Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring

Transkripsi

1 Huaaean ISSN Jurnal Teoreis dan Terapan Bidang eayasa Sipil Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring Syaaluddin Huaaean Pusa Sudi Teni Kelauan aulas Teni Sipil dan Lingungan Insiu Tenologi Bandung Jl. Ganesa No.0 Bandung 0 syaaluddin@ocean.ib.ac.id bsra Paper ini merupaan elanjuan dari paper sebelumnya yang diulis ole Huaaean 007b dimana persamaan diembangan unu ondisi dasar perairan daar dan Huaaean 007c unu dasar perairan miring. Pengembangan yang dilauan adala dengan mengerjaan persamaan momenum erbaas pada perumusan persamaan dispersi. Selain iu diformulasan juga persamaan soaling dimana pada periungan soaling diperairan dangal erlia erjadinya fenomena breaing. Kaa-aa Kunci: Soaling, breaing, persamaan momenum erbaas. bsrac Tis paper is an eension of earlier paper rien by Huaaean 007b for fla boom and Huaaean 007c for sloping boom. Te improvemen is e applicaion of limied momenum equaion in derivaion of dispersion equaion. In is paper equaion of soaling is also derived ere soaling calculaion in sallo aer so breaing penomena. Keyords: Soaling, breaing, limied momenum equaions.. Pendauluan Huaaean 007b dan 007c, ela merumusan suau persamaan poensial aliran gelombang yang mengandung fenomena breaing. Pada 007b digunaan ondisi dasar perairan daar seingga erdapa emunginan aan mengasilan periungan soaling yang urang epa. Pada 007c, perumusan dierjaan unu dasar perairan miring dan digunaan unu pemodelan refrasi gelombang. Model refrasi ersebu dapa memodelan breaing eapi pada saa erjadi breaing suau omponen pada persamaan poensial aliran arus diberi arga erenu agar simulasi dapa erus berlangsung. Pada model ini breaing erjadi pada saa arga γ pada persamaan poensial aliran 6. adala urang dari 0.65, dimana seela breaing arga γ ida membesar dengan sendirinya dan model ereni. gar model dapa erus berjalan, maa pada saa arga γ < 0.65, diberian arga γ Peneliian ini dimasudan unu memperbaii fenomena breaing pada peneliian Huaaean 007c dimana diarapan breaing dapa disimulasian anpa banuan pemberian suau arga erenu pada suau omponen persaman poensial aliran. Huaaean 005 mengembangan persamaan mua air yang merupaan superposisi dari persamaan oninuias dengan persamaan eealan energi, dimana persamaan ersebu dapa mensimulasian breaing yang sederana. Dengan laar belaang ini maa dilauan pengembangan dari persamaan yang diasilan ole Huaaean 007c dengan mengerjaan persamaan momenum yang erbaas yang dirumusan berdasaran persaman eseimbangan momenum yang merupaan sala sau benu dari persamaan eealan energi juga. Keunungan lain dari pengerjaan persaman momenum- yang erbaas ini, yaiu diperiungannya peranan percepaan ara, anpa arus mengerjaan persamaan momenum pada ara sumbu-.. Persamaan Mua ir dan Kondisi. Persamaan mua air pendeaan Pada proses formulasi diperluan benu dari / dan /, arena iu perlu dieaui persamaan mua air. Unu eperluan ersebu maa digunaan Vol. 5 No. pril 008 5

2 Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring persamaan mua air dari eori gelombang linier yaiu: cos cos Bai poensial ecepaan maupun persamaan mua air adala bersifa sinusiodal. Unu mempermuda proses perumusan, maa perumusan dierjaan pada ondisi cos sin cos sin Dimana pada ondisi ini berlau persamaan: dan. Persamaan mua air pemodelan Persamaan mua air unu pengembangan model digunaan persamaan oninuias yang diinegrasian eradap edalaman. ud 0. Persamaan momenum. Persamaan momenum permuaan fluida ideal Sebagai persamaan momenum digunaan persamaan momenum permuaan unu fluida ideal, Huaaean 007b dan 007c, yaiu: u - φ - g. Persamaan eseimbangan momenum Persamaan eseimbangan momenum dirumusan dengan prosedur sebagaimana alnya dengan perumusan persamaan oninuias, yaiu sebagai beriu: δ Huum eealan masa, pada sisim inpu-oupu pada gambar di aas unu fluida a mampa adala: u u δ u δ δ δ 0 Persamaan dibagi dengan δ dan δ, δ u δ 0 δ δ Persamaan ini adala persamaan eealan masa dimana bila diambil δu u δv v dan diperole persamaan nuias δ δy y u v 0 y Pada peneliian ini δu/δ dan δ/δ aan dijabaran dengan cara lain. Berdasaran dere Taylor, u u δ, δ, δ u,, δ u u δ δ u δ,δ,δ -u, δ u u u δ δ u u u δ u δ δ δ u δ u u u u δ Persamaan dibagi dengan δ, u u u u u δ δ Dengan cara yang sama aan diperole δ δ δ u δ δ δ δ u u δ u δ u Subsiusí persamaan unu δ epersamaan eealan masa, dan δ δ δ u u u δ δ u δ δ 0 u 6 Jurnal Teni Sipil

3 Huaaean mengambil δ δ δ dan persamaan dibagi dengan δ /δ, maa diperole u u u u Persamaan ini erlia merupaan persamaan eseimbangan anara percepaan orional ara dan percepaan verial ara. Mesipun persamaan ini dirumusan dari prinsip eealan masa eapi yang diasilan adala persamaan eseimbangan momenum aau dapa juga disebu dengan persamaan eealan momenum aau energi. Dengan mengerjaan sifa iroasional fluida ideal, u dan Persamaan berlau pada seluru medan aliran ermasu juga pada permuaan, φ u - u 0 f adala sau fungsí yang oninu, maa berlau u 0 u φ sera u dan φ persamaan eseimbangan momenum menjadi φ u u 0 φ φ φ φ - begiu juga φ maa persamaan eseimbangan momenum menjadi φ u - φ φ u 0 5. Persamaan momenum yang erbaas Pada persamaan eseimbangan momenum erlia baa erdapa relasi anara u/ dengan / dimana al ini menunjuan baa erdapa eseimbangan anara percepaan pada ara sumbu- dengan percepaan pada ara sumbu-. Karena iu pada persamaan momenum searusnya erdapa juga relasi ersebu. Pembenuan persamaan momenum- dimana erdapa relasi anara u/ dengan / dibenu dengan menjumlaan Persamaan dengan Persamaan 5, φ u u Persamaan 6 adala persamaan momenum yang erbaas yaiu baa u/ dibaasi ole /. au gaya orisonal pada ara sumbu-, ida anya memberi percepaan pada ara sumbu-, juga menimbulan percepaan pada ara sumbu-.. Persamaan Poensial liran Persamaan poensial aliran dengan dasar perairan miring pada Huaaean 007c adala: φ Ge dimana, cos sin αe e ; - φ g 6 7 αe e 8 α 9 π bilangan gelombang L L panjang gelombang freuensi sudu T perioda gelombang edalaman perairan π T eiringan dasar perairan Vol. 5 No. pril 008 7

4 Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring 5. Persamaan unu G Pada persamaan poencial Persamaan 0, erdapa sau oefisien yau G. Persamaan unu G ini dirumusan dengan menggunaan persamaan muai air yang erinegrasi eradap edalaman yaiu Persamaan dan digunaan ondisi cos sin cos sin dimana pada ondisi ini dari asil sebelumnya Dengan φ φ u Ge dan Ge Ge cos sin, maa sin sin cos sin G e cos sin ud Ge Ge B sin sin B B cossin G B e cos sin dimana: - d - α - B, B d α - α B B - α ud Ge B cos sin B Ge sin sin Ge B sin sin Ge B B sin sin G e Bsin sin ; dimana B Dengan asil inegrasi ersebu, persamaan oninuias menjadi, Ge B B cos sin Ge sin sin Ge B B sin sin G e B sin sin 0 digunaan ondisi cos sin cos sin B B B B Ge G e B Didefinisian,, maa B B B B 0 G e B e G G Be G e e Persamaan 0 diurunan eradap dengan mengabaian G G e e G B e G B e 8 Jurnal Teni Sipil

5 Huaaean B B G e e 6. Kandungan enomena Breaing pada Persamaan Poensial liran Unu dasar perairan daar, / 0, dan G/ dapa diabaian maa arga G adala G / 0 dimana: 0 e B Didefinisian γ 0 φ e γ sedangan maa, G e γ Persamaan poensial aliran menjadi cos sin γ Pada persamaan poensial aliran ini erlia baa bila γ sanga ecil, mendeai nol maa φ menjadi sanga besar, demiian juga dengan φ φ u dan Tela banya dieaui baa pada pada saa breaing erjadi ecepaan arus yang sanga besar. Jadi beraing erjadi pada γ sanga ecil. Bila breaing diambil unu γ 0, maa π 0 dan L H L π unu 0 αe π αe e e, α H L e π e e e Unu ampliudo gelombang yang sanga ecil dibandingan dengan edalaman, H e e an L π e e π Krieria breaing dari Mice adala H/L 0. an, Sarpaya 98. Jadi benu ondisi breaing dari poensial aliran yang diperole adala sama dengan ondisi breaing dari Mice. Yang erpening dalam al ini adala baa pada poensial aliran erdapa araerisi breaing aau dengan aa lain persamaan poensial aliran dapa memodelan breaing. 7. Persamaan Dispersi Persamaan dispersi aan dirumusan dengan menggunaan persamaan momenum erbaas dari Persamaan 6, yaiu: φ u u g dimana, φ Ge cossin dengan G dari Persamaan, G G Be e Didefinisian Sebagaimana alnya dengan formulasi G, maa pada formulasipersamaan dispersi ini digunaan ondisi cos sin cos sin -. Didefinisian φ p p G, dimana p B e p seingga G. Dengan arga G ini maa e persamaan poensial ecepaan menjadi φ cossin. φ u sin sin cos sin cos sin φ cossin dimana pada ondisi ini dari asil sebelumnya dan, diperole u u Vol. 5 No. pril 008 9

6 Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring 0 Jurnal Teni Sipil Persamaan 5 adala persamaan unu yang bersifa nonlinier, seingga peneyelesainnya adala φ u u φ Dengan asil formulasi ersebu, maa persamaan momenum- menjadi, g 5 dengan cara ierasi, anara lain meoda ierasi dari Neon-apson, rden 97. dapun langa periungannya adala sebagai beriu. Persamaan dispersi dapa diulis sebagai suau fungsi ƒ 0, yaiu: 8. Karaerisi Linier dari Persamaan Dispersi dan Poensial liran Sampai pada saa ini unu menenuan validias suau persaman gelombang nonlinier adala baa persamaan gelombang ersebu arus mempunyai araerisi linier yaiu pada dasar perairan daar dan dengan ampliudo sanga ecil mempunyai panjang gelombang yang sama dengan panjang gelombang dari eori gelombang linier, Li 999 dan Mefa 00. Pada dasar perairan daar, berlau persamaan /, sedangan persamaan momenum menjadi, f g 0 6 g

7 Huaaean Vol. 5 No. pril 008 Subsiusi g Persamaan dialian dengan g Pada ampliudo gelombang yang sanga ecil, suu yang mengandung unsur menjadi sanga ecil dan dapa diabaian, g Dari Persamaan 0, maa unu dasar perairan daar B B sedangan B 0 B seigga 0 Persamaan dispersi menjadi: yang merupaan persamaan dispersi dari eori gelombang linier pada perairan dalam. Jadi persamaan dispersi yang diasilan mempunyai araerisi linier pada perairan dalam, dasar perairan daar dan ampliudo sanga ecil. Selain persamaan dispersi, persaman poensial ecepaan juga mempunyai araerisi linier pada perairan dalam dan unu ampliudo gelombang yang ecil dimana pada ondisi ini poensial aliran adala g g aau Subsiusi dan persamaan dibagi dengan g an an, dimana pada dasar perairan daar dan ampliudo yang sanga ecil, an Pada perairan dalam dimana an, maa persamaan dispersi menjadi g an, φ sin cos Tela diunjuan baa pada dasar perairan daar dan ampliudo ecil,, persamaan poensial aliran menjadi φ sin cos Unu ampliudo ecil dan dasar perairan daar ela diunjuan baa persamaan dispersi adala g an, persamaan poensial aliran menjadi φ g sin cos an Berdasaran definisi dari Berdasaran definisi dari dan, maa unu ampliudo ecil dan dasar perairan daar, sin sedangan cos, poensial aliran menjadi

8 Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring φ g cos cos sin cos yang merupaan poensial aliran dari eori gelombang linier. Jadi bai persamaan dispersi maupun persamaan poensial aliran mempunyai araerisi linier pada dasar perairan daar dan dan unu ampliudo gelombang yang sanga ecil dan pada perairan dalam. Pada perairan yang sanga dalam dimana an, persamaan dispersi menjadi s/g sedangan persamaan poensial aliran menjadi, φ g cos cos sin sin Jadi araerisi linier dari persaman poensial aliran erdapa pada edalaman dimana an. 9. nalisis Soaling Soaling adala pembesaran ampliudo gelombang aiba pengurangan edalaman. Periungan soaling dapa dilauan dengan membenu persamaan elevasi mua air. Selanjunya dengan menggunaan persamaan mua air ersebu dibenu persamaan unu elevasi mua air eringgi. mpliudo gelombang pada suau edalaman adala elevasi mua air masimum. Sebagai persamaan mua air digunaan persamaan oninuias yang erinegrasi eradap edalaman, yaiu: u d 0 - Selanjunya digunaan poensial aliran gelombang progressif, yaiu: φ sin Dean, 98 aau φ sinψ dimana ψ Dengan poensial aliran ini maa. B ud B sinψ B B ud B sinψ B B. B Persamaan diinegrasian eradap,, ψ B cos B sinψ B sinψ B sinψ c 7 Persamaan 7 ini adala persamaan mua air, dimana berdasaran Dean 98, c 0. Persamaan mua air diurunan eradap Ψ, B B ψ ψ B sin B Harga ma dicapai pada 0, diperole ψ B B B an ψ 8 B Dengan menggunaan Ψ dari Persamaan 8, dapa diiung ma dengan menggunaan Persamaan 7 yang merupaan ampiudo gelombang. Jadi ampliudo gelombang pada suau edalaman, dengan ampliudo mula-mula 0 adala 0 ma., B dan diiung dengan ampliudo mula-mula yaiu 0. Dengan oefisien soaling s adala / Cono Hasil Periungan 0. Panjang gelombang pada perairan dalam Tabel. Panjang gelombang pada perairan dalam m L-lin m L m L-0.5 m L-0.6 m Jurnal Teni Sipil

9 Huaaean Keerangan: : edalaman perairan Ks-lin : oefisien soaling asil eori gelombang linier Ks-0. : oefisien soaling asil model, dengan ampliudo diperairan dalam 0. m Tela banya dieaui baa pada saa erjadi breaing imbul arus dengan ecepaan yang besar, dimana sala saunya adala arus sejajar panai arus lioral. Pada pmodelan dimensi ara - ini ida erdapa omponen ecepaan ara-y yang merupaan omponen ecepaan sejajar panai. Jadi asil periungan breaing pada model ara - ini masi urang benar. 0. Pengaru emiringan eradap soaling Pada Tabel disajian asil periungan oefisien soaling unu ampliudo gelombang 0.6 m, perioda gelombang 6 dei, dengan emiringan dasar perairan bervariasi yaiu 0.00, 0.00 dan Pada abel ersebu erlia baa pada edalaman 8-0 m, semain besar emiringan, semain ecil oefisien soaling. Teapi pada edalaman urang dari 8 m, didapa oefisien soaling yang sama pada masing-masing emiringan, aau sedii lebi besar, yaiu semain besar emiringan semain besar oefisien soalingnya. Pada ondisi seela breaing, semain ecil emiringan semain besar pengurangan ampliudo gelombang aiba breaing. Hal ini diarenaan seela breaing masi erjadi soaling sedangan emiringan yang lebi besar mengasilan soaling yang lebi besar pada perairan dangal. Kondisi soaling dengan emiringan yang cuup besar ini menunjuan poensi persamaan unu digunaan pada analisis run-up pada panai maupun pada bangunan panai. Tabel. Pengaru emiringan eradap soaling dan fenomena breaing m L-lin m L m L-0.5 m L-0.6 m Keerangan: : edalaman perairan Ks-lin : oefisien soaling asil eori gelombang linier Ks-0. : oefisien soaling asil model, dengan emiringan dasar perairan 0.. Kesimpulan. Poensial ecepaan dan persamaan dispersi yang diasilan mempunyai araerisi linier pada perairan dalam dan dengan ampliudo ecil. Hal ini ela dibuian bai secara analiis maupun dengan asil periungan. Bagi sejumla penelii andungan araerisi linier pada suau persamaan gelombang nonlinier merupaan peunju aan validias suau persamaan gelombang nonlinier, Li 999 dan Mefa 00.. Persamaan poensial aliran yang diasilan mengandung fenomena breaing dimana pada peneliian ini pemodelan dapa erus berlangsung pada saa erjadi breaing anpa dibanu dengan pemberi arga erenu pada unsur persamaan poensial aliran.. Persamaan poensial aliran yang diasilan mengandung fenomena breaing dimana pada peneliian ini pemodelan dapa erus berlangsung pada saa erjadi breaing anpa dibanu dengan memberi arga erenu pada suau unsur persamaan poensial aliran. Hal ini sanga sesuai dengan ujuan peneliian yaiu mendapaan persamaan poensial aliran yang dapa memodelan breaing secara oomais.. Mesipun persamaan dapa memodelan breaing dengan bai, eapi perlu pengembangan lebi lanju yaiu pengerjaan persaman eealan energi pada persamaan mua air. Hal ini diarenaan pada saa erjadi breaing erjadi arus yang sanga besar aau erjadi perubaan energi inei, arena iu diperluan suau media unu menransfer energi gelombang menjadi energi inei, yaiu persaman eealan energi. Dafar Pusaa Bruce,.W., and Kenne,.N., 970, Numerical lgorims: Origins and pplicaions. ddison-wesley Publising Company. Dean, ober G., and Dalrymple, 98, Waer Wave Mecanics for Engineers and Scieniss, Prenice-Hall, Engleood Cliffs, Ne Jersey. Vol. 5 No. pril 008

10 Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring Huaaean, S., 005, Model Difrasi dengan Persamaan Gelombang ir yang Disempurnaan, Tesis S, Deparemen Teni Sipil, ITB. Huaaean, S., 007b, Kajian Teoriis eradap Persamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal Teni Sipil, Volume, No., aulas Teni Sipil dan Lingungan, ITB. Huaaean, S., 007c, Model efrasi Gelombang dengan Menggunaan Persamaan Gelombang Nonlinier, Jurnal Infrasruur dan Lingungan Binaan, Volume III, No., aulas Teni Sipil dan Lingungan, ITB. Li, Y. S., Liu, S.-X., Yu, Y.-X., and Lai, G.-Z., 999, Numerical Modeling of Boussinesq Equaions by inie Elemen Meod J. Coasal Engineering, Elsevier. Mefa, Sorgen, P., and Gami P., 00, Linear nalysis of Ne Type of Eended Boussinesq Model. Coasal Engineering. Sarpaya, T., and Micael, I., 98, Mecanics of Wave orces on Offsore Srucures, Van Nosrand einold Company. Jurnal Teni Sipil