HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI

Transkripsi

1 HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Da Vektor. Hasil Kali Skalar Da Vektor di R Perkalian diantara da ektor tidak seperti perkalian diantara da bilangan real. Perkalian diantara da bilangan real hasil kalinya adalah sebah bilangan real lagi. Namn hasil kali da ektor belm tent demikian. Ada beberapa jenis perkalian ektor dengan notasi dan hasil yang berbeda. Ada perkalian titik (dot prodct), ada perkalian silang (cross prodct), dan ada pla perkalian bar (bar prodct). Khss dalam kegiatan belajar yang ini, hanya akan dibahas tentang perkalian titik ata hasil kali skalar dari da ektor. Hal ini disesaikan dengan Garis-garis Besar Program Pengajaran Mata Kliah Aljabar Linear.. Kita perhatikan da bah ektor yang bkan merpakan ektor nol, misalnya = dan = dan yang dimaksd dengan hasil kali skalar (scalar prodct) dari da ektor, yait ektor dan ektor adalah bentk.. Cos dengan adalah sdt yang dibentk diantara dan, o 8 o (definisi).

2 Gambar 4. 7 Apakah Anda masih ingat salah sat atran (rms Cosins) yang berlak dalam segitiga ABC? (Trigonometri). Tentnya salah sat diantaranya seperti berikt (Gambar 4. 7). Ras kanan : BC AC AC.. Cos. Sekarang kita perhatikan ras kiri dan ras kanan dari rms di atas, yait : AC AB AC. AB. Cos.. Cos... () Ras kiri : BC BA AC. = ( ) ( ) = ( - ) + ( - ) = = ( + ) + ( + ) - ( + ) = - ( + ), sebab dan BC = - ( + )... ()

3 Karena ras kiri sama dengan ras kanan dari rms cosins di atas, maka () = (), ata.. Cos = - ( + ).. Cos = -( + ).. Cos = + Kombinasi bentk + diberi nama dan lambang yang khss, yait sebagai perkalian titik (dot prodct) ata hasil kali skalar (scalar prodct), dan diberi lambang.. Karena penlisan ini, maka perkalian titik it adalah :. = + =.. Cos Kita sdah mengetahi, bahwa jika sdt lancip, maka tentnya Cos adalah positif, berarti. positif. Sedangkan jika sdt tmpl, maka Cos adalah negatif, berarti. negatif. Demikian pla sebaliknya jika. positif, maka Cos adalah positif dan adalah sdt lancip. Sedangkan jika. negatif, maka Cos adalah negatif dan adalah sdt tmpl. Contoh 4. 4 Jika = [, ] dan = [, ], maka Gambar 4. 8 a) Hasil kali skalarnya :. =. 4 b) Cosins sdt diantara dan = = Cos =..

4 = = 5 = 8 = Tentnya besar sdt dapat kita cari (pakai kalklator ata daftar matematika) c) Sdt diantara dan ( ). Karena. positif dan Cos jga positif, maka adalah sdt lancip. Sekarang bagaimana jika keda ektor it saling tegak lrs? Karena keda ektor dan saling tegak lrs, maka sdt diantara kedanya adalah 9 o ata = 9 o, berarti Cos =. Karena. =.. Cos, maka keda ektor dan saling tegak lrs jika dan hanya jika dot prodctnya sama dengan nol, ata tegak lrs Cos =. =. Contoh 4. 5 Misalnya kita akan memperlihatkan bahwa titik-titik A(,5), B(,), dan C(- 4,) adalah titik-titik pncak segitiga sik-sik. Menrt Gambar 4. 9 ternyata bahwa segitiga ABC adalah sik-sik di titik sdt A. Jadi kita dapatkan : AB = AC = 5 4 5, dan 5 5, maka AB. AC =. (-5) + (-). (-5) = - + = Karena perkalian titiknya nol, maka terbktilah bahwa segitiga ABC adalah segitiga sik-sik, dalam hal ini sik-sik di titik sdt A. 4

5 Gambar Hasil Kali Skalar Da Vektor di R Dalam kegiatan belajar. telah kita pelajari perkalian titik diantara da ektor di R, dan dalam kegiatan belajar ini akan kita bahas perkalian titik diantara da ektor di R. Sama seperti halnya ektor-ektor di R, bahwa jika dan adalah ektorektor di rang (R ) dan sdt diantara dan, maka hasil kali skalar ata perkalian titik (dot prodct) dan didefinisikan oleh :. =. Cos θ jika jika dan dan Contoh 4. 6 Diperlihatkan dalam Gambar 4. 4, bahwa sdt diantara ektor = [,, ] dan ektor = [,, ] adalah 45 o. Jadi,. =.. Cos =.. cos 45 o = ().( )( ). 5

6 Gambar 4. 4 Misalkan = [,, ] dan = [,, ] adalah da bah ektor yang tak nol dengan adalah sdt antara dan (Gambar 4. 4). Dengan menggnakan rms cosins, kita dapatkan : PQ =.. Cos... () Karena PQ = -, maka kita dapat menliskan () menjadi -.. Cos.. Cos = - ata. = - Sbstitsikan : = + + = + +, dan - = ( - ) + ( - ) + ( - ) Selanjtnya kita dapatkan :. = {( + + ) + ( + + ) - ( ) )}. = () 6

7 Jika = [, ] dan = [, ] da ektor di R, maka menrt rms () :. = + Bandingkan dengan kegiatan belajar bagian A. yang telah lal. Gambar 4. 4 Contoh 4. 7 Perhatikan ektor-ektor = [, -, ] dan = [,, ]. Carilah. dan tentkan pla sdt, yait sdt antara dan. Penyelesaian :. = + + = ()() + (-)() + ()() = Karena 6, maka Cos = Jadi, = 6 o. Contoh 4. 8 rsknya. Carilah sdt diantara sebah diagonal sat kbs dengan salah sat Penyelesaian : Misalkan k adalah panjang kbs tersebt (Gambar 4. 4) 7

8 Gambar 4. 4 Jika kita misalkan = [ k,, ], = [, k, ], dan = [,, k ], maka ektor d = [ k, k, k ] = + + adalah diagonal kbs tersebt. Sdt antara diagonal dengan sisi memenhi cos =.d k. d (k)( k ) = Cos - 54 o 44. Teorema sdt memperlihatkan bagaimana perkalian titik kaitannya dengan sdt antara da ektor dan kaitan yang penting antara panjang sebah ektor dengan perkalian titik. Teorema. Misalkan dan adalah ektor-ektor di rang ata rang. (a). = sehingga (.) (b) Jika dan adalah ektor-ektor yang tidak nol dan keda ektor tersebt, maka adalah lancip, jika dan hanya jika. > adalah sdt diantara 8

9 adalah tmpl, jika dan hanya jika. < =, jika dan hanya jika. = Bkti : (a) Karena sdt antara dengan adalah o ( = o ), maka. = cos = cos. (b) Karena,, dan. =. cos, maka. bertanda sama dengan cos. Karena memenhi o, berarti sdt lancip jika dan hanya jika cos <, tmpl jika dan hanya jika cos <, dan = jika dan hanya jika cos =. Contoh 4. 9 Jika = [, -, ], = [ -, 4, ], dan w = [, 6, ], maka. = ()(-) + (-)(4) +()() = -5. w = (-)() + (4)(6) +()() =. w = ()() + (-)(6) + ()() = Sehingga dan membentk sdt tmpl, dengan w membentk sdt lancip, dan dengan w saling tegak lrs. Beberapa sifat perhitngan tama dari perkalian titik dimat dalam teorema beriktnya. Teorema. Jika, dan w ektor-ektor di rang ata rang dan k adalah sembarang skalar, maka (a). =. (b). ( + w) =. +. w (c) k(. ) = (k). =. (k) (d). > jika dan. = jika = Bkti: Kita akan membktikan bagian (c) dalam rang dan yang lainnya diberikan sebagai latihan. Misalkan = [,, ] dan = [,, ], maka 9

10 k(. ) = k( + + ) = (k ) + (k ) + (k ) = (k).. Menrt bagian (b) dari teorema pertama tadi, kita mendefinisikan da ektor dan yang saling tegak lrs ata ortogonal (ditliskan ) jika. =. Berarti, jika sat ektor membentk sdt dengan ektor lainnya, maka da ektor it saling ortogonal dan secara geometris keda ektor it saling tegak lrs dan sebaliknya. B. Proyeksi Ortogonal Sat Vektor Terhadap Vektor lain Perkalian titik ata hasil kali skalar da ektor akan kita pakai ntk mengraikan sat ektor menjadi jmlah da ektor yang saling tegak lrs. Jika dan adalah ektor-ektor yang tidak nol di rang ata rang, maka selal memngkinkan ntk menliskan ektor menjadi = w + w dengan w kelipatan skalar dari, dan w tegak lrs terhadap (Gambar 4. 4). Vektor w disebt proyeksi ortogonal dari pada, dan ektor w disebt komponen dari yang ortogonal terhadap kepada. Jadi Gambar 4. 4 Karena w adalah kelipatan skalar dari, maka dapat kita tliskan w = k. = w + w = k + w... ()

11 Dengan melakkan perkalian titik pada keda ras () dengan, dan menrt teorema pertama serta teorema keda, kita dapatkan. = (k + w ). = k(. ) + w. = k + w. Karena w tegak lrs terhadap, kita dapatkan w. =, sehingga persamaan di atas menghasilkan Karena w = k, kita dapatkan : k =. w = proy =. (proyeksi ortogonal dari pada ) Dengan menyelesaikan w + w ntk w memberikan w = - proy = - w = -., (komponen dari yang ortogonal pada ). Proyeksi ortogonal dari pada, yait w dapat pla kita cari dengan langkah-langkah sebagai berikt : Dengan memperhatikan gambar.7 di atas, maka menrt definisi fngsi cosins dalam trigonometri : Cos = w ata w. Cos... () Dari rms hasil kali skalar (perkalian titik) antara dan, yait. =.. Cos ata Cos =.... (). Dari () dan () :

12 w =... =. Karena setiap ektor yang tidak nol, termask w selal mempnyai ektor satan yang searah dengan w misalkan e, maka : e = w w dengan e Demikian pla dengan ektor akan mempnyai ektor satan, misal namanya e, maka e = dengan e Karena w segaris dengan (mngkin searah ata berlawanan arah), maka w proyeksi pada (lihat ambar 4. 4), maka ektor satan w akan sama dengan ektor satan, yang berarti e = e =... () Untk setiap ektor termask w selal berlak w = w. e dengan e ektor satan w... (4) Dari () dan (4) w =... (proyeksi ortogonal pada ) Contoh 4. Karena Perhatikan ektor-ektor = [, -, ] dan = [ 4, -, ]. = ()(4) + (-)(-) + ()() = 5 dan = 4 + (-) + = maka proyeksi ortogonal dari pada adalah w =. = 5 Komponen dari yang ortogonal kepada adalah [ 4, -, ] = [ 7, 5 7, 7 ]

13 w = - w = [, -, ] - [ 7, 5 7, 7 ] = [ 6 7, 7, 7 ] Untk mengeceknya, maka para pembaca dapat membktikan bahwa w tegak lrs kepada dengan mennjkkan bahwa w. =. Untk mengetahi tingkat pemahaman Anda dalam mempelajari materi Kegiatan Belajar di atas, kerjakanlah soal-soal latihan berikt. Latihan. Gambarlah ektor-ektor ntk mencari besar sdt B dari segitiga dengan titiktitik sdt A(-,), B(-,), dan C(,4).. Jika a = a i + a j + a k dan b = b i + b j + b k dengan i =, j = dan k = bertrt-trt adalah ektor-ektor satan pada smb x, smb y, dan smb z. Tentkanlah hasil kali skalar antara a dan b.. Jelaskan mengapa bentk. (. w) tidak berarti? 4. Diketahi p = [, -, ] dan q = [,, - ] adalah ektor-ektor di R, sedangkan r adalah ektor proyeksi dari p dan q. Tlislah r dalam bentk komponen. 5. Jika = i - j + k dan = i + j + k, tentkan panjang proyeksi ektor dan. Setelah Anda mencoba menyelesaikan soal-soal latihan di atas, bandingkanlah jawabannya dengan petnjk jawaban latihan berikt. Petnjk Jawaban Latihan

14 . Sdt B terletak antara BA dan BC dengan BA = dan BC = sehingga BA. BC = BA. BC. Cos Cos B = BA.BC BA. BC =. ( ) Cos B = Jadi B = 9 o.. a. b = (a i + a j + a k)(b i + b j + b k) = a b (i. i) + a b (i. j) + a b (i. k) + a b (j. i ) + a b (j. j) + a b (j. k) + a b (k. i) + a b (k. j) + a b (k. k). = a b () + a b () + a b () + a b () + a b () + a b () + a b () + a b () + a b (). = a b + a b + a b Gambar (. w) tidak berarti, sebab. w hasilnya adalah skalar, sedang. k yait perkalian titik diantara ektor dengan skalar tidak didefinisikan. 4. Menrt rms pyoyeksi ortogonal : 4

15 r = p. q q. + (-). +. (-) q = 9 4 [,, ] = 7 [,, - ] = [,, ] Misal proyeksi pada adalah w, maka menrt rms proyeksi w =. dan panjang proyeksi ektor pada adalah. w =. w. = ( i - j + k). (i + j + k) 4 4 w. Sekarang coba Anda bat rangkman dari Kegiatan Belajar, kemdian bandingkan dengan rangkman berikt. Rangkman. Hasil Kali Skalar Da Vektor di R (Perkalian Titik dari Da Vektor) Jika =, =, (,) =, maka. =.. Cos = +. Hasil kali Skalar Da Vektor di R (Perlasan Perkalian Titik di R ) 5

16 Jika = [,, ], = [,, ], (,) =, maka : = i + j + k = i + j + k. = + + =.. Cos. Proyeksi Ortogonal Sat Vektor Terhadap Vektor Jika dan da ektor yang bkan ektor nol, maka w =.. disebt proyeksi ortogonal dari pada, dan w = -.. disebt komponen dari yang ortogonal pada. Kerjakanlah soal-soal Tes Formatif berikt dengan cara memberi tanda silang (X) di depan pernyataan yang menrt Anda paling tepat. Tes Formatif. Sdt antara ektor = [ 6,, ] dengan = [ 4,, - ] A. lancip C. ortogonal B. tmpl D. A, B, C salah. Jika = [, k ], = [ -, 4 ], dan tegak lrs terhadap, maka k = A. B. 6 5 C. D Cosins sdt diantara ektor = [,, ] dan =, 4, ] A. 5 C. 5 6

17 B. 5 D Jika,, dan w sembarang ektor dan k skalar real, maka diantara pernyataan berikt yang terdefinisikan (mempnyai arti) A.. C. k( + ) B. (. ) + w D. (. ) + k 5. Untk setiap o, maka. mempnyai panjang A. C. B. D Jika titik P(4, 7, ), Q(6,, -6), dan titik R(, 9, ) maka kran sdt QPR = A. o C. 6 o B. 45 o D. 9 o 7. Proyeksi ortogonal dari ektor = 6 pada ektor = 9 A. [, ] C. [, ] B. [, ] D. [, ] 8. Komponen ektor = 6 yang ortogonal pada ektor = 9 A. [ -9, ] C. [, -9 ] B. [ 6, ] D. [, 6 ] 9. Proyeksi ortogonal ektor p = I + j + 4k pada ektor q = I + j - k A. 7 i + 77 j - 4 k C. 77 i + 7 j - 4 k B. 7 i + 7 j - 7 k D. 4 i + 77 j - 7 k 7

18 . Panjang proyeksi ektor a = i - 6j + k pada ektor b = 4i + j - 4k A. C. 4 B. 4 D. 4 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF. A. = = 6 Karena. >, maka (, ) = lancip. B Karena berarti. = k k = k = 6 5. C. =.. Cos = + + =. 5.Cos = + + = 5 Cos = Cos = 5 4. D Sebab (. ) + k diawali oleh. yang hasilnya skalar dan ditambah skalar k hasilnya tent berpa skalar lagi. Sedangkan pernyataan lainnya semanya tidak mempnyai arti (tidak didefinikan dalam ektor). 8

19 5. B Untk setiap di R ata di R panjang = =. = 6. D Misal PQ wakil dari a, PR wakil dari b, dan adalah sdt QPR, maka : a = q p = , dan b = r p = Dengan menggnakan a.b = sehingga Cos = a. b a. b =, maka = 9 o 7. D Proyeksi ortogonal = [, 6 ] pada = [ -9, ] adalah w =. = = 9 [ -9, ] = [, ]. (-9) + 6. () [ -9, ] ( 8 + 9) 8. D Karena w = [, ], dari soal nomor 7 di atas, maka komponen dari yang ortogonal pada adalah w = w = [, 6 ] [, ] = [, 6 ] 9

20 9. A Proyeksi ortogonal p = i + j + 4k pada ektor q = i + j k adalah w = p. q q = (i + j + 4 k). ( i + j - k) ( i + j - k) q ( ( ) ) = 8 5 ( i + j - k) = 7 (i + j - k) = 7 i 77 j 4 k. C Panjang proyeksi ektor a pada ektor b a. b b b a. b b b a. b b = ( i - 6 j - k ). ( 4 i + j - 4 k 4 ( 4) 4

21 DAFTAR PUSTAKA Ayres, Frank, JR.Ph.D, (98). Theory and Problems of Matrices, Singapore: Scham s Otline, Mc-Graw Hill Book Company. Anton Howard, (987), Elementary Linear Algebra, 5 th Edition New York: John Wiley & Sons. Larry Smith. (998). Linear Algebra. Gottingen: Springer. Raisinghania & Aggarwal, R.S, (98), Matrices, New Delhi: S.Chan & Company Ltd. Roman Steen (99). Adanced Linear Algebra, New York, Berlin, Herdelberg, London, Paris, Tokyo, Hongkong, Barcelona, Bdapest: Springer-Velag. Seymor Lipschtz. (98). Linear Algebra, Singapore: Scham s Otline, Mc- Graw Hill Book Company.