( ) r( t) 0 : tingkat pertumbuhan populasi x

Transkripsi

1 III PEMODELAN Model Perumbuan Koninu Terbaasnya sumber-sumber penyoong (ruang, air, maanan, dll) menyebaban populasi dibaasi ole suau daya duung lingungan Perumbuan populasi lamba laun aan menurun dan airnya aan bereni jia daya duung lingungan ercapai Model dari perumbuan populasi ersebu dapa diulisan sebagai beriu: d = r d K (3) dengan, d : laju perubaan populasi d eradap wau : jumla populasi suau spesies pada wau r > adala onsana inga perumbuan inrinsi K > adala daya duung lingungan (carrying capaciy) Model ini perama ali diusulan ole Veruls (838) yaiu seorang maemaiawan dari Belgia Veruls menyebu model ini dengan persamaan logisi yang menggambaran laju perubaan populasi suau spesies unggal dengan wau yang oninu (Hallam and Levin, 986) Persamaan Logisi Ta Oonom Sala sau benu variasi dari persamaan logisi () yaiu persamaan logisi a oonom, yang arinya secara esplisi variabel muncul dalam persamaan Modelnya adala sebagai beriu: d = r, d K dengan, d : laju perubaan populasi pada wau d > (32) ( ) : jumla populasi suau spesies pada wau > r( ) : inga perumbuan populasi pada wau K : daya duung lingungan yang merupaan fungsi oninu posiif (carrying capaciy) Model ini dinamaan persamaan logisi a oonom arena inga perumbuan K dan inrinsi ( r ), carrying capaciy jumla populasi ( ) merupaan suau fungsi yang erganung pada wau Hal ini erjadi disebaban arena adanya pengaru aunan yang mempengarui laju perubaan populasi ersebu Sala saunya yaiu adanya pengaru musim Model Perumbuan Disre Fenomena-fenomena perubaan populasi yang erjadi secara oninu dapa dimodelan e dalam suau persamaan diferensial yang dapa mempredisian laju perubaan populasi ersebu di masa yang aan daang Seperi pada model () Teapi, banya juga fenomena perubaan populasi yang erjadi secara disre Fenomena ini biasanya dimodelan e dalam suau persamaan beda Hal ini digambaran ole persamaan beriu: ( ) = I ( ( ) ), = τ, =,2, (33) ( τ ) ( τ) ( ( τ) ) = I, =,2, dengan, ( ) : perubaan populasi eradap wau I : operaor yang erbaas τ : wau e- IV ANALISIS MODEL Model (3) menggambaran laju perubaan populasi suau spesies unggal dengan wau yang oninu Ada beberapa omponen yang mempengarui laju perubaan populasi ersebu yaiu jumla populasi, inga perumbuan inrinsi ( r ) yang dipengarui ole inga elairan dan inga emaian, dan daya duung 4

2 lingungan ( K ) yang dipengarui ole sumber-sumber penyoong yang ersedia Jia sumber maanan yang ersedia berlimpa maa populasi aan meninga Jia al ini berlangsung erus, maa populasi yang erlalu besar aan menyebaban erjadinya persaingan anar spesies unu mendapaan maanan yang sama Seingga lama elamaan maanan yang ersedia aan menurun dan menyebaban jumla populasi menurun Hal ini bisa mengaibaan jumla emaian aan meninga Dan jia inga produiviasnya menurun, maa lamba laun perumbuan populasi aan lamba baan bereni Jia jumla populasi lebi besar dari daya duung lingungan K, maa inga perumbuan populasi aan menurun dan populasi menuju e ara daya duung lingungan K Dan jia jumla populasi lebi ecil dari K, maa inga perumbuan populasi aan meninga dan populasi menuju e ara daya duung lingungan K Model (32) merupaan benu variasi dari persamaan logisi (3) Pada model (3), inga perumbuan inrinsi dan daya duung lingungan merupaan onsana posiif Sedangan pada model (32), r dan K merupaan suau fungsi dari wau Seingga, model (32) ini dinamaan persamaan logisi a oonom, arena r dan K erganung pada wau Adanya perbedaan musim yang erjadi pada suau wilaya aau empa bisa menjadi sala sau sebab adanya perbedaan inga perumbuan dan daya duung lingungan menuru wau erenu Misalnya saja pada musim emarau suau spesies erenu mengalami eurangan maanan dan air disebaban eeringan Hal ini bisa menyebaban anga emaian spesies ersebu menjadi inggi arena eerganungan spesies ersebu pada sumber maanan dan air Tenu saja ondisi ini aan berbeda eia berada pada musim-musim yang lain Dimana anga emaian dan anga elairan bisa berubauba sesuai dengan musim erenu Dan juga perbedaan musim ini bisa menyebaban daya duung lingungannya berbeda-beda juga Seingga menyebaban populasi ersebu mengalami fluuasi Banya populasi binaang yang mengalami fluuasi secara musiman dengan penurunan populasi pada musim dingin, ii renda pada musim semi, enaian pada musim panas dan ii yang inggi pada musim gugur Misalnya saja populasi burung puyu di California, Loporyc californicus yang mengalami penurunan pada musim dingin dan musim semi dan enaian yang iba-iba pada bulan Juni eia ana-ananya muncul (Sladen and Bang, 969) Model (3) dan (32) menggambaran laju perubaan populasi suau spesies anpa adanya pemanenan Arinya, ida ada pengaru dari luar (seperi perburuan, pemancingan, dll) yang mempengarui laju perubaan populasi ersebu Model (33) menggambaran fenomena perubaan populasi yang erjadi secara disre Ada beberapa spesies ewan yang biasanya mengalami proses elairan dan masa awin seiap sau aun seali, seingga uuran populasi ewan ersebu diiung seiap sau aun seali Ole arena iu, model ini merupaan model yang sesuai unu mempredisian fenomena perubaan populasi yang diiung secara aunan 4 Pencarian Solusi A Mencari Solusi Persamaan (3) Solusi dari sisem (3) adala sebagai beriu: r Ke = r K e [Uraian lebi lengap dapa dilia di lampiran ] B Mencari Solusi Persamaan (32) Persamaan (32) merupaan persamaan logisi a oonom yang berari fungsi r dan K erganung pada wau Model (32) merupaan sala sau model yang suli diselesaian secara esplisi Ole arena iu, unu mendapaan solusi dari sisem (32) diperluan adanya suau meode yaiu dengan menggunaan meode periraan Solusi yang aan diperole dari persamaan ini yaiu dalam benu disre Model (32) merupaan ipe-bernoulli dan persamaan ini dapa diselesaian jia r dan K adala oninu sepoong-sepoong (piecewise coninuous) pada R =, yang [ ) seiap bagiannya merupaan fungsi onsan (Hallam and Levin, 986) Berdasaran definisi oninu sepoong-sepoong (Rice and Srange, 994), maa ia dapa membagi inerval, e dalam sejumla ingga [ ) subinerval erbua c < < d, seingga fungsi r dan fungsi K oninu pada iap subinerval dan fungsi r dan K mempunyai limi ingga 5

3 eia mendeai iap-iap ii ujung dari inerval ersebu, seingga lim r dan lim r ada c lim K c d dan lim K ( ) d ada Unu mencari solusi sisem (32), fungsi r dan fungsi K dideai dengan fungsi bilangan bula erbesar, yang merupaan fungsi oninu sepoong-sepoong Seingga pada fungsi r dan K ia gani menjadi, dengan > yang menunjuan uuran langa Persamaan (32) menjadi r d = r d K τ n, ( n ) ), n Ζ, n, (4) merupaan bilangan bula erbesar yang urang dari aau sama dengan Arinya, = n n < n n < ( n ) berada pada inerval n, ( n ) ) Jadi, dengan n Ζ Jia ia uraian, maa diperole beberapa subinerval: ; < ; 2 < = n = 2 ;2 < 3 3 ;3 < 4 M Lemma Fungsi r dan K yang didefinisian seperi diaas adala fungsi yang oninu sepoong-sepoong Bui: Unu membuian bawa dengan menggunaan fungsi bilangan bula erbesar pada fungsi r dan K, aan ia dapaan fungsi r dan K yang oninu sepoongsepoong, maa perama ali yang arus ia buian adala r dan K oninu pada iap subinerval erbua diaas ) Unu inerval < r = r( ) = r( ) lim r = r = r lim r r( ) r( = = lim r r = lim r r( ) = 2) Unu inerval < 2 r = r = r 2 ( ) lim r r r = = lim r = r = r lim r r = ) ( ) lim r r( ) = 2 dan seerusnya unu inerval-inerval beriunya Begiu pula pada fungsi K, ia buian bawa fungsi K oninu pada iap subinerval ) Unu inerval < K = K( ) = K( ) lim K = K = K lim K K( ) K( ) = = 2) Unu inerval < 2 K = K( ) = K( ) lim K K K = = lim K K( ) K( ), = = 2 dan seerusnya unu inerval-inerval beriunya Jadi, erbui bawa fungsi r dan fungsi K oninu pada iap-iap subinerval 6

4 Selanjunya, ia buian bawa lim r lim r ada c lim K c dan d dan lim K ( ) d ) Unu inerval < lim r = r lim r r = lim K = K lim K K( ) = 2) Unu inerval < 2 2 ada lim r r r = = ( ) lim r = r = r lim K K = lim K K( ), = 2 dan seerusnya unu inerval inerval beriunya dapa ia buian bawa nilai limi iri dan limi anannya ada Karena = n, maa dari persamaan (4) diperole d r( n) ( ) = rn d K ( n) Unu menyederanaan penulisan, maa ia ulis: d r( n) 2 = r( n) ( ), n, ( n ) ) d K n (42) = K n dengan, r( n) = r( n) dan K ( n) Seingga solusi dari persamaan (322) adala sebagai beriu: e ( n ) = n r( n) r( n) e K n n (43) [Uraian lebi lengap dapa dilia di lampiran 2] C Mencari Solusi Persamaan (33) Begiu pula unu persamaan (33), ia pili fungsi adala fungsi bilangan bula erbesar, seingga τ pada fungsi ia τ gani menjadi = m, =,2, τ merupaan bilangan bula erbesar yang τ urang dari aau sama dengan Arinya, τ τ = m m < m Jadi, m τ < m τ berada pada inerval ( ) ) m, m,dengan Ζ m Jia ia uraian, maa diperole ; τ < 2 τ 2;2 3 τ < = m = 3;3 τ < 4 M Dari persamaan (33) = I, = τ, =,2, ( ) ( τ ) ( τ) = ( ( τ) ) I seingga diperole, τ τ τ = I, =,2, (44) τ Karena = m, maa (( m ) ) = ( m) I ( ( m) ) Dinoasian ( m ) ( m ) =, seingga solusi dari sisem (33) adala sebagai beriu: ( m ) = ( m) I ( ( m )) (45) 42 Penenuan ii eap Tii eap pada persamaan (3) dapa diperole dengan menenuan persamaan d =, seingga dari persamaan (3) d diperole: r = K 7

5 r = aau = K = aau = K (46) Berdasaran persamaan (46) maa diperole 2 ii eap unu persamaan (3) yaiu = aau = K 43 Analisis Kesabilan 43 Analisis esabilan ii eap pada sisem (3) ) Dengan menggunaan gambar Unu menenuan esabilan dari ii eap diaas, ia gambar persamaan (3) e dalam suau bidang veor dan ara aliran dari gambar aan ia perole jia ia memisalan & > dan & < * Jia & > r > K r > aau > K > aau < K * Jia & < r < K r < aau < K < aau > K & K Grafi Bidang fase dari persamaan logisi Ara aliran e anan jia & > dan ara aliran e iri jia & < Jadi, ii eap = merupaan ii eap ida sabil, arena aranya menjaui ii ersebu Dan ii eap = K merupaan ii eap sabil arena aranya menuju ii ersebu Tii eap sabil digambaran dengan bulaan penu dan ii eap ida sabil digambaran dengan bulaan ida penu 2) Dengan cara pelinearan Kesabilan ii eap pada sisem (3) dapa juga dienuan dengan cara pelinearan Dari persamaan (3), f ( ) = r, dengan ii eap K = dan 2r = K Maa, f ( ) = r K = f = r Unu ii eap Unu ii eap = K f K = r Ole arena iu, = merupaan ii eap ida sabil, arena f ( ) > Dan = K merupaan ii eap sabil, arena f < Berdasaran dari 2 cara diaas, dapa disimpulan bawa ii eap = merupaan ii eap ida sabil Tii eap = mempunyai ari bawa pada ii ersebu ida ada individu yang bereprodusi (laju perubaannya nol), seingga populasi aan umbu dan aan menjaui ii ersebu Tii eap = K merupaan ii eap sabil, arinya jumla populasi aan selalu mendeai ii ersebu yaiu mendeai daya duung lingungan 432 Analisis esabilan solusi pada sisem (3) Solusi yang ela diperole pada model (3) merupaan solusi yang sabil Hal ini bisa diunjuan sebagai beriu: r Ke K lim = lim = lim r K ( e ) K r r e e K = = K K K (menuju solusi Karena eseimbangan yang sabil) eia, maa solusi adala sabil 433 Analisis esabilan solusi dari sisem (32) dan (33) Kesabilan dari solusi disre yang ela diperole pada sisem (32) dan (33) merupaan sabil asimoi Hal ini dapa diunjuan ole eorema beriu: Teorema Misalan syara beriu erpenui: 8

6 r n, n Ζ, R = sup r n <, n Ζ ( n), sup K( n) < < K* inf K, n Ζ n Ζ I ( ( m )) = c( m ) dengan c > Maa unu > memenui peridasamaan ln c / dan suau solusi ( ) > ( n) R dari (44) yang sesuai unu memenui peridasamaan rn ( j ) j n n e ep ri ep rn n ( ) i= j= Kn ( j) l l= (47) Bui: Lia di lampiran 3 Teorema 2 Misalan semua asumsi dari Teorema erpenui dan misalan erdapa suau bilangan L > seingga m lim r( n j) = L, m Ζ, seragam m m j= pada n Ζ (48) Maa solusi dari sisem (44) menuju e ( n) ( n) n ( n) eia, dimana diberian sebagai beriu r( n j) j e ( n) = ep r( n ) j = K( n j) l l= seingga n n eia n Bui: Lia di lampiran 3 44 Cono Kasus 44 Cono Kasus pada Model (3) Unu =, = K, < K, > K ) Misalan r =, = dan K = d = ( ) d = 2) Misalan r =, = dan K = d = ( ) d = Arinya bawa, jia populasi awalnya, maa populasi aan eap onsan (laju perubaan populasi sama dengan nol) Begiu pula jia populasi awalnya = K, maa populasi aan eap onsan 3) Unu asus < K misalan = 5, r =, K = d 5 = ( 5) d = 25 = 5 25 = 525 Dengan menggunaan program Scilab: --> funcion do=f(,) --> do=r**(-/k); --> endfuncion --> =:; --> r=; --> K=; --> =ode (5,,,f); --> basc;plo2d(,) Diperole grafi sebagai beriu: Grafi 2 Dinamia populasi eradap dengan = 5 Berdasaran grafi diaas dapa ia lia bawa eia < K, jumla populasi ( ) aan erus meninga menuju daya duung lingungannya Teapi, nilai ida aan melebii daya duung lingungannya 4) Unu asus populasi awal lebi besar dari daya duung lingungan ( > K ), misalan = d = ( ) d = = = 89 Dari cono 4 ini dapa ia lia bawa jia > K, maa laju perubaannya menjadi negaif seingga semain lama populasi aan 9

7 menurun dan aan menuju daya duung lingungannya Hal ini dapa ia lia pada grafi beriu: Tabel Nilai ( ) dengan = 5 = = sampai dengan unu Dengan menggunaan program scilab: --> funcion do=f(,) --> do=r**(-/k); --> endfuncion --> =:5; --> r=; --> K=; --> =ode (,,,f); --> basc;plo2d(,) Diperole grafi sebagai beriu: r( ) K ( ) d d ) Misalan r = 2, K = 5, = Tabel 2 Nilai ( ) dengan = = = sampai dengan unu Grafi 3 Dinamia populasi eradap dengan = 442 Cono Kasus pada Model (32) ) Misalan r = 2, K = 5, = d = ( ) ( ) 2 d 5 = ( 2( ) )( ) 5 = Ini arinya bawa jia populasi awalnya, maa populasi aan eap onsan (laju perubaan populasi sama dengan nol) Jia populasi awalnya aan eap onsan = K, maa populasi 2) Misalan r = 2, K = 5, = 5 r( ) K ( ) d d ) Solusi yang ela diperole pada model (32) adala sebagai beriu: e ( ( n ) ) = n r( n) r( n) e K n n A Misalan [,] = = (dengan subinerval), maa 2

8 ; < ; < 2 2;2 < 3 3;3 < 4 4;4 < 5 = n = 5;5 < 6 6;6 < 7 7;7 < 8 8;8 < 9 9;9 < ; < a) Misalan r = 2 r n = r n = 2 n ( = ) = r = r = = r = 2 r = 2 = 2 r 2 = 4 r 2 = 4 = r = r( ) = 2 2 = 2 r 2 = 5 r( 2) = M b) Misalan K= 5 Kn= n 5 ( = ) = K = 5 K = 5 = K = 5 K = 5 = 2 K 2 = 52 K 2 = 52 = K = 55 K( ) = = 2 K 2 = 525 K( 2) = M c) Misalan rn= rn= 2 nkn, = Kn= n 5 dan = 5 Tabel 3 Nilai ( n ) dengan = 5 unu n = sampai dengan n = n r( n ) K ( n ) ( n ) Dari daa diaas dapa ia lia bawa, dengan berambanya nilai n, maa nilai ( n ) semain meninga Teapi, nilai ( n ) unu masing-masing nilai n ida melebii nilai K ( n ) unu masing-masing nilai n Arinya bawa, populasi ida aan melebii masing-masing daya duung lingungannya (n) Grafi 4 Hubungan n ( ) = 5 (n) n dan ( n ) unu d) Misalan r n = 2 n, K n = n 5, = Tabel 4 Nilai ( n ) dengan unu n = sampai dengan n = = n r( n ) K ( n ) ( n )

9 Dari abel 4 diaas dapa ia lia bawa pada saa n = sampai 7 nilai n n = mengalami penurunan dan seela n = 7, nilai n mengalami enaian Hal ini berari bawa, populasi mengalami fluuasi dan eia populasi awalnya melebii daya duung lingungannya, maa populasi aan menurun mendeai daya duung lingungannya eapi ida aan melebii daya duung lingungannya (n) Grafi 5 Hubungan n ( ) = (n) n dan ( n ) dengan B Misalan = 5 5 n, n 5 Maa, a) Misalan 5 ) ; < 5 ; 5 < 2; < 5 3;5 < 2 4;2 < 25 = n 5;25 < 3 6;3 < 35 7;35 < 4 8;4 < 45 9;45 < 5 ;5 < 55 r = 2 r n = 2 n ( = 5) = r = r = = r = 2 r = 2 = 2 r 2 = 4 r 2 = 4 = r = 2 2 r( 5) = = 2 r 2 = r( 25) = 5 b) Misalan K = 5 Kn= n 5 = K = 5 K = 5 = K = 5 K = 5 = 2 K 2 = 52 K 2 = 52 = 5 K 5 = 55 K 5 = 55 = 25 K 25 = 525 K 25 = 525 c) Misalan r n = 2 n, K n = n 5, = 5 = = 5 r 5n n K 5n = 5n 5 Tabel 5 Nilai ( n ) dengan dan = 5 unu n = sampai dengan n = 2 = 5 n r( 5n ) K ( 5n ) (( n ) )

10 Dari daa diaas dapa ia lia bawa, dengan berambanya nilai n, maa nilai n semain meninga Teapi, nilai ( ) n unu masing-masing nilai n ida melebii nilai K ( n ) unu masing-masing nilai n Arinya bawa, populasi ida aan melebii masing-masing daya duung lingungannya (n) (n) Dari abel diaas dapa ia lia bawa pada saa n = sampai 5 nilai n n = mengalami penurunan dan seela n = 5, nilai n mengalami enaian Hal ini berari bawa, populasi mengalami fluuasi dan eia populasi awalnya melebii daya duung lingungannya, maa populasi aan menurun mendeai daya duung lingungannya eapi ida aan melebii daya duung lingungannya Grafi 6 Hubungan n ( ) = 5 n dan ( n ) unu (n) (n) d) Misalan r n = 2 n, K n = n 5, = = = 5 r 5n n K 5n = 5n 5 Tabel 6 Nilai ( n ) dengan = dan = 5 unu n = sampai dengan n = Grafi 7 Hubungan n ( ) = n dan ( n ) unu n r( 5n ) K ( 5n ) (( n ) ) Cono Kasus pada Model (33) Misalan τ [,] = = (dengan subinerval), maa ; τ < ; τ < 2 2; 2 τ < 3 m = 3;3 τ < 4 M ; τ < 23

11 a Misalan populasi awal ( ) = 5 dengan inga perumbuan % per aun I ( ( m )) = ( m ), maa jumla populasi yang aan daang dapa dipredisian sebagai beriu: ( m ) ( m) = ( m ) ( ) = ( m) ( 3) = 555 ( 4) = 523 ( 5) = 5255 ( 6) = 5375 ( 7) = 5366 ( 8) = 5442 ( 9) = ( ) = m = = 5 = 55 2 = = 55 = 55 b Misalan I m = 4 m, = 5 ( ( ) ) ( ) = = = = = = ( 3) = ( 4) = ( 5) = 6833 ( 6) = ( 7) = ( 8) = ( 9) = 766 ( ) = Dari dua daa diaas dapa ia lia bawa populasi aan beramba dari wau e wau V SIMPULAN Pada persamaan logisi (3), ada 2 ii eap yang diperole Teapi anya sau ii eap yang sabil yaiu pada saa jumla populasi sama dengan daya duung lingungannya Hal ini berari bawa populasi aan selalu menuju daya duung lingungannya Sedangan pada persamaan logisi a oonom, ida diperole ii eap Berdasaran cono asus yang ela diperole pada model (3), eia populasi awalnya sama dengan nol dan populasi awalnya sama dengan daya duung lingungannya, maa populasi aan eap onsan Keia populasi awalnya urang dari daya duung lingungannya, maa populasi aan meninga menuju daya duung lingungan Dan eia populasi awalnya lebi dari daya duung lingungannya, maa populasi aan semain menurun dan menuju daya duung lingungan Begiu pula pada model (32), eia populasi awal nol dan populasi awal sama dengan daya duung lingungan awal maa populasi eap onsan Keia populasi awal urang dari daya duung lingungan awal, maa populasi aan meninga Teapi ida aan melebii masing-masing daya duung lingungan Dan eia populasi awal lebi dari daya duung lingungan awal, maa populasi aan menurun dan pada wau erenu populasi aan meninga Berdasaran analisis esabilan solusi pada model (32) dan (33), maa disimpulan bawa solusi yang ela diperole merupaan solusi yang sabil asimoi Hal ini berari bawa eia wau menuju a ingga, maa populasi aan menuju nol 24