II LANDASAN TEORI. menyatakan koordinat horizontal, koordinat vertikal, dan waktu. dan hukum kekekalan momentum memberikan persamaan Euler berikut

Transkripsi

1 II LANDASAN EORI Paa bagian ini akan iraikan beberapa konsep ang menasari peneliian ini. Konsep inamika flia akan isajikan ari psaka [5] an [] seangkan eori sisem amilonian irangkm ari psaka [7] an [8].. Persamaan Dasar Flia Persamaan asar flia irnkan menggnakan hkm kekekalan massa an hkm kekekalan momenm. Menr hkm kekekalan massa laj perbahan massa alam sa sel aalah selisih anara massa ang mask an massa ang kelar ari sel erseb. Seangkan hkm kekekalan momenm menaakan bahwa laj keseimbangan momenm aalah selisih anara momenm ang mask ang kelar iambah gaa-gaa ang bekerja paa sel erseb. Misalkan gerak parikel flia inaakan alam a imensi kecepaan parikel alam arah horizonal an erikal berr-r aalah () an w(). Flia memiliki rapa massa ( ) an berrr menaakan koorina horizonal koorina erikal an wak. berik Berasarkan hkm kekekalan massa iperoleh persamaan koninias w (.) w (.) an hkm kekekalan momenm memberikan persamaan Eler berik ( w ) p (.3) ( w w ww) p g (.4) p an g berr-r menaakan ekanan an percepaan grafiasi. Berasarkan asmsi flia ak beroasi (irroaional) ai q q w maka erapa fngsi skalar ang iseb fngsi kecepaan poensial sehingga q. Jai persamaan (.) apa ilis. (.5)

2 Sara baas nk gerak parikel flia aalah sara baas kinemaik an sara baas inamik. Sara baas kinemaik irnkan berasarkan gerak parikel flia. Misalkan ( ) aalah kra ang membaasi air an ara an inaakan oleh persamaan permkaan S( ) S( ) ( ). Jika iasmsikan iak aa parikel flia ang DS menembs permkaan maka berlak D D w D. Sehingga iperoleh sara baas kinemaik paa permkaan flia berik i ( ). (.6) Seangkan sara baas kinemaik i asar flia ang raa ( h ) aalah i h. (.7) Sara baas inamik hana berlak paa permkaan saja irnkan berasarkan persamaan Eler asmsi flia ak kenal (inici) an ekanan i permkaan sama ekanan ara misalna nol. Jai sara baas inamik aalah ( ) g i ( ) aa g i ( ). (.8). Flia Da Lapisan Flia a lapisan aalah flia ang eriri aas a lapisan ang masingmasing mempnai rapa massa ang konsan. inja flia a lapisan omain flia aalah iik ( ) h h ( ). Misalkan omain flia ibagi menjai a aerah ai (i). S ( ) ( ): ( ) h ( ) (ii). S ( ) ( ) : h ( ). Misalkan flia lapisan aas an bawah masing-masing memiliki rapa massa an. Fngsi ( ) an ( ) berr-r menaakan simpangan gelombang permkaan an simpangan gelombang

3 inerfacial. Seangkan fngsi an berr-r menaakan kecepaan poensial paa lapisan aas an lapisan bawah baas aas h ( ) an baas bawah h seperi ang iberikan paa Gambar. h h h - h h berik Berasarkan asmsi flia ak beroasi (irroaional) iperoleh persamaan paa S( ) paa S ( ). (.9) Gambar. Domain flia a lapisan Sara baas kinemaik paa asar flia ang raa ( = - h ) aalah N i = -h (.) N akni ekor normal saan i = -h. Sara baas kinemaik i ( ) aalah N ( N ) i ( ) (.) N akni ekor normal saan i ( ). Sara baas inamik i ( ) aalah ( g ) g ( ) i ( ). (.)

4 Berik ini akan iinja a kass nk baas aas flia ai (i) baas aas berpa permkaan raa ( h ) an (ii) baas aas berpa permkaan bebas h ( ). Paa kass baas aas berpa permkaan raa iperoleh N i h (.3) N akni ekor normal saan i h. Paa kass baas aas berpa permkaan bebas iperoleh N i h ( ) (.4) N akni ekor normal saan i h ( ). Sara baas inamik i permkaan bebas h ( ) aalah g i h ( ) (.5) menganggap ekanan permkaan sama ekanan ara ang iasmsikan nol..3 Sisem amilonian Diefinisikan fngsi paa rang M ai pemeaan : M R ( ) h(....) M (.6) an h aalah fngsi sembarang ari besera rnanna. rnan ariasi ari fngsional erhaap iefinisikan sebagai berik. Jika erapa operaor simeri miring i rang M sehingga nk seiap bilangan real berlak s s s M (.7) maka iseb rnan ariasi ari erhaap ilis noasi. fngsional rnan ariasi apa ienkan cara berik. Perhaikan s h s s s.... (.8)

5 Misalkan r s maka iperoleh h r h r h r r r r h h h s s s... r r r h h h r r r s. Seelah ilakkan inegrasi parsial berlang an nk iperoleh h h h.... (.9) Selanjna operaor : M M iseb operaor simeri miring jika s s s M (.) aalah noasi nk perkalian alam. Paa peneliian ini perkalian alam ang ignakan berbenk s s s M. (.) Sa persamaan iferensial parsial ikaakan sebagai sisem amilonian jika erapa fngsional an apa ilis alam benk sehingga persamaan iferensial parsial erseb. (.) amilonian merpakan besaran ang eap arina jika () merpakan penelesaian ari persamaan (.) maka nilai (()) iak berbah erhaap wak. Penjelasan mengenai hal ini aalah sebagai berik. Jika r maka r r r r r r r (.3)

6 sehingga iperoleh. (.4) Jika persamaan (.) isbsisikan ke persamaan (.4) maka iperoleh. (.5) Karena operaor simeri miring maka sehingga. (.6) al ini mennjkan bahwa nilai iak berbah erhaap wak. Berik ini akan ibahas sisem persamaan iferensial ang merpakan sisem amilonian. Diefinisikan fngsional aalah ( ) h (...) (.7) h fngsi sembarang ari an besera rnanna. rnan ariasi ari fngsi erhaap ai memenhi s s s M (.8) an rnan ariasi ari fngsi erhaap ai memenhi s s s M. (.9) Sa sisem persamaan iferensial parsial ikaakan sisem amilonian jika erapa fngsional an operaor simeri miring sehingga sisem persamaan iferensial parsial erseb apa ilis alam benk. (.3) Sebagai conoh iberikan persamaan iferensial parsial berik A B (.3) A an B aalah konsana posiif. Persamaan (.3) apa inaakan alam sisem amilonian berik

7 amilonian iefinisikan oleh (.3) A B. (.33) Conoh lainna aalah sisem amilonian ang iberikan oleh persamaan iferensial parsial berik amilonian aa (.34) A B C (.35) I A B I B C. (.36) Kemian jika a ekor an memenhi = B B sa mariks maka hbngan sisiem amilonian kea ekor erseb iberikan paa proposisi berik. Proposisi Misalkan memenhi persamaan. Jika memenhi = B maka B B * ( ) ( ). Bki proposisi apa iliha paa psaka [7].

8 Sebagai conoh iefinisikan ransformasi berik r F s (.37) F B A 4A 4B 4 4 B A 4A 4B 4 4. (.38) Dalam hal ini r s. (.39) Berasarkan persamaan (.3) an proposisi iperoleh (.4) F F *. Sebagai conoh lain iefinisikan ransformasi berik R (.4) a b R a b a b R (.4) a b

9 an a b Dalam hal ini C A. B. Berasarkan persamaan (.34) an proposisi iperoleh aa (.43) an c c (.44) c A C A C 4B. (.45)