PEMODELAN ARFIMA NONSTASIONER MELALUI METODE MODIFIKASI GPH ( GEWEKE AND PORTER- HUDAK) ABSTRAK

Transkripsi

1 PEMODELAN ARFIMA NONSTASIONER MELALUI METODE MODIFIKASI GPH ( GEWEKE AND PORTER- HUDAK) Gumgum Darmawan Saf Pengajar Jurusan Saisia FMIPA UNPAD gumsa_973@yahoo.com ABSTRAK Paa maalah ini aan i baningan ua meoe pemoelan ARFIMA melalui Meoe GPH (Gewee an Porer-Hua) an Meoe MGPH (Moificaion of GPH). Keua meoe iaas mempunyai benu perioogram yang sama sebagai variabel a bebas ari regresi speral hanya berbea paa variabel bebasnya. Berasaran hasil simulasi, aurasi penasiran parameer Meoe GPH mempunyai aurasi yang lebih bai unu Moel ARFIMA(,,0) ibaningan engan Meoe MGPH, seangan unu Moel ARFIMA(0,,) Meoe MGPH lebih bai ibaningan engan Meoe GPH. Secara eseluruhan, Meoe MGPH mempunyai sanar eviasi penasiran parameer Moel ARFIMA yang lebih bai ibaningan engan Meoe GPH. Kaa Kunci : ARFIMA, Perioogram, Regresi Speral

2 . Penahuluan Meoe GPH (Gewee an Porer-Hua) aalah meoe penasiran parameer ari Moel ARFIMA ( Auoregressive Fracionally Inegrae Moving Average). Kelebihan Meoe GPH ibaningan engan yang lainnya seperi Meoe Masimum Lielihoo (Sowell,99), Meoe Nonlinear Leas Square (Beran,995) aalah flesibilias alam penasiran parameerya. Penasiran parameer pembea paa Meoe GPH apa ilauan secara langsung anpa mengeahui nilai parameer p an q erlebih ahulu. Meoe GPH perama ali iusulan oleh Gewee an Porer-Hua paa ahun 983, imana persamaan speral ARFIMA ibenu menjai persamaan regresi speral engan log perioogram sebagai variabel a bebasnya. Meoe ini iembangan oleh Reisen (994) yang ienal engan Meoe SPR (Smoohe Perioogram Regression), Reisen melauan pemulusan paa perioogram engan menggunaan winow Parzen. Paa ahun 995, Robinson melaluan Trimming unu mengubah nilai banwih paa Meoe GPH yang ienal engan GPHTr (GPH rimming). Hurvich an Ray (995) an Velasco (999a), melauan apering paa perioogram engan menggunaan aper Cosine-Bell, meoe ini ienal engan nama GPHTa (GPH apering). Kemuian Velasco (999b), memoifiasi variabel bebas ari persamaan regresi speral Meoe GPH ari benu sin / menjai j, meoe ini ienal engan nama MGPH (Moificaion of Gewee an Porer j Hua). Perbaningan aurasi penasiran parameer Moel ARFIMA engan menggunaan meoemeoe iaas elah banya iaji oleh para penelii. Reisen an Lopes (999), membaningan aurasi penasiran Meoe GPH an SPR, ari hasil simulasi Meoe SPR mempunyai aurasi yang lebih bai ibaningan engan meoe GPH. Lopes, Olberman an Reisen (004) membaningan aurasi penasiran ari elima meoe iaas, yaiu GPH, SPR, GPHTr, GPHTa an MGPH unu Moel ARFIMA Nonsasioner hasilnya Meoe SPR menunjuan aurasi erbai, aan eapi Meoe MGPH mempunyai sanar eviasi yang paling ecil. Paa maalah ini aan iaji aurasi penasiran parameer pembea melalui Meoe MGPH, walaupun ia seaura Meoe SPR aan eapi meoe ini mempunyai nilai sanar eviasi yang relaif ecil, sehingga perlu iperimbangan. Disamping iu, paa maalah ini aan iaji aurasi peramalan ari eua meoe iaas unu Moel ARFIMA (,,0) an Moel ARFIMA (0,,). Persamaan ARFIMA Moel ARFIMA (p,, q) yang iembangan Granger an Joyeux (980) iulis sebagai : B Z ( B a ( B ) ), ( ) engan : = ines ari pengamaan, = parameer pembea (bilangan pecahan),

3 = raa-raa ari pengamaan, a IIDN(0, a ), ( B) B B... B p p aalah polinomial AR(p), q ( B) B B... qb aalah polinomial MA(q), B 0 B operaor pembea pecahan. Unu suau bernilai pecahan, operaor ifferencing frasional B iefinisian sebagai B B. ( )! Jia persamaan unu =, iperoleh unu =, iperoleh unu = 3, iperoleh! paa persamaan () ijabaran unu berbagai nilai maa : ( ) ( )!, ( )! ( )!! ( ) ( )! ( ), ( )! ( )!! ( 3) ( )! ( )( ), ( )3! ( )!3! 6 an seerusnya. Persamaan () apa iulis embali menjai B B, engan 0,,, 3 an seerusnya. 6 Sehingga, persamaan () i aas apa iulis menjai ( B ) B ( ) B 6 3 ( ) B... Persamaan regresi speral yang ibenu oleh Gewee an Porer-Hua aalah, Z j W 0 f sin j / ln I ln ln, ( 4 ) Nilai parameer ienuan engan menggunaan meoe OLS (Orinary Leas Square). Velasco (999b) menyaranan benu perioogram yang sama engan Meoe GPH engan mengganian ( 3 )

4 j sin / menjai j sebagai variabel bebasnya. Penasiran parameer an ilauan engan menggunaan Meoe Masimum Lielihoo. Seelah nilai oefisien pembea ari aa ieahui berasaran Meoe GPH an Meoe MGPH ilauan pembeaan sebesar paa aa ersebu, sehingga moel ari aa mengiui Moel ARMA(p,0,q). Peramalan ari aa ilauan melalui Moel ARMA. Benu persamaan peramalan ari Moel AR() aalah ˆ h Z h Z, engan h aalah nilai perioe yang aan iramalanan. Benu persamaan peramalan ari Moel MA() aalah Zˆ h unu h >. 3. Kajian Simulasi ˆ Z h a unu h = an Simulasi menggunaan Sofware R versi.7., engan banyanya aa T = 300, 600, 000 engan perulangan 000 ali. Unu mengaifan fasilias pembea pecahan (fracional Difference) paa Soware R, Sebelumnya i insall Pacage fraciff. Moel ARFIMA yang ibangian mengiui Moel ARFIMA(,,0) an Moel ARFIMA(0,,) engan nilai = 0,6 an 0,8. Parameer an θ masing-masing 0,5, a mengiui Disribusi Normal engan raa-raa nol an varians. Aurasi penasiran parameer ienuan engan menghiung raa-raa an sanar eviasi ari 000 nilai unu Moel ARFIMA. Paa simulasi unu penenuan aurasi peramalan (Tabel 3), aa yang ibangian sebanya T = 300, 600 an 000 masing-masing iambil 0 aa erahir sebagai aa esing. Langah-langah alam perbaningan peramalan, sebagai beriu : i. Membangian aa Moel ARFIMA sebesar T engan parameer parameer yang elah ii. iii. iv. ienuan. Menenuan nilai parameer pembea () paa aa Moel ARFIMA melalui ua meoe yaiu Meoe GPH an Meoe MGPH. Melauan pembeaan (ifferencing) berasaran nilai yang elah ienuan. Membagi aa menjai bagian yaiu 0 aa erahir sebagai aa esing an T-0 aa sebelumnya sebagai aa raining. v. Menasir parameer moel unu aa raining an melauan peramalan unu 0 pengamaan eepan unu Meoe GPH an Meoe MGPH.

5 vi. Menenuan nilai MSE ari eua meoe penasiran. Tabel. Aurasi Penasiran Parameer Pembea () ari Daa Moel ARFIMA Nonsasioner unu Meoe GPH an Meoe MGPH T Moel ARFIMA =0,6 =0,8 GPH MGPH GPH MPGH 000 ARFIMA(,,0) 0,6 0,643 0,83 0,843 ARFIMA(0,,) 0,60 0,574 0,795 0, ARFIMA(,,0) 0,634 0,66 0,836 0,868 ARFIMA(0,,) 0,596 0,555 0,790 0, ARFIMA(,,0) 0,65 0,697 0,830 0,89 ARFIMA(0,,) 0,584 0,53 0,76 0,705 Tabel. Sanar Deviasi Aurasi Penasiran Parameer Pembea () ari Daa Moel ARFIMA Nonsasioner unu Meoe GPH an Meoe MGPH T Moel ARFIMA =0,6 =0,8 GPH MGPH GPH MPGH 000 ARFIMA(,,0) 0,4 0,090 0,48 0,09 ARFIMA(0,,) 0,4 0,095 0,38 0, ARFIMA(,,0) 0,6 0,0 0,66 0,09 ARFIMA(0,,) 0,6 0, 0,67 0,4 300 ARFIMA(,,0) 0,05 0,40 0,96 0,34 ARFIMA(0,,) 0,09 0,39 0,08 0,4 Berasaran hasil simulasi abel an abel, aurasi penasiran parameer Meoe GPH mempunyai aurasi yang lebih bai unu Moel ARFIMA(,,0) ibaningan engan Meoe MGPH, seangan unu Moel ARFIMA(0,,) Meoe MGPH lebih bai ibaningan engan Meoe GPH. Secara eseluruhan, Meoe MGPH mempunyai sanar eviasi penasiran parameer Moel ARFIMA yang lebih bai ibaningan engan Meoe GPH.

6 Tabel 3. MSE hasil peramalan ari Meoe GPH an MGPH unu Moel ARFIMA Nonsasioner T Moel ARFIMA =0,6 =0,8 GPH MGPH GPH MPGH 000 ARFIMA(,,0),98,68,383,340 ARFIMA(0,,),88,54,80,5 600 ARFIMA(,,0),35,303,347,97 ARFIMA(0,,),7,33,66, ARFIMA(,,0),8,6,67,0 ARFIMA(0,,),9,76,7,03 Berasaran abel 3, MSE (Mean Square Error) ari Meoe MGPH lebih ecil ari Meoe GPH bai unu = 0,6 maupun unu = 0,8. Hasil simulasi ini menunjuan bahwa peramalan menggunaan Meoe MGPH lebih aura ibaningan engan menggunaan Meoe MGPH unu Moel ARFIMA(,,0) an Moel ARFIMA(0,,). 4. Kesimpulan Meoe GPH mempunyai aurasi penasiran parameer pembea yang lebih bai ari Meoe GPH unu Moel ARFIMA(,,0) an Moel ARFIMA(0,,), eapi sanar eviasinya lebih besar jia ibaningan engan Meoe MGPH. Aurasi peramalan ari Meoe MGPH lebih bai ibaningan Meoe GPH berasaran nilai MSE-nya.

7 DAFTAR PUSTAKA Beran, J. (994), Maximum Lielihoo Esimaion of he Differencing Parameer for Inverible Shor an Long Memory Auoregressive Inegrae Moving Average Moels, Journal of he Royal Saisical Sociey, Vol. 57, hal Gewee J an Porer-Hua,S. (983), The Esimaion an Applicaion of Long Memory Time Series Moels, Journal of Time series Analysis,Vol. 4, hal Granger, C. W. J. an Joyeux,R. (980), An Inroucion o Long-Memory Time Series Moels an Fracional Differencing, Journal of Time Series Analysis, Vol., hal Hosing, J.R.M. (98), Fracional Differencing, Biomeia, Vol. 68, hal Hurvich, C.M. an Ray, B.K. (995), Esimaion of he Memory Parameer for Non saionary or Noninverible Fracionally Inegrae Processes, Journal of Time series Analysis, Vol. 6, hal.7-4. Lopes, S.R.C.,Olberman,B.P an Reisen,V.A. (004), A Comparison of Esimaion Mehos in Non- Saionary ARFIMA Processes, Journal of Saisical Compuaion & Simulaion, Vol. 74, No. 5, hal Reisen,V.A an Lopes,S.R.C. (999), Some Simulaions an Applicaions of Forecasing Long- Memory Tome Series Moels, Journal of Saisical an Planning Inference, Vol.80, hal Robinson, P.M. (995), Log-Perioogram Regression of Time Series wih Long Range Depenence, Annals of Saisics, Vol. 3, hal Sowell, F. (99), Maximum Lielihoo Esimaion of Saionary Univariae Fracionally Inegrae Time Series Moels, Journal of economerics, Vol.53, hal Velasco, C. (999a), Non-Saionary Log-Perioogram Regression, Journal of Economeric, Vol. 9, hal Velasco, C. (999b), Gaussian Semiparameric Esimaion of Non-Saionary Time Series, Journal of Time Series Analysis, Vol. 0, No., hal