MODEL MATEMATIKA GERAK PENDULUM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN GAYA GESEK UDARA

Transkripsi

1 JMP : Vol. 8 No., Des. 06, hal. 9-3 ISSN MODEL MATEMATIKA GERAK PENDULUM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN GAYA GESEK UDARA Rukmono Budi Uomo Universias Muhammadiyah Tangerang rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id ABSTRACT. This paper aims o consruc a mahemaical model of he pendulum moion by considering he fricional force of air. The sudy was conduced by firs making a pendulum moion illusraion wih a lengh of rope l and pendulum mass m verically ha given deviaion and speed. Based on ha creaed a mahemaical model of moion of he pendulum and is deerminaion o find ou he ime i akes he pendulum passing hrough he zero poin and he curren ime here is no change in he speed deviaion of he pendulum. In his sudy will also be given a simulaion of mahemaical models ha have been made. Keywords: Pendulum Moion Mahemaical Model, Air Fricion ABSTRAK. Tulisan ini berujuan unuk mengkonsruksikan model maemaika dari gerak pendulum dengan memperimbangkan aya gaya gesek udara. Peneliian dilakukan dengan erlebih dahulu membua ilusrasi gerak pendulum sederhana dengan panjang ali l beban massa pendulum m yang diikakan secara verikal diberikan simpangan sera kecepaan. Berdasarkan hal ersebu dibua model maemais gerak pendulum besera penenuan unuk mengeahui waku yang diperlukan pendulum melewai iik nol waku saa idak ada perubahan kecepaan simpangan pendulum. Dalam peneliian ini juga akan diberikan simulasi perhiungan dari model maemais yang elah dibua. Kaa Kunci: Model Maemais Gerak Pendulum, Gesekan Udara. PENDAHULUAN Pendulum aau bandul merupakan benda yang erika pada sebuah ali dapa berayun secara bebas periodik. Suau pendulum sederhana ersusun aas sebuah bandul bermassa m yang diika dengan ali dengan panjang l diempakan mengganung verikal ke bawah. Saa idak diberikan perlakukan apapun, dapa dikaakan bahwa pendulum berada pada posisi diam aau posisi nol. Pada posisi ini dikaakan bahwa simpangan pendulum adalah nol. Lebih lanju keika pendulum diarik, maka

2 0 Rukmono Budi Uomo pendulum memiliki nilai simpangan erenu. Nilai simpangan ini dapa berupa posiif 0aaupun negaif 0. Lebih lanju apabila pendulum diberikan suau kecepaan erenu baik dengan cara diayunkan (arah kiri) 0 aaupun didorong erlebih dahulu ke belakang (arah kanan) 0, maka yang menjadi peranyaan selanjunya adalah bagaimana menjelaskan perilaku gerakan pendulum ersebu dalam suau model maemaika? Apabila pada gerak pendulum berlaku gaya gesek udara seperi keadaan sebenarnya, bagaimana model maemaikanya? Selanjunya bagaimana cara menenukan waku agar pendulum melewai iik nol? Sera kapan waku yang menunjukkan idak ada perubahan kecepaan pendulum? Serangkaian perranyaan di aas akan coba penulis ulas dalam peneliian ini. Dalam peneliian ini juga, penelii idak hanya mengkonsruksikan model maemais gerak pendulum, namun juga dilakukan simulasi erhadap model yang elah erbenuk dengan memasukan beberapa nilai parameer yang erkai. Peneliian mengenai gerakan pendulum yang dilakukan oleh penelii bukanlah yang perama kalinya. Awal mula sudi enang pendulum ini diawali dengan eori hukum Hooke enang gaya pemulih pada pegas. Hukum Hook sendiri elah dikaji dibahas secara lengkap oleh (Rychlewski, 984) pada arikelnya yang berjudul On Hook s Law. Peneliian enang gerakan pendulum juga dilakukan oleh (Kecik e.al, 006) yakni enang Chaos pada gerakan pendulum sebagai sisem dengan paramerik resonansi. Selain iu, (Kecik e.al, 0) juga menelii gerakan auoparamerik dari sisem nonlinear pendulum. Peneliian serupa enang gerakan pendulum juga elah dilakukan oleh (Leee.al, 994) dengan opik peneliian enang analisis global dari sisem gerakan harmonik pendulum dengan inernal resonansi. METODE PENELITIAN Meode yang dilakukan dalam peneliian ini adalah dengan sudi pusaka, yakni dengan memperlajari erlebih dahulu eori enang gerakan pendulum melalui buku Agarwal (008), Boyce (99), Haberman (97), Perko (000), ISSN

3 Model Maemaika Gerak Pendulum Wiggins (003) sera buku-buku lain yang dapa dibaca dalam dafar pusaka. Selain buku, beberapa arikel aau jurnal juga digunakan sebagai referensi dalam peneliian ini, anara lain arikel J. Rychlewski (984), Kecik, K., Warminski, J (0), Lee, W.K. Hsu, C.S. (994) jurnal lain yang dapa dibaca dalam dafar pusaka. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3. Model Penyelesaian Diberikan pendulum sederhana dengan panjang ali l massa bandul m yang diikakan secara verikal mengganung ke bawah. Mula-mula pendulum ersebu berada pada posisi diam aau posisi nol sampai diberikan simpangan kecepaan simpangan sehingga berosilasi seperi pada gambar beriku ini. Gambar. Pendulum berosilasi Keika pendulum diika secara verikal mengganung ke bawah seperi pada gambar di aas, maka secara alamiah massa pendulum m akan mendapa pengaruh gaya graviasi g. Lebih lanju, keika pendulum mulai diayunkan dengan cara diarik, maka erdapa besarnya sudu pergerakan pendulum yang dikenal dengan simpangan pendulum. Nilai dianggap bernilai posiif apabila pendulum diarik ke arah kanan, sebaliknya bernilai negaif apabila pendulum diarik ke arah kiri. Sebelum diayunkan, didefinsikan yang merupakan kecepaan pendulum. Nilai ini juga dapa berupa nilai posiif aaupun negaif erganung cara memberikan kecepaan pada pendulum ersebu (didorong aau ISSN

4 Rukmono Budi Uomo diarik). Saa pendulum bergerak, maka pergerakan pendulum akan mendapakan gaya gesek udara yang merupakan gaya redam disimbolkan dengan d a d. Sebagaimana dikeahui bahwa gaya gesek aaupun gaya redam selalu berlawanan dengan arah gerakan pendulum iu sendiri sebagaimana hukum Hooke menjelaskan anang gaya gesek lanai yang berlawanan erhadap arikan maupun dorongan pada pegas secara horizonal. Dalam peneliian ini diasumsikan bahwa mula-mula pegas akan diarik ke arah kanan sehingga nilai simpangan pendulum adalah posiif. Lebih lanju, kecepaan yang diberikan pada pendulum juga dalam hal ini dimisalkan posiif d yakni 0 yang memberi ari bahwa pendulum diperlakukan arikan aau d gerakan ke arah kanan bukan berupa dorongan. Berdasarkan hal ersebu, model maemais gerak pendulum sebagaimana diilusrasikan pada gambar di aas dapa diuliskan sebagai beriku : ml a mg sin 0 Karena d yang merupakan kecepaan dari gerak pendulum d d yang merupakan percepaan gerak pendulum, maka berdasarkan hal d ersebu persamaan dapa diuliskan kembali sebagai beriku : Apabila didefinisikan diuliskan sebagai beriku Misalkan x x d d ml a mg sin 0 d d a ml d d g l d sin 0 d, maka persamaan di aas dapa 3, maka model persamaan 3 dapa diuliskan kembali sebagai sisem model simuan sebagai beriku ISSN

5 Model Maemaika Gerak Pendulum 3 x x x sin x x Tiik keseimbangan x, x dari sisem 4 4 diperoleh dengan menyamadengankan nol x x, berdasarkan hal ersebu diperoleh iik keseimbangan sisem 4 yakni 0,0,0 n dengan n N. Karena sisem 4 merupakan model sisem nonlinear, maka akan dilakukan linearisasi sisem disekiar iik keseimbangan (equilibrium). Linearisasi dilakukan dengan Jakobian, berdasarkan hal ersebu diperoleh sisem sebagai beriku Df x, x,, f x x f x x x x x 0 x f x, x f x, x x cos x x x x dengan f x, x x f x, x sin x x. Selanjunya akan dilakukan analisis kesabilan erhadap sisem model erlinearisasi disekiar iik keseimbangan 0,0 unuk analisis disekiar iik keseimbangan n,0, dapa dilakukan dengan cara langkah yang sama. Berdasarkan sisem linearisasi pendulum sesuai persamaan 5, maka analisis kesabilan sisem model erlinerisasi disekiar iik keseimbangan 0,0 dapa diuraikan sebagai beriku: Df 0,0 0 x x Selanjunya nilai eigen dari sisem 6 diperoleh nilai-nilai eigen sebagai beriku :, ISSN

6 4 Rukmono Budi Uomo Solusi x x diuliskan sebagai beriku: dari sisem 6 berdasarkan nilai eigen masing-masing 8 x C e C e x C e C e Berdasarkan nilai-nilai eigen pada persamaan 7 di aas, dapa dikaji iga 9 kondisi berdasarkan 4 yang selanjunya dijelaskan sebagai beriku: ) Kondisi 4 0 Apabila nilai 4 0, maka diperoleh nilai eigen sisem 6 a. Dengan menginga bahwa 0, maka 0. ml Berdasarkan hal ersebu solusi maemais kondisi ini dapa diuliskan sebagai beriku Dengan syara awal x x berdasarkan 0 x C e C e x Ce Ce Ce x 0 x x 0 x, maka solusi 0 0 masing-masing dapa diuliskan kembali sebagai beriku 0 x x0 e e x0e Lebih lanju berdasarkan solusi x e x e e x akan dienukan waku agar pendulum berada pada iik nol waku keika idak erdapa perubahan kecepean pendulum. Masing-masing waku ersebu dicari dengan ISSN

7 Model Maemaika Gerak Pendulum 5 menyamadengankan nol x x x0 ersebu diperoleh waku x x sehingga berdasarkan hal 0 0 x0 x x Masing-masing nilai akan ada apabila 0 0 x x x0 x0. 4. ) Kondisi 4 0 Apabila nilai 4 0, maka diperoleh nilai eigen sisem dengan 0. Berdasarkan hal ersebu solusi maemais x x berdasarkan kondisi diunjukkan dengan persamaan 8 9. Dengan syara awal x 0 x x 0 0 x 0 dapa diuliskan kembali sebagai beriku, maka solusi 8 9 masing-masing x x x e x x e 0 0 x e e x e e x Lebih lanju berdasarkan solusi waku agar pendulum berada pada iik nol waku keika idak erdapa perubahan kecepean x0 x 0 pendulum adalah ln x0 x0 x x 0 0 ln x0 x0 x x x x x x x x Kedua waku akan ada apabila. 3) Kondisi 4 0 ISSN

8 6 Rukmono Budi Uomo Apabila nilai 4 0, maka nilai eigen sisem 6 adalah imajiner 4 yakni i i dengan. Berdasarkan hal ersebu solusi maemais awal x 0 x x 0 0 sebagai beriku x 0 x x dengan syara berdasarkan kondisi 3 diuliskan kembali e e x x0 x0 sin sin 6 e e x x0 x0 sin sin cos 7 Lebih lanju berdasarkan solusi 6 7 waku agar pendulum berada pada iik nol waku keika idak erdapa perubahan kecepean x 0 pendulum. adalah arcan x0 x0 x arcan 0. x0 Kedua waku x0 akan ada apabila periode x x x bukan aau kelipaannya. 0 x Simulasi Simulasi dilakukan unuk iap kondisi yang dibahas pada peneliian ini, masing-masing dijelaskan pada uraian di bawah ini ) Kondisi 4 0 Ada banyak sekali nilai parameer agar nilai 4 0, namun pada ininya kondisi ini erjadi apabila nilai 4. Sebagai ISSN

9 Model Maemaika Gerak Pendulum 7 a penginga bahwa nilai ml ambil parameer a 0, m, l 0 dengan kondisi awal x x diperoleh simulasi sebagai beriku. g l g, misalkan dalam hal ini di 0 m / s aau Berdasarkan hal ersebu Gambar. Plo x x Gambar 3. Pore fase Sisem 6 Sisem 6 kondisi kondisi Gambar diaas menunjukkan grafik plo sisem pendulum erlinearisasi di sekiar iik keseimbangan 0,0. Grafik berwarna merah menunjukkan simpangan aau posisi pendulum x berwarna hijau menunjukkan kecepaan pendulum x. garfik Dari gambar erliha bahwa pendulum yang digerakan suau saa akan berheni dengan kaa lain simpangan kecepaan akan habis aau nol. Hal demikian dapa erjadi karena aya gaya gesekan udara d a d dengan nilai konsana gaya sesek udara dalam simulasi ini dieapkan a 0. Lebih lanju gambar 3 menunjukkan pore fase sisem 6 dengan nilai parameer yang diberikan pada kondisi ini. Pore fase pada gambar 3 menunjukkan bahwa iik keseimbangan 0,0 sabil asimpoik dengan ISSN

10 8 Rukmono Budi Uomo ipe sink. Kesabilan asimpoik ini diperkua dengan nilai eigen kondisi yakni 0. ) Kondisi 4 0 Agar erbenuk kondisi 4 0, misalkan dalam hal ini di ambil parameer a 0, m 0.5, l 0 dengan kondisi awal x x diperoleh simulasi sebagai beriku g 0 m / s aau Berdasarkan hal ersebu Gambar 4. Plo x x Gambar 5. Pore fase Sisem 6 Sisem 6 kondisi kondisi Gambar 4 diaas menunjukkan grafik plo sisem pendulum erlinearisasi di sekiar iik keseimbangan 0,0. Grafik berwarna merah menunjukkan simpangan aau posisi pendulum x berwarna hijau menunjukkan kecepaan pendulum garfik x. Dari gambar 4 erliha bahwa pendulum yang digerakan suau saa akan berheni dengan kaa lain simpangan kecepaan akan habis aau nol. Hal demikian dapa erjadi karena aya gaya gesekan udara d a d dengan nilai konsana gaya sesek udara dalam simulasi ini dieapkan a 0. Meski pendulum akan berheni sebagimana pada kondisi, namun ISSN

11 Model Maemaika Gerak Pendulum 9 perilaku pendulum menuju berheni sangalah berbeda. Perbedaan ini dapa diliha pada pore fase gambar 5. Pore fase sisem 6 sebegaimana diunjukkan gambar 6 menunjukkan iik keseimbangan 0,0 sabil asimpoik dengan ipe node. Tipe ini berbeda dengan pore fase kondisi yang beripe node. Kesabilan asimpoik ini diperkua dengan nilai eigen kondisi yakni 4 4 dengan 0 3) Kondisi 4 0 Agar erbenuk kondisi 4 0, misalkan dalam hal ini di ambil parameer a 0, m, l 0 dengan kondisi awal x x diperoleh simulasi sebagai beriku: g 0 m / s aau Berdasarkan hal ersebu Gambar 6. Plo x x Gambar 7. Pore fase Sisem 6 Sisem 6 kondisi 3 Kondisi 3 Gambar 6 diaas menunjukkan grafik plo sisem pendulum erlinearisasi di sekiar iik keseimbangan 0,0. Grafik berwarna merah menunjukkan simpangan pendulum menunjukkan kecepaan pendulum x garfik berwarna hijau x. Dari gambar 6 erliha ISSN

12 30 Rukmono Budi Uomo bahwa pendulum yang digerakan suau saa akan berheni aau dengan kaa lain simpangan kecepaan akan habis aau nol. Hal demikian dapa erjadi karena aya gaya gesekan udara d a d dengan nilai konsana gaya sesek udara dalam simulasi ini dieapkan a 0. Cara pendulum ini berheni berbeda dengan cara pendulum berheni pada kondisi. Pada kondisi 3 ini sebelum pendulum berheni, erlebih dahulu pendulum akan berosilasi. Hal ini dikarenakan nilai eigen yang bernilai imajner. Berdasarkan hal ini pula, pore fase yang diunjukkan pada gambar 7 menjelaskan bahwa iik 0,0 sabil asimpoik dengan ipe poer fase adalah spiral 4. KESIMPULAN DAN SARAN Terdapa beberapa kesimpulan saran dalam peneliian ini ynag masing-masing diuraikan sebagai beriku. 4. Kesimpulan Kesimpulan yang diperoleh adalah : ) Model maemaika yang menjelaskan gerakan pendulum dengan aya gaya gesek udara diunjukkan pada persamaan aau 4 dengan sisem yang elah erlinierisasi disekiar iik keseimbangan 0,0 diunjukkan pada persamaan 6 dengan solusi pada persamaan 8 9. x ) Nilai eigen dari sisem 6 memberikan nilai x sisem6 diunjukkan, 4 3) Berdasarkan nilai eigen pada poin diaas, dibagi iga kondisi berdasarkan nilai 4, yakni kondisi saa 4 0, kondisi saa ISSN

13 Model Maemaika Gerak Pendulum 3 4) Unuk kondisi diunjukkan pada persamaan 4 0, solusi x x sisem 6 3 dengan waku pendulum mencapai iik nol waku saa idak erdapa perubahan kecepaan pendulum yang dapa dilihapada pembahasan kondisi 5) Unuk kondisi diunjukkan pada persamaan 4 0, solusi x 4 x sisem 6 5 dengan waku pendulum mencapai iik nol waku saa idak erdapa perubahan kecepaan pendulum yang dapa diliha pada pembahasan kondisi 6) Unuk kondisi diunjukkan pada persamaan 4 0, solusi x 6 x sisem 6 7 dengan waku pendulum mencapai iik nol waku saa idak erdapa perubahan kecepaan pendulum yang dapa diliha pada pembahasan kondisi 3 7) Berdasarkan simulasi yang dilakukan unuk keiga kondisi di aas, erliha bahwa pendulum yang digerakan dengan diberikan simpangan kecepaan suau saa pendulum ersebu akan berheni. Perilaku pendulum menuju berheninya unuk masing-masing kondisi berbeda-beda erganung nilai eigenya dapa diliha pada pembahasan simulasi. 4. Saran Saran yang dapa diberikan adalah : ) Perlu dilakukan simulasi erhadap kondisi 3 saa nilai eigen sisem 6 adalah imajiner murni. ) Perlu diselidiki linearisasi sisem 4 disekiar iik keseimbangan n,0dengan n,,. 3) Perlu dikembangkan sisem model maemais gerak pendulum dengan memperimbangan fakor lain yang erjadi pada kehidupan sebenarnya 4) Perlu dikembangkan model maemais gerak pendulum 3 Dimensi. ISSN

14 3 Rukmono Budi Uomo UCAPAN TERIMAKASIH Ucapan erimakasih diujukan kepada kampus Universias Muhammadiyah Tangerang kampus Insiu Teknologi Bandung aas suppor sehingga ulisan ini dapa selesai penulis dapa mengikui seminar nasional maemaika erapannya di kampus Universias Jendral Soedirman Tanggal 3 Desember 06 DAFTAR PUSTAKA Agarwal, R. D, Regan, D. O., An Inroducion o Differenial Equaion, Springer, New York, 008. Boyce, W.E. Richard, Elemenary Differenial Equaion and Boundary Value Problem, fifh ediion, John Wiley and Sons, Inc., 99. Haberman, R., Mahemaical Models : Mechanical Vibraion, Populaion Dynamics and Traffic Flow, Prenice Hall, Inc., 97. Kecik, K., Warminski, J. Chaos in Mechanical Pendulum-Like Sysem near Main Parameric Resonance, Procedia IUTAM, 5 (0), Lee, W.K. Hsu, C.S., A Global Analysis of an Harmonically Excied Spring- Pendulum Sysem wih Inernal Resonance, Journal of Sound and Vibraion, 7(3) (994), Perko, Lawrence., Differensial Equaion and Dynamical Sysem, Third Ediion, Springer-Verlag, New York, 000. Rychlewski, J., On Hook s Law, Pergamon Press, Ld., PMM U.S.S.R., 48(3) 984, Warminski, J. Kecik, K. Auoparameric Vibraion of Nonlinear Sysem wih Pendulum, Mahemaical Problems in Engineering Volume 006, 006, Aricle ID 80705, 9 pages, hp://dx.doi.org/0.55/mpe/006/80705, diakses pada 6 November 06. Wiggins, S., Inroducion o Applied Nonlinear Dynamical Sysems and Chaos, Springer-Verlag, New York, 003 Widowai Suimin, Pemodelan Maemaika: Analisis aplikasinya, Penerbi Undip Press, Semarang, 03. ISSN