BAB II MATERI PENUNJANG. 2.1 Keuangan Opsi

Transkripsi

1 Bab II Maeri Penunjang BAB II MATERI PENUNJANG.1 Keuangan.1.1 Opsi Sebuah opsi keuangan memberikan hak (bukan kewajiban) unuk membeli aau menjual sebuah asse di waku yang akan daang dengan harga yang disepakai. Seiap opsi keuangan memiliki waku jauh empo (exercise/mauriy/expiraion dae), exercise/srike price, dan premi aau harga opsi keuangan. Opsi keuangan dikaakan di-exercise keika pemilik hak (holder) memilih unuk membeli aau menjual ase yang bersangkuan. Pemberi hak (wrier) dari opsi keuangan adalah pihak lain dari konrak opsi keuangan ersebu. Derivaif sandar aau opsi vanilla sederhana adalah opsi Eropa dan opsi Amerika. Jenis opsi yang lain disebu Exoic aau derivaif ak sandar. Conohnya adalah opsi Asian, Lookback, dan Barrier Opsi Eropa Sebuah opsi call (pu) Eropa memberi hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi unuk membeli (menjual) sebuah ase dengan sebuah harga awal So, pada saa jauh empo yang diberikan T dan sebuah srike price K yang bernilai eap. Misalkan harga dari opsi call (pu) Eropa dilambangkan dengan c(p). Payoff dari sebuah opsi call Eropa saa jauh empo T adalah Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 4

2 Bab II Maeri Penunjang Jika ST c= max( S K,0). (.1) < K, opsi call idak akan memberikan keunungan dan pemegang opsi idak akan mempergunakan haknya. Payoff dari sebuah opsi pu Eropa adalah Jika ST T p = max( K S T,0). (.) > K, opsi pu idak akan memberikan keunungan dan pemegang opsi idak akan mempergunakan haknya. Call-pu pariy adalah keerkaian anara sebuah opsi call dan pu Eropa, diberikan oleh r c+ Ke = p+ S, (.3) dimana r melambangkan suku bunga anpa resiko dan S adalah harga saham Opsi Amerika Sebuah opsi call (pu) Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi unuk membeli (menjual) sebuah asse pada saa 0 < < T, sampai dengan waku jauh empo T, dengan srike price K. Misalkan harga dari opsi call (pu) Amerika dilambangkan dengan C(P). Payoff dari sebuah opsi call Amerika pada saa jauh emponya T adalah Payoff dari sebuah opsi pu Amerika adalah ( ) C = max( S K,0). (.4) T P= max( K S T,0). (.5) baas harga dan pu-call pariy unuk opsi Amerika diberikan oleh S K C P S Ke r. (.6).1. Nilai Suau Opsi Keuangan Dalam penenuan harga opsi, nilai dari opsi adalah sebuah fungsi dari ase yang bersangkuan dan waku, c f ( S, ) =. Penghiungan harga dari sebuah opsi (premi) adalah ujuan uama penulis. Premi adalah nilai yang adil dari sebuah Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 5

3 Bab II Maeri Penunjang konrak opsi yang dienukan dalam pasar yang kompeiif, dimana pembeli opsi membayarkan premi ersebu kepada penjual opsi. Nilai inrinsik dari sebuah opsi call adalah max ( S K,0) unuk opsi pu adalah max (,0) dan nilai inrinsik K S unuk 0 T. Nilai ini menunjukkan keunungan yang bisa diperoleh oleh seorang invesor keika menggunakan opsinya. Nilai waku dari sebuah opsi call adalah perbedaan anara harga dari opsi call dengan nilai inrinsiknya. Nilai waku dari sebuah opsi menurun seiring dengan menurunnya waku yang ersisa ke waku jauh empo. Opsi Eropa idak memiliki nilai waku karena hanya bisa digunakan pada saa jauh empo T, nilai wakunya adalah nol. Jumlah dari nilai inrinsik dan nilai waku sebuah opsi adalah nilai oal dari sebuah opsi. Nilai inrinsik dari opsi idak pernah memberikan nilai negaif. Jika nilai saa ini (presen value) dari asse yang bersangkuan lebih rendah dari srike price, nilai inrinsik dari opsi call dihilangkan. Misal, jika premi call adalah $7.0 dan harga sahamnya $40 dengan srike price $35, nilai inrinsiknya adalah $5 dan nilai wakunya adalah $.0. Sebuah opsi dikaakan in-he-money (ITM) jika nilai inrinsiknya idak nol. Keika srike price sama dengan harga saham saa ini, kia kaakan opsi ersebu a-hemoney (ATM) dan nilai inrinsiknya adalah nol. Jika idak keduanya, maka opsi dikaakan ou-of-he money (OTM). Kenapa opsi diperdagangkan? Bagi para invesor, opsi dipandang menarik baik unuk spekulasi maupun unuk keperluan hedging. Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 6

4 Bab II Maeri Penunjang Terdapa cara yang sisemais unuk menenukan besarnya nilai opsi, sehingga opsi dapa diperjualbelikan dengan suau ingka kepercayaan yang cukup inggi. [] Model pergerakan harga saham yang akan dipakai unuk menenukan harga opsi sanga berganung pada keidakpasian nilainya di masa yang akan daang. Proses keidakpasian ini akan dibahas di bagian berikunya Suku bunga Misalkan kia memiliki sejumlah uang pada suau rekening abungan anpa resiko. Jika invesasi ini berkembang berdasarkan suau suku bunga koninu, r, kemudian nilainya berambah dengan fakor suau jumlah D 0 r e pada waku nol bernilai pada saa. Kia akan menggunakan r dalam jangka waku. Dengan kaa lain, ( ) e r D0 D = (.7) ini sebagai bea ahunan. Pada kenyaaannya, suku bunga berubah-ubah iap waku dan biasanya berganung pada besarnya invesasi, api kia akan mengasumsikan bahwa suku bunga ini bernilai konsan, baik unuk ransaksi simpan aaupun pinjam kas, berapapun besarnya invesasi. Misalkan kia memiliki suau jumlah ersebu akan bernilai D e r D pada saa, maka pada waku nol jumlah. Hal ini disebu discouning for ineres (diskono unuk suku bunga) aau discouning for inflaion (diskono unuk inflasi).[] Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 7

5 Bab II Maeri Penunjang. Saisika...1 Teorema Limi Pusa Misalkan X1, X, X3,..., XM merupakan pengamaan-pengamaan dari sebuah sample acak yang berdisribusi sesuau dan memiliki mean μ dan variansi posiif. Maka peubah acak Y M M 1 M X M X i Mμ i Mμ i= 1 M i= 1 = = M (.8) konvergen dalam disribusi ke sebuah peubah acak yang berdisribusi normal sandar aau N (0,1).. Proses Sokasik Definisi 1. Sebuah proses sokasik ( ) {, } X = X I adalah koleksi dari peubah-peubah acak dengan himpunan indeks I, dimana adalah waku. Sebuah realisasi dari X disebu sebuah linasan sampel. Sebuah proses sokasik waku koninu { X () } dikaakan memiliki inkremenasi yang saling bebas jika unuk seiap 0 < 1 <... < n, peubah-peubah acak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X 1 X 0, X X 1, X 3 X,..., X n X n 1 adalah saling bebas. Dikaakan memiliki inkremenasi sasioner jika X ( + s) X ( ) memiliki disribusi yang sama unuk seiap dan disribusinya hanya berganung pada s. Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 8

6 Bab II Maeri Penunjang..3 Gerak Brown Definisi. Sebuah proses acak B, [ 0, ) adalah sebuah gerak Brown jika 1. B memiliki inkremenasi sasioner dan saling bebas.. B adalah fungsi koninu erhadap waku, dengan B 0 = Unuk 0 s, B Bs adalah berdisribusi normal dengan mean μ ( s) dan variansi s dimana μ dan 0 adalah bilangan riil. B B s N μ s, s,. Yaiu, ( ) ( ) Sebuah proses yang seperi ini disebu sebuah gerak Brown ( μ, ) dengan drif μ dan variansi. Definisi Gerak Brown (0,1) disebu gerak Brown normal aau disebu proses Wiener.. Gerak Brown ( μ, ) disebu gerak Brown umum aau proses Wiener- Bachelier...4 Gerak Brown Geomerik Definisi 4. Jika X () adalah sebuah gerak Brown dengan drif μ dan variansi, proses X() { Y() e, 0} = disebu sebuah gerak Brown geomeric, aau gerak Brown eksponensial, aau difusi lognormal. Mean dan variansinya adalah ( μ+ /) E Y() = e, ( μ+ ) Var Y () = e e 1. (.9) Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 9

7 Bab II Maeri Penunjang.3 Model Pergerakan Harga Saham Model sederhana pergerakan harga saham diasumsikan mengikui Proses Wiener yang umum (Gerak Brown) yang berari mempunyai ekspekasi drif yang konsan dan variansi yang konsan. Akan eapi model ini gagal memenuhi aspek yang pening dari harga saham yaiu persenase ekspekasi reurn erhadap saham yang diinginkan invesor idak erganung pada naik urunnya harga saham. Akibanya, ekspekasi drif yang konsan idaklah epa dan harus diganikan oleh asumsi bahwa ekspekasi reurn (ekspekasi drif dibagi dengan harga saham) adalah konsan. Jadi asumsi yang paling bisa dierima unuk harga saham adalah logarima dari harga saham mengikui Proses Wiener, aau dengan kaa lain, harga saham mengikui Gerak Brown Geomerik. Jika S menyaakan harga saham pada saa, maka ekspekasi drif dari S dapa diasumsikan sebagai μ S unuk suau konsana μ. Ini berari bahwa dalam suau inerval waku Δ, raa-raa harga saham naik sebesar μs Δ. Parameer μ menyaakan ekspekasi reurn harga saham. Jika fakor keidakpasian dianggap idak ada, maka model unuk pergerakan harga saham adalah Δ S = μs Δ, (.10) Dan jika Δ 0 diperoleh ds = μs d (.11) Teapi pada prakeknya, harga saham menunjukkan adanya aspek sokasik. Asumsi yang dapa dierima adalah variansi persenase dari reurn saham pada suau periode selang waku Δ adalah umum anpa erganung pada harga saham. Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 10

8 Bab II Maeri Penunjang Akibanya, diasumsikan bahwa simpangan baku perubahan harga saham pada selang waku Δ haruslah proporsional dengan harga saham. Jadi model menjadi : ds = μsd + Sdx = S ( μd+ dx ), (.1) Dengan adalah Proses Wiener. dx Akan diperkenalkan proses μ r W = x +, (.13) Dengan μ r : marke price of risk Yang merupakan selisih anara reurn dari saham dengan suku bunga anpa resiko. Akibanya W adalah Gerak Brown berdasarkan peluang anpa resiko (neural risk probabiliy) P yang berari jika r adalah suku bunga maka ekspekasi reurn dari saham dengan P sebagai peluang saham ersebu bergerak naik adalah sama dengan suku bunga. Sehingga persamaan (.1) menjadi: μ r ds = S μd + dw d = S rd + dw ( ) (.14) Berdasarkan Lemma Io, persamaan (.1) dapa diulis menjadi dln S = r d+ dw (.15) Dengan l n S adalah Gerak Brown dengan drif r dan variansi. Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 11

9 Bab II Maeri Penunjang Buki. Misal G = ln S maka Sehingga G 1 G 1 G =, = dan 0 S S S S = G G 1 G G dg = rs + + S d SdW + S S S = S S S rs S d SdW dln S = r d+ dw Berdasarkan persamaan(.49) diperoleh bahwa ln S ln S0 berdisribusi normal dengan mean r ( T ) dan variansi ( T ). Bila kedua ruas pada persamaan di aas diinegralkan diperoleh dln S = r d+ dw ln S ln S0 = r + W ln S = ln S0 + r + W Sehingga solusi dari persamaan diferensial di aas adalah S = exp ln S0 + r + W Dengan S 0 exp = S0 r + W. adalah harga saham pada saa proses mulai diamai. Penenuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Mone Carlo 1