BAB 2 URAIAN TEORITIS

Transkripsi

1 BAB URAIAN EORIIS Paa bab ini akan ibaas enang masala opimisasi berpembaas persamaan. Sebelum membaas masala opimisasi berpembaas persamaan maka erlebi aulu iberikan pengerian an sia-sia eksrim ari suau ungsi..1 iik Eksrim ari Suau Fungsi iik eksrim ari suau ungsi aala iik maksimum aau iik minimum ari ungsi ersebu. Masala penenuan iik eksrim ari suau ungsi mempunyai peranan pening alam opimisasi. Beriku ini iberikan eenisi iik maksimum an iik minimum ari suau ungsi. Deenisi.1.1 Misalkan aala ungsi riil engan omain n D R. a. Fungsi ikaakan mempunyai nilai maksimum lokal, jika aa selang buka ( 1, ) yang memua seingga memenui paa selang buka ersebu. ( ), b. Fungsi ikaakan mempunyai nilai maksimum global paa iik ( ), D. jika c. Fungsi ikaakan mempunyai nilai minimum lokal, jika aa selang buka, 1 yang memua seingga memenui paa selang buka ersebu. ( ), Fungsi ikaakan mempunyai nilai minimum global paa iik jika ( ), D. Universias Sumaera Uara

2 Selanjunya, misalkan erierensial i D n R. Jika urunan parsial ari koninu i maka isebu ierensial secara koninu i, an jika urunan parsial keua ari koninu i maka isebu mempunyai urunan parsial keua yang koninu i. Graien ari paa inoasikan engan () an ieenisikan engan: δ δ δ (,,..., )...(.1) δ1 δ δ n an mariks Hessian(H) ari paa aala mariks yang iperole ari urunan parsial keua yang inoasikan engan. eorema.1. (Rao, 1984) Jika ereenisi paa selang buka yang memua an mempunyai minimum lokal i an jika erierensial i, maka: ( ) (.) Buki: Anaikan aala iik minimum lokal maka ( ) kiri an limi kanan aa an sama engan ( ). aa, ini berari bawa limi lim ( ( )) ( ( )) lim ( ) Jika ( ) maka karena ( ) ( ) bilangan-bilangan kecil posii ari. Unuk, maka iperole: ( ( )) lim lim unuk semua Universias Sumaera Uara

3 Dan jika ( ) maka Unuk, maka iperole: ( ( )) lim lim Limi kiri limi kanan, maka ( ) aa. Karena ( ) an ( ) maka ap isimpulkan bawa ( ) aau ( ).. Masala Opimisasi Berpembaas Persamaan Paa masala opimisasi beriku: Minimumkan eraap pembaas: 1 m, (.3) imana D n R Paa masala (.3) iasumsikan bawa m n an ungsi-ungsi an i, (i1,,,m) aala koninu an mempunyai urunan parsial keua yang koninu. Dengan mengambil ( 1,,, m ) maka masala opimisasi yang erapa paa persamaan (.3) ersebu apa iulis menjai: Minimumkan Dengan pembaas: D n R.(.4) Universias Sumaera Uara

4 paa persamaan (.4) ersebu aala pembaas ungsi D isebu pembaas impunan. Suau iik D yang memenui seluru pembaas ungsi isebu iik isibel..3 Biang Singgung Unuk menyeliiki apa syara agar M menjai biang singgung i, maka iperlukan konsep iik eap. Beriku ini iberikan eenisi biang singgung paa suau permukaan S. an Deenisi.3.1 (Leiol, 1991) Jika persamaan suau permukaan S aala (, y, z ) ari S paa iik (, y, z ) vekor normal (, y, z )., maka biang singgung aala sebua biang melalui iik an mempunyai Deenisi.3. (Luenberger, 1984) Suau kurva paa permukaan S aala keluarga iik-iik S engan parameerisasi koninu unuk a b. aa an erierensial ua kali jika isebu melalui iik isebu melalui iik Suau kurva erierensial jika aa. Suau kurva () unuk suau jika, a b. Deenisi.3.3 (Leon, 1999) Jika X {,..., }, n 1 aala impunan vekor, maka X isebu bebas linear jika k 1 k k n seingga persamaan vekor k k... k n 1 1 n Universias Sumaera Uara

5 Deenisi.3.4 (Luenberger, 1984) Suau iik yang memenui pembaas ( ) pembaas jika vekor graien ( ), ( ) ( ) 1,..., isebu iik regular ari aala bebas linier. m Deenisi.3.5 (Anon, 1997) Misalkan mariks A A nn maka A ikaakan non singular jika aa mariks A -1 isebu invers mariks seemikian seingga AA -1 A -1 A I. Deenisi.3.6 (Luenberger, 1984) Misalkan A aala suau mariks nn, maka Rank mariks A ieenisikan sebagai banyaknya baris-baris aau kolom-kolom yang bebas linier paa mariks A. misalkan A aala suau mariks mn, jika rank A aala minimum ari (m,n), maka A ikaakan mempunyai rank penu. eorema.3.7 (Luenberger, 1984) Misalkan S aala permukaan yang ieenisikan ole (). Persamaan biang singgung paa iik regular Buki: ari permukaan S ersebu aala: { y : ( ) } M y I..(.5) Misalkan aala biang singgung maka iak. Unuk suau kurva yang melalui ( ) seingga ( ) ( ) M, apaka paa iik reguler aau yang mempunyai urunan iak akan erleak paa S. Unuk membukikan M arus iunjukkan bawa jika y M maka erapa suau kurva paa S Universias Sumaera Uara

6 yang melalui engan urunan y. Unuk membangun kurva yang emikian iinjau persamaan beriku: ( y ( ) u ) Paa persamaan (.6) unuk eap, ianggap...(.6) m u R iak ikeaui engan parameerisasi koninu ari. Paa erapa solusi u(). Mariks Jacobian ari sisem ersebu eraap u paa aala mariks m m, yaiu: ( ) ( ).(.7) Mariks paa (.7) aala non singuler karena ( ) aala rank penu jika aala suau iik eap, maka unuk suau solusi erierensial secara koninu u() i aera a a kurva y ( ) u aa paa S. Dengan penierensialan (.1) paa iperole: ( ( )) ( y ( ) u( )) ( ) y ( ) ( ) u() Karena y ereenisi maka iperole ( ) y an karena ( ) ( ) aala non singular maka apa isimpulkan bawa u (), seingga iperole: () y ( ) u() y Hal ini menunjukkan bawa kurva yang ibangun mempunyai urunan paa yaiu y..4 Syara Ore Sau an Dua Penurunan syara perlu agar suau iik menjai iik minimum eraap pembaas persamaan apa inyaakan alam biang singgung. Unuk iu akan ijelaskan engan lemma beriku. Universias Sumaera Uara

7 Lemma.4.1 (Luenberger,1984) Misalkan aala iik regular ari pembaas an iik eksrim lokal eraap pembaas ersebu, maka Buki: ( ) y ( ) y n y R memenui:.(.8).....(.9) Misalkan y aala suau vekor alam biang singgung i an kurva paa permukaan erbaas yang melalui engan urunan y paa, y an ( ) Karena yang memenui ( ) y ari ƒ maka iperole: unuk ɑ ɑ unuk suau ɑ. aala yaiu aala iik regular, biang singgung ienik engan impunan y an karena aala iik eksrim lokal berpembaas ( ( ) ) ] ] aau ekivalen engan ( ) y. Lemma i aas mengaakan bawa ( ) singgung. aala orogonal eraap biang Deenisi.4. (Anon, 1997) Benuk kuara A isebu eini posii jika A unuk semua an benuk kuara A isebu semi eini posii jika A. Universias Sumaera Uara

8 eorema beriku menjelaskan syara perlu ore ua. Unuk selanjunya iasumsi ƒ an aala ungsi yang koninu ingga urunannya yang keua jelas. eorema.4.3 (Luenberger, 1984) Misalkan bawa aala iik minimum lokal ari ƒ eraap pembaas seingga: an aala iik reguler ari pembaas ersebu, maka erapa m R ( ) ( ) Jika M { : ( ) y } y maka mariks: ( ). (.1) L( )....(.11) aala semieini posii paa M, yaiu : y L ( ) y, y M Buki : Karena aala minimum lokal ari ƒ, maka berlaku: ( ( )) ] (.1) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )] ( ) ( ) ( ) Universias Sumaera Uara

9 [ ] seingga: (.13) [ ],akan iperole engan cara i aas, yaiu: [ ] maka iperole: [ ]..(.14) Dengan menambakan persamaan (.14) ke persamaan (.13) maka iperole: [ ] [ ] ) ( L aau ) ( y L y. Universias Sumaera Uara

10 eorema beriku menjelaskan syara cukup. Unuk selanjunya iasumsi an aala ungsi yang koninu ingga urunannya yang keua. eorema.4.3 (Luenberger, 1984) Misalkan erapa suau iik yang memenui an m R seingga: ( ) ( )..(.15) Misalkan juga bawa mariks L( ) ( ) ( ) paa M { y : ( ) y } y M ; y seingga memenui y L( ) y aala eini posii aala minimum lokal ari y eraap pembaas Buki:. Karena aala minimum lokal ari an y berlaku:, an engan y maka ( ) ]..(.16) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Universias Sumaera Uara

11 seingga iperole: Unuk [ ], akan iperole engan cara i aas, yaiu: [ ] Maka iperole: Dengan menambakan persamaan (.18) ke persamaan (.17) maka iperole: [ ] [ ] Karena L an ari (.15) yaiu Maka iperole: L Aau y L y. Universias Sumaera Uara

12 .5 Meoe Pengali Lagrange Sala sau meoe yang sering igunakan unuk menyelesaikan masala opimisasi berpembaas persamaan aala meoe pengali Lagrange. Unuk menyelesaikan masala opimisasi paa persamaan (.4) ieenisikan suau ungsi Lagrange sebagai beriku:...(.19) an vekor riil ak nol paa persamaan (.19) isebu pengali Lagrange. Jika aala iik eksrim ari, maka menuru eorema.1. iperole: an...(.)...(.1) Dengan memperaikan persamaan (.1) an (.1) maka apa isimpulkan bawa masala opimisasi paa persamaan (.4) apa iselesaikan melalui iik eksrim ari ungsi Lagrange paa persamaan (.19). Dari persamaan (.3) imana,, an karena aala suau vekor maka i 1 maka persamaan (.19) apa juga iulis engan aau. Universias Sumaera Uara