SEBARAN STASIONER PADA SISTEM BONUS-MALUS SWISS SERTA MODIFIKASINYA (Cherry Galatia Ballangan)

Transkripsi

1 SEBARAN STASIONER PADA SISTEM BONUS-MALUS SWISS SERTA MODIFIKASINYA (Cherry Galaia Ballangan) SEBARAN STASIONER PADA SISTEM BONUS-MALUS SWISS SERTA MODIFIKASINYA (Saionary Disribuion of Swiss Bonus-Malus Sysem and is Modificaion) Cherry Galaia Ballangan Fakulas Teknologi Indusri, Jurusan Teknik Informaika, Universias Krisen Pera Hadi Sumarno Fakulas Maemaika & IPA, Jurusan Maemaika, Insiu Peranian Bogor ABSTRAK: Sisem Bonus-Malus merupakan sisem dalam akuaria yang memperkenalkan pembagian kelas premi (sae) yang dipengaruhi oleh jumlah klaim yang diajukan oleh pemegang polis iap ahunnya. Peneapan sae dalam sisem ini didasarkan pada pencarian sebaran sasioner yang menyaakan banyaknya pemegang polis dalam iap sae. Sisem Bonus-Malus Swiss (BMS) memiliki 22 sae. Banyaknya sae yang erliba dalam sisem ini mengakibakan sulinya penenuan sebaran sasioner pada sisem BMS ersebu. Karena iu dalam ulisan ini dipelajari suau meode penenuan sebaran sasioner dari sisem BMS ersebu, yaiu dengan menggunakan formula rekursif. Dengan formula rekursif ini, sebaran sasioner sisem BMS dapa dienukan dengan mudah. Modifikasi sisem BMS unuk jumlah sae yang ak hingga mengakibakan perubahan pada formula rekursif unuk mencari sebaran sasionernya. Perubahan ini melipui peneapan nilai awal dari formula rekursif ersebu. Kaa kunci: sebaran sasioner, formula rekursif, sisem Monus-Malus Swiss. ABSTRACT: Bonus-Malus Sysem is a sysem in acuary ha inroduce he premium class (sae) pariion, where he sae is influenced by he number of annual claims repored by he policy holder. We could base he deerminaion of he sae on he saionary disribuion ha represen he number of policy holders in any sae. Swiss Bonus-Malus Sysem has 22 sae. The number of sae ha involved in his sysem resul in he difficuly of saionary disribuion deerminaion. Therefore, he aim of his paper is o sudy a mehod o obain saionary disribuion of Swiss Bonus-Malus Sysem by recursive formula, wih his recursive formula, he saionary disribuion of Swiss Bonus-Malus Sysem can be deermined easier. Modificaion of his sysem wih infinie sae resul in he changes of recursive formula o obain he saionary. This changes including he deermining of base value of he recursive formula. Keywords: saionary disrubuion, resursive formula, Swiss Bonus-Malus Sysem.. PENDAHULUAN Makin meningkanya resiko kecelakaan dalam berkendaraan membua persaingan anar perusahaan asuransi mobil semakin meningka pula. Berbagai sisem diawarkan oleh perusahaan asuransi unuk menarik semakin banyak orang agar menjadi pemegang polis pada perusahaan ersebu. Salah sau sisem yang digunakan pada asuransi mobil adalah sisem bonus-malus. Sisem ini memberikan erobosan baru bagi dunia asuransi, eruama dalam hal besarnya premi yang dipengaruhi oleh jumlah klaim yang diajukan pemegang polis iap ahunnya. Sisem ini memperkenalkan pula pembagian dan perpindahan sae di mana seiap sae memiliki perbedaan premi. Sisem seperi ini elah dierapkan di beberapa negara maju seperi Jepang, Amerika Serika, Jerman, dan Swiss. Tiap negara mengeengahkan auran perpindahan sae, besarnya skala premi, dan jumlah sae yang berbeda-beda, disesuaikan dengan keadaan perekonomian dan kondisi negara hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/ 3

2 JURNAL INFORMATIKA Vol. 3, No. 2, Nopember 22: 3-2 ersebu. Sisem bonus-malus yang dibahas pada karya ilmiah ini adalah sisem Bonus- Malus Swiss (BMS). Peneapan sae dalam sisem BMS didasarkan pada pencarian sebaran sasioner dari sebaran yang menyaakan banyaknya klaim seiap ahunnya. Hasil akhir yang diperoleh dari pencarian sebaran sasioner inilah yang akan menenukan persenase pembayaran premi di iap sae, auran perpindahan sae, dan enunya analisis keuangan bagi perusahaan asuransi yang bersangkuan. Penenuan sebaran sasioner dari suau fungsi sebaran bukan merupakan hal yang mudah dilakukan, apalagi jika melibakan fakor sae seperi pada sisem BMS. Oleh karena iu, dibuuhkan suau meode yang memudahkan penanganan hal ersebu. Dalam ulisan ini akan dipelajari meode yang digunakan unuk mencari sebaran sasioner pada sisem BMS biasa dan sisem BMS kasus ak erbaas, yaiu dengan meode rekursif. 2. PROSES STOKASTIK Proses sokasik adalah koleksi peubahpeubah acak X() dimana adalah parameer dari sebuah himpunan indeks T yang bersesuaian. Himpunan indeks T merupakan subse dari (-,) dan dapa berupa sebuah inerval bilangan riil, misalkan T [, ) unuk proses koninu, maupun himpunan yang dapa dihiung, misalkan T {,,2,...} unuk proses diskre. Unuk kasus diskre, proses sokasik biasanya dinoasikan dengan X. Nilai yang mungkin unuk X() disebu sae, sedangkan proses X() berada pada sae dan pada waku dinoasikan dengan X(). Benuk dari proses sokasik yang digunakan dalam karya ulis ini adalah ranai Markov. di masa mendaang dari sebuah proses, jika sae saa ini dikeahui secara pasi, idak dipengaruhi oleh informasi ambahan mengenai perilakunya di masa lalu. Ranai Markov diskre adalah sebuah proses Markov yang ruang sae-nya adalah gugus hingga aau gugus yang dapa dihiung, dan gugus indeksnya adalah T (,, 2,...). Dalam benuk formal, sifa Markov dinyaakan sebagai: Pr{X n+ j X i,..., X n- i n-, X n i} Pr{X n+ j X n i}, unuk semua iik waku n dan semua sae i,..., i n-, i, j. Umumnya ruang sae dari ranai Markov dinyaakan dengan bilangan bula ak negaif {,, 2,...}, kecuali jika dinyaakan selainnya, dan X n i menyaakan X n berada pada sae i. 3. SISTEM BONUS-MALUS Suau seisem dikaakan Bonus-Malus jika berlaku asumsi:. Semua polis dapa dibagi menjadi kelaskelas fini sehingga premi dari sebuah polis pada periode erenu berganung semaa-maa pada kelas unuk periode ersebu. 2. Kelas saa ini didefinisikan secara unik oleh kelas sebelumnya dan banyaknya klain periode ersebu. 3. Ada kelas erakhir di mana semua polis akan diempakan seelah sejumlah besari periode anpa klaim. 3. Sisem Bonus-Malus Swiss Sisem Bonus-Malus Swiss memiliki 22 sae (kelas premi) yang dienukan dengan menggunakan erminologi ranai Markov. Beriku ini disajikan abel yang menunjukkan besarnya pembayaran premi (dalam persen) iap-iap kelas yang berlaku pada sisem BMS. 2. Ranai Markov Proses sokasik dengan sifa bahwa jika diberikan nilai X, maka unuk s >, nilai X s idak dipengaruhi oleh nilai-nilai dari X u unuk u < disebu sebagai sebuah proses Markov {X } (Taylor & Karlin 984). Dengan kaa lain, peluang perilaku erenu 4 Tabel. Persenase besarnya premi per sae. Sae Premi Sae Premi Auran yang berlaku dalam sisem BMS adalah sebagai beriku. Seiap pemegang hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/

3 SEBARAN STASIONER PADA SISTEM BONUS-MALUS SWISS SERTA MODIFIKASINYA (Cherry Galaia Ballangan) polis yang baru akan memasuki sisem perama kali di sae 9, kemudian membayar premi dasar (%) unuk ahun peramanya. Kemudian posisi sae pemegang polis ersebu pada ahun berikunya adalah: - jika idak ada klaim + n.s jika erdapa n klaim, dengan menyaakan sae sebelumnya dan s adalah besarnya kenaikan sae seiap erjadi klaim. Selain iu, sae baru idak dapa kurang dari nol aau lebih dari 2. Secara eksplisi, auran di aas menyaakan, jika idak ada klaim selama sau ahun, maka sae berkurang sau ingka, sebaliknya jika erjadi n klaim, maka sae dinaikkan sebesar n.s. Nilai s yang digunakan pada sisem BMS adalah 3. Kemudian apabila pemegang polis berada pada sae (bonus maksimum) dan idak erdapa klaim sepanjang ahun sesudahnya, maka ia eap berada pada sae ersebu. Demikian pula, apabila seorang pemegang polis berada pada sae dan jumlah klaim adalah n sedemikian sehingga + n.s 2, maka sae yang baru eaplah Meode Pencarian Sebaran Sasioner Pada umumnya, pencarian sebaran sasioner dilakukan dengan meggunakan mariks peluang ransisi. Namun unuk kasus ini, penggunaan mariks peluang ransisi idaklah efisien dikarenakan jumlah sae yang erliba cukup besar sehingga akan sanga menyulikan dalam penghiungannya. Karena iu, meode yang digunakan di sini adalah meode rekursif. Bagi seiap pemegang polis, derean sae membenuk ranai Markov. Unuk penyederhanaan, perbedaan peluang ransisi pemegang polis yang sau dengan pemegang polis yang lain diabaikan. Jika besarnya perpindahan pada skala premi unuk ahun + dinoasikan dengan Y +, maka didefinisikan: Y, jika idak ada klaim + s. n, jika ada n klaim, () Diasumsikan pula Y, Y 2,... saling bebas dan menyebar secara idenik dengan fungsi peluang: q(y) Pr[Y y], y -, s, 2s, 3s,..., (2) Jika X + adalah sae dari pemegang polis pada waku +, maka X + didefinisikan sebagai: X + Y+, jika X + Y+ 2 X +, jika X + Y+ (3) 2, jika X + Y + > 2 Fungsi sebaran unuk X + memenuhi hubungan: F(, + ) Pr( X + ),,, 2,..., 2,,... y y y ( X Y y). ( Y y) + + Pr + hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/ 5 Pr Pr Pr ( X + Y Y y) q( y) + +. ( X + y ). q( y) ( X y) q( y) Pr. y sehingga diperoleh (, + ) (, ), (4) F F y q y y dengan F(2, +). Sebaran sasioner fungsi F() diperoleh dalam jangka waku yang sanga lama, sehingga: F lim F(, + ) lim y q y F ( y, ). q( y) ( y) lim F( y, ) F y ( y). q( y),,, 2,..., 2, (5) dengan F(2). Persamaan (5) lebih lanju dapa diuraikan sebagai beriku: ( + ). ( ) + ( ). F F q F y q y.. F + q F F y q y F( + ) q ( ) y y F F( y). q( y). y Rumus di aas merupakan rumus rekursif, eapi karena nilai awal F() idak dikeahui, maka nilai F() dengan rumusan di aas idak dapa langsung dicari.

4 JURNAL INFORMATIKA Vol. 3, No. 2, Nopember 22: 3-2 Unuk mencari nilai F(), dapa dibangkikan fungsi-fungsi pembanu A(),,, 2,... yang sebanding dengan nilainilai F() dengan memilih sembarang A() >, sehingga: A( + ) q ( ) A A y q y y ( ). (6) Selanjunya, karena F() sebanding dengan A() sedangkan F(2), maka,, 2,..., 2. (7) F() Kelas (Sae) Lambda,5 Lambda, Lambda,5 Lambda,2 3.3 Penghiungan Numerik Diasumsikan, unuk seiap pemegang polis dengan frekuensi harapan klaim λ (per ahun), peluang ia memiliki n klaim mengikui sebaran Poisson dengan parameer λ >, yaiu: λ n λ e Pr[ N n] n!, n,, 2,..., (8) dengan N adalah peubah acak banyaknya klaim. Dengan asumsi di aas, maka unuk sisem BMS asli yang memiliki s 3 didapakan: q(-) Pr{N } e -λ q() q() q(2) q(3) Pr{N } λe -λ q(4) q(5) q(6) Pr{N 2} λ 2 e -λ / 2!... ds. Misalkan erdapa 4 ingkaan resiko (Dufresne 988), yaiu λ i,5i, i, 2, 4, maka unuk masing-masing nilai λ, penenuan sebaran kumulaifnya dapa dilakukan dengan meode rekursif beriku:. Pilih A() 2. Hiung unuk,, 2,, 2 A( + ) q ( ) A A( y). q( y) y A A 2 3. Hiung F, unuk,,2,.., 2. Penghiungan ersebu dapa dilakukan dalam bahasa C dan menggunakan sofware Turbo C. Sebaran kumulaif dan fungsi kepekaan peluang besera grafiknya diberikan beriku ini. Gambar. Grafik Sebaran Sasioner Sisem BMS f() Kelas (Sae) Lambda,5 Lambda, Lambda,5 Lambda,2 Gambar 2. Grafik Fungsi kepekaan Peluang Sisem BMS Sebaran Sasioner dan Fungsi Kepekaan Peluang Sisem BMS biasa F(,l) l,5 l, l,5 l,2,84239,668472,47828,28574,885496,738776,55569, ,93896,86473,645526,4258 3,978624,92342,749994,536 4,986684,93395,799636, ,992997,954368,84574, ,997364,97393,885739, ,99856,98857,922, ,99927,988387,9347, ,99969,99287,949258,8,999837,9953,9633,8357,999922,9976,97898,8586 2,999965,99827,978274, ,999982,99588,98387, ,99992,999247,9882, ,999996,999533,9948, ,999998,99972,99397,9576 7,999999,999829,99585,9636 8,,99993,99733, ,,99995,998464, ,,99998,999334, ,,,, 6 hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/

5 SEBARAN STASIONER PADA SISTEM BONUS-MALUS SWISS SERTA MODIFIKASINYA (Cherry Galaia Ballangan) f(,l) l,5 l, l,5 l,2,84239,668472,47828,28574,4386,734,77392,6234 2,454,77698,8997,7644 3,47728,85869,4468,932 4,86,2853,49642, ,634,23973,4667, ,4367,8724,435, ,52,8764,25464, ,754,6529,2268, ,42,443,6788,3556,46,2483,255,345,85,76,9585,274 2,43,,7377, ,7,674,5533,273 4,9,447,434,839 5,5,286,3296,697 6,2,79,259,44 7,,7,934,2434 8,,74,48,926 9,,47,33,9599 2,,3,87,8444 2,,9,666,742 Dari hasil yang diperoleh dapa diliha kecenderungan klien berada di sae semakin besar unuk nilai λ yang semakin kecil. Hal ini sesuai dengan asumsi yang dipakai bahwa λ adalah frekuensi harapan klaim, sehingga semakin sediki klaim yang diajukan, akan membua klien semakin mendekai sae. 4. MODIFIKASI SISTEM UNTUK JUM- LAH STATE YANG TAK HINGGA 4. Meode Pencarian Sebaran Sasioner Sisem BMS di aas dapa diperluas dalam benuk jumlah sae yang ak hingga (anpa baas aas). Unuk kasus ini X + didefinisikan sebagai: X + Y+, jika X + Y + X + (9), jika X + Y + Dari definisi di aas, secara inuiif jelas bahwa jika nilai harapan besarnya langkah perpindahan sae, E[Y ], lebih dari nol, maka sae akan erus meningka anpa baas. Sebaliknya, jika < E[Y ] <, maka sae akan mendekai benuk sasioner. Dapa disimpulkan, sebaran sasioner unuk sisem bonus-malus dengan jumlah sae ak hingga ada jika memenuhi: [ ] y q( y) E Y. < y. () Sebaran sasioner fungsi F() dapa diperoleh dengan menggunakan persamaan (5), unuk,, 2,..., yaiu: ( ), () F F y q y y dengan lim F. Pilih A() F(). Jika dimisalkan f F, dan f F F( ), (2) maka dari persamaan () didapakan: f F F( y). q( y) y F. q( ) + F. q [ f + F ]. q( ) + f ( ). q.... (3) f q + f q + f q Sedangkan dari (2) diperoleh: F f + F( ), dan F( y) f ( y) + F( y ), sehingga [ ] + ( ) ( ) + ( ) f F f y F y. q y. y Karena F( ) F( y ). q( y), maka y f f y. q y ( ),, 2,... (4) y Fungsi pembangki peluang dari X unuk u dapa dinyaakan sebagai: G u u f (5) dan fungsi pembangki peluang dari Y adalah: u y q( y) H u y (Karlin & Taylor 975). (6) Dengan memasukkan persamaan (3) dan (4) pada persamaan (5) didapa: + G u u f u f hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/ 7

6 JURNAL INFORMATIKA Vol. 3, No. 2, Nopember 22: 3-2 f q( ) + f q( ) + f q u f ( y).q( y). y f u y ( y).q( y) + f q( ) y f ( y).q( y) ( ). + ( ) (7) G u u f y q y f q y Kemudian unuk variabel z - y, didapakan: y z u q( y) u f ( z) f q( ) u + f q( ) G u y z H( u). G( u) f. q( ) u + f. q( ), aau ( u ). f. q( ) G( u). (8) u( H( u) ) Dengan menggunakan hukum l Hopial diperoleh: ( u. ) f ( ). q( ) f ( ). q( ) limg u lim lim u u u( H( u) ) u H( u) uh' ( u) f. q( ) H ' Karena G(), maka: f. q( ) G, (9) H ' sehingga H f ' q( ) y. q( y). (2) q( ) y 4.2 Penghiungan Numerik Dengan menggunakan asumsi yang sama seperi pada sisem BMS biasa, didefinisikan peubah acak Y yang menyaakan perubahan sae: 3N, N > Y, N, sehingga Y dapa diulis: E Y E 3N Pr N +, 2,..., ë [ ] [ ] [ ] 3ë e. Sesuai syara (), maka E[Y ] 3λ - e -λ <, arinya λ <, Ekspansi dere Taylor dari persamaan (2) memberikan f() - 3λe λ. + Misalkan erdapa 4 ingkaan resiko yaiu λ i,5i, i, 2,..., 4, maka penenuan sebaran kumulaifnya dapa dilakukan dengan meode rekursif beriku:. Pilih F() f() - 3λe λ 2. Hiung unuk,, 2, F + F q( ) y ( ) F( y). q( y) Seperi dalam kasus sebelumnya, penghiungan ersebu dapa dilakukan dalam bahasa C dan menggunakan sofware Turbo C. Dalam conoh ini hanya diberikan unuk 25 sae. Sebaran kumulaif dan fungsi kepekaan peluang besera grafiknya diberikan beriku ini. F() Kelas (Sae) lambda,5 lambda, lambda,5 lambda,2 Gambar 3. Grafik Sebaran Sasioner Sisem BMS Kasus Tak Terbaas f() Kelas (Sae) lambda,5 lambda, lambda,5 lambda,2 Gambar 4. Grafik Fungsi Peluang Sisem BMS Kasus Tak Terbaas Sebaran Sasioner dan Fungsi Kepekaan Peluang Sisem BMS dengan jumlah sae ak hingga 8 hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/

7 SEBARAN STASIONER PADA SISTEM BONUS-MALUS SWISS SERTA MODIFIKASINYA (Cherry Galaia Ballangan) F(,l) l,5 l, l,5 l,2,84239,668449,47775,26758,885495,73875,554398, ,93896,86445,6448, ,978624,923,748359, ,986683,93363,797893,544 5,992997,954336,843859, ,997364,97359,88387, ,99856,98824,9925, ,99927,988353,93436, ,99969,992783,94788,764,999837,995266,95926,78865,999922,996982,96878, ,999965,99892,9764, ,999982,998766,98662, ,99999,99923,985957, ,999996,999499,989246, ,999998,999678,99749,9248 7,999999,999794,993679, ,,999896,99556, ,,99996,996286, ,,999946,99754, ,,999966,99789, f(,l) l,5 l, l,5 l,2,84239,668449,47775,26758,4386,73,77223,595 2,454,77695,8972, ,47728,85866,424,8824 4,859,2852,49534, ,634,23973,45966, ,4367,8723,39948,5277 7,52,8765,2548,4737 8,754,6529,222,3774 9,42,443,6752,33698,47,2483,228,286,85,76,9564,2562 2,43,,736, ,7,674,552,9643 4,9,447,4295,738 5,5,286,3289,5273 6,2,79,253,339 7,,6,93,798 8,,2,477,366 9,,2,3,98 2,,3,868,8 2,,2,665, Dari gambar 3 dan gambar 4 dapa diliha bahwa sebaran sasioner anara sisem BMS biasa dengan sisem BMS kasus ak hingga idak erlalu jauh berbeda. Teapi jika diperhaikan, semakin besar nilai λ, maka nilai fungsi kepekaan peluang pada sisem BMS biasa akan lebih besar dibandingkan sisem BMS kasus koninu. Hal ini dikarenakan, semakin banyak klaim erjadi, akan mengakibakan sebaran sasioner pada sisem BMS kasus ak hingga semakin ersebar sampai ak hingga sae. 5. KESIMPULAN & SARAN 5. Kesimpulan Sisem bonus-malus Swiss (BMS) memiliki 22 sae yang memiliki sifa Markov. Penenuan sebaran sasioner pada sisem ini sanga suli apabila dilakukan secara analiik. Karena iu, penggunaan meode rekursif dalam menenukan sebaran sasioner sisem BMS dapa memberikan kemudahan. Sebaran sasioner ersebu diberikan oleh: A F A( 2),,, 2,, 2, dengan A + A ( ) ( ) A y. q y. q y ( ) Fungsi A() adalah fungsi pembanu dengan sembarang nilai A()>. Sisem BMS dapa diperluas menjadi sisem BMS dengan jumlah sae ak hingga. Unuk kasus ini, sebaran sasionernya ada jika λ<,257628, dan diberikan oleh: F + y ( ) F F( y). q( y), dengan q( ) F() f() - 3λe λ. 5.2 Saran Pada pembahasan di aas dibahas aspek eoriis dari sebaran sasioner sisem Bonus Malus Swiss. Karena iu, akan lebih lengkap apabila dipelajari dari sisi aplikasi sisem Bonus Malus ersebu. Benuk aplikasi ini dapa berupa pencarian nilai λ yang dapa hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/ 9

8 JURNAL INFORMATIKA Vol. 3, No. 2, Nopember 22: 3-2 diperoleh melalui peneliian, khusus unuk kasus yang ada di Indonesia. DAFTAR PUSTAKA. Bowers, N.L, H.U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones & C.J. Nesbi. Acuarial Mahemaics. Sociey of Acuaries, Chicago Dufresne, F. Disribuions Saionnaires d un Syseme Bonus-Malus e Probabilie de Ruine. ASTIN Bullein, 988, 8: Dufresne, F. The Efficiency of The Swiss Bonus-Malus Sysem. Bullein of The Swiss Associaion of Acuaries, 995, : Karlin, S, & Taylor, H.M. A Firs Course in Sochasic Processes. Academic Press, New York Taylor, H.M, & Karlin, S. An Inroducion o Sochasic Modelling. Academic Press, Inc, New York hp://pusli.pera.ac.id/journals/informaics/