ANALISIS KESTABILAN MODEL PREY-PREDATOR DENGAN PEMANENAN KONSTAN PADA IKAN PREY

Transkripsi

1 ANALISIS KESTABILAN MODEL PREY-PREDATOR DENGAN PEMANENAN KONSTAN PADA IKAN PREY Luluk Ianaul Afifah 1, Usman Pagalay 1, Jurusan Maemaika Fakulas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 1, ABSTRAK Model Prey-predaor merupakan salah sau model ineraksi anara dua spesies yang berbenuk persamaan diferensial biasa nonlinier. Tujuan dari peneliian ini yaiu unuk menganalisis model preypredaor dengan pemanenan konsan pada ikan prey dan melakukan inepreasi pada model ersebu berdasarkan simulasi yang dilakukan. Dengan menggunakan nilai pemanenan h h maks, dimana h maks merupakan nilai pemanenan maksimu. Maka didapakan lima iik keseimbangan yang erdapa sau iik keseimbangan yang sabil dengan jenis iik simpul dan jenis kesabilan berupa sabil asimoik. Dari simulasi yang dilakukan dengan iga kondisi nilai pemanenan yaiu keika h < h maks, h = h maks dan h > h maks. Maka dapa disimpulkan bahwa jika nilai pemanenan melebihi nilai pemanenan maksimum maka model ersebu idak sabil dan populasi ikan prey akan punah dan diikui oleh populasi ikan predaor. Pada peneliian selanjunya dapa dilakukan analisis pada model prey-predaor dengan memberikan perlakuan pemanenan berupa konsan pada kedua spesies dan selain iu juga dengan memberikan perlakuan pemanenan berupa fungsi pemanenan kepada salah sau spesies aau kedua spesies. Kaa Kunci: model prey-predaor, pemanenan maksimum, kesabilan. ABSTRACT A prey-predaor model is one of ineracion models beween he wo species populaions in he from sysem of nonlinier defferenial equaions. The aim of his sudy is o analysis a pre-predaor model wih harvesing a he prey and inerpre he model based on simulaion. The value of he harvesing used is h h maks, where h maks is maximum value of he Harvesing. Then here are five equilibrimu poin obained in which here is one sabile poin in ypenode poin anhe ype ofasympoically sabiliy. The resuls of he simulaions, simulaion done by hree condiions of he harvesing is h < h maks, h = h maks and h > h maks. Then we can conclude ha if he value of he harvesing exceeds maximum value of he harvesing hen he model was unsable and he populaion of prey will he will be followed by he exincion of predaor fish. Furher research canbe donein a prey-predaor modelwih a givenreamenharvesingconsan o he wo ofhem and wha isreamen in he form of a harvesing funcionfor one or wo spesies. Key Words: prey-predaor model, maximum harvesing, sabiliy. 1. PENDAHULUAN Salah sau benuk ineraksi pada makhluk hidup yaiu saling memangsa anara spesies sau dengan lainnya demi kelangsungan hidupnya. Dalam maemaika model ersebu dinamakan model prey-predaor yang diperkenalkan oleh Vio Volerra. Pada kasus ini pemanenan yang dilakukan pada populasi ikan prey berupa konsan. Menuru [1], pemanenan yang berupa konsan pada ikan idak mengalami kenaikan maupun penurunan diseiap ahunnya. Dalam peneliian ini diasumsikan pemanenan yang dilakukan bisa mendapakan hasil yang maksimum. Terdapa salah sau konsep pemanenan yaiu pemanenan maksimum disebu juga sebagai Maximum Suseinable Yield (MSY). Secara eoriis MSY merupakan jumlah angkapan ikan predaor erbesar yang dapa diambil dari persediaan suau jenis ikan prey dalam jangka waku yang ak erbaas. Terdapa beberapa peneliian erdahulu mengenai kasus ini yaiu peneliian oleh [], peneliian ersebu enang Maximum Suseinable Yield (MSY) pada perikanan dengan srukur prey-predaor, Kemudian peneliian yang dilakukan oleh [3], enang analisis model mangsa-pemangsa Michaelis-Menen dengan pemanenan konsan pada populasi prey. Kemudian peneliian yang dilakukan oleh [4],

2 Analisis Kesabilan Model Prey-Predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey enang Effor Dynamics in a Prey-Predaor Model wih Herfesing. Pada peneliian ersebu membahas enang kesabilan model preypredaor dengan pemanenan yang berupa fungsi pada populasi ikan prey. Sedangkan dalam peneliian ersebu belum dibahas mengenai model prey-predaor dengan pemanenan konsan. Maka penulis akan menganalisis kesabilan dan membua simulasi dari model prey-predaor dengan pemanenan konsan pada ikan prey berdasarkan model dari [4].. TINJAUAN PUSTAKA.1 Model Prey-predaor Menuru [5], model Prey-predaor merupakan sisem persamaan nonlinier dan idak ada cara yang dikeahui unuk menyelsaikan secara eksplisi, meskipun demikian dimungkinkan dengan menggunakan eori kualiaif mengenai sisem semacam iu. Menuru Waluya (6), erdapa dua kunci konsep dalam sisem nonlinier yang menenukan semua hasil dinamik. Dua konsep ersebu adalah iik keseimbangan (iik equilibrium) dan kesabilan.. Model Pemanenan Ikan Prey Menuru Verhus pada buku [6], diberikan model logisik sebagai beriku dn() = rn() (1 N() K ) (1) dari model perumbuhan (.1) dengan diberikan nilai r =.8 dan nilai K =, maka grafik perumbuhan maksimum dari N() yaiu Menuru [3], maka erdapa perumbuhan populasi N() maksimum diberi simbol N(), sesuai pada gambar (.1), dapa diliha nilai perumbuhan maksimum dari populasi N() yaiu N() = K () sehingga populasi N() akan mencapai nilai maksimum pada kondisi seengah dari daya dukung lingkungan..3 Linierisasi Persamaan Deferensial Biasa Auonomus Menuru [7], dalam suau sisem auonomus seperi beriku: d = f(x, y), d = g(x, y) unuk f dan g adalah nonlinier, kemudian akan dicari pendekaan pada sisem linier di sekiar (x, y )menggunakan dere Taylor, unuk menghilangkan suku nonliniernya sebagai beriku: dx = f(x, y ) + (x, y )(x x ) + (x, y )(y y ) dy = f(x, y ) + (x, y )(x x ) + (x, y )(y y )(3) Misal maka unuk dx = du (x x ) = v dan (y y ) = u dy dan = dv pada keadaan seimbang f(x, y ) = dan g(x, y ) =, kemudian disubiusikan pada sisem persamaan (3) dan sisem persamaan linear pada iik keseimbangan (x, y ) diberikan dengan [ u v ] = [ dimana semua urunan parsial di dalam mariks adalah dievaluasi pada (x, y ) yang lebih dikel sebagai mariks Jacobi ] Gambar 1. Grafik Perumbuhan Maksimum dari Persamaan (1) dengan r =.8 dan K = Pada Gambar 1 bahwa erdapa dua iik keseimbangan yaiu N 1 = dan N = K. Terliha bahwa grafik memenuhi iik keseimbangan N 1 =, maka dapa diarikan makhluk hidup umbuh jumlahnya idak akan mendekai nilai nol, karena makhluk hidup umbuh dan berkembang. Pada grafik ersebu garis menuju ke iik keseimbangan kedua yaiu N = K, maka pada iik keseimbangan kedua sabil..4 Tiik Kesabilan Sisem Auonomous Menuru [8], erdapa beberapa kemungkinan dari nilai akar-akar karakerisik λ 1 dan λ ersebu, maka jenis iik keseimbangan (,) dapa digolongkan seperi pada Tabel 1 beriku:.5 Pore Fase dari Sisem Auonomous Menuru [5], gambar semua rayekori dari suau sisem disebu pore fase dari sisem. Pore fase dari sebuah sisem hampir seluruhnya berganung pada akar λ 1 dan λ. CAUCHY ISSN:

3 Luluk Ianaul Afifah, Usman Pagalay Tabel 1. Jenis-jenis Kesabilan dari Tiik Keseimbangan (,) Jenis dari Tiik Jenis Kesabilan Keseimbangan (,) Nilai Akarakar Persamaan Karakerisik Real, berbeda dan beranda sama Real, berbeda dan berbeda anda Real dan sama Kompleks api idak imajiner murni Imajiner murni 3. PEMBAHASAN Tiik simpul (node) Tiik plana (saddle poin) Tiik binang (sar) Tiik spiral (spiral poin) Tiik pusa (cener) Sumber: [8] Sabil asimook bila akar-akar negaif, idak sabil bila akarakar posiif Tidak sabil Sabil asimoik bila akar-akar negaif, idak sabil bila akar akar posiif Sabil asimoik bila bagian real dari akar-akar negaif, idak sabil bila bagian real dari akarakar posiif Sabil, eapi idak sabil asimoik 3.1 Model Prey-predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan prey Beriku diberikan diagram model preypredaor dengan pemanenan konsan pada ikan prey yaiu sebagai beriku: : Banyaknya populasi ikan prey erhadap Waku : Banyaknya populasi ikan predaor erhadap waku r : Laju perumbuhan inerisik populasi ikan prey K : Daya kapasias populasi ikan prey α : Laju penangkapan relaif maksimum akiba predasi β : Laju perumbuhan maksimum ikan predaor γ : Laju kemaian predaor akiba predasi A : Laju kelahiran populasi ikan prey B : Laju kemaian alami ikan predaor H : Tingka pemanenan ikan prey dengan r,k, α, β, γ,a,b,h adalah parameer posiif. 3. Besaran Parameer Model Parameer yang dipakai dalam model prey-predaor dengan pemanenan konsan pada ikan prey menggunakan parameer dari peneliian Kar dan Cakraborry (), yaiu: Tabel. Nilai Awal yang Digunakan unuk Model Vareabel Nilai 8 Tabel 3. Nilai Parameer unuk Model Parameer Nilai r.8 K α.75 β.75 γ.8 a b.1 Gambar. Diagram Model Prey-predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey Pada Gambar () ersebu dapa dirumuskan menjadi model maemaika oleh Kar dan Cakrabory () sebagai beriku: d = r (1 K ) α a + h (4) d = b + βα γ a + (5) dengan: 3.3 Penenuan Nilai Pemanenan Maksimum (hmaks) Diberikan perlakuan pemanenan berupa konsana h dalam kasus ini pada populasi ikan prey. Telah dikeahui bahwa nilai perumbuhan maksimum populasi ikan prey( ) adalah seengah dari daya kapasiasnya ( K ). Berdasarkan asumsi yang diberikan unuk nilai pemanenan yaiu h h maks, dimana h maks merupakan nilai pemanenan maksimum. Maka meneenukan nilai populasi ikan predaor maksimum yaiu = b γ + βα (6) γ(a + ) 16 Volume 3 No. 4 Mei 15

4 Analisis Kesabilan Model Prey-Predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey dengan memsubiusikan nilai pada persamaan (3.4), maka nilai populasi ikan predaor maksimum yaiu = b γ + βαk γ(a + K) Dengan mensubiusikan nilai populasi maksimum ikan predaor dan nilai perumbuhan maksimum ikan prey, maka didapakan nilai pemanenan maksimum pada populasi ikan preyh maks yaiu h maks = rk 4 + αbk γ(a + K) βα K (7) γ(a + K) jika dimasukan nilai parameer sesuai abel (3.), maka didapakan nilai pemanenan maksimum h maks = maka unuk nilai pemanenan yaiu h Keika Tidak Ada Populasi Ikan Prey Unuk populasi ikan predaor keika idak adanya populasi ikan prey, maka persamaan (3.) menjadi sebagai beriku: d = b γ dengan nilai awal sebesar, b = γ =.8, dan h =, maka didapakan solusi dari persamaan ersebu yaiu 5 = e 1 maka simulasi dari solusi yaiu 3.4 Analisis Model Prey-predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey Keika Salah Saunya Tidak Ada Keika Tidak Ada Populasi Ikan Predaor Unuk populasi ikan prey keika idak adanya populasi ikan predaor persamaan (4) menjadi sebagai beriku: d = r (1 K ) h dengan nilai awal sebesar 8, r =,8, K =, dan h = maka didapakan solusi dari persamaan ersebu yaiu = ( anh ( 3635 ( ) arcanh ( 1 77)) 77) 77 maka simulasi dari solusi yaiu Gambar 4. Model Prey-predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey Keika Tidak Ada Populasi Ikan Predaor dari Gambar 4 erliha bahwa populasi ikan prey akan mengalami peningkaan erus menerus sampai mengarah kesuau iik yaiu yang berai sabil dengan nilai pemanenan sebesar sau sauan dan idak dipengaruhi oleh populasi ikan predaor. Gambar 5 Model Prey-predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey Keika Tidak Ada Populasi Ikan Prey dari Gambar 5 erliha bahwa populasi ikan predaor akan mengalami penurunan erus menerus sampai menuju ke nol yang berai idak sabil. Tidak sabil ersebu dapa diarikan bahwa jumlah populasi ikan predaor mengalami penurunan sampai pada kepunahan karena idak ada sumber makanan. 3.5 Linierisasi Model maka didapakan hasil linierisasi dari sisem ersebu dengan iik keseimbangan (x, y ), yaiu Dengan = r (1 K = α. a + ( x ) = y ( r. α. ) K a + β. α. β. α.. = + a + (a + ) β. α. = b +. γ. y a + ) + α.. (a + ) dari Mariks Jacobi yang didapakan, kemudiaan akan dianalisis kesabilannya. 3.6 Penenuan Tiik Keseimbangan Pada persamaan (4) dan (5) dengan d d memisalkan = dan = maka persamaan ersebu menjadi: CAUCHY ISSN:

5 Luluk Ianaul Afifah, Usman Pagalay = r (1 K ) α a + h = b + βα γ a + (8) (9) Keika = Dengan memisalkan =, maka didapakan nilai =. Maka iik keseimbangan perama yaiu (x 1, y 1 ) = (, ). Pada iik keseimbangan ini dapa diarikan bahwa jika populasi ikan prey idak ada maka populasi ikan predaor juga idak ada. Karena idak ada sumber makanan unuk populasi ikan predaor. Keika = Dengan memisalkan =, maka didapakan iik keseimbangan yang dua dan nilai parameernya disubiusikan maka (x, y ) = ( K+K r r +4 r K h, ) = (71.36, ). Unuk iik keseimbangan yang keiga (x 4, y 4 ) = ( K K r r +4 r K h, ) = (8.63, ). Pada iik keseimbangan ini dapa diarikan bahwa jika populasi ikan predaor idak ada, maka populasi ikan prey eap dapa berahan hidup meskipun erdapa pemanenan pada populasi ikan prey. Keika dan Perama menenukan nilai, yaiu = b γ + βα γ(a + ) kemudian smensubiusikan nilai, maka persamaan (3.6) = ( r K ) + r α ( b γ(a + ) + βα γ(a + ) ) h Maka pada iik keseimbangan ini, jika dimasukan nilai parameer sesuai pada abel (3.) dengan menggunakan banuan sofware MAPLE 1 maka didapakan dua nilai dari yaiu 6.41 dan Sehingga didapakan dua iik keseimbangan yaiu iik keseimbangan keempa (x 4, y 4 ) = (46.98, 5.78) dan iik keseimbangan kelima (x 5, y 5 ) = (49.81, 5.84). Seelah didapakan iik keseimbangan kemudian akan dianalisis keseabilanya. 3.7 Analisis Kesabilan pada Tiik Keseimbangan Unuk Tiik Keseimbangan Perama (x 1, y 1 ) Pada iik keseimbangan perama yaiu (,), didapakan nilai eigen sebagai beriku λ =.8 dan λ =.1. Didapakan nilai eigen real, berbeda dan idak sama anda yaiu maka nilai eigen pada iik keseimbangan(,) ermasuk pada ipe iik saddle yang idak sabil. Unuk Tiik Keseimbangan Kedua (x, y ) Pada iik keseimbangan keiga yaiu ( K+K r r +4 r K h, ) = (71.36, ), maka didapakan nilai eigen sebagai beriku yaiu λ =.34 dan λ =.49. Didapakan nilai eigen real, berbeda dan idak sama anda yaiu maka nilai eigen pada iik keseimbangan(71.6,) ermasuk pada ipe iik saddle yang idak sabil. Unuk Tiik Keseimbangan Keiga (x 3, y 3 ) Pada iik keseimbangan keempa yaiu ( K K r r +4 r K h, ) = (8.63, ),maka didapakan nilai eigen sebagai beriku yaiu λ =.34 dan λ =.41. Didapakan nilai eigen real, berbeda dan sama anda yaiu maka nilai eigen pada iik keseimbangan(5.8,) ermasuk pada ipe iik simpul (node) yang idak sabil, karena nilai eigen beranda posiif. Unuk Tiik Keseimbangan Keempa (x 4, y 4 ) Pada iik keseimbangan yang kelima yaiu (46.98,5.78),maka didapakan nilai eigen yaiu λ 1 =. dan λ =.45. Didapakan nilai eigen real, berbeda dan idak sama anda yaiu maka nilai eigen pada iik keseimbangan (46.98, 5.78) ermasuk pada ipe iik saddle yang idak sabil. Keidak sabilan disini bisa merupakan keidak simbangan anara Unuk Tiik Keseimbangan Kelima (x 5, y 5 ) Pada iik keseimbangan yang keenam yaiu(49.81,5.84), maka didapakan nilai eigen yaiu λ 1 =. dan λ =.45 didapakan nilai eigen real, berbeda dan sama anda, maka nilai eigen pada iik keseimbangan (88.33,6.3) ermasuk pada ipe iik simpul (node) yang sabil, karena nilai eigen keduanya beranda negaif. Maka jenis kesabilan pada iik keseimbangan ini merupakan kesabilan asimoik. Kesabilan pada iik keseimbangan ersebu menunjukan bahwa, populasi ikan prey populasi ikan predaor dapa hidup 18 Volume 3 No. 4 Mei 15

6 Analisis Kesabilan Model Prey-Predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey berdampingan meskipun erdapa pemanenan pada ikan prey. 4. SIMULASI Kondisi Keika h < h maks Keika nilai pemanenan h = (c) 8 7 6, 5 4 3, (a) (b) Gambar 5. Pore Fase (a) dan Grafik Perilaku (b) dari Sisem Persamaan (3.1) dan (3.) dengan Nilai Pemanenan h = Dari Gambar 5 unuk Pore Fase (a) keseimbangan dengan diunjukan adanya arah panah menuju ke suau iik yaiu (94.3, 6.34). Hal ini menunjukan bahwa keika nilai pemanenan idak ada maka model ini sabil. Unuk grafik perilaku (b) dengan nilai pemanenan idak ada, dapa diliha bahwa grafik dari populasi ikan prey dengan nilai awal sebesar 8 sau sauan mengalami kenaikan pada saa waku sebesar 1sau sauan menuju ke suau iik 94.3 sau sauan. Sedangkan unuk populasi ikan prey dengan nilai awal sau sauan mengalami penurunan saa waku sebesar 6 sau sauan dan menuju ke iik 6.34 sau sauan waku. Hal ini dapa diarikan bahwa populasi ikan prey dan populasi ikan predaor dapa hidup berdampingan anpa adanya pemanenan pada populasi ikan prey (d) 6. Pore Fase (c) dan Grafik Perilaku (d) dari Sisem Persamaan (3.1) dan (3.) dengan Nilai Pemanenan h = 5 Dari Gambar 6 unuk Pore Fase (c) keseimbangan dengan diunjukan adanya arah panah menuju ke suau iik yaiu (86.7, 6.9). Hal ini menunjukan bahwa keika nilai pemanenan sebesar 5 sau sauan sabil. Unuk grafik perilaku (d) dengan nilai pemanenan sebesar 5 sau sauan dapa diliha bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal sebesar 8 sau sauan mengalami penurunan sebesar sau sauan pada saa waku.5 sau sauan waku dan mengalami kenaikan menuju ke suau iik 86.7sau sauan pada saa waku sau sauan waku. Sedangkan unuk populasi ikan predaor dengan niali awal sebesar sau sauan mengalami penurunan pada saa waku 5 sau sauan waku dan menunju ke suau iik 6.9 sau sauan. Hal ini dapa diarikan bahwa populasi ikan prey dan populasi ikan predaor dapa hidup berdampingan meskipun adanya pemanenan pada ikan prey sebesar 5 sau sauan.keika Keika nilai pemanenan h =16.5 Keika nilai pemanenan h = 5 CAUCHY ISSN:

7 Luluk Ianaul Afifah, Usman Pagalay, (e) (f) Gambar 7. Pore Fase (e) dan Grafik Perilaku (f) dari Sisem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai Pemanenan h = 16.5 Dari Gambar.7 unuk Pore Fase (e) keseimbangan dengan diunjukan adanya arah panah menuju ke suau iik yaiu (5.8, 5,89). Hal ini menunjukan bahwa keika nilai pemanenan sebesar 16.5 sau sauan sabil. Unuk grafik perilaku (f) dengan nilai pemanenan sebesar 16.5 sau sauan dapa diliha bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal sebesar 8 sau sauan mengalami penurunan sampai 5.8 sau sauan pada saa waku 6 sau sauan waku. Sedangkan unuk populasi ikan predaor dengan niali awal sebesar sau sauan mengalami penurunan pada saa waku 16.5 sau sauan waku dan menunju ke suau iik 5,89. Hal ini dapa diarikan bahwa populasi ikan prey dan populasi ikan predaor dapa hidup berdampingan dengan meskipun adanya pemanenan pada ikan prey sebesar 16.5 sau sauan., (g) (h) Gambar 8. Pore Fase (g) dan Grafik Perilaku (h) dari Sisem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai Pemanenan h = Dari Gambar 8. unuk Pore Fase (g) keseimbangan dengan diunjukan adanya arah panah menuju ke suau iik yaiu (49.81, 5.84). Hal ini menunjukan bahwa keika nilai pemanenan sebesar sau sauan sabil. Unuk grafik perilaku (h) dengan nilai pemanenan sebesar sau sauan dapa diliha bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal sebesar 8 sau sauan mengalami penurunan sampai sau sauan pada saa waku 4 sau sauan waku. Sedangkan unuk populasi ikan predaor dengan niali awal sebesar sau sauan mengalami penurunan pada saa waku sau sauan waku dan menunju ke suau iik 5.84 sau sauan. Hal ini dapa diarikan bahwa populasi ikan prey dan populasi ikan predaor dapa hidup berdampingan dengan meskipun adanya pemanenan pada ikan prey sebesar sau sauan. Kondisi Keika h > h maks Keika nilai pemanenan h =16.45 Kondisi Keika h = h maks Keika nilai pemanenan h = Volume 3 No. 4 Mei 15

8 Analisis Kesabilan Model Prey-Predaor dengan Pemanenan Konsan pada Ikan Prey, (i) (j) Gambar 9. Pore Fase (i) dan Grafik Perilaku (j) dari Sisem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai Pemanenan h = Dari Gambar 9. unuk Pore Fase (i) keseimbangan dengan diunjukan idak adanya arah panah menuju ke suau iik. Hal ini menunjukan bahwa keika nilai pemanenan sebesar sau sauan idak sabil. Unuk grafik perilaku (j) dengan nilai pemanenan sebesar sau sauan dapa diliha bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal sebesar 8 sau sauan mengalami penurunan sampai sau sauan pada saa waku sebesar 1 sau sauan waku. Sedangkan unuk populasi ikan predaor dengan niali awal sebesar sau sauan mengalami penurunan sampai sau sauan pada saa waku sebesar 111 sau sauan waku. Hal ini dapa diarikan bahwa populasi ikan prey akan mengami kepunahan kemudian erjadi kepunahan pada populasi ikan predaor karena erdapa pemanenan sebesar sau sauan. Keika nilai pemanenan h =18, (k) (l) Gambar. Pore Fase (m) dan Grafik Perilaku (n) dari Sisem Persamaan (4) dan (5) dengan Nilai Pemanenan h = 18 Dari Gambar. unuk Pore Fase (k) keseimbangan dengan diunjukan idak adanya arah panah menuju ke suau iik. Hal ini menunjukan bahwa keika nilai pemanenan sebesar 18 sau sauan idak sabil. Unuk grafik perilaku (l) dengan nilai pemanenan sebesar 18 sau sauan dapa diliha bahwa grafik dari ikan prey dengan nilai awal sebesar 8 sau sauan mengalami penurunan sampai sau sauan pada saa waku sebesar 19 sau sauan waku. Sedangkan unuk populasi ikan predaor dengan niali awal sebesar sau sauan mengalami penurunan sampai sau sauan pada saa waku sebesar sau sauan waku. Hal ini dapa diarikan bahwa populasi ikan prey akan mengami kepunahan kemudian erjadi kepunahan pada populasi ikan predaor karena erdapa pemanenan sebesar 18 sau sauan. PENUTUP 1. KESIMPULAN Berdasarkan peneliian yang dilakukan pada model prey-predaor dengan pemanenan konsan pada ikan prey. Dari hasil analisis yang CAUCHY ISSN:

9 Luluk Ianaul Afifah, Usman Pagalay dilakukan pada model ersebu, didapakan nilai pemanenan maksimum h maks sebesar sau sauan. Kemudian dilakukan analisi kesabilan keika nilai pemanen maksimum. Dari lima iik keseimbangan didapakan sau iik keseimbangan yang sabil yaiu pada iik (49.81, 5.84) kemudian didapakan nilai eigennya yaiu λ 1 =. dan λ =.45, maka jenis iik keseimbangan yaiu berupa iik simpul yang sabil dengan jenis kesabilan sabil asimoik. Dari simulasi yang dilakukan dengan nilai pemanenan diasumsikan h h maks, maka diberikan iga kondisi unuk menganalisi model ini yaiu kondisi perama h < h maks, kondisi kedua h = h maks, dan kondisi keiga h > h maks. Pada kondisi nilai pemanenan h < h maks dan h = h maks dapa disimpulkan model ersebu sabil, ini berari bahwa spesies ikan prey dan populasi ikan predaor dapa hidup berdampingan meskipun erdapa pemanenan pada populasi ikan prey. Pada kondisi nilai pemanenan h > h maks dapa disimpukan bahwa model ersebu idak sabil, ini berari populasi ikan prey dan populasi iakn predaor idak dapa hidup berdampingan dengan nilai pemanenan melebihi nilai pemanenan maksimu. 4. Saran Pada peneliian selanjunya dapa dilakukan pada model prey-predaor dengan memberikan perlakuan pemanenan berupa konsan pada kedua spesies dan selain iu juga dengan memberikan perlakuan pemanenan berupa fungsi pemanenan kepada salah sau spesies aau kedua spesies. DAFTAR PUSTAKA [1] Idels, W dan Mai, W, Harvesing Fisheries Menegemen Sraegis Wih Modified Effor Funcion, IJMC Jurnal dalam Modeling Complex Sysem, 6. [] Herini, E dan Gusriani, N, Maximum Susainable Yield (MSY) pada Perikanan dengan Srukur Prey-predaor, Sumedang: Universias Padjadjaran, 13. Skripsi S1 idak dipublikasikan. Bogor: ITB, 11. [4] Kar,T dan Cakrabory, K, Effor Dynamics In A Prey-predaor Model Wih Harvesing. Vol.6 No. 3 Hal , India,. [5] Finizio dan Ladas, Persamaan Deferensial Biasa dan Dan Penerapan Moderen, Jakara: Eirlangga, 988. [6] R. J. Iswano, Pemodelan Maemaika: Aplikasi dan Terapan, Yogyakara: Graha Ilmu, 1. [7] Boyce, W. E dan Prima, R. C, Elemenery Differenial Equaion and Boundary Value Problem, Uied Saes of America: John Wiley and Sons, [8] Widowai dan Suimin, Buku Ajar Model Maemaika, Semarang: Fakulas MIPA UNDIP, 7. [9] Karono, Persamaan Deferensial Biasa: Model Maemaika Fenomena Perubahan, Yogyakara: Graha Ilmu, 1. [] P. S. Redjeki, Dika Kuliah Ma71 Meoda Maemaika, Bandung: Fakulas MIPA ITB, 9. [11] R. C. Robinson, An Inroducion o Dynamical Sysem Coninous and Discree, New Jersey: Pearson Educaion, In, 4. [3] H. Dwaradi, Analisis Model Mangsapemangsa Michaelis-menen dengan Pemanenan pada Populasi Mangsa, Volume 3 No. 4 Mei 15