EKSISTENSI DAN KESTABILAN SOLUSI GELOMBANG JALAN MODEL KUASILINER DISSIPATIF DUA KANAL

Transkripsi

1 EKSISTENSI DAN KESTABILAN SOLSI GELOMBANG JALAN MODEL KASILINER DISSIATIF DA KANAL SMARDI Jrsan Maemaika niersias Gadjah Mada SOEARNA DARMAWIJAYA Jrsan Maemaika niersias Gadjah Mada LINA ARYATI Jrsan Maemaika niersias Gadjah Mada Absrac ada paper ini akan dibahas solsi gelombang jalan model kasilinear dissipaif da kanal. Kecepaan gelombang dienkan dengan syara Rankine-Hgonio. Solsi gelombang jalan heeroklinik dapa disajikan secara eksplisi dalam fngsi parameer. Dari peneliian diperoleh solsi gelombang jalan yang berpa gelombang kej aa penyelesaian bernilai banyak mlialed solion yang mempnyai iik singlar. Selanjnya kesabilan solsi gelombang jalan dianalisa dengan meode energi. Keyword: solsi gelombang jalan kesabilan sisem hiperbolik ak linier 1. ENDAHLAN Banyak persamaan-persamaan pening yang mncl dalam masalah fisika kimia biologi dan ekonomi diperoleh dari hkm konserasi. Hkm konserasi merpakan hkm keseimbangan dalam sa proses alam. Sebagai conoh dalam biologi bahwa laj perbahan sa poplasi dalam sa daerah akan seimbang dengan laj kelahiran dikrangi laj kemaian diambah laj migrasi yang mask daerah dikrangi laj migrasi yang kelar dari sa daerah. Secara maemaika hkm konserasi dierjemahkan dalam persamaan diferensial yang melibakan ariabel wak sebagai ariabel bebas. Karena jga melibakan dimensi rang sehingga diperoleh model berpa persamaan diferensial parsial baik yang linear mapn nonlinear. ada lisan ini hanya dibahas model ariabel rang dimensi sa. Misalkan sa besaran yang berganng ariabel rang x R dan wak > 0. Besaran sa kosenrasi aa kepadaan yang dikr per saan olme yang dikenakan pada besaran massa poplasi energi aa besaran lainnya. Kemdian besaran erseb mengalir dalam sa abng liha gambar 1 dan homogen pada seiap Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

2 penampang abng yang lasnya A sehingga diasmsikan hanya berganng aribel x saja. andang poongan abng yang dibaasi di sebelah kiri kanan x a dan di sebelah x b dan dinoasikan ineral I [ a b]. Toal besaran di dalam ineral I pada saa adalah b a Adx 1 Diasmsikan besaran bergerak ke kanan searah perbahan ariable x. Didefinisikan flx besaran pada posisi x pada wak sebagai fngsi skalar φ yai besaran yang mengalir di x pada saa per saan las per saan wak. Jika besaran mengalir ke kanan maka φ bernilai posiif dan sebaliknya apabila mengalir ke kiri maka φ bernilai negaif. Selanjnya pada saa laj besaran yang mengalir pada ineral I adalah laj yang mask pada ineral I di dari ineral I di x b yai x a dikrangi laj yang kelar Aφ a Aφ b Gambar 1. Model hkm konserasi Diasmsikan pla idak ada besaran yang hilang dan berkembang pada ineral I dan jika besarannya adalah poplasi sa spesies maka idak ada kelahiran dan kemaian pada ineral erseb. Kala besaran erseb senyawa kimia maka idak erjadi reaksi kimia pada ineral erseb. Dengan menggnakan hkm keseimbangan besaran pada ineral I akan memenhi rms berik: d b dx Aφ a Aφ b d 3 a Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

3 ersamaan 3 diseb hkm konserasi dalam benk inegral. Diasmsikan fngsi dan φ merpakan fngsi konin diferensiabel maka dengan menggnakan Teorema pada Kalkls diperoleh b a φ dx Aφ a Aφ b x 4 d d b b dx a dx 5 a Dengan sifa kekoninan maka hkm konserasi dapa dilis sebagai berik: φ 0 6 x Di dalam realias flx dapa berganng linear dengan jmlah besaran yang dapa diliskan hbngan sebagai berik: φ c 7 dengan c sa konsan sehingga persamaan 6 menjadi cx 0 8 ersamaan 8 diseb persamaan adecion aa persamaan ranspor. Dalam kenyaaan sa besaran bergerak dari kosenrasi yang lebih inggi ke kosenrasi yang lebih rendah yang sebanding dengan gradien kosenrasi erseb erhadap ariabel x aa dapa dilis φ D x 9 dengan D sa koefisien diffsi dan dikenal dengan hkm Fick. ersamaan konserasi 6 dapa dilis menjadi persamaan diferensial parsial berik: D xx 0 yang dikenal dengan persamaan difsi aa persamaan panas. Kala flx φ berganng dengan kadra ariabel kaakanlah sebagai berik: 1 10 φ 11 dan selanjnya persamaan konserasi 6 menjadi sebagai berik: x 0 yang diseb dengan persamaan Brger. Kemdian apabila flx φ dirmskan 1 1 φ xx 13 maka diperoleh persamaan sebagai berik: Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

4 x xxx 0 14 yang dikenal dengan persamaan Koreweg de ries Kd. ada pembicaraan sebelmnya hanya memiliki sa jenis besaran yang mengalir melewai poongan abng yang dipandang sebagai rang dimensi sa. Sekarang misalkan besaran erseb ada da jenis besaran yai dan. Namn besaran dapa berbah menjadi besaran begi pla besaran bisa berbah menjadi dan jmlah da besaran erseb masih eap pada saa dan ineral I. erbahan besaran dapa dijelaskan sebagai akiba proses reaksi kimia. Di samping i perbahan besaran jga dapa dijelaskan sebagai perbahan posisi seperi pada gambar. Gambar. Model da kanal dengan ineraksi Flx nk masing-masing besaran dan adalah φ dan φ. 1 Kemdian besarnya ineraksi dienkan oleh besaran erseb yai f dengan menggnakan sifa kekoninan fngsi besaran dan fngsi fl diperoleh model sebagai berik: f φ 1 x f φ. 15 x Apabila diberikan fngsi flx sebanding dengan jmlah besaran dan yai φ 1 x c1 x φ x c x 16 1 dengan c x dan c x 1 sa fngsi konsan sepoong-sepoong kemdian besarnya ineraksi adalah linear yai f sehingga diperoleh model dissipaif da kanal linear sebagai berik: c1 x x. 17 c x x Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

5 Smardi 005 elah mencari solsi nmerik linier dissipaif da kanal persamaan 17 nk kass c 1 x c x c dengan meode beda hingga kemdian Smardi 006 mencari solsi eksaknya dengan menggnakan meode Forier. Smardi 007 elah melakkan perhingan nmerik nk khass c x 1 dan c x konsan sepoong-sepoong dengan menggnakan meode Immersed Inerface. Smardi008 jga mencari solsi gelombang jalan penyelesaian khss dan solsi eksaks masalah nilai awal persamaan 17 dengan konsan. c dan c x Selanjnya diberikan fngsi flx sebanding dengan kadra jmlah besaran dan yai φ 1 1 x φ 18 1 x dan besarnya ineraksi adalah linear f diperoleh model dissipaif da kanal ak linear sebagai berik: x. 19 x Da model di aas jga dirnkan oleh an Beckm 003 dan kemdian dicari solsi gelombang jalannya nk persamaan 19. Model di aas keakliniearannya masih erar sehingga diseb jga model kasilinear dissipaif da kanal. ada paper ini akan dibahas eksisensi dan kesabilan solsi gelombang jalan yang memberikan hasil yang lebih baik dari pada paper yang dilis an Beckm x. METODE ENELITIAN eneliian dilakkan dengan meode lierar yang berpa bk-bk dan jrnaljrnal yang erkai dengan model nonlinier. Tahap perama adalah mempelajari meode nk mencari eksisensi solsi gelombang jalan model model sisem nonlinier dan membkikan kesabilan solsi gelombang jalan yang diperoleh. Seelah diperoleh pemahaman bar dierapkan ke model nonlinier dissipaif da kanal. Dockery dan Li 1994 elah menelii eksisensi dan kesabilan model geneik sa poplasi. Mascia Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

6 dan Naalini 1996 jga menelii eksisensi dan kesabilan gelombang jalan nk sisem hiperbolik dengan relaksasi. Kemdian Brahnik dan Tyson 000 mencari solsi gelombang jalan nk persamaan Fisher. Li 003 menggnakan meode energi nk membkikan kesabilan gelombang jalan pada persamaan hiperbolik Li dan Li005 menggnakan meode energi nk membkikan kesabilan solsi gelombang jalan pada model ars lallinas. 3. HASIL ENELITIAN DAN EMBAHASAN Solsi gelombang jalan adalah solsi yang idak berbah benknya oleh perbahan wak dan bergerak dengan kecepaan konsan. nk mencari solsi gelombang jalan dengan kecepaan konsan s persamaan 19 diberikan x s 0 dan mempnyai syara baas pada x ± lim x ± ± ± R dengan sebagai berik:. 1 Model kasilinear dissipaif da kanal 19 eredksi menjadi sisem persamaan diferensial biasa: d s d d s d dengan syara baas: lim ± ± ± R. 3 Keda persamaan dijmlahkan dan kemdian diinegralkan diperoleh s s A. 4 Kemdian sbsisi persamaan 4 ke persamaan yang perama diperoleh persamaan diferensial biasa dalam benk: aa d s ± A s s 5 d Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

7 ± A s s d. 6 s Selanjnya nk mencari ani deriaif ras kanan dari persamaan 6 sbsisi s Acosθ sehingga diperoleh cosθ sinθ A dθ ± sinθ cosθ ± A 1 arcan h Jika persamaan 5 disbsisi an θ / ± 1 an θ / 1 an θ / ± 1 A. s Acosθ maka diperoleh s Asinθ. Jadi diperoleh solsi gelombang jalan dalam benk fngsi parameer θ sebagai berik: s Acosθ s Asinθ ± A 1 arcan h an θ / ± 1 an θ / ± 1 A an θ / Selanjnya akan dianalisa solsi gelombang jalan persamaan 19 melali dinamik persamaan. Adapn bidang fase sisem dinamik dengan kecepaan gelombang s seperi pada gambar 3. Gambar 3. Bidang phase solsi gelombang jalan model kasilinear dissipaif da kanal. Dari bidang phase di aas diperoleh ak berhingga iik eap pada garis hal ini merepresenasikan penyelesaian konsan aa solsi homoklinik dari persamaan 19. Dari gambar 3. jga diperoleh 9 yang jga dapa diperoleh dari persamaan dan 3. Selanjnya agar diperoleh solsi gelombang jalan yang heeroklinik diberikan 30 Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

8 lim x ± ± ± R dan R. Kecepaan gelombang s hars memenhi syara Rankine-Hgonio: F F s. 31 Selanjnya dari persamaan 31 dan 4 konsana A diperoleh: A. 3 Dari gambar 3. keika s aa erjadinya solsi bernilai banyak. Garis s maka bergani arah hal ini merepresenasikan s dan s merpakan daerah singlar yang maksdnya di iik erseb dan idak erdeferensial erhadap ariabel. Adapn grafik solsi gelombang jalan nk orbi heeroklinik di aas garis sebagai berik: Gambar 4. Solsi gelombang jalan model kasilinear dissipaif da kanal ada Gambar 4. erliha bahwa < dan < sedangkan nk memperoleh hasil > dan > dengan cara memodifikasi persamaan 0 menjadi x s sehingga diperoleh persamaan diferensial biasa menjadi d s d d s d. 33 Dengan menganalisis persamaan 33 seperi pada persamaan diperoleh solsi gelombang jalan nk orbi heeroklinik di bawah garis sebagai berik: Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

9 Gambar 5. Solsi gelombang jalan model kasilinear dissipaif da kanal dengan > dan > Kemdian hasil ini lebih menarik dibandingkan yang diperoleh an Beckm 003 yang idak memberikan hasil dan secara erpisah eapi hanya reraa dari dan. Grafik reraa dari dan pada gambar 6. di bawah sama dengan yang diperoleh an Beckm. Gambar 6. Solsi gelombang jalan model kasilinear dissipaif da kanal nk reraa dan. nk menenkan kesabilan gelombang jalan di paper ini dengan cara memberikan ganggan yang ckp kecil dari solsi gelombang jalan yang sdah diperoleh. Selanjnya ganggan erseb dianalisa dalam wak ak hingga apakah hilang aa idak kala hilang berari solsi gelombang jalan erseb sabil. nk menganalisa ganggan dmendekai wak ak hinga di sini dignakan meode energi. Diberikan nilai awal persamaan 19 pada saa sebagai jmlahan solsi gelombang jalan dan besarnya ganggan sebagai berik: 34 x s disini fngsi dan mempnyai sppor yang kompak arinya 0 I dengan I adalah ineral erbaas. Solsi persamaan 19 diliha dengan cara bergerak sesai dengan kecepaan gelombang jalan maka persamaan 19 dilakkan ransformasi x s sehingga sisem kasilinier 19 menjadi Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

10 s s 35 ersamaan 34 disbsisi ke persamaan 35 diperoleh: s s s s 36 dengan menggnakan sifa solsi gelombang jalan dan : s s 37 aa s s. 38 Sekarang andaikan kemdian disbsisi ke 37 diperoleh 0 0 s s. 39 ersamaan perama 39 dikrangi persamaan keda 39 diperoleh:. K 0 0 Jika diberikan berari dan karena dan solsi gelombang heeroklinik yang berari maka I 0 0 K. Dengan demikian yang konradiksi sebagai ganggan jadi R 0. Selanjnya nk mencari hilangnya ganggan pada wak ak berhingga didefinisikan energi yang merpakan fngsi sebagai berik:. 40 d E Kemdian dirnkan erhadap ariabel dan menggnakan persamaan 38 diperoleh E Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

11 E d s d s s d s s s d d d 41 Sk keda dari persamaan 41 erakhir dengan menggnakan sifa fngsi dan mempnyai sppor yang kompak maka diperoleh nilai inegralnya nol. Karena > 0 dan R sehingga akan diperoleh nilai inegral negaif dan idak pernah mencapai nol sehingga persamaan 41 menjadi E < d. 4 Kemdian dengan inegral bagaian maka diperoleh E < d. 43 Dengan memanfaakan bahwa s A s A sehingga diperoleh E < s A d. 44 Karena sifa fngsi dan mempnyai sppor yang kompak maka. diperoleh E < 0 45 yang berari E monoon rn dengan baas bawah nol maka diperoleh lim E 0 46 sehingga lim Terbki bahwa solsi gelombang jalan 8 sabil Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika

12 4. KESIMLAN Dengan memanfaakan eori sisem dinamik maka dapa dinjkkan eksisensi solsi gelombang jalan model kasilinear dissipaif da kanal. Di samping i erliha bahwa solsi gelombang jalan homoklinik berpa fngsi konsan. Sedangkan solsi gelombang heeroklinik berpa fngsi bernilai banyak mlialed solion yang berpa fngsi parameer. Kemdian nk menenkan kecepaan gelombang dignakan syara Rankine-Hgonio. Kesabilan solsi gelombang jalan yang diperoleh dibkikan dengan meode energi. capan Terima kasih Dalam menlis paper ini kami ingin mengcapkan erima kasih dengan dr. Fris an Beckm keika memberikan masalah di aas keika berknjng di Jrsan maemaika GM. Kami jga mengcapkan erima kasih kepada Belia aas komnikasi yang indah dan menarik dalam penlisan paper ini. DAFTAR STAKA an Beckm F..H. Traelling wae solion of a coasal one non-forier dissipaion model roceedings of he Symposim on Coasal Zone Managemen 003. Brahnik.K. Tyson J.J. On raeling wae solions of Fisher s Eqaion in Two Dimensions SIAM J. Appl. Mah ol Dockery J.D. Li R. Exisence and Sabiliy of raeling wae solions for a poplaion geneic model ia singlar perrbaions SIAM J. Appl. Mah. ol Li T. Li H. Sabiliy of a Traffic Flow Model wih Noncoex Relaxaion Comm. Mah. Sci. ol. 3 No. 005 Li H. Asympoic of relaxaion shock profiles for hyperbolic conseraion laws Jornal of Differenial Eqaion Mascia C. Naalini R. L 1 Nonlinear Sabiliy of Traeling waes for a hyperbolic Sysem wih Relaxaion J. of Diff. Eq Smardi Soeparna D. Lina Aryai Conergence of finie difference approximaion for wo channel dissipaion model roceedings Inernaional Conference on Applied Mahemaic ICAMO5 005 Smardi Soeparna D. Lina Aryai Forier Mehod for wo channel dissipaion model paper disajikan pada Workshop Geophysical Flid Dynamics and Scalar Transpor in he Tropics IMS NS Singapore13 No - 08 Dec 006 Smardi Soeparna D. Lina Aryai The immersed inerface mehod for wo channels dissipaion model wih disconine consans elociy roceeding of SEAMS- GM Conference 007. Smardi Soeparna D Lina Aryai The Exac solion for Two Channel Dissipaion Model IMS preprin 008 hp:// Semnas Maemaika dan endidikan Maemaika