ANALISIS MODEL DINAMIKA VIRUS DALAM SEL TUBUH. Winarno 1 (M )

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL DINAMIKA VIRUS DALAM SEL TUBUH Winarno (M49) Virus merupakan salah sau conoh organisme yang sering mengganggu perumbuhan sel Akhirakhir ini keberadaan virus dirasa sanga mengganggu kehidupan manusia, seperi halnya kasus virus HIV aau penyerangan bioeroris yang menggunakan virus sebagai senjaa Dari kasus ersebu dirasa perlu unuk mempelajari perumbuhan virus pada sel Tujuan dari skripsi ini adalah mengkonsruksi model dinamika virus dalam sel ubuh dan menganalisis model dinamika virus dalam sel ubuh dengan menggunakan analisis keseimbangan dan kesabilan Unuk menganalisis kesabilan digunakan krieria kesabilan Rouh-Hurwiz, cara ini dipilih karena unuk menenukan kesabilan idak perlu mencari akar-akar persamaan karakerisik Meode yang digunakan dalam skripsi ini adalah sudi lieraur, adapun langkah-langkahnya yaiu mengkonruksi model, kemudian menenukan iik keseimbangan dan menganalisis kesabilan pada iikiik keseimbangan Pada skripsi ini, diperoleh kesimpulan bahwa model dinamika virus dengan iga komponen yaiu sel idak erinfeksi, sel erinfeksi dan virus bebas, yang mempunyai keseimbangan di dua iik yaiu α au αβk δau αβk δau I V =, S = dan S SS =, I SS =, V SS = Keseimbangan perama d β k a β k a β u sabil jika δ > sedang keseimbangan kedua sabil jika R dan Δ Kaa kunci : dinamika virus, model, keseimbangan, kesabilan Laar Belakang Masalah Seiap hari sel umbuh dan berkembang, yang merupakan suau perisiwa biologis dalam rangka memperahankan kelangsungan hidup Dalam melangsungkan kehidupan sel sering mengalami gangguan, virus adalah salah sau conoh organisme yang sering mengganggu perumbuhan sel Berkembangnya beberapa virus akhir-akhir ini dirasa sanga mengganggu, hal ini disebabkan virus idak hanya mengambil alih fungsi sel, eapi juga dalam menyerang sel memerlukan waku yang relaif cepa Penyerangan ini sering mengakibakan kefaalan Seperi pada kasus virus influenza, pada ahun 99 menimbulkan keegangan pada masyaraka dunia yang menyebabkan kemaian sekiar 5 jua orang Pada saa ini di beberapa negara, eruama benua Afrika, lebih dari 35% populasi penduduk yang berumur anara 5 sampai 5 ahun erinfeksi Human Immunodeficiency Virus (HIV), dan secara global elah menyebabkan kemaian hingga 6 jua manusia (Tuckwell, ) Maemaika sebagai salah sau dasar ilmu pengeahuan elah banyak memberikan penyelesaian erhadap masalah-masalah dalam dunia nyaa, misalnya dalam masalah opimasi, penyebaran populasi dan masih banyak lagi Oleh karena iu dalam skripsi ini dipilih injauan maemais unuk menyelesaikan permasalahan dinamika virus pada sel ubuh Dalam menyelesaikan permasalahan dinamika virus erkai era dengan pemodelan maemaika, di mana dinamika virus akan dibawa ke benuk maemais dengan mengkonsruksi model maemaik Dalam model yang akan dikonsruksi, erdapa iga variabel yaiu sel yang idak erinfeksi, sel yang erinfeksi dan virus bebas Tujuan skripsi ini adalah dapa mengkonsruksi model dinamika virus dalam sel ubuh dan dapa menganalisis model dinamika virus dalam sel ubuh dengan menggunakan analisis keseimbangan dan kesabilan Rouh-Hurwiz, sedang manfaanya secara eoriis adalah pemahaman enang model maemaika dalam bidang biologi aau kedokeran, prakisnya adalah dapa digunakan sebagai ala banu dalam usaha mendeeksi perkembangan virus dalam sel ubuh Perumusan Masalah Berdasarkan uraian di aas, permasalahan yang akan dibahas yaiu bagaimana mengkonsruksi model dinamika virus dalam sel ubuh? bagaimana menganalisis model dinamika virus dalam sel ubuh? 3 Baasan Masalah Unuk memperjelas dan idak memperluas masalah, dalam skripsi ini dibaasi dengan asumsi bahwa angka kelahiran diasumsikan konsan dan masa inkubasi diabaikan karena wakunya cukup pendek Selain iu diasumsikan idak ada erapi oba kekebalan manusia dianggap sama, angka kemaian sel akiba infeksi idak sama dengan nol dan pada kasus yang diambil waku dibaasi sampai 4 hari 4 Landasan Teori 4 Model Maemaika Model adalah konsep yang digunakan unuk mempresenasikan sesuau dan mengubahnya ke dalam benuk yang dapa kia pahami Sedangkan model maemaika adalah model yang merupakan bagian dari konsep maemaika yang didesain unuk mempelajari sisem yang imbul dalam masalah nyaa (Meyer, > > Mahasiswa Jurusan Maemaika F MIPA, UNS

2 984) Bellomo dan Preziosi (995) juga menambahkan, model maemaika adalah suau persamaan aau himpunan persamaan, dengan penyelesaian berupa perubahan ruang waku dari variable erika yaiu perilaku fisik dari sisem fisik yang berkaian dengan model maemaika 4 Persamaan Diferensial 4 Persamaan Diferensial Orde Sau Definisi [Braun, 978] Persamaan diferensial linier orde sau secara umum berbenuk dy A () y B () + = Fungsi A () dan B() diasumsikan sebagai fungsi koninu erhadap waku Jika B () = maka persamaan disebu persamaan diferensial orde sau homogen, jika B () maka disebu persamaan diferensial orde sau nonhomogen 4 Sisem Persamaan Diferensial Menuru Braun (978) sisem persamaan diferensial orde sau dengan n fungsi ak dikeahui, yaiu x, x,, x n, secara umum dapa diuliskan sebagai = f( x,, x n ) = f ( x,, x n ) () n = fn( x,, xn), dengan f i adalah fungsi koninu pada [ ab,, ] unuk i = n Penyelesaian persamaan () adalah n fungsi x ( ),, xn( ) sedemikian sehingga j ( ) = f( x ( ),, xn( )), j =,,3,, n Definisi [Braun, 978] Vekor x = [ x x x n ] merupakan noasi umum dari barisan bilangan x, x,, x n Bilangan ersebu disebu komponen dari x Jika x ( ) = x( ),, xn ( ) maka x( ) = [ x x xn ], disebu vekor nilai fungsi Derivaifnya, adalah vekor nilai fungsi () () n () () = a a a n a a a n Definisi 3 [Braun, 978] Mariks A = am am am3 amn merupakan noasi umum susunan bilangan a ij yang disusun dalam m baris dan n kolom Elemen yang erdapa pada baris ke-i dan kolom ke- j dinyaakan dengan a ij Jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom aau m = n maka mariks A disebu mariks bujur sangkar Definisi 4 [Braun, 978] Misal A adalah mariks berukuran nxn dengan elemen a ij dan x vekor komponen dengan komponen x,, xn Didefinisikan perkalian A dengan x, dinyaakan dengan Ax, yang merupakan vekor dengan komponennya vekor ke-i berbenuk a i x + aix + + ainxn, i =,,, n Dari definisi ersebu maka persamaan () dapa dinyaakan dalam benuk vekor yaiu x' = = Ax, (3)

3 a a a n a a a n x x x x n dan A = am am am3 amn Benuk sisem persamaan diferensial nonlinier dengan n fungsi ak dikeahui diuliskan sebagai ax anxn f( x, x, xn) = (5) n = an x+ + annxn + fn( x, x, xn), a i=,,,n; j=,,,n dengan f (, Sisem persamaan (5) dapa juga diuliskan sebagai dengan = [ ] unuk ij, d dengan j x () f(, ) = A x + x (6) () () () n () x = [ x x x n ], =, a a a n a a a n A = dan f (, x ) = [ f (, f(, fn(, xn)] an an an3 ann 43 Analisis Bidang Fase dan Sisem Auonomous Misalkan sisem persamaan diferensial linier dengan dua persamaan sebagai beriku x = f( x, x = f( x, (3) dengan f dan f adalah fungsi koninu dari x dan x, sera urunan parsial peramanya koninu Sisem persamaan diferensial (3) dengan f dan f idak erganung secara eksplisi erhadap disebu sisem auonomous Dalam sisem ini, pasangan ( x, x ) disebu fase dari sisem, sehingga bidang x x disebu bidang fase Nilai x ( = x ) dan x ( = x ) pada sisem persamaan (3) yang menyaakan suau iik ( x, x ) pada bidang fase disebu vekor keadaan Karena variabel bebas berubah, vekor keadaan bergerak pada bidang fase Penyelesaian aljabar berhubungan dengan dua variabel erika x dan x yang menyaakan suau rayekori aau orbi pada bidang fase 44 Tiik Keseimbangan Tiik keseimbangan merupakan iik dengan gerak dari vekor keadaan konsan Jika iik keseimbangan ( x e, xe ) dari sisem persamaan (3) merupakan syara awal unuk sisem persamaan (3) maka penyelesaiannya bernilai konsan, yaiu x ( ) x e, x ( ) xe Tiik keseimbangan ersebu disebu penyelesaian seimbang Suau iik yang bukan merupakan iik seimbang disebu iik reguler (Farlow, 994) Definisi 5 [Bellomo and Preziosi, 995] Keadaan x e sedemikian sehingga f ( x e ) = disebu benuk keseimbangan sisem auonomous = f ( 45 Kesabilan Sisem Persamaan Diferensial Tiik keseimbangan dikaakan sabil jika unuk sebarang syara awal yang cukup deka dengan iik keseimbangan maka rayekori dari penyelesaian eap deka dengan penyelesaian di iik keseimbangannya aau jika diberikan gangguan yaiu perurbasi ( x e + x ε, xe + x ε ) maka penyelesaian di iik ersebu hampir sama dengan penyelesaian di iik keseimbangannya Tiik keseimbangan dikaakan sabil asimoik jika iik keseimbangan ersebu sabil dan rayekori dari penyelesaian yang deka menuju iik keseimbangan unuk menuju ak hingga Kesabilan sisem persamaan diferensial linier dijelaskan pada Teorema Teorema [Fonseca, ] Marik A dikaakan sabil jika dan hanya jika semua bagian riil nilai eigennya posiif

4 Unuk sisem persamaan diferensial nonlinier iik keseimbangan dapa diransformasikan ke iik asal (,) Pandang sisem auonomous P(, ) ax bx P(, x, = x = + + Q(, ) ax bx Q(, x, = x = + + (3) Dengan a adalah urunan parsial ingka sau erhadap x dari P (, b adalah urunan parsial ingka sau erhadap y dari P (, c urunan parsial ingka sau erhadap x dari Q (, d urunan parsial ingka sau a b erhadap y dari Q (, dan c d P, Q mempunyai urunan parsial ingka sau yang koninu unuk semua (x,y) sehingga P(, x, Q(, x, lim = lim = (33) ( x, (,) ( x, (,) x + x x + x arinya bahwa Px (,, x ) dan Q(, x, x ) mempunyai perbandingan yang kecil dengan jarak ke iik asal Misalkan P '( adalah bagian linier dari P ( dan Q '( adalah bagian linier dari Q ( sehingga P '( x ) = ax + bx Q '( x ) = cx + (34) Persamaan (3) dapa dienukan kesabilan pada iik keseimbangan ( x e, xe ) dengan menganalisis kesabilan pada iik keseimbangan (,) bagian linier dari sisem persamaan(3) Teorema [Farlow, 994] Misalkan λ dan λ adalah nilai eigen bagian linier dari persamaan (3) maka kesabilan pada persamaan (33) sama dengan persamaan (34) Definisi 6 [Bellomo and Preziosi, 995] Keadaan seimbang yang idak sabil disebu ak sabil 46 Krieria Kesabilan Rouh-Hurwiz Jika A adalah mariks m m, unuk nilai eigen λ, persamaan A λi dengan I adalah mariks idenias dapa diurunkan menjadi persamaan polinomial orde ke- m Persamaan polinomial ini biasa disebu persamaan karakerisik yaiu m m m λ + a λ + aλ + + am= (35) Teorema 4 [ Schröer, ] Jika H adalah mariks persamaan (35) dengan benuk a a a H =, a5 a4 a3 a a dengan minor a a Δ = a, Δ = a3 a, Δ 3 = a3 a a, a5 a4 a3 a a a, Δ n =, Δ n = an Δ n, a5 a4 a3 a a maka bagian real λ i akan bernilai negaif jika hanya jika seiap deerminan minor dari mariks H posiif unuk i=,, 47 Sel Isilah sel perama kali dikenalkan oleh Rober Hooke pada ahun 665 Hooke menggunakan isilah ersebu unuk memberi nama pada ruang yang dibaasi oleh dinding yang dilihanya pada gabus Ukuran sel umumnya bersifa mikroskopis, pada manusia berdiameer kurang lebih μ m, sedang pada bakeri kurang lebih,4 μ m yang hampir idak eramai oleh mikroskop biasa Ukuran sel organisme lainnya umumnya berkisar pada ukuran-ukuran ersebu enu saja dengan beberapa perkecualian pada sel

5 erenu misal pada seekor hewan yang besar, suau sel syaraf dapa mencapai panjang lebih dari meer meskipun diameernya relaif kecil (Radiopuro, 996) 48 Virus Kaa virus berasal dari bahasa lain yang berari racun aau bisa Virus adalah sauan srukural, fungsional, perumbuhan, perkembangan, fakor heredias dan regenerasi yang erkecil (Radiopuro, 996) Sedangkan menuru Pelczar (986) virus adalah mikroorganisme yang sedemikian kecilnya sehingga hanya dapa diliha pada perbesaran yang disediakan oleh mikroskop elecron 5 Meodologi Peneliian Pada skripsi ini, meode yang digunakan adalah sudi lieraur dengan mengacu pada buku-buku pemodelan maemaika dan jurnal yang erkai dengan model dinamika virus Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah mengkaji dan mengkonsruksi model dinamika virus pada sel ubuh dengan asumsi yang digunakan, menenukan keadaan seimbang model dinamika virus, 3 menganalisis keseimbangan model dinamika virus yang diperoleh, 4 menganalisis kesabilan model dengan krieria Rouh-Hurwiz 6 Pembahasan 6 Konsruksi Model Dalam sel ubuh sel, idak erinfeksi, sel erinfeksi dan virus bebas dianggap sebagai fungsi waku Dalam waku, sel yang idak erinfeksi dinoasikan S, sel yang erinfeksi I dan virus bebas V Pada awal mulanya sel idak erinfeksi yang diproduksi ubuh berjumlah konsan yaiu α Sel-sel yang idak erinfeksi mempunyai raa-raa kemaian sel ak erinfeksi sebesar δ, sehingga ingka kemaian sel idak erinfeksi pada suau waku adalah δ S Virus yang elah bersarang pada sel kemudian menggunakan sel sebagai media perkembangbiakan Misalkan raa-raa virus menginfeksi sel pada suau waku adalah β sehingga ingka infeksi pada suau waku dapa dirumuskan β SV Dari uraian ersebu bila dikonsruksikan model unuk jumlah sel idak erinfeksi adalah = α δs βsv Unuk sel yang erinfeksi dipengaruhi oleh ingka infeksi virus dan kemaian sel yang erinfeksi Tingka infeksi virus adalah β SV, dan unuk sel erinfeksi yang mai, jika dimisalkan raa-raa kemaian sel erinfeksi adalah a maka ingka kemaian sel erinfeksi pada suau waku adalah ai Dari uraian yang elah dijelaskan dapa dikeahui bahwa jumlah sel erinfeksi pada waku adalah di = β SV ai Dimisalkan raa-raa kemaian virus bebas karena kekebalan sel dinoasikan u maka ingka kemaian virus bebas pada suau waku dapa dirumuskan uv Apabila raa-raa kecepaan virus unuk berkembang biak adalah k maka ingka produksi virus baru adalah ki, sehingga jumlah virus bebas pada suau waku dapa dirumuskan = ki uv Dari model yang didapa dapa dirumuskan lengkap sebagai beriku = α δs βsv di = ai + β SV (6) = ki uv, dengan α, δ, β, a, k, u adalah nonnegaif 6 Keseimbangan Model Persamaaan diferensial (6) merupakan model virus Dari model ersebu dapa dicari keseimbangan sisem Dalam skripsi ini, keadaan seimbang unuk sel idak erinfeksi, sel erinfeksi dan virus bebas dinoasikan S, I dan V Model seimbang jika memenuhi = α δs βsv =,

6 di = ai + β SV =, = ki uv =, sehingga didapa dua iik keseimbangan, yaiu α I V = dan S =, keseimbangan ini erjadi keika virus belum menginfeksi sel, δ sehingga pada saa keseimbangan ini sel masih dalam keadaan seha au αβk δau αβk δau S =, I = dan V =, keseimbangan ini erjadi keika erdapa β k aβ k aβu virus dalam sel ubuh 63 Analisis Kesabilan Analisis kesabilan dilakukan pada iik-iik keseimbangan yang elah diperoleh, dengan krieria Rouh-Hurwiz α iik keseimbangan I V = dan S = δ Keseimbangan ini erjadi keika virus belum menginfeksi sel Oleh karena iu jumlah virus bebas dan jumlah sel erinfeksi adalah nol Karena perubahan I dan V erhadap waku sama dengan nol selanjunya hanya diuliskan = α δ S Dengan mensubsiusikan iik keseimbangan dan perurbasi kecil didapa persamaan = δ s (63) Misalkan x = () s, sehingga persamaan (63) dapa disajikan dalam benuk mariks, yaiu = [ δ ] x (63) sehingga dari persamaan (63) didapa persamaan karakerisik λ + δ Sesuai dengan krieria Rouhα Hurwiz maka pada iik keseimbangan I V = dan S =, persamaan (6) sabil jika δ > δ au αβk δau αβk δau Tiik keseimbangan S =, I = dan V = β k aβ k aβu Keseimbangan ini erjadi di saa virus ada dalam sel ubuh dan mulai menyerang sel Selanjunya dengan cara yang sama, persamaan (6) akan menjadi αβ k au = s v β sv au k di kαβ au = ( δ ) s ai + v + β sv (633) au k = ki uv Misalkan x = (,, siv), maka model (633) dapa disajikan dalam benuk mariks = Cx + g(, yaiu αβ k au au k β sv αβ k au = δ a x + βsv au k (634) k u Persamaan (633) merupakan sisem persamaan diferensial nonlinier, dari persamaan (634) erliha bagian linier yaiu Cx Selanjunya dengan I mariks idenias, akan dienukan C λ I =, yaiu

7 αβ k au λ au k αβ k au δ a λ =, au k k u λ sehingga didapa persamaan karakerisik sebagai beriku 3 αβ k λ + ( a+ u+ ( )) λ + ( βk( + )) λ+ αβk aδu = (635) au a u Persamaan (438) dapa diulis dalam benuk 3 λ + aλ + aλ+ a3 =, dengan αβk a = a + u +, au a = αβ k( + ), (636) a u a3 = αβk δau Model (6) akan sabil pada iik keseimbangan kedua bila persamaan (436) memenuhi krieria kesabilan Rouh-Hurwiz yaiu, a Δ = a > Karena a, u, α, β dan k nonnegaif maka a > b Δ = a a a > Akan berlaku 3 Δ = a = aa a > jika 3 a3 a αβ k ( a+ u+ )( αβ k( + )) ( αβ k δ au) > au a u c Δ 3 = a3 Δ > αβ k Akan berlaku Δ 3 = a3 Δ > jika αβ k > dau dan Δ > Unuk αβ k > dau dapa disajikan > dau yang arinya bahwa kesabilan ini erjadi jika rasio reproduksi lebih besar dari sau βsv βsv Kemudian karena lim = lim =, maka menuru ( s, i, v) (,,) ( s, i, v) (,,) s + i + v s + i + v Teorema 3 persamaan (43) dapa dikaakan sabil bila pada bagian linier memenuhi krieria kesabilan 64 Kasus Pada ubuh seorang manusia mempunyai perumbuhan sebesar, sel pada ubuh mempunyai raa-raa kemaian sebesar, Dalam sel ersebu erdapa virus HIV- (Human Imunno Deficiency Virus Type ) dengan laju raa-raa virus menginfeksi sel adalah -7 Virus ersebu berkembang biak dengan laju raa-raa, sedangkan raa-raa kemaiannya adalah 5 Virus HIV- yang sudah berkembang berusaha mencari sel, dan mengakibakan sel erinfeksi HIV-, raa-raa kemaian sel erinfeksi adalah 5 Dari asumsi ersebu dapa dibenuk model yaiu S SV = di SV 5I = (64) = I 5V Pada saa virus belum mengadakan penyerangan erhadap sel, sel masih dalam keadaan seimbang Dengan banuan sofware Mahemaica keadaan virus selama 4 hari dapa diilusrasikan pada grafik Gambar 6

8 6 L SHl s e HhariL Gambar 6 Grafik Saa Sel Tidak Terinfeksi Oleh Virus Dari Gambar 6 dapa diliha bahwa perumbuhan sel idak erinfeksi merupakan fungsi eksponensial, sedang sel erinfeksi dan virus konsan nol karena virus idak berkembang biak, sehingga idak menimbulkan sel erinfeksi Sedang seelah virus menginfeksi sel dapa diliha pada Gambar S, I, V Gambar 6 Grafik Sel Tak Terinfeksi Dari Gambar 6 dapa diliha bahwa sel ak erinfeksi, perkembangannya mulai menurun pada saa 4 dan mulai berkembang pada 8 Dari gambar dapa diliha saa jumlah sel ak erinfeksi mengalamai penurunan maka jumlah sel erinfeksi mengalami peningkaan Peningkaan sel erinfeksi seiring dengan peningkaan jumlah virus bebas Kemudian dicari iik keseimbangannya, didapakan dua iik keseimbangan yaiu a S =, I V b dan S = 5, I = -5, V = Dengan menggunakan banuan sofware Mahemaica kedua iik keseimbangan dapa diilusrasikan pada Gambar 63 dan Gambar 64 L i h ar d S Hl s e d SHselL 6 Gambar 63 Grafik Sel Tak Terinfeksi dengan Perubahannya Sebelum Virus Menginfeksi

9 d I, d V d d S, d S, I, V Gambar 64 Grafik Tiga Komponen (S,I,V) dengan Perubahannya Seelah Virus Menginfeksi Selanjunya pada kedua iik keseimbangan dianalisis kesabilan modelnya yaiu keika virus belum menginfeksi sel, pada iik keseimbangan I V = dan S = Saa keseimbangan ini virus bebas dan sel erinfeksi mempunyai jumlah nol, sehingga model menjadi = S (64) dari persamaan (64) dapa diperoleh persamaan karakerisik sebagai beriku λ + = (643) Dengan menggunakan Teorema 4 dapa a > sehingga persamaan (643) memenuhi krieria Rouh- Hurwiz yang arinya persamaan (64) dapa dikaakan sabil pada saa I V = dan S =, yaiu pada saa virus idak melakukan penyerangan pada sel ubuh aau saa virus idak ada pada ubuh pada saa virus mulai menyerang sel, yaiu pada iik keseimbangan S = 5, I = -5 dan V = Dengan memperhaikan perurbasi kecil S = S + s, I = I + i dan V = V + v dan iik keseimbangan yaiu S = 5, I = -5 dan V =, yang selanjunya mensubsiusikan keduanya kedalam model (44) didapa persamaan model yang baru yaiu 7 = 8s 5v sv di 7 = s+ 5i+ 5v+ sv (644) = i 5v Misalkan x = (,, siv), maka model (446) dapa disajikan dalam benuk mariks = Cx + g(, yaiu = 5 5 x + (645) 5 Selanjunya dengan I mariks idenias, akan dienukan C λ I = dan didapa persamaan karakerisik yaiu 3 λ + 558λ + 44λ 5 = (646) Dari persamaan (646) dikeahui a >, a > dan a 3 <, sehingga bagian liniernya ak sabil, berdasarkan Teorema 3 dapa dikaakan bahwa persamaan (64) ak sabil pada saa S = 5,

10 I = -5 dan V = Nilai I dan V negaif arinya iik keseimbangan ini idak akan pernah erjadi Dari analisis kesabilan di aas dapa dikaakan bahwa persamaan (44) sabil pada kedua iik keseimbangan Kesabilan ini juga erliha pada Gambar 63, Gambar 64, pada gambar ersebu arah dari grafik menuju ke dalam yang arinya persamaan (44) sabil 7 Penuup 7 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan, didapa kesimpulan bahwa model virus pada sel ubuh dipedngaruhi oleh iga komponen yaiu, sel ak erinfeksi, sel erinfeksi dan virus bebas yang keiganya mempunyai benuk model = α βsv di = β SV ai = ki uv α Dari model ersebu didapa dua iik keseimbangan yaiu saa I V S = dan d au αβk dau αβ k dau S =, I =, V = Model akan sabil pada iik keseimbangan perama jika β k a β k aβu δ > dan pada iik keseimbangan kedua jika R > dan Δ > Pada iik keseimbangan perama erjadi keika virus belum menginfeksi sel, sedang pada keseimbangan kedua erjadi seelah virus menginfeksi sel 7 Saran Dalam penulisan skripsi ini mengabaikan pengaruh oba unuk pembahasan lebih lanju dapa dilakukan dengan memperhaikan pengaruh oba dimana menganggap β sebagai fungsi waku, sebagaimana yang elah dielii oleh Herz e al (996) Dafar Pusaka Avis, R and Naulin, R (997) Asymoic Insabiliy of Nonlinear Differenial Equaions Elecronic Journal of Differenial Equaions, Vol 997 No 6-7 Bellomo, N and Preziosi, L (995) Modelling Mahemaical Mehods and Scienific Compuaion CRC Pre, Inc, Florida Braun, M (978) Differenial Equaions and Their Applicaions Springer-Verlag, New York Farlow, JS (994) An Inroducion o Differenial Equaions and Their Applicaions Mc Graw Hill, New York Fonseca,G L () Jurnal Elekronik Hp://cepanewschooledu/he/eays/mah/sabmarixhm Herz, A V M, Boenhoeffer, S, Anderson, R M, May, R M and Nowak MA (996) Viral Dynamics in Vivo: Limiaions on Esimaes of Inracellular Delay and Virus Decay Journal Medical Sciences Vol Macey, R and Oser, G (4) Virus Dynamics Deparmen of Molecular & Cell Biology of California Universiy, California Meyer, W J (984) Concep of Mahemaical Modeling McGraw Hill Book Company, New York Pelczar, M J (986) Dasar Dasar Mikrobiologi UI Pre, Jakara Radiopuro (996) Zoologi Penerbi Erlangga, Jakara Schröer, H () Sabiliy a Sysem of Usual Differen Equaions in Virus Dynamics Universiä Heidelberg, Jerman Tuckwell, H C () Viral Populaion Growh Models Journal Epidemiology and Informaion Science, Perancis