APROKSIMASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL HIPERBOLIK LINEAR

Transkripsi

1 Vol. 9. No. 1, 11 Jrnal Sains, Teknologi dan Indsri APROKSIMASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL HIPERBOLIK LINEAR Warono, Yslenia Mda Jrsan Maemaika Faklas Sains dan Teknologi UIN SUSKA RIAU warono@in-sska.ac.id, ilen_77@in-sska.ac.id ABSTRAK Pada keras kerja ini, kami menyelidiki hampiran penyelesaian semi analiik persamaan diferensial hiperbolik dengan menggnakan meode dekomposisi Adomian. Pendekaan penyelesaian eksplisi diperoleh dengan mengbah persamaan diferensial hiperbolik ke benk dere ( = ( ). Hasil perhingan mennjkkan bahwa, meode dekomposisi Adomian penyelesaian eksak. Kaa knci: meode dekomposisi, persamaan diferensial hiperbolik, Adomian, n n ckp efekif nk menghampiri ABSTRACT In his paper, we invesigae he approximaion of semi analyically solion for hyperbolic differenial eqaion by sing Adomian Decomposiion mehod. We obained a approximaion of explici solion by changing he hyperbolic differenial eqaion o he series ( = ( ). The resl showed ha Adomian decomposiion meod effecively o approximae he exac solion. n n Keyword : Decomposiion mehod, hiperbolic differenial eqaion, Adomian PENDAHULUAN Meode dekomposisi diperkenalkan perama kali oleh Adomian (1989,199) yang dignakan nk menyelesaikan persamaanpersamaan fngsional linear dan nonlinear, seperi persamaan diferensial aljabar, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, persamaan diferensial inegral, yang selanjnya diseb meode dekom-posisi Adomian. Meode dekomposisi Adomian merpakan penyelesaian semi analiik yang melibakan kompasi, akrasi dan hampiran erhadap persa-maan operaor deerminisik dan sokasik baik linear mapn non linear, dengan melibakan sediki perhingan komper. Tidak seperi meode perhingan konvesional lainnya, meode dekomposisi Adomian idak melibakan diskriisasi, linearisasi, ransformasi aa ganggan(adomian, 199). Perkembangan erkini pada persoalan fisika maemaika, seperi masalah maemaika erapan, eknik dan rekayasa dan bidang-bidang lain seperi biomaemaik dan asrofisika, di mana persamaan diferensial parsial dibhkan nk menyelesaikan permasalahan. Tjan dari keras kerja ini adalah menenkan penyelesaian persamaan diferensial hiperbolik berdasarkan masalah nilai baas dan nilai awal. Dia dan Grama (8) mengkaji enang meode dekomposisi Adomian nk menyelesaian persamaan fngsi khss, seperi: persamaan fngsi Hipergeomeri Gass, Persamaan Hipergeomeri Konflen; Polinomial Bessel dan Persamaan Inegral 97

2 Vol. 9. No. 1, 11 Jrnal Sains, Teknologi dan Indsri Volerra, dan diperoleh hasil-hasil penyelesaian dalam benk operaor diferensial. Selanjnya, Msafa (5) membandingkan meode dekomposisi Adomian dengan beberapa meode penyelesaian konveksional lainnya, seperi meode Wavele-Galerkin (WGM), meode selisih hingga (FTCS), meode Crank-Nicholson (C-N), dan mennjkkan bahwa meode dekomposisi Adomian lebih efekif dibandingan dengan meode lainya. Kaya () menyelidiki penyelesaian persamaan diferensial nonlinear khss dengan menggnakan meode dekomposisi Adomian, Kaya dan Msafa (1999) mengkaji meode dekomposisi Adomian erhadap persamaan gelombang nonlinear dan membandingkannya dengan penyelesaian eksak. Secara mm persamaan diferensial hiperbolik diberikan oleh, (, nk 1 Meode dekomposisi mema komposing (1) x fngsi-fngsi ak dikeahi ( ke dalam dengan syara baas jmlah komponen yang didefinisikan sebagai dere dekomposisi, (, =, (1, = ( ( 1( ( dan syara awal () = f(, ( ) = g( n( n Meode dekomposisi Adomian akan Oleh karena i diperoleh, dignakan nk menyelesaian persamaan 1 ( f ( g( L ( (5) diferensial hiperbolik linear, dan selanjnya akan dibandingkan dengan penyelesaikan Selanjnya, dengan memaskan syara awal eksaknya. pada x diperoleh dan selanjnya, BAHAN DAN METODE Meode Dekomposisi Adomian Perimbangkan kembali persamaan (1) yang dilis dalam benk, aa, ( x ( = ( + ( () dengan = ( dan = (. x Jika diasmsikan bahwa invers operaor diferensial L ada, dan merpakan inegral 1 ganda erhadap dari sampai, yai L 1 ( ) ( ) d d Selanjnya, dengan menerapkan invers operaor ke dalam persamaan () diperoleh aa 1 L ( L ( L 1 ( ( ) ( ) 1 ( 1 1 L ( L ( () Berdasarkan syara awal () = f( dan () = g(, maka persamaan () menjadi 1 ( = f( + g( + L ( 1 L ( () 1 ( = 1 L = x! x ( = L 1 1 x =! x ( = L 1 x =! x 98

3 Vol. 9. No. 1, 11 Jrnal Sains, Teknologi dan Indsri n+1 ( = 1 L n x ( n1) ( n1) = ( n1) ( n 1)! dx, n Jika ( =, maka persamaan () adalah persamaan homogen sehingga persamaan () menjadi ( = ( () Berdasarkan syara awal () = f( dan () = g(, maka persamaan () menjadi 1 ( = f( + g( L ( (7) Oleh karena i ( f ( g( dan 1 ( = 1 L = x! x ( = L 1 1 x =! x ( = L 1 x =! x n+1 ( = 1 L n x ( n1) ( n1) = ( n1) ( n 1)! dx, n Pada saa nilai sk-sk, 1,, dikeahi, maka penyelesaian eksak dapa diperoleh dengan menggnakan hampiran dengan n ( = ( n n lim ( n 1 k ( Akrasi pendekaan meode Dekomposisi Adomian yang melibakan jmlah sk-sknya dinjkkan dengan nilai gala yang didefinisikan oleh e = ( ( k HASIL DAN PEMBAHASAN a. Homogen Unk mennjkkan keakrasikan meode dekomposisi Adomian, kami perimbangkan conoh dengan dikeahi penyelesaian eksaknya. Perimbangkan persamaan hiperbolik berik., 1 () x berdasarkan (, syara baas (1, dan syara awal 1 ( ) sin( sin( ( ) Benk persamaan () dapa dibah dalam benk operaor diferensial, dan dengan menerapkan invers operaor diferensial 1 ( L ( ) ) dd, diperoleh 1 ( ( ) ( ) L (7) Berdasarkan syara awal, maka persamaan (7) menjadi, x x 1 x L 1 (, ) sin( ) sin( ) Oleh karena i, diperoleh, = sin ( + 1 sin ( dan selanjnya 1 1 = L (sin ( ) + 1 L x sin (! x 1 = sin( ( ) sin(! 1 = sin( ( ) sin(! sin(! 1 = ( ) sin( aa 99

4 Vol. 9. No. 1, 11 Jrnal Sains, Teknologi dan Indsri ( = n ( n = sin ( + 1 sin ( + 1 sin( ( ) sin(! 1 + sin( ( ) sin(! + = sin( 1!!! 1 + sin ( ( ) ( ) ( ) 1!!! Berdasarkan hasil yang diperoleh, menjkkan bahwa benk dere pangka yang erliba pada penyelesaian erseb merpakan ekspansi dere erhadap fngsi cosins. Penyelesaian eksak persamaan () adalah ( cos( sin( 1 cos( )sin( x ) (8) dan grafik ( diberikan pada Gambar 1 nk x 1, 1, digi dinjkkan pada Tabel 1 dan melibakan,,,, 8, dan 1 pada x =,5. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa keeliian gala pada =,1 dan =, yang bergerak secara logarimik. Hal ini mennjkkan bahwa, meode dekomposisi Adomian dianggap ckp efekif nk menghampiri penyelesain persamaan nonlinear. Jika diberikan oleransi gala sebesar 1 7, maka ckp dengan menggnakan nk =, dan nk =,, maka hasil penyelesaian hampiran dianggap ckp deka dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 1. Gala pada seiap sk-sk yang erliba pada dere di x =,5 Gala =,1 =, e, e, ,781 1 e, ,858 1 e, , e 8, ,8 1 8 e 1,871 1, Unk memperjelas bagaimana gala bergerak, maka nilai-nilai gala pada Tabel 1 di plo pada Gambar. 1.E+1 Gambar 1. Grafik penyelesaian persamaan () nk x 1, 1, 1.E- 1.E-7 e e e e e8 e1 Unk meliha seberapa efekif meode dekomposisi Adomian menghampiri penyelesaian eksak, dapa diliha dari gala yang diperoleh pada seiap sk-sk yang dilibakan. Hasil kompasi pendekaan meode dekomposisi Adomian dilakkan menggnakan Maple 7 dengan keeliian sebesar 1.E-11 =,1 1.E-15 =, 1.E-19 1.E- Gambar. Grafik kecepaan gala nk =,1 dan =, 1

5 Vol. 9. No. 1, 11 Jrnal Sains, Teknologi dan Indsri b. Nonhomogen Persamaan () dikaakan nonhomogen jika (. Selanjnya perimbangkan kembali persamaan nonhomogen berik. ( (9) x Jika diberikan = 1 dan ( = x e + 1, maka persamaan () menjadi x e 1, (1) x nk, 1 berdasarkan (, syara baas (1, dan syara awal ( ) sin( ( ) dan dengan menerapkan invers operaor diferensial 1 ( L ( ) ) dd, diperoleh 1 ( ( ) ( ) L ( L aa ( sin( L Oleh karena i, diperoleh aa sehingga 1 1 x e L 1 ( = sin( + L x e 1) = sin( = L L = L sin( x e x x e! 1 = sin( e! 1 = L L1 1 = L sin( e x! = sin(!! 1 (11) 1 = L L 1 = L sin( x! = sin(! Oleh karena penyelesaian persamaan (7) merpakan penjmlahan dari sk-sk dere sehingga diperoleh ( = Akrasi pendekaan Meode Dekomposisi Adomian berganng kepada sk-sk yang dilibakan, = = sin( + 1 = + 1 = sin( + e x x e! e sin(!! = = sin( + x e sin(!! e + sin(! = = sin( + x e sin(!! e + sin( sin(!! Penyelesaian persamaan (1) adalah ( = sin( cos( ( x ) e! dan grafik persamaan ( diberikan pada Gambar nk x 1, 1, 11

6 Vol. 9. No. 1, 11 Jrnal Sains, Teknologi dan Indsri 1.E+ 1.E- e e e e e8 e1 1.E- 1.E-1 1.E-1 = 1 = 1.E-18 1.E- Gambar. Grafik penyelesaian persamaan (1) nk x 1, 1, Unk mengeahi efekifias dan efesiensi pendekaan yang dilakkan oleh meode dekomposisi Adomian dapa diliha dari keeliian gala yang dihasilkan. Tabel menjkkan nilai-nilai gala nk = 1 dan =, dan berdasarkan Tabel, dapa diliha bahwa gala yang dihasilkan baik pada = 1 mapn = bergerak secara logarimik. Hal ini mennjkkan bahwa, meode dekomposisi Adomian ckp efekif menghampiri penyelesaian eksaknya. Jika diberikan keeliian pendekaan sebesar 1 9, maka hanya dibhkan sebanyak sk nk = 1 dan 8 sk nk dianggap penyelesaian hampiran ckp deka dengan penyelesaian eksaknya. Tabel. Gala pada seiap sk-sk yang erliba pada dere di x = 1 Gala = 1 = e, e,1187 1, e,197 1,115 1 e, , e 8, , e 1, , Unk lebih menperjelas pergerakan gala pada Tabel, maka nilai-nilai gala pada Tabel diplo pada Gambar. Gambar. Grafik pergerakan kecepaan gala nk = 1 dan = KESIMPULAN DAN SARAN Pada keras kerja ini, meode dekomposisi Adomian dignakan nk menenkan aproksimasi penyelesaian persamaan diferensial hiperbolik berdasarkan syara baas dan syara awal. Hasil pendekaan yang dilakkan meode dekomposisi Adomian erhadap persamaan hiperbolik memberikan gambaran pergerakan nilai-nilai gala secara logarimik, baik pada persamaan homogen mapnn nonhomogen. Berdasarkan hasil kajian diperoleh bahwa meode dekomposisi Adomian ckp efekif dan akra nk menyelesaian persaoalan persamaan diferensial baik yang homogen mapn nonhomogen. DAFTAR PUSTAKA Adomian, G., 199, Solving Fronier Problems of Physics: The Decomposiion Mehod, Klwer Academic, Dordrech. Bellman, R & Adomian, G., 1985, Parial Differenial Eqaions: New Mehods for Their Treamen and Solion, D Reidel Pblishing Company, Dordrech. 1

7 Vol. 9. No. 1, 11 Jrnal Sains, Teknologi dan Indsri Celik, e. al.. Solion of Differenial- Algebraic Eqaions (DAEs) by Adomian Decomposiion Mehod, In. Jornal Pre and Applied Mah. Sci. (1):9-1. Kaya, D.. The Use of Adomian Decomposiion Mehod for Solving a Specific Nonlinear Parial Differenial Eqaions, Bll. Belg. Mah. Soc. 9 : -9. Kaya, D & Msafa., On he Solion of he Nonlinear Wave Eeqaion by he Decomposiion Mehod, Bll. Of he Malaysian Mah. Sociey, : Msafa, 5. Decomposiion Mehods for Solving Parabolic Eqaion in Finie Domains, Jornal of Ahejiang Univ. Sci. A(1): Nagle, R. K & Saff, E. B., 199, Fndamenals of Differenial Eqaions and Bondary Vale Problems, Addison-Wesley Inc., New York. 1