BAB II Metode Pembentukan Fungsi Distribusi

Transkripsi

1 Saisika Maemaika II b Dian Kniai BAB II Meode Pembenkan Fngsi Disibsi Pada bab akan dibahas bebeapa meode alenaive nk menenkan fngsi disibsi dai pebah acak ba ang ebenk dai pebah acak ang lama. Dengan kaa lain sa pebah acak X mempnai pdf f() dan = g() fngsi dai X, ang ingin dikeahi adalah pdf dai. Ada iga meode ang akan dipekenalkan ai meode Fngsi Disibsi, meode Tansfomasi pebah acak baik ang bepe diski mapn konin dan meode fngsi pembangki momen. Tiap meode mempnai kelebihan dan kekangan, ada kalana sa masalah lebih mdah dikejakan dengan salah sa meode dan ada kalana meode ang lain lebih mdah diaplikasikan... Meode Fngsi Disibsi Jika Y mempnai pdf konin f() dan U sa fngsi dai Y, maka kia dapa mencai F() = P(U ) dengan menginegalkan f() pada aea U. Fngsi kepadaan pelang U diemkan dengan mendiffeensialkan F(). Unk lebih jelasna langkahlangkah menemkan pdf dengan meode fngsi disibsi adalah :. Seiap iik pada Y bekoespondensi sa-sa ke U. Tenkan ang sample U. Hing P(U ) aa fngsi disibsi dengan menginegalkan f() pada aea ang sdah dibaasi. 3. PDF U dipeoleh dengan mendiffeensialkan (nan peama) dai fngsi disibsi Conoh :. f() =, dan nk lainna. Jika U = 3Y -, enkan pdf U. Jawab : F() = P(U ) Y bekoespondensi sa sa ke U sehingga P(U ) = P(3Y - ) = P(Y 3( +)) 3

2 Saisika Maemaika II b Dian Kniai Baas aas dan bawah Baas bawah : Y = maka U = 3() - = - Baas aas : Y = maka U = 3() - = Fngsi Disibsi : F() = P(U ) = P(3Y - ) = P(Y 3( +)) Unk < - P(Y 3( +)) = Unk > P(Y 3( +)) = Unk - 3 P(Y 3( +)) = f ( ) d = d = Fngsi Disibsi U adalah : F() = 3 ; ; ; Fngsi kepadaan pelang aa pdf U f() = F( ) = 9( ) ; ; lainna Fngsi Disibsi F(U) Fngsi Kepadaan Pelang (Pdf) f() 4

3 Saisika Maemaika II b Dian Kniai. (Y,Y ) adalah sample acak bekan n = dai disibsi nifom pada ineval (,). Tenkan fngsi kepadaan pelang dai U =Y + Y Jawab : PDf iap Y adalah : f() =, dan nk lainna. Kaena Y dan Y saling bebas maka f(, ) =,, dan nk dan lainna. Baas aas dan bawah (, ) (,) (,) (,) (,) U + = + = + = + = Fngsi Disibsi : F() = P(U ) = P(Y + Y ). Unk < F() = Unk > F() = Unk Ekspesi maemaika nk pebahan F() beganng pada aa < Unk Pehaikan gamba kii, daeah A mepakan daeah +, nk ineval 5

4 Saisika Maemaika II b Dian Kniai. Fngsi disibsi nk ineval ini adalah inegal pada daeah A. F() = ( ) d d = ( ) d = = ; Dan nk < Liha gamba kanan, daeah A bkan mepakan daeah +, nk ineval <. Penginegalan pada daeah ang diasi sama saja dengan oal pelang ai dikangi inegal daeah A. Ini mepakan fngsi disibsi nk ineval <. F() = - A f, ) d d ( = - ( ) Dapa disimplkan bahwa fngsi disibsi U adalah : () d d = - ½ + - ; < ; ; F() = ; ; Fngsi kepadaan pelang U adalah f() = ; f() = ; ; dan F( ) sebagai beik : Laihan: 6

5 Saisika Maemaika II b Dian Kniai. f(, ) = 3, dan nk dan lainna. Jika U = Y Y, enkan pdf U.. (Y,Y ) adalah sample acak bekan n = dai disibsi nifom pada ineval (,). Tenkan fngsi kepadaan pelang dai U =Y - Y.. Meode Tansfomasi Pebah acak Diski Unk mengeahi pdf dai, pel dilakkan langkah-langkah beik :. menenkan inves dai. Fngsi = g() haslah bekoespondensi sa-sa dan Ono, sehingga mempnai inves ai = w().. menenkan Rang sample. Rang sample menaakan domain aa daeah asal, ai = {,, }. Rang sample menaakan kodomain (daeah hasil ) aa inves dai, ang dinaakan dengan = {,, }. 3. menenkan PDF Y P(Y = g()) = P(X = w()) = f( = w()) = h() ; Jadi pdf dai adalah h() nk nk dan nk lainna Mlivaiable ( aa lebih pebah acak) Pebah acak X i, i =,, 3 n dengan pdf f i () dan fngsi Y i = g(,,, n ) mepakan fngsi dai X i. Unk menenkan pdf Y i dilakkan langkah-langkah sepei pada sa pebah acak. Fngsi i = g( i ) haslah bekoespondensi sa-sa dan Ono, sehingga i = w( i ) adalah inves i. Rang sample = {(,, n )} dan ang sample = {(,, n )}. PDf dai Yi adalah P(Y i = g( i )) = P(X i = w( i )) = f( i = w( i )) = h( i ) ; i. Dapa dikaakan pdf dai i adalah h( i ) nk i nk dan nk i lainna 7

6 Y = X + X + Saisika Maemaika II b Dian Kniai Conoh :. Dikeahi X ~ P() ai f() = enkan pdf Y. Jawab : a. Inves e!, =,,, dan >. Jika Y = 4X Y = 4X ono dan bekoespondensi sa-sa, sehingga invesna adalah X = 4. b. Rang sample Domain : = { =,,, }. Kodomain : = { =4(), 4(),4(), } = { =, 4, 8, } c. PDF Y f() f() = = P( = f()) = P( = 4) e ( 4 4 )! ; =, 4, 8, = ; nk lainna. f (, ) = a b ( ) ; (, ) = {(,), (,), (,), (,)} = ; dan lainna. Jika Y = X - X dan Y = X + X, enkan f(, ) Jawab : Inves Y = X - X Y + Y = X X = ½( Y +Y ) = w (, ) X = ½ (Y - Y ) = w (, ) Rang sample 8

7 Saisika Maemaika II b Dian Kniai = {(, ) (,), (,), (,), (,)} dan ang sample = {(, ) (-,+),(-,+),(-,+),(-,+)} = {(, ) (, ),(-,), (,), (, )}. PDF f(, ) = f(½ ( + ), ½( )) ( ) f(, a b ) = ; (, ) = ; (, ) Laihan:. Dikeahi X ~ P() ai f() = e!, =,,, dan >. Jika Z = X enkan pdf Y.. X dan X bebas sochasic bedisibsi poisson. Jika Y = X + X, enkan f(, ) dan enkan pdf maginal f ( ) 3. X dan X bebas sochasic dengan pdf ang sama ai X ~ b(3, 3). Jika Y = (X + X ), enkan f(, ) dan enkan pdf maginal f ( )..3. Tansfomasi Pebah acak Konin Teoema : Misalkan X pa konin dengan pdf f(). Misalkan Y = h() menaakan hbngan (bekoespondensi sa-sa) anaa nilai X dan Y sehingga pesamaan Y = h() mempnai jawaban nggal nk X dan Y, maka pdf dai Y=h(X) adalah d g() = f(), dimana = h - () = w() d Bki : Fngsi naik (monoon naik) Andaikan < maka f( ) < f( ). 9

8 Saisika Maemaika II b Dian Kniai Misalkan Y = h() maka = h - () = w() d d = h() = w() d d P( < Y < ) = P[w( ) < X < w( )] = P[( = h - ( )) < X < ( = h - ( ))] f() d = f(w()).w() d g() = f(w()) w() dimana w() = = h - () Fngsi n (monoon n) Andaikan < maka f( ) < f( ). P( < Y < ) = P[w( ) < X < w( )] = P[( = h - ( )) < X < ( = h - ( ))] f() d = f(w()).w() d = - f(w()).w() d g() =- f(w()) w() dimana w() = = h - () Dai gabngan kedana dipeoleh : g() = f(w()) w() Tanda + dan hana ejadi pada fngsi nan sedangkan f() sebagai pdf eap posiif. Langkah-langkah dengan meode ansfomasi Mempeoleh pdf dai Y=h(X) dimana pdf X adalah f(.). Tenkan fngsi inves = h - () = w(). d dw( ). Tenkan = w() diseb jga ansfomasi Jacobi d d 3. Tenkan g() dengan g() = f(w()) w() Conoh : f() = ; < < 5, dan nk lainna. Jika Y = X 3, enkan pdf Y Jawab : Y = X -3 maka w() = X = (Y + 3) w() = dd = J = ½.

9 Saisika Maemaika II b Dian Kniai = { < < 5} dan = { [() 3] < <[(5) - 3]} = { - < < 7} Pdf Y adalah : 3 g() = f(w()) w() = f( ½(+3)) ½ = () g() = 3 48 ; - < < 7 dan nk lainna Misalkan X(X, X ) adalah p.a. bivaiae dengan pdf besama f(, ). Misalkan pla h (, ), h (, ) adalah fngsi-fngsi ang monoon naik aa monoon n dan Y = h (X, X ) sea Y = h (X,X ), maka pdf dai Y = (Y,Y ) adalah dimana dan ansfomasi Jacobi adalah Conoh :. f(, ) = 4 g(, ) = f(w (, ),w (, )) J w (,) = h - (, ) dan w (,) = h - (, ) ; J =, ; nk, lainna Jika Y = X dan Y = X X, enkan f(, ) Jawab : Inves = = = =. = Baas = ino = = = ino = = = ino = =

10 Saisika Maemaika II b Dian Kniai = ino = = Daeah sample pdf asal Daeah sample pdf ba Tansfomasi Jacobi J = = 3 = Fngsi kepadaan pelang (Pdf) f(, ) = f(w (, ),w (, )) J = f( ), ) J f(, ) = 4 = Secaa mm dilis sebagai : lainna dan nk f ;, ; ), (. X dan X saling bebas sochasic masing-masing bedisibsi f() =, < < dan nk lainna. Jika Y = X + X dan Y = X - X, enkan f(, ). Inves

11 Saisika Maemaika II b Dian Kniai = + dan = - = ½( + ) dan = ½ ( - ) Baas = ino = ½( + ) = - = ino = ½( + ) = = ino = ½ ( - ) = = ino = ½ ( - ) = Daeah sample pdf asal Daeah sample pdf ba Tansfomasi Jacobi J = = = Fngsi kepadaan pelang (Pdf) f(, ) = f(w (, ),w (, )) J = f( ½ ( + ), ½ ( - ) J f(, ) =.. - ½ = ½ Secaa mm dilis sebagai : 3

12 Saisika Maemaika II b Dian Kniai Pdf maginal : f (, ) ;{(, ) dan dan ; nk dan, lainna f ( ) = f (, ) d = d = ; < = d = - ; < < = nk lainna f ( ) = f (, ) d = d = + ; - < = d = ; < < = nk lainna Laihan :. Andaikan X mempnai pdf f() = 9, < < 3 dan nk lainna. Tenkan pdf dai Y = X 3. f() posiif nk - < < dan nk lainna. Jika Y = X, enkan pdf Y 3. Y = ½(X X ) dan Y = X, X dan X bebas sochasic, masing-masing bedisibsi (). Tenkan f(, ). Penjk : mempnai pdf beik : f() = ( e ), 4

13 Saisika Maemaika II b Dian Kniai.4. Meode Fngsi Pembangki Momen Momen ke k ehadap iik asal (Momen abo he oigin) k = E(Y k ), k =,, Momen ke k ehadap mean (Momen abo he mean) diseb jga momen psa (cenal momen) k = E[(Y- ) k ], k =,, Fngsi Pembangki Momen M X () = E(e X ) Dee Talo e = i i i!! 3 3! k k! Benk lain dai fngsi pembangki momen M X () = + E(X) + E(X ) + E(X 3 3 ) + + E(X k k ) +! 3! k! 3 k M X () = k +! 3! k! Teoema : P.a.X dan Y mempnai disibsi ang sama jika dan hana jika M X () = M Y (), nk sema. Teoema : Jika X, X,, X n adalah saling bebas dan masing- masing mempnai fngsi pembangki momen M i (), maka fngsi pembangki momen dai Y= n X i i adalah n M U () = i M X i ( ) Langkah- langkah dalam meode fngsi pembangki momen Disibsi dai Y = U(X, X,, X n ) dicai sbb:. Tenkan fngsi pembangki momen dai Y. 5

14 Saisika Maemaika II b Dian Kniai. Bandingkan mgf dai Y dengan benk momen ang mm ang elah dikenal 3. Tenkan disibsi dai Y. Tabel Fngsi Pembangki Momen Bebeapa Disibsi No Disibsi Pdf Mgf A. Diski. Binomial (n,p) n f() = p ( p) n =,,,,n dan p. M() = [(- p)+pe ] n. Binomial f() = p k q -k negaive(p) k X = k, k+, k+, dan p. 3. Geomeik (p) f() = q - p, =,,3, dan p pe ( p) e pe ( p) e 4. Poisson() f() = e! =,,, dan >, ( e ) e B Konin. Unifom(a,b). Nomal(, ) f() = f () = b a a b ep b a e e ( b a) ( ep ) 3. Gamma(, ) f() = ( ), e, nk, nk ang lainna ( ), < 6

15 Saisika Maemaika II b Dian Kniai 4. Chi-kada ( ) F() = ( e ) ( - ) - 5. Eksponensial () f () = e ( - ) - Conoh :. X dan X bebas sochasic, masing-masing mempnai pdf ang sama ai f() = 6 ; =,, 3 dan nk lainna. Jika Y = X - X enkan f(). Jawab : M() = E(e ) = E[ep(( + ))] = E[ep( ) ep( )] = E[ep( )]E[ep( )] E[ep( )] = E[ep( )] = 6 e + 6 e + 36 e 3, sehingga M() = (6 e + 6 e + 36 e 3 ) = 36 e e e e e 6 Maka PDF Y adalah : f() = 36 ; = = 436 ; = 3 = 36 ; = 4 = 36 ; = 5 = 936 ; = 6 = ; nk lainna. X dan X bebas sochasic, masing-masing bedisibsi N(, ) dan N(, ). Jika Y = X - X enkan f(). Jawab : M() = E(e ) = E[ep(( - ))] = E[ep( ) ep(- )] = E[ep( )]E[ep(- )] X ~ N(, ), dengan meliha MGF disibsi nomal pada able di aas maka dipeoleh E[ep( )] = ep, sedangkan E[ep(- )] = ep. Sehingga : 7

16 Saisika Maemaika II b Dian Kniai M() = E(e ) = ep ep ( ) = ep( ) Dapa dikaakan bahwa f() ~ N( -, + ) Laihan :. Jika X i ~ ( i, i ), i =,,,n, maka bkikan p.a.y = n i a i X i bedisibsi n N( i n a i i, i a i i ). Jika X i ~ ( i ), i =,,,n, enkan pdf p.a.y = n i X i.5. Disibsi T Definisi : P.a. T dikaakan bedisibsi - (Sden -) dengan deaja kebebasan paamee jika mempnai pdf. [( ) ] g() =, - < < ( ) ( ) ( ) Teoema : Jika Y dan Z pebah acak saling bebas dengan Y ~ () dan Z ~ N(,), maka disibsi Z dai T =, bedisibsi. Y Bki : Dengan menggnakan meode Tansfomasi pebah acak pe konin akan kia peoleh disibsi sden aa disibsi. Inves 8

17 Saisika Maemaika II b Dian Kniai = z dan = dan bekoespondensi sa-sa sehingga mempnai inves ai : z = dan =, sehingga z = Baas Kaena Y~ () ai ( e ) dan Z ~ N(,) ai ep dan T = Z Y maka baasna adalah - < < dan < < Tansfomasi Jacobi J = z Fngsi kepadaan pelang (Pdf) f(, ) = f(z, ) J = f(, ) J f(, ) = ( ) ep. ( e ). f(, ) = ( ) ep = nk dan lainna. ; - < < dan < < Pdf maginal : f () = f (, ) d = ep d ( ) Misalkan = ; d d 9

18 Saisika Maemaika II b Dian Kniai 3 f () = d e ) ( ) ( = d e ) ( ) ( f () = ) ( ) ( ) ( ] ) [( ; - < < = nk lainna Pdf maginal ini diseb disibsi. Noe : Unk daa 3 biasana didekai oleh disibsi sedangkan daa > 3 didekai oleh disibsi nomal..6. Disibsi F Definisi : Pebah acak F dikaakan bedisibsi F dengan paamee,, dilis F(, )$, jika mempnai pdf dinjkkan oleh g(f) = ) ( F F ; nk F > Teoema : Jika U dan V adalah Pebah acak saling bebas dengan U ~ dan V ~, maka disibsi dai F = V U bedisibsi F(, ). Laihan : Bkikan eoema di aas