SOLUSI-SOLUSI PERIODIK PADA PERLUASAN FRACTIONAL VAN-DER POL TAK LINEAR

Transkripsi

1 Jurnal Maemaika Vol. 8, No., Desember 5: 7-77 SOLUSI-SOLUSI PERIODIK PADA PERLUASAN FRACTIONAL VAN-DER POL TAK LINEAR S. B. Waluya Jurusan Maemaika FMIPA Universias Negeri Semarang Abrac. In his paper will be sudied a Generalized Non Linear Rayleigh Oscillaor. I will be shown ha he recenly developed perurbaion mehod based on inegraing facors can be used o approximae firs inegrals and periodic soluions. No only approximaions of firs inegrals will be given, bu i will also be shown how in a raher efficien way he exisence and sabiliy of ime-periodic soluions can be obained from hese approximaions. Keyword: periodic soluions, perurbaion mehod, Non Linear Rayleigh Oscillaor. PENDAHULUAN Dalam erori Perurbasi persamaan Van der Pol yang mempunyai benuk Y = ε ( Y, (. dimana ε adalah parameer yang cukup kecil yang memenuhi, ε <<, adalah urunan Y erhadap waku, merupakan persamaan yang sanga populer yang dapa memberikan conoh lengkap enang keberadaan dan keunikan (keunggalan suau solusi dari persamaan differensial orde dua yang diperurb (diganggu. Sekarang apakah keberadaan dan keunikan solusi ersebu masih bisa diperahankan manakala suku perurbasinya yakni Y ɺ yang di sebelah kanan dari persamaan (. diperumum yakni menjadi Y ɺ? Perlu dicaa m n bahwa banyak penelii yang elah mempelajari secara deail dan luas dengan berbagai macam meoda dari perluasan persamaan Van der Pol (.. Misalnya saja Mickens dalam makalahnya di [] elah mempelajari secara deail perluasan persamaan (. yakni Y = ε ( Y, (. Dia menggaproksimasi solusi-solusi periodik dengan menggunakan meoda aproksimasi perama dari Krylov dan Bogoliubov. Juga keika perluasan persamaan Van der Pol (. yakni Y = ε ( Y, (. elah dipelajari secara deail oleh Mickens dalam makalahnya [] dengan menggunakan meoda aplikasi dari eorema Lienard-Levinson-Smih. Mickens mengaproksimasi solusi periodik dengan menggunakan meoda harmonic balance. Kemudian dengan menggunakan meoda perurbasi yang didasarkan pada fakor-fakor inegral Waluya dan Van Horssen di [7] memperumum persamaan (. menjadi m n Y = ε ( Y, (.4 dimana m,n Ν. Pengembangan eori perurbasi yakni perurbasi yang didasarkan pada fakor-fakor inegral elah banyak digunakan dalam menganalisa berbagai macam persamaan differensial ak linear (liha [4,5],[7]-[]. Banyak meode-meoda perurbasi lain seperi halnya meoda averaging (liha [6], meoda muliple ime-scale (liha [5, 6], meoda harmonic balance (liha [6] dan yang lainlain yang digunakan oleh banyak penelii unuk menganalisa persamaan diferensial ak linear. Dalam makalah ini akan juga dianalisa perumuman dari persamaan Van der Pol yang berbenuk m n Y ɺ Y = ε ( Y Y ɺ, (.5 dimana m,n Ν dengan menggunakan meoda perurbasi yang didasarkan pada fakor-fakor inegral. Persamaan (.5 merupakan perumuman dari persamaan (. yang elah dielii oleh Mickens dalam ma- 7

2 S. B. Waluya (Solusi-solusi Periodik pada Perluasan Fracional Van der Pol Tak Linear kalahnya []. Makalah ini diuraikan sebagai beriku. Pada bagian ke dua dari makalah ini diunjukkan bagaimana aproksimasi dari inegral-inegral perama dapa dikonsruksi dengan menggunakan meoda perurbasi yang didasarkan pada fakor inegral. Eksisensi dan kesabilan dari solusi periodik dapa diberikan dalam bagian ke iga. Bagian ke empa dari makalah ini berisi penuup.. Aproksimasi Inegral Perama Dalam bagian ini kia akan unjukkan bagaimana meoda perurbasi yang didasarkan pada fakor-fakor inegral dapa dierapkan pada perluasan Fracional Van der Pol ak linear. Perhaikan kembali persamaan perluasan Fracional Van der Pol ak linear m n Xɺ X = ε ( X Xɺ, (. Solusi-solusi anpa gangguan dari (., yakni dengan ε = membenuk sebuah keluarga dari orbi-orbi periodik. Keluarga ini akan memenuhi seluruh bidang phase (phase plane ( X,Xɺ. Seiap orbi periodik bersesuaian dengan sebuah konsana energi E = Xɺ X. Sebuah konsana energi E bersesuaian dengan sebuah sudu phase yang didefinisikan X E ( X,Xɺ ( E, dengan = arcsin (. Kia gunakan ransformasi, dan kia dapakan Eɺ = εxf ɺ = g( E,, (. ɺ = ε X f = g( E,, E m n dimana f = ( X. Dengan mengalikan persamaan perama dan kedua dalam (. dengan fakor-fakor inegral µ dan µ beruru-uru, maka berdasarkan eori dari fakor-fakor inegral yang dinyaakan dalam makalah [4, 5] bahwa µ dan µ harus memenuhi =, = ( µ g µ g, E = ( µ g g. µ (. Dengan memperluas µ dan µ dalam dere pangka dalam ε dan dengan mensubsiusikan g ; g dan perluasan fakorfakor inegral ke dalam (., dan dengan memisahkan dan mengumpulkan sukusuku yang berpangka sama dalamε, kia akhirnya mendapa masalah-masalah O( ε n, unuk n=,,,... (liha juga [4, 5],[8]-[]. Masalah ( ε adalah,, =,,, =,,, =. O (.4 dan unuk n masalah-masalah O( ε adalah,n,n =, µ,n,n = ( µ g g,,n, µ E,n, µ,n = ( µ g g.,n, µ,n, µ,n (.5 dimana ε = g, εg = g. Masalah g,, O(² dalam persamaan (.4 dapa mudah diselesaikan dan menghasilkan µ = h ( E,, µ = h ( E,,, h, h,,, dengan =. Fungsi-fungsi h, dan h, masih sebarang dan sekarang akan dipilih sesederhana mungkin. Kia pilih h, dan h,, dan juga (liha juga [4, 5], [8]-[] µ, =, µ, = (.6 Maka, dari masalah order ε dalam (.5 µ, dan µ, diperoleh n 7

3 Jurnal Maemaika Vol. 8, No., Desember 5: 7-77 = µ ( ( X Xɺ, = µ, ( ( X Xɺ m n n m n n,. (.7 Sebuah aproksimasi F dari sebuah inegral perama F = consan dari sisem (. dapa diperoleh dari (.6, (.7, dan eori dari fakor-fakor inegral yang dinyaakan dalam makalah [4, 5], [8]-[], dan menghasilkan m n n F = E ε ( X Xɺ, (.8 dengan X ɺ = E cos. (.9 Prosedur sederhana unuk mengkonsruksi inegral perama dapa juga diliha dalam makalah-makalah [8]-[]. Seberapa baik F mengaproksimasi F dalam inegral perama F = cons an mengikui dari eorema-eorema yang dinyaakan dalam makalah erdahulu [4, 5],[8]-[]. Dalam kasus ini dapa diunjukkan bahwa (menggunakan eori dalam [4, 5],[8]-[] df = εµ g ( g, εµ, = ε R( E, (. dimana g dan g, dan µ, dan µ, diberikan beruru-uru dengan (. dan (.7. Telah dikeahui bahwa (liha bagian dalam [9] unuk buki dan referensi bahwa sebuah sisem dari dua persamaan diferensial orde sau mempunyai dua, dan idak dapa mempunyai lebih dari dua, inegral-inegral perama secara fungsional. Aproksimasi lain (bebas secara fungsional dari sebuah inegral perama dapa diperoleh dengan mengambil µ, =, µ, = (. dari pada (.6. Masalah O( ε dalam (.5 dapa juga dipecahkan dan menghasilkan m n = X n µ, ( ( ( X Xɺ, E m n = X n µ, ( ( ( X Xɺ. E (. Sebuah aproksimasi F dari sebuah inegral perama F = consan dari sisem (. dapa juga diperoleh dari (., (., dan eori enang fakor-fakor inegral dalam [4,5],[8]-[], dan menghasilkan = X ( m n F E,, ( ε ( ( X Xɺ n E (. Seberapa baik F mengaproksimasi sebuah inegral perama F = cons an mengikui dari eorema-eorema dalam [4,5],[8]-[]. Dalam kasus ini kia punyai df = εµ, g εµ,( g = ε R( E, (.4 dimana g dan g, dan µ, dan µ, diberikan beruru-uru dengan (. dan (... Solusi-solusi Periodik Dalam bagian sebelumnya elah diunjukkan aproksimasi secara asimoik dari inegral-inegral perama. Dalam bagian ini kia akan menunjukkan keberadaan, sabilias solusi periodik ak rivial dengan menggunakan aproksimasi inegral-inegral perama ersebu. Misalkan T < adalah periode dari sebuah solusi periodik dan misalkan c adalah sebuah konsana dalam inegral perama F ( E,,; ε = cons an dimana solusi periodik ada. Perhaikan F = c unuk = dan = T. Kia aproksimasi F dengan F (diberikan dengan (.8, eliminasi c dengan pengurangan, kia kemudian dapakan (menggunakan faka bahwa E ( = E(T unuk sebuah solusi periodik 74

4 S. B. Waluya (Solusi-solusi Periodik pada Perluasan Fracional Van der Pol Tak Linear ε T ( X Xɺ m n n = O( ε X (T m n n ε ( X X dx = O( ε. ɺ X ( (. Tanpa mengurangi keumuman dapa diasumsikan bahwa pada saa = posisi di ( X(,X( ɺ = ( A, dengan A >. Karena sifa simeri dari orbi-orbi yang ak diganggu dalam bidang phase maka kia punyai ( X ( T,X( ɺ T = ( A,. Dari (. dapa kia peroleh ε I( E = ( ε, (. dimana A m n I( E = 4 ( X X Unuk mendapakan sebuah solusi periodik unuk (.5 kia harus menemukan sebuah energi E sedemikian sehingga I(E sama dengan nol (liha juga [7, 8]. Dapa mudah diperiksa bahwa masalah yang sama (yakni, menemukan nilai nol dari I(E diperoleh keika eknik pemeaan Poincar e aau meoda Melnikov dierapkan (liha juga [,6]. Unuk menemukan energi E ini kia ulis kembali I(E dalam (menggunakan (.9 = I ( E I ( E 4I ( E I ( E, (. dimana A m 4 n I( E = ( E X dx, (.4 A m 4 n I( E = X ( E X dx. Dapa diperiksa bahwa E ( = X ɺ ( X( dan E ( = A. Dari (. kia dapa liha bahwa E adalah konsan sampai pada order O( ε dengan skala waku (. Dengan menggunakan ransformasi X = Au dalam (.4 dan menggunakan faka bahwa ɺ dx. E = E( O( ε unuk T dapa mudah diperlihakan dari (.-(.4 bahwa (. dapa diulis dalam p 4ε I( E ( Q = O( ε, (.5 dengan p > dimana J ( m,n Q = E, (.6 J ( m,n dan dimana m m 4 n π Γ ( 4 n 4 n J( m,n = ( u du =, m n Γ ( n m m 4 n π Γ ( 4 n 4 n J( m,n = u ( u du =. m n 4Γ ( n (.7 dengan Γ adalah fungsi gamma. Mudah diliha bahwa J ( m,n > dan J ( m,n > unuk semua nilai m,n N. Mudah juga diliha dari (.6 bahwa dq J ( m,n = >. Ini mengakibakan de J ( m,n bahwa Q adalah monoon naik keras. Karena Q monoon naik keras dalam E kia dapa simpulkan bahwa erdapa dengan unggal, ak rivial nilai E sedemikian sehingga I(E =. Unuk hasil ini dapa disimpulkan (liha juga [[8], secion 4.] bahwa erdapa dengan unggal, ak rivial, sabil solusi periodik unuk (.5. Misalkan bahwa pada =, X( = A dan X ɺ ( = unuk solusi periodik. Maka, X ɺ X = A E (.8 dimana E adalah energi sedemikian sehingga kia punyai solusi periodik. Jelas E memenuhi (liha juga (. dan (.5 m 5 n J ( m,n Γ ( n E = =, (.9 m n J ( m,n Γ ( n p sampai pada O( ε dengan p >. Periode dari solusi periodik dapa dihiung sampai O( ε p dengan p > dari (.8, menghasilkan dx = ± A X, (. 75

5 Jurnal Maemaika Vol. 8, No., Desember 5: 7-77 aau ekuivalen dengan dx = ± A X. (. Kemudian dengan menginegralkan (. erhadap dari = sampai T dan kia peroleh T = π. (. Beberapa phase porrai unuk bebarapa nilai dari m dan n dapa diberikan dalam Gambar. (a m =, n = (b m =, n = (c m =, n = (d m =, n = Gambar. Phase Porrai persamaan perluasan Fracional Van der Pol unuk beberapa nilai m dan n. 4. PENUTUP Telah diujukkan dalam bagian erdahulu bahwa meoda perurbasi yang didasarkan pada fakor inegral dapa digunakan unuk mengaproksimasi inegralinegral perama persamaan (.5 yang merupakan perluasan dari suau persamaan fracional Van der Pol yang elah dielii oleh Mickens dalam makalahnya []. Dalam bab 5 elah diunjukkan bahwa keberadaan dan keunikan dari solusi-solusi periodik dari perluasan fracional Van der Pol persamaan (.5 masih eap dapa diperahankan seperi saa m = n =. Dengan meliha hasil dari meoda ini yakni dapa dierapkan unuk kasus umum, maka perlu dikaji unuk kasus-kasus lain yang lebih besar yang lebih komplek. 5. DAFTAR PUSTAKA [] Arnold, V. I. (978, Ordinary Differenial Equaions, The MIT Press, Cambridge. [] Mickens, R. E. (, Analysis of Non-linear Oscillaors having Non- Polynomial Elasic Terms, Journal of Sound and Vibraion 55: [] Mickens, R. E. (, Fracional Van der Pol Equaions, Journal of Sound and Vibraion 59: [4] Van Horssen, W. T. (999, A Perurbaion Mehod Based on Inegraing Facors, SIAM Journal on Applied Mahemaics 59: [5] Van Horssen, W. T. (999, A Perurbaion Mehod Based on Inegraing Vecors and Muliple Scales, SIAM journal on Applied Mahemaics 59: [6] Verhuls, F. (996, Nonlinear Differenial Equaions and Dynamical Sysems, Springer-Verlag, Berlin. [7] Waluya, S. B., and W. T. Van Horssen (, On he Periodic Soluions of a Generalized Nonlinear Van der Pol Oscillaor, Journal of Sound and Vibraion 68: 9-5. [8] Waluya, S. B., and W. T. Van Horssen (, Asympoic Approximaions of Firs Inegrals for a Nonlinear Oscillaor, Nonlinear Analysis TMA 5: [9] Waluya, S. B., and W. T. Van Horssen,, On Approximaions of Firs Inegrals for a Sysem of Weakly Nonlinear, Coupled Harmonic Oscil- 76

6 S. B. Waluya (Solusi-solusi Periodik pada Perluasan Fracional Van der Pol Tak Linear laors, Nonlinear Dynamics : [] Waluya, S. B., and W. T. Van Horssen,, On Approximaions of Firs Inegrals for Srongly Nonlinear Oscillaors, Nonlinear Dynamics :