Total waktu operai adalah ama dengan jumlah mein x lama operai (dalam jam/hari/tipe mein). Syarat Ikatan (fungi Kendala): X + X...i) X + X 6...ii) 4X + X 7...iii) dan X ; X (Syarat Non Negatif). *) Menggambar fungi-fungi kendala ehingga diperoleh daerah penyeleaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidakamaan fungi kendalanya adalah : a). Untuk peramaan X + X =.. (i), titik potong dengan umbu-x jika X = : X + = diperoleh X = 5 maka titik potong dengan umbu-x adalah (5,).

3 Sedangkan titik potong dengan umbu-x jika X = : + X = diperoleh X = maka titik potong dengan umbu-x adalah (,). b). Untuk peramaan X + X = 6...(ii), titik potong dengan umbu-x jika X = : X + = 6 diperoleh X = maka titik potong dengan umbu-x adalah (,). Sedangkan titik potong dengan umbu-x jika X = : + X = 6 diperoleh X = maka titik potong dengan umbu-x adalah (,). c). Untuk peramaaan 4X + X = 7...(iii), titik potong dengan umbu-x jika X = : 4X + = 7 diperoleh X = 8 maka titik potong dengan umbu-x adalah (8,). Sedangkan titik potong dengan umbu-x jika X = : + X = 7 diperoleh X = 4 maka titik potong dengan umbu-x adalah (,4). Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Carteiu adalah : Daerah Fiibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)) adalah daerah yang merupakan irian dari daerah yang memenuhi kendala :

4 ). X + X, ). X + X 6, ). 4X + X 7, 4). X ; 5). X Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah terebut terletak di dalam daerah yang dibatai oleh titiktitik O(,), A(5,), D(,), titik B yaitu titik potong antara gari X + X = dan gari 4X + X = 7, dan titik C adalah titik potong antara gari X + X = 6 dan gari 4X + X = 7.. Adapun cara menghitung titik B dan C terebut dengan menggunakan metode Eliminai dan Subtitui, ebagai berikut: *) Titik B perpotongan antara gari X + X = dan gari 4X + X = 7, dengan mengeliminai X, dapat dihitung : 4X + X = 6...i) 4X + X = 7...iii) - X = X = Untuk X = diubtituikan ke peramaan X + X = ehingga : X + = X = 9 maka titik B adalah (9,) *) Titik C perpotongan antara gari X + X = 6 dan gari 4X + X = 7, dengan mengeliminai X, dapat dihitung : X + X = 6...i) 4X + X = 7...iii) - X = X = 6 Untuk X = 6 diubtituikan ke peramaan X + X = 6 ehingga : + X = 6 X = 6 maka titik C adalah (6,6) Daerah penyeleaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang titik-titik udutnya adalah : O(,), A(5,), B(9,), C(6,6), dan D(,). *) Penyeleaian dari oal diata adalah menghitung nilai fungi aaran (Z = X + X) di etiap titik udut-titik udut Daerah yang Memenuhi Kendala, ehingga:

5 di titik O (,) Z (,) =. () +.() =, di titik A (5,) Z (5,) =.(5) +.() = 45., di titik B (9,) Z (9,) =.(9) +.() = 6., di titik C (6,6) Z(6,6) =.(6) +.(6) = 66., di titik D (,) Z(,) =.() +.() = 6., *) Fungi Tujuan adalah mencari nilai makimumnya ehingga nilai yang euai adalah terletak pada titik C(6,6) yaitu dengan nilai fungi tujuannya Rp. 66., *) Sehingga agar diperoleh laba yang makimum maka Pimpinan PT. Rakyat Beratu haru memproduki Produk I ebanyak 6 unit dan Produk II ebanyak 6 unit, ehingga mendapat laba makimum ebear Rp.66.,. Soal-oal Latihan. Sebuah indruti kecil memproduki dua jeni barang A dan B dengan memakai dua jeni mein M dan M. Untuk membuat barang A, mein M beroperai elama menit dan mein M beroperai elama 4 menit. Untuk membuat barang B, mein M beroperai elama menit dan mein M beroperai elama 4 menit. Mein M da M maing-maing beroperai tidak lebih 8 jam tiap hari. Keuntungan berih untuk etiap barang A adalah Rp. 5, dan untuk barang B adalah Rp.5,. Berapakah jumlah barang A dan B haru diproduki agar keuntungannya yang ebear-bearnya dan bearnya keuntungan terebut!. Sebuah indutri memiliki umber daya berupa mein, tenaga kerja dan bahan baku maingmaing adalah ebagai berikut : bahan baku ebanyak unit dan tenaga kerja yang dapat dikaryakan elama 8 jam, mein dapat beroperai elama 8 jam. dengan menggunakan umber daya diata indutri terebut akan memproduki produk I dan produk II, dengan ketentuan ebagai berikut : Produk Sumber daya yang dibutuhkan Keuntungan Bahan Baku Tenaga Kerja Mein Berih A 5 8 B 4 6 Tujuan ang indutriawan adalah memakimumkan keuntungan berih peruahaannya. Seleaikan permaalahan Program Linier diata agar tujuan ang indutriawan tercapai!

6 . Sebuah pabrik baku akan memproduki buku jeni polo dan buku jeni bergari. Dalam atu hari pabrik itu paling banyak memproduki buku. Dari bagian penjualan diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak lebih dari 8 buku polo dan 6 buku bergari. Keuntungan tiap buku jeni polo adalah Rp., dan bergari adalah Rp.5,. Berapakah keuntungan berih ebear-bearnya yang dapat diperoleh tiap hari? Berapa banyak buku polo dan bergari yang haru diproduki tiap hari! 4. Seleaikan Peroalan Program linier Berikut ini:: Memakimumkan Z = 5 X + 4 Y Fungi Kendala: a). X + 5 Y 5 d). X Y b). X + Y 6 e). X + Y 6 c). X + Y 5 dan X, Y 5. Seleaikan Peroalan Program linier Berikut ini:: Meminimumkan Z = X + Y Fungi Kendala: a). X + Y d). X 8 Y b). X + Y 4 e). X 8 c). X + 4 Y dan X, Y

7 Periapan Metode Simplek Untuk menyeleaikan Peroalan Program Linier dengan menggunakan Metode Simplek, ebelumnya perlu memperhatikan beberapa hal ebagai berikut:. Mengubah emua kendala ke dalam bentuk peramaan dengan menambahkan (mengurangkan) variable lack (S), ehingga dari fungi kendala yang ada akan menghailkan ytem peramaan linier yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk : AX = B (dimana A = [aij], X = [xj], B = [bi] adalah matrik). Contoh : Fungi Kendala: a). 4X + X 4 diubah menjadi peramaan menjadi : 4X + X + = 4 b). X + X diubah menjadi peramaan menjadi : X + X + = Kedua kendala di ata jika dinyatakan ke dalam bentuk perkalian matrik AX = B menjadi: 4 X X 4 = A = [a ij ] X = [x j ] B = [b i ]. Menambahkan emua variable lack (S) yang ada ke dalam fungi tujuan dengan koefiien nol (). Contoh : Memakimumkan Z = 7X + 5X + + Apabila fungi tujuan terebut dinyatakan ke dalam bentuk perkalian matrik : Z = CX adalah ebagai berikut:

8 Z = [ 7 5 ] X X C = [c j ] X = [x j ]. Mengidentifikai matrik Identita (In) pada matrik A. Dalam mengidentifikai matrik identita dalam matrik A, komponen matrik identita dibaca ecara matrik kolom dan tidak elalu urut. Contoh : I =, komponen matrik identita ecara matrik kolom adalah :,, dan. 4. Membentuk matrik Identita dengan menambahkan variable emu (V). Jika dalam matrik A belum teruun (terbentuk) matrik identita, maka matrik identita dapat diuun dengan menambahkan variabel emu pada fungi kendala. Contoh : Memakimumkan Z = 75 X + 45 Y Fungi Kendala: a). X + Y 8 b). X 5 c). Y d). X + Y, dan X, Y Jika fungi kendala peroalan terebut dinyatakan dalam peramaan akan menjadi : a). X + Y + = 8 b). X = 5 c). Y = d). X + Y 4 = Apabila dinyatakan dalam bentuk AX = B, akan menjadi:

9 4 Y X = 5 8 Dalam matrik A di ata belum teruun matrik Identita (I4), karena komponen penyuun matrik Identita (I4) belum lengkap. Yang teruun baru komponen. Sehingga komponen,, haru dibentuk dengan menambahkan variabel V pada kendala ke-, V pada kendala ke-, dan V pada kendala ke-4, ehingga fungi kendala di ata dapat dinyatakan dalam bentuk ebagai berikut: a). X + Y + = 8 b). X + V = 5 c). Y + V = d). X + Y 4 + V = dan apabila dinyatakan dalam bentuk AX = B menjadi: 4 V V V Y X = 5 8

10 5. Menambahkan emua variable emu yang ada ke dalam fungi tujuan dengan koefiien ± M (dimana M = Bilangan yang cukup bear). Jika fungi tujuan memakimalkan maka koefiien dari V pada fungi tujuan adalah M, dan ebaliknya). Contoh : Jika fungi kendala dinyatakan eperti pada catatan 4 di ata, maka fungi tujuan Memakimumkan Z = 75 X + 45 Y dapat dinyatakan ke dalam bentuk: Memakimumkan Z = 75 X + 45 Y MV MV MV Apabila dinyatakan ke dalam notai matrik menjadi: Z = [ M M M] X Y 4 V V V Peroalan Program Linier yang memenuhi ketentuan-ketentuan terebut di ata akan menghailkan Bentuk Kanonik Simplek. Contoh Soal: Ubahlah peroalan Program Linier berikut ke dalam Bentuk Kanonik Simplek:. Memakimumkan Z = X + X Fungi Kendala: a). X + X b). X + X 6 c). 4X + X 7, dan X, X. Meminimumkan Z = X + 6 X Fungi Kendala: a). X + X

11 b). 8X + 5X 4 c). 7X + X 7, dan X, X. Memakimumkan Z = 4 X + 5 X Fungi Kendala: a). 5X + 4X b). X + 6X = 8 c). 8X + 5X 6, dan X, X 4. Meminimumkan Z = X + X + 5 X + 6 X4 Fungi Kendala: a). X + 4X + 6X + X4 4 b). X + X X + X4, dan X, X, X, X4. 5. Memakimumkan Z = 4 X + X X + 5 X4 Fungi Kendala: a). X + X + X + 4X4 5 b). X X + X + X4 5 c). X + X + X + X4 =, dan X, X, X, X4.