IV PENYELESAIAN MASALAH PENETAPAN BLOK PADA REL PELANGSIRAN DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM

Transkripsi

1 22 {, } {, } x, S, K (2) y, B (22) Tuuan dari fungi oetif (8) adalah meminimuman ongo dari aignmentaignment yang fiiel erta meminimuman anyanya lo yang tida diparir pada rel pelangiran. Kendala (9) menyataan ahwa etiap lo dicover oleh tepat atu aignment pada atu rel pelangiran atau tida diparir ama eali. Selanutnya, endala (2) menyataan ahwa etiap rel pelangiran dapat mempunyai paling anya atu aignment. Kendala (2) dan (22) menyataan ahwa variael yang digunaan adalah variael - yang telah didefiniian. Kolom pada matri endala dari maalah TAP tereut menunuan aignment pada rel pelangiran tertentu dan ari pada matri menunuan lo dan rel pelangiran. Jia lo tercover dalam aignment pada uatu rel, maa elemen matri pada ari dan olom memilii nilai, dan ia lo tida tercover dalam aignment tereut. IV PENYELESAIAN MASALAH PENETAPAN BLOK PADA REL PELANGSIRAN DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM Penyeleaian maalah pelangiran ecara utuh dengan menggunaan algoritme imple adalah hal yang rumit. Hal ini dieaan anyanya aignment yang terentu pada maalah penetapan lo di rel pelangiran. Karena anyanya variael yang ear, menyeleaian maalah minimiai penetapan lo pada rel pelangiran dengan menggunaan metode imple aan menghaian anya watu dalam pengeraannya. Di ini aan diaha alah atu teni yang dapat digunaan untu menyeleaian maalah penetapan lo pada rel pelangiran, yaitu teni pemangitan olom atau column generation. Teni pemangitan olom adalah alah atu teni untu menyeleaian uatu pemrograman linear dengan hanya menggunaan eagian variael dari maalah eeluruhan. Jia olui PL tereut elum mencapai ondii optimal pada maalah ecara eeluruhan, maa dengan riteria tertentu ditamahan variael pada PL tereut. Setelah itu dieleaian emali PL yang telah ditamah tereut ampai diperoleh uatu riteria pemerhentian. Maalah indu (mater prolem/mp) dari maalah ini merupaan maalah pemilihan himpunan aignment yang euai dengan model (8) (22), yaitu: Minimuman c S K x + d terhadap x + y = S K K B y, B x, S x, S, K y, B Maalah indu merupaan maalah PLrelaai. Dalam teni pemangitan olom digunaan pemrograman linear maalah indu terata (Retricted Mater Prolem/RMP), yaitu pemrograman linear yang hanya menggunaan eagian variael dari MP. Variael (olom) yang elum digunaan dalam RMP diangitan erdaaran nilai variael dual yang diperoleh dari maalah indu. Oleh arena itu, diperenalan variael dual λ ( B) dan µ ( S) erturut-turut untu endala (9) dan (2). Biaya teredui dari uatu PL dapat diperoleh dari maalah dual PL tereut. Mialan B adalah himpunan lo dari aignment yang diparir pada rel. Dengan informai ini, maalah dual dari maalah indu (23) adalah: (23)

2 23 Maimuman λ + terhadap λ + µ c, B B, λ2 λ, µ 2,..., µ µ S S, K (24) λ,..., taterata µ Berdaaran pemaparan uti dari Teorema Dualita Kuat (Nah & Sofer, 996), ondii optimal primal yang merupaan iaya teredui adalah eivalen dengan ondii fiiel pada maalah dual. Sehingga endala (24) merupaan iaya teredui dari maalah indu (23). Mialan iaya teredui tereut diaian dengan c, maa euai dengan endala (24) : c = c λ µ, S, K (25) B Peramaan (25) mewaili iaya teredui dari aignment pada rel pelangiran. Selanutnya aan didiuian repreentai networ untu maalah penetapan lo pada rel pelangiran dan aan dierian teni pemangitan olom untu optimiai penetapan lo pada rel pelangiran. Hail dari algoritme ini adalah euah himpunan olom atau himpunan aignment untu uatu rel pelangiran. 4. Repreentai Networ dari Maalah Penetapan Blo pada Rel Pelangiran Repreentai networ digunaan untu memangitan aignment-aignment pada atu rel pelangiran. Mialan F adalah himpunan tipe pendeatan yang ereda dari dan e uatu rel pelangiran. Untu uatu alur-atu-arah, F hanya mengandung atu elemen, yaitu datang dari dan erangat e arah yang ama, ai iri (LL) atau anan (). Sedangan untu uatu alur-ea, F mengandung 4 elemen: Datang dari iri dan erangat e iri (LL) Datang dari iri dan erangat e anan (LR) Datang dari anan dan erangat e iri (RL) Datang dari anan dan erangat e anan () Untu memudahan pementuan aignment pada tulian ini diaumian ahwa himpunan lo B yang perlu diparir diuun ecara erurutan erdaaran watu edatangan. Setiap lo B diwaili oleh uatu lapian e - dalam uatu rel pelangiran atau dieut uga eagai lapian L yang terdiri dari impul-impul f F dan impul n f dengan n yang erpadanan dengan tida diparirnya uatu lo pada rel. Simpul-impul pada networ memuat euah impul umer o, euah impul tuuan t dan untu etiap lo terdapat lapian L. Karena lo-lo diuun ecara erurutan erdaaran watu edatangan, maa lo yang pertama ali haru diparir di rel pelangiran diwaili oleh lapian L, lo yang edua datang diwaili oleh lapian L 2, dan eterunya. Sii-ii erarah pada networ ini diarahan dari impul umer e etiap impul pada lapian pertama, dari etiap impul di lapian terahir e impul tuuan, dan antara dua impul pada lapian-lapian yang erturutan antara impul umer dan impul tuuan ia lo-lo yang erhuungan dapat diparir pada uatu rel tanpa teradi croing. Sii yang menghailan croing diataan ii yang tafiiel. Mialan didefiniian B eagai himpunan dari lo tanpa adanya croing, emudian didefiniian euah networ G = ( N, A) yang telah dielaan di ata eagai : N U L B + A ( ni n ) + ( i, n ) { o t} =, (26) = {, : B, i L, L+ dan n adalah fiiel } (27) {(, n ): i L } o i B n, t : L B (28) dengan B adalah anyanya anggota (ardinalita) himpunan B. Pada Gamar 8 diilutraian networ dengan 3 lo untu euah alur-ea. Networ ini mewaili rencana pemariran dari 3 lo yang datang e peron edatangan dengan rencana pelangiran pada Tael untu euah alur-ea.

3 24 G : L L 2 L 3 LL LL LL LR LR LR o RL RL RL t Gamar 8. Contoh dari euah networ untu alur-ea dengan 3 lo. Pada Gamar 8, erdaaran watu edatangan eperti yang telah dierian pada Tael lapian L mewaili lo yaitu Kereta 3628, lapian L 2 mewaili lo 2 yaitu Kereta 56, dan lapian L 3 mewaili lo 3 yaitu Kereta Sii-ii erarah yang diceta teal dalam gamar ini mewaili euah path dalam networ ini. Path ini mementu euah aignment di mana emua lo diparir di rel. Dalam hal ini aignment yang terentu adalah lo pertama datang dari iri dan erangat dari ii anan, edangan lo edua datang dan erangat dari ii iri, dan lo etiga datang dan erangat dari ii anan. Aignment ini adalah aignment yang tida mengandung croing arena tida me muat ii-ii erarah yang tafiiel. Seagai contoh, tida ada ii erarah dari impul di lapian L 2 e impul di lapian L 3. Karena ia Kereta 56 dan Kereta 3678 datang dan erangat dari rel pelangiran melalui ii anan, maa Kereta 56 yang haru erangat leih dulu daripada Kereta 3678 aan tertutup dari ii anan rel. Hal ini aan menyeaan ii erarah menghailan croing atau diataan ii erarah yang tafiiel eperti yang telah diilutraian pada Gamar 5 yang elanutnya aan menghailan aignment yang tafiiel. Simpul pada etiap lo mengandung arti etiap lo memilii emunginan untu tida diparir pada rel tereut. Jia path yang terentu adalah o- ---t, maa dalam contoh di ata tida ada atu pun lo yang diparir pada rel ini. Ongo-ongo didefiniian pada iiii erarah dari networ. Ongo dari euah ii erarah mewaili ongo dari impul e mana ii erarah tereut diarahan, yang merupaan ongo dari penetapan lo tertentu e rel pelangiran tertentu, yang datang dari dan erangat e rel ini ai lewat ii iri atau anannya. Ongo rute lo-lo yang menyuun uatu path dari rel di depan peron edatangan e rel pelangiran tertentu dan emali e rel di depan peron eerangatan. Seagai contoh, ongo pada ii erarah dari impul umer o e LL pada lapian L adalah ongo pelangiran lo pertama yang datang dari rel di depan peron e rel pelangiran melalui ii iri dan erangat dari rel ini lewat ii iri pula. Ongo-ongo pada ii-ii erarah e impul tuuan t menyataan penggunaan dari uatu rel pelangiran. Semua path yang terentu pada networ mewaili aignment yang tida mengandung croing. Seuah path dalam

4 25 networ mewaili aignment fiiel terhadap rel ia eerapa endala tamahan terpenuhi. Kendala-endala ini erhuungan dengan panang dari lo-lo pada rel erta watu edatangan dan eerangatannya. 4.2 Memeria Kefiielan Suatu Aignment dengan Menggunaan Algoritme Pemrograman Dinami Aignment-aignment yang diperoleh dari repreentai networ pada agian 4. elum tentu fiiel, arena efiielan uatu aignment uga haru memenuhi yarat ahwa panang total dari lo yang menyuun uatu aignment tida oleh meleihi panang rel yang digunaan. Artinya anyanya gerong ereta uatu aignment tida oleh meleihi anyanya gerong ereta maimum yang dapat dimuat pada uatu rel pelangiran. Untu memeria efiielan uatu aignment digunaan algoritme pemrograman dinami. Mialan didefiniian P i eagai himpunan path fiiel (o-i) di G. Selain itu didefiniian pula l ( i,..., ) eagai panang dari path ( i,..., ) dengan i adalah impul pertama dan adalah impul terahir dalam uatu path di graf G, erta eagai predeeor dari impul pada graf G. Untu memeria efiielan uatu aignment digunaan algoritme pemrograman dinami dengan proedur eagai eriut: Untu etiap impul i N Untu etiap path p Pi Untu etiap ii erarah i, A P = Jia ChecRule( p( i, )) P ada, maa UpdatePath Lit( P, P ) Dalam fungi ChecRule ( p( i, )), eerapa aturan diperia untu menentuan apaah path aru yang diperoleh dengan menamahan ii erarah (i,) pada path p adalah fiiel. Jia path tereut fiiel, maa path yang diperlua tadi menadi euah path aru yang dinamaan P. Karena path-path yang terentu pada graf G udah mementu aignment-aignment yang tida mengandung croing, oleh arena itu dalam algoritme ini untu memeria efiielan uatu aignment tinggal diperia panang aignmentnya aa. Jia l( i,..., ) r, maa path ( i,..., ) aan mementu aignment fiiel, dengan r adalah panang dari uatu rel. Sealinya ia l ( i,..., ) > r, maa path ( i,..., ) aan mementu aignment tafiiel. Selain itu perlu pula memeria edominanan uatu path. Seuah path p i diataan didominai oleh path p (atau diataan path p leih ai daripada path p i ) ia eerapa endala pada path p i leih ai daripada endala pada path p. Seagai contoh, ia terdapat 2 path p dan p 2 yang memilii total panang lo yang ama pada rel tertentu namun path p memerluan iaya leih ear daripada path p 2, maa path p diataan didominai oleh path p 2. Pemeriaan edominanan uatu path dilauan pada impul-impul di lo terahir dalam uatu graf. Hal ini diarenaan, uatu path aru dapat diandingan dengan path lainnya ia proe pemeriaan efiielan uatu path telah eleai dilauan. Selanutnya path yang didominai tida diperhitungan dalam proe pemangitan olom, ehingga tida perlu dicari iaya tereduinya. 4.3 Teni Pemangitan Kolom untu Optimiai Penetapan Bloc pada Rel Pelangiran Mialan RMP pada langah tertentu, diaian dengan RP dapat dinyataan eagai: Minimuman c x + d y S K S K B terhadap x + y =, B K x, S x, S, y, B {,2,...,...,,2 } K K =,...,, K dengan menyataan aignment pada rel pelangiran. Himpunan K menyataan himpunan inde elemen K yang dipilih. K =,3,5,2 2,4 2,7 2,2 3, Mialan { 5 3 } merupaan himpunan aignment fiiel pada rel. Kemudian mialan dipilih aignment pada rel, aignment 4 pada

5 26 rel 2, dan aignment 2 pada rel 3 pada uatu RP, maa aignment tereut diurutan K =, 2, 3. Teni emali eagai { } pemangitan olom untu optimiai penetapan lo pada rel pelangiran yang dimodifiai dari teni erupa dalam (Lavoie et al., 988) adalah eagai eriut: a. Memangun data input Blo-lo didaftaran dengan informainya, yaitu watu edatangan dan eerangatan erta peron edatangan dan eerangatan. Selain itu, didaftaran pula aignment-aignment fiiel yang dapat dientu dari lo-lo tereut. Aignment ini dientu dengan menggunaan onep networ dan algoritme pemrograman dinami yang telah dielaan pada agian 4. dan Iniialiai Didefiniian maalah terendala awal RP : Minimuman c x + d y S K terhadap x + y = dengan S K K B, B x, S x, S, K y, B K adalah himpunan inde dari aignment fiiel yang terdapat dalam RP. Pada langah iniialiai ini, eagian dari aignment yang menghailan olui fiiel dipaai eagai input. Aignment ini digunaan eagai variael pada RMP. c. Langah Tertentu Pada langah tertentu didefiniian RMP eagai eriut : RP : Minimuman c S K S K x + d B terhadap x + y =, B K x, x, S y S, y, B dengan K K. K Adapun tahap-tahap penyeleaian langah e - adalah eagai eriut: Penyeleaian RP dengan Menggunaan Metode Simple RP dieleaian menggunaan metode imple, ehingga diperoleh nilai variael λ B untu endala (9) dan dual ( ) ( S ) µ untu endala (2). Proedur Pemangitan Kolom Proedur pemangitan olom adalah proe pencarian olom dari emua aignment fiiel yang memilii iaya teredui negatif. Berdaaran nilai-nilai variael dual pada RP, maa iaya teredui dari aignment fiiel pada rel pelangiran dapat dihitung dengan menggunaan (25). Jia iaya teredui yang dihailan dari maing-maing aignment adalah tanegatif, maa proe eleai, dan olui pada RP adalah olui dari TAP. Sealinya, ia terdapat aignment yang memilii iaya teredui negatif maa variael yang erpadanan dengan aignment yang memilii iaya teredui paling negatif ditamahan pada RP ehingga mementu RP. Proe diulangi ampai tida diperoleh lagi aignment yang memilii iaya teredui negatif ehingga diperoleh RP, dengan =,2,3, Solui pada RP, yaitu olui e- ( =,2,3, ) yang tida memuat lagi aignment yang mengandung iaya teredui negatif adalah olui dari TAP.