SYARAT BATAS SERAP PADA GELOMBANG AKUSTIK DUA DIMENSI

Transkripsi

1 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: 3-39 SYARAT BATAS SERAP PADA GELOMBANG AUSTI DUA DIMENSI Mohammad Mahfzh Shiddiq ABSTRACT Aosi wave eqaion wih Dirihle and Nemann bondar ondiions ase iniden wave was perfel refleed a edge. Ths, i is sed absorbing bondar ondiions ha prode no refleion. In his paper, we wold like find approimaion of absorbing ondiions ha prode refleion oeffiien as small as possible and smaller han hose obained from Dirihle and Nemann bondar ondiions. ewords : Wave eqaion, Absorbing bondar ondiion, Refleion oeffiien.. PENDAHULUAN Masalah persamaan gelombang biasana diselesaikan dalam media ak hingga. Akan eapi keerbaasan perhingan kompasi dalam menghing hampiran solsi persamaan beda hingga hana dapa dilakkan dengan media berhingga sehingga dibhkan sebah baas nk memperoleh sebah model berhingga. Oleh karena i, dalam perhingan solsi sa persamaan diferensial parsial sering dibhkan pengenalan baas baan nk membaasi daerah perhingan. Pada peneliian ini akan dibahas enang masalah sara baas pada persamaan gelombang aksik ang berbenk 0 dengan domain hingga. Salah sa masalah pada perambaan gelombang aksik adalah adana pemanlan ang erjadi pada baas. Hal ini idak sesai dengan keadaan sebenarna dikarenakan keakhinggaan media. Pemanlan pada baas ini akan dikrangi aa bahkan dihilangkan pada model masalah perambaan gelombang aksik. Jadi sara baas ang akan diari nk mengganikanna adalah sara baas ang mennjkkan bahwa gelombang daang akan melewai aa dierskan keika sampai pada baas.. SYARAT BATAS SERAP GELOMBANG AUSTI.. Gelombang Aksik Sa Dimensi Sebelm meliha persamaan gelombang da dimensi akan diinja dl persamaan gelombang aksik sa dimensi ang diberikan dengan 0 () nk nilai L L, 0. Adapn sara baas ang diberikan adalah sara baas Dirihle, ai L, 0 () Aapn jga sara baas Nemann, ai 3

2 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: 3-39 L, 0 (3) eda sara baas di aas menghasilkan sa panlan gelombang pada baas-baas domainna. Hal ini dapa diliha dengan mensbisikan solsi dari persamaan gelombang (), ai i k i k e R e (4) dengan R adalah koefisien panl dan k adalah frekensi sd, disbisikan pada sara baas Dirihle dan Nemann diaas menghasilkan R, ang mennjkkan bahwa amplido gelombang balikan ang bergerak ke kiri sama dengan amplide gelombang daang, dengan kaa lain erjadi gelombang panl pada baas. Pada kass aplikasi naa, kadang diperlkan nk menghilangkan aa mengrangi gelombang panlan pada baas. Jadi diari sara baas ang mengakibakan nilai koefisien panl mendekai nol aa bahkan nol sehingga gelombang panl pada baas idak erjadi. Oleh karena i, dikenalkan sara baas sebagai berik L, L, 0 (5) dan L, L, 0 (6) Sara baas (5) dan (6) di aas dinamakan sara baas serap. Jika diliha dari nilai koefisien panl R, maka sara baas serap (5) dan (6) menghasilkan R 0 ang mennjkkan keda sara baas erseb menebabkan gelombang daang pada baas dierskan melali baas aa diserap pada baas sehingga idak erjadi gelombang panl... Gelombang Aksik Da Dimensi Pada kass da dimensi, persamaan gelombang aksik dinaakan dengan 0 (7) dalam media ang dibaasi oleh Dˆ,, L L,0 M, 0 T. Jika sara baas ang dignakan adalah sara baas Dirihle L,, 0,, M, 0 (8) aapn sara baas Nemann L,,, M, 0, 0 (9) maka akan menghasilkan gelombang panl ang ka pada keda baas-baasna. Misalkan solsi persamaan gelombang (7) ai i kos ksin i kos ksin e R e (0) 3

3 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: disbisikan pada sara baas (8) dan (9) menghasilkan, ang berari erjadi panlan di baas-baas. Gambar. Gelombang Da dimensi dengan sara baas Dirile Oleh karena i, dibhkan sara baas ang idak menghasilkan gelombang panl pada baas-baas ang dienkan. Salah sa ara adalah dengan menari fakorisasi operasi diferensial pada persamaan (7). Salah sa fakorisasi erseb adalah () Akan eapi jika nilai pada solsi persamaan gelombang adalah nol maka 0 Jadi dapa dikaakan bahwa jika nilai mendekai nol maka sara baas (5) dan (6) dapa dipilih aa dipandang sebagai kass sa dimensi. Sedangkan nk menari nilai koefisien panl pada fakorisasi ini, persamaan (0) disbisikan pada sara baas (6) menghasilkan () Nilai R pada seiap sd daang dapa diliha dalam able.

4 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: Tabel. Tabel Nilai oefisien R R , R , R , R Berdasarkan nilai koefisien panl R ang diperoleh, memoivasi nk menari penrnan sara baas nk masalah ini sehingga diperoleh nilai koefisien panl lain ang raa-raana lebih rendah dengan sebelmna pada seiap sd daang. Selanjna, diinja fakorisasi formal operaor diferensial nk persamaan gelombang da dimensi, () Dengan. Fakorisasi () memberikan ide nk sara baas serap, L L 0, 0, (3) Namn keda sara erseb berganng pada bilangan gelombang, sehingga idak dapa dignakan dalam penggnaan prakis. Benk lain dari keda sara baas (3) akan diari sehingga dapa dignakan dalam penggnaan prakis. Jika diinja kembali penlisan seara formal dari operaor diferensial sebagai berik Dan dimisalkan adalah fngsi

5 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: 3-39 Maka persamaan (3) menjadi 0, L (4) dan 0, L (5) Nilai koefisien panl pada sara baas (4) dan (5) dapa diari dengan menggnakan rmsan os os sin R os os sin Meskipn nilai koefisien panl ang dihasilkan lebih rendah daripada (liha abel ), api belm bisa dibakan skema beda hingga. Selanjna, akan diari benk lain dari sara baas (4) dan (5) ang mempnai raa-raa lebih rendah nilai koefisien panlna. Dikeahi bahwa sara baas (5) ekivalen dengan p 0 p (6) dengan p. Nilai koefisien panl pada sara baas (6) adalah p os os sin 3, p R p p os os sin p Dikeahi pla bahwa pada persamaan gelombang orde da sandar, sara kesabilan Von-Nemann adalah p sehingga pada koefisien panl R 3, p, dapa dipakai nilai sedemikian hingga sara kesabilan erseb dipenhi. Beberapa nilai koefisien panl R 3, p dapa diliha pada abel di aas. Sara baas (6) akan lebih mdah diba dalam benk skema beda hingga eksplisi jika benk diransformasi. Persamaan gelombang da dimensi memberikan () 35

6 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: Sehingga persamaan (6) menjadi L p 0, (7) aa L p 0, (8) Sedangkan dengan ara ang serpa didapakan sara baas nk baas kiri dan bawah, ai (9) (0) Gambar. Gelombang Da dimensi dengan sara baas serap.3. Sara Baas Serap (meode hampiran) Misalkan persamaan gelombang aksik pada da dimensi, seperi ang didefinisikan sebelmna, berbenk (a) Dan misalkan salah sa solsi persamaan gelombang erseb adalah gelombang ang meramba ke kanan ang diberikan dalam benk () Jika diberikan sara baas ang memperahankan dengan benk os 0 ik ()

7 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: 3-39 maka sema gelombang ang didefinisikan dalam () idak mengahasilkan panlan. Akan eapi menr Enqis [] sara baas semprna () idak lokal erhadap spasial dan wak. Oleh karena i, dibhkan hampiran lokal sara baas serap nk sara baas serap semprna (). Tinja kembali simbol dari sara baas () ai ikos ik sin (3) Dengan menggnakan hampiran dere Talor nk akar pangka da ai O diperoleh, ik sin ik Dan menginga bahwa ik i berkaian dengan maka didapakan hampiran perama sara baas serap 0 (4) Meskipn nilai koefisien panl R menghasilkan koefisien panl ang keil, namn akan diari hampiran sara baas serap ang mempnai koefisien panl relaif lebih rendah dengan R. Langkah ang diambil selanjna adalah menggnakan hampiran (dere 3 Talor) nk akar pangka da, ai O, maka dari (3) mennjkkan bahwa ik ik sin Hasil erakhir ang didapakan selanjna dikalikan dengan ik, diperoleh ik k k sin Sehingga diperoleh hampiran keda sara baas serap 0 (5) Nilai koefisien panl dari hampiran keda sara baas serap ini adalah os sin R os sin 37

8 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: 3-39 Tabel. Nilai oefisien Panl R R R R Nilai koefisien dapa diliha pada Tabel. Jika diliha nilai koefisien panl ini, nilai raa-raa pada seiap sd daang relaive lebih rendah dari pada. Jga dapa diliha bahwa bernilai sama dengan. Hampiran selanjna ang dignakan adalah hampiran Pad orde da nk akar pangka ai. Menggnakan persamaan erseb, maka dari persamaan (3) didapakan () Hasil erakhir di aas dikalikan dengan sehingga diperoleh Jadi diperoleh hampiran keiga sara baas keiga dengan nilai koefisien panl (6) (7) (ad) 3. ESIMPULAN Persamaan gelombang aksik akan menghasilkan pemanlan pada baas jika menggnakan sara baas Dirihle dan Nemann. Oleh karena i, diba sara baas serap pada masalah perambaan gelombang aksik ang menghilangkan gelombang panl pada baas, ai sebagai berik (8) (9) (30) (3) (3) 38

9 Jrnal Maemaika Mrni dan Terapan Vol. 5 No. Desember 0: 3-39 Sara baas (3) mempai raa-raa koefisien panl ang relaif paling keil, api sara baas serap (30) dengan nilai menghasilkan sara baas serap semprna dengan koefisien panl nol dengan sd panl DAFTAR PUSTAA []. Enqis, Bjorn and Majda, Andrew Absorbing Bondar Condiions for Nmerial Simlaion of Wave. Jornal of Mahemais of Compaion Volme 3 Nmber 39. []. Higdon, Rober L Absorbing Bondar Condiions for Differene Approimaions o The Mli-Dimensional Wave Eqaion. Jornal of Mahemais of Compaion Volme 47 Nmber 76 [3]. Hoffman, Joe D Nmerial Mehod for Engineers and Sieneis.MGraw-Hill, In. Singapore [4]. Mahews, John and Fink ris D Nmerial Mehods Using Malab, Third Ediion. Prenie-Hall,In. New York. [5]. Renolds, Alber C Bondar Condiions for Nmerial Mehods of Wave Propagaion Problems. Soie Eploraion of Geophsiis (SEG). [6]. Sewel, Granville The Nmerial Solion of Ordinar and Parial Eqaions, Seond Ediion. Wille-Inersiene series of Tes. Monographs and Tras. New Jerse [7]. Srass, Waler A. 99. Parial Differenial Eqaion, Inrodion. John- Wille. Canada [8]. Wono S. 0. Modl liah: Persamaan Inegral. Bandng 39