PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARABOLIK NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTUBASI HOMOTOPI TUGAS AKHIR

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARABOLIK NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTUBASI HOMOTOPI TUGAS AKHIR Diajkan Sebagai Salah Sa Syara Unk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jrsan Maemaika Oleh: DWI HAYATI FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU

2 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARABOLIK NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTUBASI HOMOTOPI DWI HAYATI NIM: Tanggal Sidang: 4 Febrari Periode Wisda: Jli Jrsan Maemaika Faklas Sains dan Teknologi Uniersias Islam Negeri Slan Syarif Kasim Ria Jl. HR. Soebranas No.55 Pekanbar ABSTRAK Tgas Akhir ini membahas enang penyelesaian eksplisi persamaan diferensial parabolik nonlinear f φ dengan menggnakan Meode Perbasi Homoopi berdasarkan masalah nilai baas dan nilai awal L dan f. Meode perbasi homoopi merpakan salah sa meode yang ckp banyak dignakan nk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan mengkonrksi f φ menjadi benk perbasi homoopi H p p p[ f φ ]. Penyelesaian eksplisi yang diperoleh adalah lim L. Berdasarkan perhingan erliha bahwa hasil yang diperoleh lebih efekif dan akra nk menghampiri penyelesaian eksak. Kaa Knci: Meode Perbasi Homoopi Persamaan Diferensial Parabolik Nonlinier. p i

3 ON THE SOLUTION OF THE NONLINEAR PARABOLIC DIFFERENTIAL EQUATION BY USING HOMOTOPY PERTURBATION METHOD DWI HAYATI NIM: Dae of Final Eam: Febrary 4 h Gradaion Cremony Priod: Jly Mahemaic Deparemen Facly of Sciences and Technology Sae Islamic Uniersiy of Slan Syarif Kasim Ria Jl. HR. Soebranas No 55 Pekanbar ABSTRACT This hesis discsses eplici solion of he nonlinear parabolic differenial eqaion f φ by sing Homoopy Perrbaion Mehod based on bondary and iniial ale problem L and f. Homoopy Perrbaion Mehod is one mehod widely sed enogh o sole for he nonlinear parial differenial eqaions. By consrced f φ o be a homoopy perrbaion H p p p[ f φ ]. The eplici solion obained is lim L. Based on compaion show ha he resls obained more p effecie and accrae approimae he eac solion. Keywords: Homoopy Perrbaion Mehod Nonlinear Parabolic Differenial Eqaion ii

4 DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMBANG... DAFTAR LAMPIRAN... Halaman ii iii i i ii iii i i iii i i BAB I PENDAHULUAN. Laar Belakang Masalah... I-. Rmsan Masalah... I-. Baasan Masalah... I-.4 Tjan... I-.5 Manfaa Peneliian... I-.6 Sisemaika Penlisan... I- BAB II LANDASAN TEORI. Persamaan Diferensial... II-. Persamaan Diferensial Parsial... II-. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial... II-4.4 Persamaan Diferensial Parabolik... II-7.5 Homoopi... II-.6 Meode Perbasi... II-.7 Meode Perbasi Homoopi... II-6 iii

5 BAB III METODOLOGI BAB IV PEMBAHASAN 4. Persamaan Nonhomogen... IV- 4. Persamaan Homogen... IV-6 BAB V PENUTUP 5. Kesimplan... V- 5. Saran... V- DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR RIWAYAT HIDUP i

6 BAB I PENDAHULUAN. Laar Belakang Masalah Persamaan diferensial parsial merpakan persamaan diferensial yang paling sedikinya melibakan da ariabel. Pada beberapa bidang erapan dan rekayasa seperi fisika kimia maemaika erapan biologi dan eknik persamaan diferensial parsial memegang peranan pening. Hal ini dikarenakan pada mmnya persoalan-persoalan bidang erapan dan rekayasa dingkapkan dalam benk persamaan diferensial nonlinear yai benk hiperbolik parabolik dan elipik. Salah sanya adalah persamaan parabolik yang menjadi foks pada gas akhir ini. Oleh karena sebagian besar persamaan diferensial nonlinear sanga sli nk diselesaikan secara analiik maka berbagai meode elah dislkan nk mendapakan penyelesain eksplisi persamaan diferensial nonlinear meskipn sebagian kecil persamaan diferensial dapa diselesaikan dengan meode ariabel erpisah. Unk menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial nonlinear biasanya dilakkan dengan melinearkan persamaan pada sk-sk nonlinearnya. Beberapa cara dilakkan misalnya dengan menggnakan hampiran polinomial Taylor aa meode perbasi. Namn pada saa persamaan diferensial dilinearkan maka konsekensinya akan mema gala. Unk menghindari mnclnya gala sa meode anpa pelinearan persamaan dislkan. Meode perbasi homoopi perama kali dislkan oleh Ji-Han He dan elah dignakan secara melas nk menyelesaikan persamaan liniear dan nonlinear. Berdasarkan hasil kajian diperoleh bahwa meode perbasi homoopi efekif mdah dan akra nk menghampiri penyelesaian eksplisi dan anpa menggnakan perhingan nmerik. Ghobi dkk 7 mengkaji enang penyelesaian eksplisi sisem persamaan diferensial parsial nonlinear dan membandingkan dengan meode dekompisisi Adomian. Dan hasil kajiannya mennjkkan bahwa meode perbasi

7 homoopi lebih efisien dan lebih akra dibandingkan dengan meode dekomposisi adomian. Hal inilah yang memba penlis erarik nk menggnakan meode perbasi homoopi dalam mencari penyelesaian persamaan diferensial parabola nonlinear dengan jdl Penyelesaian Persamaan Diferensial Parabolik Nonlinear dengan Menggnakan Meode Perbasi Homoopi.. Rmsan Masalah Rmsan masalah pada skripsi ini adalah menenkan penyelesaian persamaan diferensial parabolik nonlinear f φ berdasarkan syara baas L dan syara awal f dengan menggnakan meode perbasi homoopi.. Baasan Masalah Pada skripsi ini penlis hanya membaasi pada persamaan parabolik nonlinear dengan persamaan mmnya f φ dengan ariabel bebas masing-masing dan..4 Tjan Tjan peneliian ini adalah nk mendapakan penyelesaian persamaan diferensial parabolik nonlinear dengan persamaan mmnya f φ berdasarkan syara baas L dan syara awal f dengan menggnakan meode perbasi homoopi..5 Manfaa Peneliian Manfaa dari peneliian ini adalah: Dapa menyelesaikan secara eksplisi persamaan diferensial parabolik nonlinear f φ berdasarkan syara baas L dan syara awal f. I-

8 Penyelesaian persamaan diferensial parabolik nonlinear yang di hasilkan oleh meode perbasi homoopi ini ckp efekif dan akra..6 Sisemaika Penlisan Sisemaika penlisan skripsi ini erdiri dari beberapa bab yai: BAB I Pendahlan Bab ini berisikan laar belakang masalah rmsan masalah baasan masalah jan manfaa peneliian dan sisemaika penlisan. BAB II Landasan Teori Bab ini menjelaskan enang landasan eori yang dignakan seperi: persamaan diferensial persamaan diferensial parsial klasifikasi persamaan diferensial persamaan diferensial parsial parabolik homoopi perbasi dan meode perbasi homoopi. BAB III Meodologi Bab ini berisikan sdi lierar yang dignakan penlis sera langkahlangkah yang dignakan nk mencapai jan dari skripsi ini. BAB IV Pembahasan Bab ini berisikan enang pembahasan masalah. BAB V Penp Bab ini berisikan kesimplan dan saran-saran penlis. I-

9 BAB II LANDASAN TEORI. Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah sa persamaan yang mema fngsi yang idak dikeahi dan sa aa lebih rnannya. Persamaan diferensial dibagi yai: a Diferensial Biasa. Persamaan diferensial biasa merpakan sa persamaan yang mema rnan perama dari sa fngsi yang erdiri dari sa ariabel. Trnan perama ini biasanya dignakan nk mencari nilai maksimm dari ariabelnya. Definisi. Diferensial biasa erjadi jika adalah fngsi yang hanya erdiri dari sa ariabel dan hanya dapa dirnkan erhadap ariabel erseb dengan rms: h ' lim. h h b Diferensial Parsial. Persamaan diferensial parsial merpakan rnan perama dari sa fngsi yang erdiri dari da ariabel dan y. Definisi. Diferensial parsial erjadi jika adalah fngsi da ariabel dan y dan dirnkan erhadap salah sa ariabel dengan menganggap ariabel lainnya konsana dengan rms: ' ' y h y y y lim jika dirnkan erhadap h h y h y y lim jika dirnkan erhadap y h h Aran nk mencari rnan parsial jika z y yai: i. Unk mencari pandang y sebagai konsana dan diferensialkan y erhadap.

10 ii. Unk mencari pandang sebagai konsana dan diferensialkan y erhadap y. c Persamaan Diferensial keda dan seersnya. Diferensial parsial keda erjadi jika adalah fngsi da ariabel maka rnan parsialnya dan y jga da ariabel sehingga kia dapa meninja rnan parsial y y dan y y yang diseb rnan parsial keda. Jika z y maka diferensial parsial kedanya yai: z i. ii. y y y y z y iii. y y y y z y z i. y y yy y y y y. Persamaan Diferensial Parsial Formlasi maemaika dari kebanyakan permasalahan dalam ilm pengeahan dan eknologi dapa dipersenasikan dalam benk persamaan diferensial parsial. Persamaan erseb merpakan laj perbahan erhadap da aa lebih ariabel bebas yang biasanya adalah wak dan jarak rang. Persamaan diferensial parsial orde sa dalam ariabel dan y dilis secara mm dalam benk: A B C D. y Selanjnya benk mm persamaan diferensial parsial order dan da dimensi adalah : A B C D E F G. y yy y Persamaan. dikaakan persamaan diferensial linear jika nilai ABCDEF dan G adalah konsana aa sa fngsi lain dan dikaakan persamaan diferensial nonlinear jika ABCDEF dan G adalah sa fngsi inegral dari fngsi II-

11 diferensial yang ada pada persamaan erseb. Persamaan diferensial parsial dapa dibedakan menjadi ipe dasar yai: a Persamaan. diseb persamaan parabolik jika B 4AC. Persamaan parabolik biasanya merpakan persamaan yang mengandng wak sebagai ariabel bebas. Persamaan parabolik yang paling sederhana adalah persamaan perambaan panas dan difsi polan yang mempnyai benk: T T K.4 Penyelesaian dari persamaan diaas adalah mencari emperar T nk nilia jarak pada seiap wak. b Persamaan. diseb persamaan elipik jika B 4AC <. Persamaan differensial elipik biasanya berhbngan dengan masalah keseimbangan aa kondisi permanen. Seperi aliran air anah dibawah bendngan dan karena adanya pemompaan sera defleksi pla akiba pembebanan yang mempnyai benk: ϕ ϕ y.5 c Persamaan. diseb persamaan hiperbolik jika B 4AC >. Persamaan hiperbolik biasanya berhbngan dengan gearan. Persamaan hiperbolik yang paling sederhana adalah persamaan gelombang yang mempnyai benk: C.6 dengan adalah perpindahan erikal flkasi pada jarak dari jng ali yang bergear yang mempnyai panjang L sesdah wak. Secara jelas dapa diliha bahwa solsi dari persoalan persamaan diferensial parsial idak hanya dienkan oleh persamaan erseb secara sendiri eapi diperlkan nilai baas bondary aa jga nilai awal iniial ale. Syara yang diperlkan oleh sa persoalan adalah: i. Penyelesaian hars ada. ii. Penyelesaian erseb hars nik/khss. II-

12 iii. Penyelesaian erseb hars secara konin berganng pada nilai awal dan nilai baas.. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang mengandng fngsi da aa lebih ariabel bebas.persamaan diferensial ini memiliki beberapa kelompok yai: a Berdasarkan orde. Orde sa persamaan diferensial adalah orde rnan eringgi yang mncl dalam persamaan diferensial erseb. Perimbangkan kembali persamaan. jika A B C bernilai idak nol maka persamaan. menjadi persamaan diferensial parsial orde da. Jika A B C bernilai nol sera D aa E bernilai nol maka persamaan. menjadi persamaan diferensial parsial orde perama. Conoh. i. diseb orde sa karena orde rnan eringginya bernilai sa ii. α diseb orde da karena orde rnan eringginya bernilai da Persamaan diferensial orde perama secara mm dilis dalam benk persamaan.. Penyelesaian persamaan. dapa diselesaikan dengan menggnakan eknik ariabel erpisah dengan benk perkalian y X Y y. Conoh. Tenkan penyelesaian y dari persamaan diferensial orde sa berik Penyelesaian : erpisah maka.7 Penyelesaian persamaan.7 dilakkan dengan menggnakan ariabel II-4

13 Dan menginegralkan keda ras sehingga diperoleh c Conoh. Tenkan penyelesaian dari persamaan diferensial orde da 4 y Penyelesaian : Jika y X Y y maka persamaan.8 menjadi.8 '' X Y 4XY Pembagian dengan ' 4 XY dan dipisahkan ariabel-aribel erseb maka '' ' X Y.9 4X Y Karena ras kiri pada persamaan diaas idak berganng pada dan ras kiri idak berganng kepada y maka diasmsikan bahwa keda ras sama dengan konsan. Unk diberikan sebah konsana λ > λ < aa λ. Selanjnya penyelesaian yang diberikan akan berbeda erganng kepada nilai λ. a. Kass λ > maka persamaan.9 menjadi '' X Y 4X Y ' λ Penyelesaian nk X diberikan oleh X c cosh λ c sinh λ sedangkan penyelesaian Y diberikan oleh Y c e λ y Jadi penyelesaian nk y X Y y c cosh λ c C e λ y XY dari persamaan.8 adalah cosh λ C dengan C cc dan C cc sinh λ e λ y sinh λ II-5

14 b. Kass λ < maka persamaan.9 menjadi '' X Y 4X Y ' λ penyelesaian nk X diberikan oleh X c cos λ c sin λ sedangkan penyelesaian Y diberikan oleh Y c e λ y Jadi penyelesaian dari persamaan.8 adalah y X Y y c cos λ c C e λ y cos λ C dengan C cc dan C cc sin λ c e e λ y λ y sin λ c. Kass λ maka persamaan.9 menjadi '' X Y 4X Y ' Penyelesaian nk X dan Y y masing-masing diberikan oleh dan X c c Y y c sehingga y X Y y c c C C dengan C cc dan C cc. b Berdasarkan jmlah ariabel c Jmlah ariabel dienkan dengan cara meliha jmlah fngsi diferensial yang ada pada persamaan erseb. II-6

15 Conoh.4 i. α memiliki ariabel bebas yai dan ii. α memiliki 4 ariabel bebas yai yy dan zz. yy zz c Berdasarkan linear dan nonlinear Pada persamaan diferensial ini dapa diliha secara langsng bahwa sa persamaan erseb linear aa nonlinear. Dengan meliha koefisien pada fngsi rnan jika koefisiennya konsana aa sa fngsi lain maka persamaan i diseb persamaan diferensial linear sedangkan jika koefisiennya sa fngsi inegral dari fngsi diferensial yang ada pada persamaan erseb maka persamaan i diseb persamaan diferensial nonlinear. Conoh.5 I. Linier i. β ii. y iii. y 8 II. Nonlinier y i. yy ii. y y y iii. y 8 i. y y.4 Persamaan Diferensial Parabolik Persamaan parabolik yang paling sederhana adalah persamaan perambaan panas. Misalkan sebah kabel dengan panjang L diempakan pada smb X dengan jng kiri dan jng kanan L. Jika kabel dan jga berganng erhadap wak dan posisi. merpakan sh II-7

16 Unk mengembangkan model aliran panas erseb perimbangkan elemen olm kecil V kabel yang erleak pada dan dan sh pada bidang A sebesar dan pada bidang B sebesar. Beberapa prinsip-prinsip fisika dignakan nk menggambarkan aliran panas sebagai berik.. Kondksi panas Laj aliran panas banyaknya panas yang mengalir seiap ni wak melali bidang A adalah berbanding erhadap aa perbahan sh pada bidang A. Perbandingan konsana k diseb kondkifias ermal maerial.. Arah aliran panas Arah aliran panas selal dari iik bersh inggi ke iik yang bersh rendah.. Spesifikasi kapasias panas Banyaknya panas yang dibhkan nk menaikan sh dari sa kabel yang bermasa m oleh sejmlah adalah spesifikasi kapasias panas maerial. cm dengan konsana c adalah Jika dimisalkan bahwa H merpakan jmlah panas yang mengalir dari iik ke iik panas menjadi L melali permkaan A selama ineral wak maka kondisi H ka. dengan a adalah daerah bagian yang melinang dari kabel dan anda negaif mennjkkan arah perambaan panas ke sh yang lebih rendah. Perbahan panas H pada olme V adalah banyaknya panas yang mask pada jng A dikrangi dengan banyaknya panas yang melewai B aa dilis H H H H ka. Berdasarkan prinsip kerja keiga jika diasmsikan bahwa perbahan sh pada olme V pada dasarnya adalah sama dengan perbahan sh pada smb yai sebesar II-8

17 II-9 dan masa olme V kabel sebesar a ρ yang mana ρ adalah masa jenis kabel maka [ ] a c H ρ. Kesamaan perbahan panas pada persamaan. dan. memberikan [ ] a c ka ρ Pembagian dengan dan pada keda ras diperoleh [ ] c k ρ Selanjnya ambil limi nk dan maka diperoleh [ ] lim lim c k c k c k ρ ρ ρ aa α. dengan konsana posiif ρ α c k adalah difsias maerial dan persamaan. diseb persamaan aliran panas sa dimensi. Selanjnya kia akan memperahankan sh pada keda jng-jng kabel berada pada sh C. Unk diperlkan syara baas dan L nk >.4 selain syara baas yang diperlkan kia jga perl disribsi emperar awal f yai: f.5 yang biasa diseb syara awal.

18 Unk i dengan menghbngkan persamaan aliran panas. syara baas.4 dan syara awal.5 maka diperoleh model aliran panas kabel yang mana jng-jng kabel berada pada sh konsan sebesar C α < < L >.6 L >.7 f.8 Selanjnya dengan menggnakan meode ariabel erpisah dalam benk X T Sbsisikan persamaan diaas ke dalam persamaan.6 akan diperoleh persamaan: '' X KX X ' X ' L.9 dan T ' α KT. dengan K adalah sembarang konsana. Unk menyelesaikan persamaan.9 kia mlai dengan persamaan karakerisik r K. nk K > maka penyelesaian dari persamaan karakerisik. idak diperoleh. Sedangkan jika K maka persamaan karakerisik. mempnyai akar kembar yai r sehingga penyelesaian mnya adalah: X c c Jika rnan perama dari persamaan di aas adalah X ' c Syara baas pada.9 memberikan dan X ' c X ' L c sehingga penyelesaian nk.9 adalah non-riial dalam benk X c II-

19 dengan c adalah sembarang konsana bkan nol. Unk K < persamaan karekerisik. mempnyai akar-akar mmnya adalah r ± i K sehingga penyelesaian X c cos K c sin Trnan perama dari benk erakhir K X K c sin K K c cos ' K Sbsisikan syara baas diperoleh X ' dan diperoleh X ' K c sin K Kc cos K aa c sedangkan nk syara baas X ' L c K memberikan X ' L K c sin K L Kc cos K L Oleh karena c maka persamaan menjadi dan K c sin K L sin K L hanya jika K L nπ n L maka X n sin nπ. dan dengan T n nπα bne. bn adalah konsana sembarang. Gabngkan persamaan. dengan persamaan. dan kia peroleh fngsi n X n T n n nπα sin nπ b n e.4 II-

20 dengan b n f sin nπ d.5 Persamaan diferensial parsial parabolik dapa dibedakan menjadi jenis yai: a Persamaan diferensial parsial parabolik linear. Persamaan diferensial parsial parabolik dikaakan linear jika koefisiennya konsana aa sa fngsi lain. Dengan persamaan mmnya sebagai berik: α φ.6 dengan syara baas sera syara awalnya adalah f nk. dengan: adalah Panjang pipa adalah Wak Persamaan diferensial parabolik linear dibagi yai: i. Persamaan diferensial parabolik homogen. Persamaan.6 dikaakan persamaan linear homogen jika ii. Persamaan diferensial parabolik nonhomogen. Persamaan.6 dikaakan persamaan linear nonhomogen jika b Persamaan diferensial parsial parabolik nonlinear Persamaan diferensial parsial parabolik dikaakan nonlinear jika koefisien dari persamaan merpakan sa fngsi inegral dari fngsi diferensial yang ada dengan benk mmnya adalah: φ nk > < <.7 dengan syara baas L dan f Sebagian besar persamaan diferensial nonlinear dapa diselesaikan dengan menggnakan meode ariabel. Teapi ada jga yang idak dapa diselesaikan dengan meode erseb maka kia dapa menggnakan meode homoopi perbasi nk menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear erseb. φ φ II-

21 .5 Homoopi Homoopi berasal dari bahasa Ynani yai homos: serpa dan opos: empa. Homoopi merpakan bagian erpening dari opologi differensial. Misalkan X adalah sembarang rang f g : I X dengan I adalah p maka alr pada X mempnyai iik akhir yang sama yai f g dan f g. Sebah alr homoopi dari f ke g adalah sa fngsi konine H : I I X dari sema alr dan nilai parameer homoopi dan r maka di dapa: H f H g H r H r Dalam opologi fngsi konine f g : X Y merpakan homoopi jika fngsi konine berada pada H : X I Y maka H f dan H g nk selrh X. Selanjnya H adalah homoopi dari f ke g yang didefinisikan dengan dan y. Hbngan homoopi diandai dengan f g aa H : f g nk meneapkan H..6 Meode Perbasi Meode perrbasi perama kali dierapkan oleh J.Eler dan J.L Lagrange 76-8 di bidang mekanik. Meode perrbasi berlandaskan sa asmsi yai parameer kecil. Linearisasi dapa dignakan nk menghing sebah hampiran penyelesaian persamaan diferensial dengan ide dasarnya adalah mengekspansi kedalam benk dere pangka dari parameer kecil yang dapa diperlas erhadap sa fngsi jga mamp dignakan nk menenkan hampiran penyelesaian persamaan diferensial. Yang dicari dalam benk: ; p p p L.8 Perhingan aa proses yang dilakkan pada meode perrbasi ini adalah dengan mengabaikan sk-sk yang mema p p L nk orde nol. Unk orde perama dengan mengabaikan p p p 4 L begi jga nk orde-orde selanjnya. II-

22 Conoh.6 Penyelesaian: Selesaikan persamaan diferensial nonlinear berik: p dengan.9 Penyelesaian persamaan.9 diperoleh dalam benk ; p p p. Unk orde nol maka p p L sehingga diperoleh benk: p dengan. Oleh karena p maka benk persamaan. menjadi: Penyelesaian persamaan diferensialnya adalah: c e Dengan mensbsisikan diperoleh c sehingga penyelesaian khssnya adalah: e. Unk orde perama sbsisikan benk ; p p dan mengabaikan bek-benk p p L persamaan.9 menjadi p p p p p p p Abaikan benk-benk yang mema p dan p sehingga diperoleh p dan sbsisikan e dan e sehingga diperoleh e e p p e e e e II-4

23 II-5 Oleh karena syara baas maka penyelesaian persamaan diaas adalah e e. Selanjnya nk orde keda sbsisikan ; p p p ke dalam persamaan.8 sehingga diperoleh p p p p p p p dengan mengabaikan benk-benk yang melibakan 4 L p p maka diperoleh p p p p p p p p sbsisikan diperoleh sehingga dan e e e e e e p Oleh karena syara baas maka penyelesaian persamaan diaas adalah e e e. Jika perhingan dihenikan sampai orde maka diperoleh L e e e p e e p e.4

24 linear nonlinear Gambar. Hampiran penyelesaian persamaan diferensial nonlinear p dengan nk beberapa orde..7 Meode Perbasi Homoopi Meode perbasi homoopi adalah salah sa meode yang dignakan nk menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear dan hasil perhingannya ckp efekif dan akra. Misalkan: A f r.5 dengan kondisi baas: B.6 n dengan A adalah operaor diferensial mm B adalah operaor syara baas f r adalah analisis fngsi yang dikeahi. Operaor A dapa dibagi menjadi da bagian yai L dan N dimana L adalah linear dan N adalah nonlinear. Oleh karena i persamaan.5 dapa dilis kembali sebagai berik : L N f r.7 Pada eknik homoopi membangn sebah homoopi r p yang memenhi: H p p [ L L ] p[ L N f r ] [ ] p.8 II-6

25 yang ekialen dengan: [ L N f ] H p L L p r.9 dengan [ ] p merpakan embedding parameer yang dignakan sebagai parameer kecil dan merpakan perkiraan awal dari persamaan.5 yang memenhi kondisi baas. Selanjnya jika diberikan p maka persamaan.9 akan menjadi: H L L.4 sedangkan jika p maka persamaan.9 menjadi: H L N f r.4 Proses perbahan p dari ke mengbah r p dari ke dalam opologi diseb deformasi sedangkan persamaan.4 dan.4 diseb homoopi. Selanjnya jika dimisalkan bahwa solsi dari persaman.8 dan.9 dapa dilis sebagai berik: p p p L.4 Selanjnya sbsisi persamaan.4 ke persamaan.8 dan diperoleh H p p[ L p p L L ] p[ L p p N p p L f r].4 L Misalkan L dan N merpakan operaor diferensial nk masing-masing fngsi linear dan nonlinear. Oleh karena sifa linear dari operaor diferensial maka H p L L L ] p p[ L N [ L N ] L L f r] p [ N.44 Selanjnya ekspansi persamaan.44 berdasarkan pada orde perbasi dan diperoleh orde nol yai p : L L L L L L II-7

26 II-8 nk orde perama diberikan oleh : r f L N L p r f L N L r f L L L N L r f L N L M Selanjnya diperoleh nilai-nilai L. Dalam meode perbasi homoopi perkiraan solsi persamaan.5 dengan p adalah L lim p.45

27 BAB III METODOLOGI Meode yang dignakan penlis pada skripsi ini adalah meode sdi lierar dengan langkah-langkah sebagai berik:. Persamaan diferensial parabolik nonlinear dengan persamaan mmnya f φ dengan syara baas L c dan syara awal f.. Mengbah persamaan.5 ke dalam benk persamaan homoopi yai p L L p[ L N f r ] H.. Sbsisi persamaan perbasi ke dalam persamaan yang elah dibah kedalam benk persamaan homoopi sehingga diperoleh L. 4. Menjmlahkan K n karena inilah persamaan eksak dari persamaan diferensial nonlinear erseb.

28 BAB IV PEMBAHASAN 4. Persamaan Nonhomogen Perimbangkan kembali persamaan parabolik nonlinear berik f φ 4. Misalkan f adalah fngsi yang erdiri dari benk nonlinear N dan linear R maka persamaan 4. dapa dilis kembali: N R φ 4. dengan nilai awal f. Persamaan 4. dikaakan nonhomogen jika φ. Penyelesaian persamaan 4. merpakan komposisi fngsi-fngsi ak dikeahi yai fngsi yang merpakan dere dilis n n L L Penyelesaian persamaan 4. dilakkan dengan mengbah persamaan 4. kedalam benk homoopi yai H p[ N R ] φ 4. Selanjnya sbsisi persamaan perbasi ke persamaan 4. sehingga diperoleh H p[ p p L p p p L N p p L R p p L ] φ 4.4 Selanjnya ekspansi persamaan 4.4 berdasarkan pada orde perbasi dan diperoleh orde nol p yai φ

29 dan penyelesaian adalah φ Unk orde perama p diberikan oleh N R dan penyelesaian adalah N R L L L N L R Unk orde keda p diberikan oleh N R dan penyelesaian adalah N R L L L N L R M Seelah nilai sk-sk L elah dikeahi n maka penyelesaian dapa diperoleh dengan menggnakan hampiran lim 4.5 n Conoh 4. Tenkan penyelesaian dari persamaan parabolik linear berik e cos sin 4.6 dengan masalah nilai awalnya. Bongsoo Jang 7 Penyelesaian: Penyelesaian persamaan parabolik linear pada persamaan 4.6 dilakkan dengan mengbah persamaan 4.6 kedalam benk homoopi yai H p p[ ] e cos sin 4.7 Selanjnya sbsisi persamaan perbasi ke 4.7 sehingga diperoleh: H p p p[ p p p L] e L cos sin 4.8 IV-

30 Analog dengan cara perbasi maka nk orde nol p dengan p p L maka dan dari persamaan 4.8 diperoleh: e cos sin e cos sin penyelesaian diberikan oleh e sin cos 4.9 Unk orde perama p dengan p p L maka p dan dari persamaan 4.8 diperoleh: e sin cos penyelesaian diberikan oleh Unk orde keda e sin cos d e cos sin 4. 4 p dengan p dari persamaan 4.8 diperoleh: e cos sin penyelesaian diberikan oleh Unk orde keiga e cos sin d p L maka p p dan e sin cos p dengan p dan dari persamaan 4.8 diperoleh: e sin cos p L maka p p p IV-

31 penyelesaian diberikan oleh e sin cos d Unk orde keempa e cos sin 4.!! dan dari persamaan 4.8 diperoleh: 4 4 p L maka p L p p dengan p!! cos sin 4 e penyelesaian diberikan oleh 4 cos e!! sin d 4 4 e sin cos 4.!! 4! M Penyelesaian persamaan dapa diperoleh dengan cara menjmlahkan sksk L aa dilis lim p L e e! e sin sin cos e sin cos L cos sin Gambar 4. mennjkkan bahwa akrasi penyelesaian yang diperoleh dengan menggnakan meode perbasi homoopi nk beberapa jmlah sk erhadap penyelesaian eksak persamaan diferensial parabolik nonlinear di. IV-4

32 ; eksak 4 8 Gambar 4. Hampiran penyelesaian persamaan diferensial parabolik linear e cos sin dengan di nk beberapa jmlah sk. Pada gambar 4. dapa diliha bahwa kra yang dibenk oleh 8 lebih mendekai dibandingkan kra-kra lainnya. Hal ini menjelaskan bahwa sk lebih banyak akan mendekai kra penyelesaian eksaknya. Tabel 4. Perbandingan error E n di dengan solsi eksak e sin E E E E E 5 IV-5

33 Berdasarkan abel 4. dapa diliha bahwa E lebih memperkecil error dan nk memperlihakan error yang dihasilkan oleh beberapa kra erhadap solsi eksak dapa diliha pada gambar 4.. Grafik Error Conoh error.... Banyak sk Gambar 4. Kecepaan Meode Perbasi Homoopi menghampiri persamaan diferensial parabolik linear e cos sin dengan di dan 4 nk beberapa jmlah sk. 4. Persamaan Homogen Persamaan 4. dikaakan homogen jika φ. Persamaan 4. dapa dilis kembali: N R φ 4.4 Penyelesaian persamaan 4.4 merpakan komposisi fngsi-fngsi ak dikeahi yai fngsi yang merpakan dere dilis n n L L Penyelesaian persamaan 4.4 dilakkan dengan mengbah persamaan 4.4 kedalam benk homoopi yai H p[ N R ] 4.5 IV-6

34 Selanjnya sbsisi persamaan perbasi ke persamaan 4.5 sehingga diperoleh H p[ p p L p p p L N p p L R p p L] 4.6 Selanjnya ekspansi persamaan 4.6 berdasarkan pada orde perbasi dan diperoleh orde nol p yai dan penyelesaian adalah Unk orde perama p diberikan oleh N R dan penyelesaian adalah N R L L L N L R Unk orde keda p diberikan oleh N R dan penyelesaian adalah N R L L L N L R M Seelah nilai sk-sk L elah dikeahi n maka penyelesaian dapa diperoleh dengan menggnakan hampiran lim n IV-7

35 Conoh 4. Tenkan penyelesaian dari persamaan parabolik linear berik 4.7 dengan masalah nilai awalnya. J. Biazar 6 Penyelesaian: aa Persamaan 4.7 dapa dilis kembali sebagai berik Penyelesaian persamaan parabolik linear pada persamaan 4.7 dilakkan dengan mengbah persamaan 4.7 kedalam benk homoopi yai H p p 4.8 Selanjnya sbsisi persamaan perbasi ke 4.8 sehingga diperoleh: H p p p[ p L p p L L] Analog dengan cara perbasi maka nk orde nol 4.9 p dengan p p L maka dari persamaan 4.9 diperoleh: penyelesaian diberikan oleh d 4. IV-8

36 Unk orde perama p dengan p L p maka p dan dari persamaan 4.9 diperoleh: 6 penyelesaian diberikan oleh 6 d 6 4. Unk orde keda p L maka p p dan 4 p dengan p dari persamaan 4.9 diperoleh: penyelesaian diberikan oleh d 4. Unk orde keiga 4 5 p dengan p p L maka p p p dan dari persamaan 4.9 diperoleh: IV-9

37 IV- penyelesaian diberikan oleh d 4. M Penyelesaian persamaan dapa diperoleh dengan cara menjmlahkan sksk L aa dilis p 6 6 lim L L Conoh 4. Tenkan penyelesaian dari persamaan parabolik linear berik 4.4 dengan masalah nilai awal. Lin Jin 8 Penyelesian : Penyelesaian persamaan parabolik linear pada persamaan 4.4 dilakkan dengan mengbah persamaan 4.4 kedalam benk homoopi yai ] [ p p H 4.5 Selanjnya sbsisi persamaan prebasi ke 4.5 sehingga diperoleh: ] [ L L p p p p p H 4.6 Analog dengan cara perbasi maka nk orde nol p dengan L p p maka dari persamaan 4.6 diperoleh:

38 penyelesaian diberikan oleh d 4.7 Unk orde perama p dengan p L p maka p dan dari persamaan 4.6 diperoleh: penyelesaian diberikan oleh Unk orde keda d dari persamaan 4.6 diperoleh: p dengan p penyelesaian diberikan oleh d! p L maka p p dan 4.9 IV-

39 Unk orde keiga 4 5 p dengan p L dan dari persamaan 4.6 diperoleh:! p maka p p p penyelesaian diberikan oleh d M Penyelesaian persamaan dapa diperoleh dengan cara menjmlahkan sksk! 4. L aa dilis lim p!! L!! e L L Gambar 4. mennjkkan bahwa akrasi penyelesaian yang diperoleh dengan menggnakan meode perbasi homoopi nk beberapa jmlah sk erhadap penyelesaian eksak persamaan diferensial parabolik nonlinear di. IV-

40 ; eksak 4 8 Gambar 4. Hampiran penyelesaian persamaan diferensial parabolik nonlinear dengan nk beberapa jmlah sk. di Pada gambar 4. dapa diliha bahwa kra yang dibenk oleh 8 lebih mendekai dibandingkan kra-kra lainnya. Hal ini menjelaskan bahwa sk lebih banyak akan mendekai kra penyelesaian eksaknya. Tabel 4. Perbandingan error E n di dengan solsi eksak e E E E E E IV-

41 Berdasarkan abel 4. dapa diliha bahwa E lebih memperkecil error dan nk memperlihakan error yang dihasilkan oleh beberapa kra erhadap solsi eksak dapa diliha pada gambar 4.4. Grafik Error Conoh Error. E-6 E-8 E- Banyak Sk Gambar 4.4 Kecepaan Meode Perbasi Homoopi menghampiri persamaan diferensial parabolik nonlinear dengan jmlah sk. di dan 4 nk beberapa Conoh 4.4 Tenkan penyelesaian dari persamaan parabolik nonlinear berik 4. dengan masalah nilai awal e. Msafa 7 Penyelesaian : Penyelesaian persamaan parabolik nonlinear pada persamaan 4. dilakkan dengan mengbah persamaan 4. kedalam benk homoopi yai H p p[ ] 4. Selanjnya sbsisi persamaan perbasi ke 4. sehingga diperoleh: H p p[ p p L p p L p p L p p L 4. IV-4

42 Analog dengan cara perbasi maka nk orde nol p dengan p p L maka dari persamaan 4. diperoleh: penyelesaian diberikan oleh d e 4.4 Unk orde perama p dengan p L p maka p dan dari persamaan 4. diperoleh: penyelesaian diberikan oleh Unk orde keda e d e e 4.5 dari persamaan 4. diperoleh: p maka p p dan 4 p dengan p L penyelesaian diberikan oleh e d e! e 4.6 IV-5

43 Unk orde keiga 4 5 p dengan p L dan dari persamaan 4. diperoleh: p maka p p p e Penyelesaian diberikan oleh e d! M Penyelesaian persamaan dapa diperoleh dengan cara menjmlahkan sksk! e 4.7 L aa dilis lim p L e e e e! L! e e e L!! Gambar 4.5 mennjkkan bahwa akrasi penyelesaian yang diperoleh dengan menggnakan meode perbasi homoopi nk beberapa jmlah sk erhadap penyelesaian eksak persamaan diferensial parabolik nonlinear di. IV-6

44 ; eksak 4 8 Gambar 4.5 Hampiran penyelesaian persamaan diferensial parabolik nonlinear dengan e di nk beberapa jmlah sk. Pada gambar 4.5 dapa diliha bahwa kra yang dibenk oleh 8 lebih mendekai dibandingkan kra-kra lainnya. Hal ini menjelaskan bahwa sk lebih banyak akan mendekai kra penyelesaian eksaknya. Tabel 4. Perbandingan error E n di dengan solsi eksak e E E E E E IV-7

45 Berdasarkan abel 4. dapa diliha bahwa E lebih memperkecil error dan nk memperlihakan error yang dihasilkan oleh beberapa kra erhadap solsi eksak dapa diliha pada gambar 4.6. Grafik Error Conoh Error.... Banyak Sk Gambar 4.6 Kecepaan Meode Perbasi Homoopi menghampiri persamaan diferensial parabolik nonlinear dengan e di dan 4 nk beberapa jmlah sk. IV-8

46 BAB V PENUTUP 5. Kesimplan Berdasarkan pembahasan pada bab sebelmnya diperoleh kesimplan bahwa meode perbasi homoopi dapa menyelesaikan persamaan differensial parabolik nonlinear f φ berdasarkan masalah nilai awal nonlinearnya L dan f. Hasil yang diperoleh dengan menggnakan meode perbasi homoopi semakin mendekai eksak yang dapa diliha pada Gambar 4. nk conoh 4. nk yang nonhomogen dan Gambar 4. nk conoh 4. dan Gambar 4.5 nk yang homogen. Dan semakin banyak jmlah sk-sk maka hasilnya akan ckp akra dan efekif. L yang dignakan 5. Saran Tgas Akhir ini membahas enang penyelesaian persamaan differensial parabolik nonlinear f φ berdasarkan masalah nilai awal nonlinearnya L dan f dengan menggnakan meode perrbasi homoopi. Bagi pembaca yang bermina melanjkan Tgas Akhir ini penlis sarankan membahas enang persamaan diferensial nonlinear yang lainnya seperi persamaan diferensial nonlinear hiperbolik dan persamaan diferensial nonlinear elipik.

47 DAFTAR PUSTAKA Biazar J. dan Z. Ayai. An Approimaion o he solion of parabolic by Adomian mehod and comparing he resl wih Crank-Nicolson mehod Inernaional Mahemaical Form no Biazar J. dan H. Ghazini. Solion of he Wae Eqaion by Homoopi Perrbaion Mehod Inernaional Mahemaical Form no Ghobi R. Abdol M.A. Mhammadzade. dkk. A New Approach o Sole Nonlinear Parial Differenial Eqaions Jornal of Mahemaical and Saisics Jang B. Eac solions o one dimensional non-homogeneos parabolic problems by he homogeneos Adomian decomposiion mehod Applied Mahemaical Comp Jin Lin. Homoopy Perrbaion Mehod for Soling Parial Differenial Eqaion wih Variable Coefficiens In. J. Conemp. Mah. Sciences Vol. no Msafa. On Nmerical Solion of Parial Differenial Eqaions by he Decomposiion Mehod Kragjeac J. Mah Sieradski A.J. An Inrodcion o Topology and Homoopy PWS-Ken Boson 99. Sewar James. Kalkls Edisi Keempa I Nyoman Ssila & Hendra Gnawan Erlangga: Jakara Jilid.

48 LAMPIRAN C MAPLE CONTOH 4. > resar; > f:^; > y:; > ly:iny; > []:fly; f : y : ly : : >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[]..; p : : >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[]..;[]:[][][]; p : : : >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[]..; p : : 6 >p[4]:^/*diffdiff[];[4]:inp[4]..;[4]:[][][][][4]; p 4 : 6 C-

49 4 : : >p[5]:^/*diffdiff[4];[5]:inp[5]..; p 5 : : 5 >p[6]:^/*diffdiff[5];[6]:inp[6]..; p 6 : 5 6 : 7 6 >p[7]:^/*diffdiff[6];[7]:inp[7]..; p 7 : : 54 7 >p[8]:^/*diffdiff[7];[8]:inp[8]..;[8]:[][][][][4][5][6][7][8 ]; p 8 : : 8 : >p[9]:^/*diffdiff[8];[9]:inp[9]..; p 9 : 4 8 C-

50 9 : >p[]:^/*diffdiff[9];[]:inp[]..; p : : 688 >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[ ]..; p : 688 : 9968 >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[ ]..; p : 9968 : 4796 >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[ ]..; p : 4796 : 678 >p[4]:^/*diffdiff[];[4]:inp[4 ]..; p 4 : : >p[5]:^/*diffdiff[4];[5]:inp[5 ]..;[5]:[][][][][4][5][6][7 ][8][9][][][][][4][5]; C-

51 p 5 : 5 : 5 : >p[6]:^/*diffdiff[5];[6]:inp[6 ]..; p 6 : : >p[7]:^/*diffdiff[6];[7]:inp[7 ]..; p 7 : : >p[8]:^/*diffdiff[7];[8]:inp[8 ]..; p 8 : : >p[9]:^/*diffdiff[8];[9]:inp[9 ]..; p 9 : : C-4

52 >p[]:^/*diffdiff[9];[]:inp[ ]..; p : : >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[ ]..; p : : >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[ ]..; p : : >p[]:^/*diffdiff[];[]:inp[ ]..; p : : >p[4]:^/*diffdiff[];[4]:inp[4 ]..; p 4 : : >p[5]:^/*diffdiff[4];[5]:inp[5 ]..; p 5 : C-5

53 5 : >p[6]:^/*diffdiff[5];[6]:inp[6 ]..; p 6 : : >p[7]:^/*diffdiff[6];[7]:inp[7 ]..; p 7 : : >p[8]:^/*diffdiff[7];[8]:inp[8 ]..; p 8 : : >p[9]:^/*diffdiff[8];[9]:inp[9 ]..; p 9 : : >p[]:^/*diffdiff[9];[]:inp[ ]..;[]:[][][][][4][5][6][7 ][8][9][][][][][4][5][6] [7][8][9][][][][][4][5][ 6][7][8][9][]; p : : C-6

54 : C-7