Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill Dengan Menggunakan Teori Floquet

Transkripsi

1 JURNAL FOURIER Okober 6, Vol. 5, No., 67-8 ISSN 5-763X; E-ISSN Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill Dengan Menggunakan eori Floque Syarifah Inayai Program Sudi Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Ahmad Dahlan, Jl. Prof. Dr. Soepomo, S.H., Januran, Warungboo, Umbulharjo, Yogyakara 5564, Indonesia Korespondensi; Absrak Analisis maemais dari berbagai macam masalah fisis banyak menghasilkan suau perumusan yang melibakan persamaan diferensial. Salah sau dianaranya yaiu jenis persamaan diferensial Hill yang merupakan suau persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa fungsi periodik. Benuk persamaan diferensial ersebu dapa diselesaikan dengan menggunakan eori Floque. Kaa Kunci: Persamaan diferensial, persamaan diferensial Hill, eori Floque Pendahuluan Pengembangan ilmu pengeahuan dan eknologi sering menggunakan penerapan maemaika, dianaranya di bidang fisika, geomeri, biologi, psikologi, kimia, dan ekonomi. Banyak masalah pada bidang-bidang ersebu yang model maemaikanya menghasilkan suau persamaan diferensial. Dari berbagai jenis persamaan diferensial yang dihasilkan, salah sau dianaranya adalah persamaan diferensial Hill, yaiu suau persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa fungsi periodik. Persamaan diferensial Hill banyak digunakan eruama di bidang fisika. Banyak analisis maemais berbagai macam masalah fisis yang menghasilkan suau perumusan menyangku persamaan diferensial jenis ini. Masalah-masalah fisis ersebu dianaranya masalah gearan baang penggerak lokomoif, perambaan arus lisrik dalam rangkaian penapis dan srukur lisrik periodik yang lain, eori modulasi dalam elegrafi anpa kawa, gearan harmonik sederhana, eori kesabilan bandul erbalikkan oleh gerak periodik iik umpunya, eori kuanum logam, eori kemanapan penyelesaian beberapa persamaan diferensial nonlinear, dan sebagainya [3]. Hal ini menunjukkan bahwa beapa peningnya persamaan ini dalam fisika maemais. Suau survai enang sifa dasar analisis yang imbul dari penerapan-penerapan prakis menunjukkan bahwa analisis penyelesaian persamaan diferensial Hill dapa dibagi dalam dua kaegori uama, yaiu: () Dalam kaegori perama, masalah-masalah yang menimbulkan persamaan diferensial Hill sebagai akiba dari pemisahan variabel suau masalah nilai baas. Dalam hal ini penyelesaian yang sesuai diunu merupakan fungsi periodik; () Dalam kaegori kedua, masalah-masalah yang dapa dipandang sebagai masalah nilai awal yang didalamnya melibakan persamaan jenis ini. Dalam hal ini penyelesaian-penyelesaian idak erbaas pada penyelesaian periodik [3]. Dalam makalah ini akan dibahas suau meode penyelesaian persamaan diferensial Hill dengan menggunakan eori Floque. Landasan eori Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memua urunan aau diferensial dari sau aau lebih variabel erika erhadap beruru-uru sau aau lebih variabel bebas. Secara umum persamaan diferensial orde yang lebih inggi dapa dibawa ke benuk sisem persamaan diferensial orde sau yang 6 JURNAL FOURIER Versi online via

2 68 Syarifah Inayai ( n) ( n) ekuivalen. Unuk membawa suau persamaan diferensial orde ke-n u g( u, u',..., u,, dengan g ( n) adalah fungsi u, u',..., u, yang dienukan ke benuk sisem persamaan diferensial orde sau yang ekuivalen dapa dilakukan dengan mendefinisikan x u, x u',, x n u ( n) Sehingga diperoleh suau benuk sisem persamaan diferensial orde sau yang ekuivalen: x x' x x' x 3 xn ' x n n ' g( x, x,..., xn, Definisi. [] Benuk umum suau sisem dari n persamaan diferensial orde sau unuk n fungsi x, x (,..., xn( ) yang idak dikeahui adalah ( xi ' fi ( x, x,..., xn,, ( i,,..., n) dengan fi adalah fungsi dari (n + ) variabel,,..., dan. Dalam noasi vekor sisem persamaan diferensial orde sau pada Definisi dapa diulis dalam benuk = f (,. Sisem persamaan diferensial ini dikaakan sisem persamaan diferensial linear jika f (, adalah fungsi yang linear, sehingga dapa diuliskan dalam benuk = ( ) + g( dengan ( ) adalah mariks fungsi yang berukuran x dan g( adalah vekor fungsi. Jika g( maka disebu sebagai sisem persamaan diferensial linear homogen orde sau. Definisi. [] Misalkan ( ), ( ),, ( ) adalah n penyelesaian dari sisem persamaan diferensial linear homogen = ( ) dan ( ) = [ ( ), ( ),, ( )] adalah mariks berukuran n x n, penyelesaian dari: = Jika ( ), ( ),, ( ) bebas linear, maka adalah fundamenal marix dan jika () = In, ( ) adalah principal fundamenal marix, sedangkan yang disebu Wronskian adalah deerminan dari fundamenal marix ersebu, ( ) = ( ) Dari Definisi, jika ( ) fundamenal marix yang merupakan penyelesaian dari =, maka ( )C juga merupakan penyelesaian, unuk mariks konsana non-singular C. Apabila dimisalkan ( ) = ( )C, maka ( ) adalah mariks non-singular dan = C = C =. Dapa diliha bahwa kolom-kolom dari mariks Y adalah kombinasi linear dari kolom-kolom mariks, dan penyelesaian ( ) = ( ) JURNAL FOURIER (6)

3 Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill 69 dengan ( ) = [ ( ), ( ),, ( )] dan adalah n vekor dengan komponen c, c,..., cn. eorema 3. [] Misakan ( ) adalah Wronskian sebagaimana disebukan pada Definisi. Apabila unuk suau I, ( ) =, maka ( ), ( ),, ( ) ak bebas linear dan ( )= unuk semua I. Sebaliknya, jika ( ) unuk suau I, maka ( ), ( ),, ( ) bebas linear dan ( ) unuk semua, dan ( ) = ( ) ( ) Fungsi Periodik Definisi 4. [] Suau fungsi f ( dikaakan periodik apabila fungsi ersebu erdefinisi unuk seiap real, dan erdapa suau bilangan posiif sebarang sedemikian hingga: f ( ) f (, unuk semua Dari Definisi 4, fungsi f ( juga periodik dengan periode k, unuk sebarang bilangan bula k ( k,,...), sehingga f ( k) f (. Lemma 5. [] Misalkan f ( fungsi yang periodik dengan periode sehingga: f ( ) f (, maka, f ( s) ds f ( s) ds Buki. Dimisalkan ( ) f ( s) ds, maka '( f ( ) f (. Karena f ( merupakan fungsi yang periodik, maka ( adalah konsana yang sama dengan (). Dimisalkan pula ( f ( s) ds, dengan mengambil =, maka ' ( f ( ) f () Dengan demikian, dapa disimpulkan bahwa ( juga berupa konsana yang sama dengan (, sehingga buki lemma erpenuhi. Pembahasan Masalah Persamaan Diferensial Hill Grimshaw [] menyaakan bahwa persamaan diferensial Hill adalah suau persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa fungsi periodik, yang secara umum dapa diuliskan ke dalam benuk u '' a( u, a( ) a( (unuk semua () JURNAL FOURIER (6)

4 7 Syarifah Inayai d u dengan u'' dan suau fungsi u yang idak dikeahui sera urunan-urunannya, sedangkan a( d merupakan suau fungsi periodik dengan periode pokok. eori Floque Benuk umum dari suau sisem persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien periodik diberikan sebagai beriku: = ( ), () dengan, ( + ) = ( ), unuk semua (3) Mariks koefisien A( pada persamaan () berukuran n x n dan diasumsikan merupakan mariks fungsi yang real dan koninu, sehingga persamaan ersebu akan mempunyai penyelesaian. eorema di bawah ini akan menjadi dasar unuk pengembangan eori umum dari persamaan (). eorema 6. [] Misalkan X ( fundamenal marix unuk () sebagaimana didefinisikan pada Definisi, maka X ( ) juga merupakan fundamenal marix dan erdapa mariks konsana non-singular B sedemikian sehingga dan juga, B, ( + ) = ( ), unuk semua (4) de = ( ) (5) Buki: Karena X( merupakan fundamenal marix, maka menuru Definisi X '( A( X (. Misalkan Y ( X ( ) maka dengan menggunakan (3) diperoleh Y '( X '( ) A( ) X ( ) A( Y (. Sehingga dapa disimpulkan bahwa Y ( X ( ) juga merupakan fundamenal marix. Dimisalkan pula ( X( ) ( Y( ) Z( maka Y ( X ( Z ( dan Y '( X ( Z '( X '( Z (, aau dapa diuliskan sebagai A( Y ( X ( Z '( A( X ( Z ( X ( Z '( A( Y (, sehingga X ( Z '(, dan karena de X ( maka Z '(. Dengan demikian Z( adalah mariks konsana, dan karena de Z ( de X ( de Y (, maka Z( non-singular, sehingga dengan Z(=B persamaan (4) erbuki. Kemudian, unuk membukikan (5), digunakan eorema 3, yaiu W ( W ( ) exp ra( s) ds dengan ( ) = de ( ) adalah Wronskian dari ( ). Oleh karena iu W ( ) W ( ) exp ra( s) ds ra( s) ds. Dari persamaan (4) diperoleh X ( ) X ( B maka dex ( ) dex ( B. Sehingga diperoleh W ( ) de X ( de B W ( de( B). Dari iga persamaan di aas dan dengan memperhaikan Lemma 5 maka akan diperoleh de B exp ra( s) ds exp ra( s) ds, sehingga persamaan (5) erbuki. Karena persamaan (4) berlaku unuk semua, maka mariks konsana B dapa dinyaakan dalam fundamenal marix dengan mengambil =, B X () X( ) (6) JURNAL FOURIER (6)

5 Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill 7 Persamaan di aas akan digunakan unuk memilih X( sebagai principal fundamenal marix, sehingga X() = In dan B = X(). Definisi 7. [] Misalkan,,..., n adalah nilai eigen dari mariks B (pada persamaan (4) aau (6)) disebu juga sebagai pengganda karakerisik (characerisic mulipliers) unuk (). Eksponen karakerisik (characerisic exponens),,..., n didefinisikan oleh: n e, e,..., n e (7) Eksponen karakerisik pada definisi 7 disebu juga eksponen Floque (Floque exponens). Eksponen karakerisik ik,,..., n ini idak unggal, sehingga i dapa diganikan dengan i, ( i,,..., n) unuk sebarang bilangan bula k,,... dengan anpa mengubah definisi persamaan (7). Jika dipilih X( sebagai principal fundamenal marix, sehingga B=X(), maka pengganda karakerisik adalah nilai eigen dari X(), dengan X()=In. eorema 8. (eorema Floque [] Misalkan adalah pengganda karakerisik unuk () dan misalkan pula adalah eksponen karakerisik yang bersesuaian, sehingga penyelesaian dari () sedemikian hingga: e, maka erdapa x( x( ) x(, unuk semua (8) Dan erdapa p( fungsi periodik, yaiu p(+)=p( unuk semua, sedemikian hingga: ( ) = ( ), unuk semua (9) Buki. Misalkan adalah vekor eigen dari mariks B yang bersesuaian dengan nilai eigen sehingga B =, maka diambil x(=x(, dan x( merupakan penyelesaian dari (). Dari definisi ersebu dan dengan menggunakan (4) diperoleh: ( + ) = ( + ) = ( ) = ( ) = ( ) sehingga persamaan (8) erbuki. Kemudian diambil, p( x( e dan dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh: p( ) x( ) e ( ) x( e e e x( e e x( e p( Sehingga elah diunjukkan bahwa unuk p( suau fungsi periodik (dengan p(+)=p(, berlaku p( x( e aau x( e p(, dengan demikian persamaan (9) erbuki. Perhaikan, apabila digani dengan ik, unuk sebarang bilangan bula k ( k,,...), maka persamaan (9) menjadi ik x( e p( exp JURNAL FOURIER (6)

6 7 Syarifah Inayai ik pada persamaan di aas, dapa diliha bahwa { p( exp } merupakan fungsi yang periodik dengan periode, sehingga benuk persamaan (9) idak berubah dan yang idak unggal ini idak berdampak pada eori yang dikembangkan sekarang. Benuk penyelesaian umum dari () diperoleh dengan memisalkan bahwa,,, adalah n vekor eigen yang bebas linear dari B yang bersesuaian dengan nilai eigen,,..., n. Menuru eorema 8, akan erdapa n penyelesaian yang bebas linear unuk (), yang diberikan oleh ( ) =, ( ) (i=,,...,n) () dengan pi( unuk i =,,..., n adalah fungsi yang periodik dengan periode. Kemudian dimisalkan ) P( [ p(, p (,..., pn ( () Maka P( adalah mariks fungsi berukuran n x n yang non-singular dan periodik, maka P(+)=P( unuk semua. Berikunya dibenuk fundamenal marix unuk () dari n penyelesaian () yang bebas linear, sehingga n dengan Y ( diag [ e, e,..., e ] X ( n Pada persamaan () di aas Y( memenuhi ' D Y x (, x (,..., x ( ) P Y ( ) () ( Y dengan D diag (3) [,,..., n ] yang merupakan mariks persamaan diferensial dengan koefisien konsan. Benuk umum penyelesaian unuk ( ) adalah X(C, dengan C sebarang mariks konsana. Dari persamaan (9) yang merupakan penyelesaian () dapa diliha bahwa () mempunyai penyelesaian i yang periodik dengan periode jika eksponen karakerisik (modulo ) aau bersesuaian dengan pengganda karakerisik. Selain iu erdapa pula penyelesaian yang periodik dengan i i periode m (m =, 3,...) unuk (modulo ) aau bersesuaian dengan pengganda m i m karakerisik exp sedemikian hingga. m Penyelesaian seperi pada persamaan (9) di aas, akan diperoleh bila pengganda karakerisik dan eksponen karakerisik bernilai real. Apabila dan bernilai kompleks, persamaan (9) eap berlaku dengan X( juga bernilai kompleks. Perama, apabila bernilai real dan negaif ( < ), sehingga bernilai kompleks, unuk memperoleh fundamenal marix yang bernilai real, diambil maka v bernilai real dan persamaan (9) menjadi = +, dimana = (4) JURNAL FOURIER (6)

7 Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill 73 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) dengan ( ) = ( ) (5) i Dari persamaan erakhir, dapa diliha bahwa karena exp mempunyai periode dan p( mempunyai periode, maka q( periodik dengan periode, yaiu q(+)=q( unuk semua. Dengan mengambil q( bernilai real, maka didapa fundamenal marix bernilai real. Unuk seiap pengganda karakerisik i ; i dienukan dengan persamaan (4) dan q i ( dienukan dengan persamaan (5). Sedangkan kolom pi( dalam P( pada persamaan () digani dengan qi(, sehingga menjadi Q ( q(, q (,..., qn ( i Unsur-unsur e i dalam Y( digani dengan e dan unsur-unsur i dalam D digani dengan i. Kedua, apabila bernilai kompleks maka dan merupakan pasangan konjuga-kompleks dari nilai eigen B sedangkan dan keduanya sebagai eksponen karakerisik. Beriku ini diberikan gambaran agar didapa penyelesaian bernilai real unuk (), yaiu dengan memandang kasus n =. Dengan demikian, B adalah mariks berukuran x dengan nilai eigen dan, sedangkan eksponen karakerisik yang bersesuaian adalah dan. Dimisalkan i, dimana e dan arg ( ). Menuru eorema 8, maka akan dihasilkan pasangan konjuga-kompleks penyelesaian-penyelesaian yang diberikan oleh (9), dengan memisalkan p(=q(+ir( dengan q( dan r( adalah fungsi bernilai real yang periodik dengan periode, persamaan (9) menjadi x( e ( i ) q( ir( Sehingga bagian real dan bagian imajiner dari persamaan di aas menghasilkan pasangan penyelesaian-penyelesaian bebas linear yang bernilai real unuk (), yang diberikan oleh: Re Im e p( e cos q( sin r( ; e p( e sin q( cos r( Selanjunya mariks P ( pada persamaan () digani dengan mariks periodik: Q ( q(, r( (6) (7) Dan fundamenal marix X( unuk () dibenuk dari dua penyelesaian yang bebas linear yang dienukan oleh (6), sehingga persamaan () menjadi: X ( Q ( Y ( ) (8) dengan Y ( ) = cos sin e sin cos dan Y( memenuhi persamaan: =, dengan = (9) JURNAL FOURIER (6)

8 74 Syarifah Inayai Dengan demikian apabila A merupakan mariks berukuran n x n, fundamenal marix X( diberikan oleh persamaan (), dengan kolom-kolom P( adalah fungsi periodik dengan periode (aau mempunyai periode bila pengganda karakerisik bernilai real dan negaif). Mariks Y ( ) adalah mariks yang hanya mempunyai unsur ak nol pada diagonal uama dengan benuk e, yang merupakan pengganda karakerisik. Submariks-submariks berukuran x dengan (8) erpusa pada diagonal uama, bersesuaian dengan seiap pasangan konjuga-kompleks dari pengganda karakerisik. Selanjunya D pada persamaan (3) adalah mariks yang hanya mempunyai unsur ak nol pada u nsur-unsur diagonalnya yang berupa aau submariks-submariks berukuran x dengan benuk F pada persamaan (9) erpusa pada diagonal uama. Selanjunya, dalam membahas penyelesaian persamaan diferensial Hill dengan menggunakan eori Floque, penulis merujuk pada meode yang dikembangkan oleh Grimshaw [] dan Simakhina [4]. Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill Menggunakan eori Floque Dipandang persamaan diferensial Hill: u '' a( ) u () dengan a( ) a(, unuk semua. Penyelesaian persamaan diferensial Hill di aas dapa dicari dengan menerapkan eori Floque, yang dapa dilakukan dengan langkah-langkah sebagai beriku: a. Menenukan sisem persamaan diferensial orde sau yang ekuivalen dengan persamaan diferensial Hill. Unuk membawa persamaan () yang merupakan persamaan diferensial orde dua unuk fungsi u( ke benuk sisem persamaan diferensial orde sau yang ekuivalen sesuai dengan Definisi, erlebih dahulu dienukan x u u' x () maka persamaan () ekuivalen dengan sisem persamaan diferensial orde sau beriku ini dalam benuk mariks dapa diulis x ' x x ' a( x () ) x ' x ' ; A ( = x ' a( x ; x x mariks A( di aas dapa diliha bahwa r A( =. b. Mencari fundamenal marix X( dan mariks konsana non-singular B sedemikian hingga = ( ) ( ), dengan ( ) =. Benuk fundamenal marix X( unuk (), sedemikian hingga X() = I, adalah u X ( = u ( ' ( u u ( '( (3) dengan u ( ) dan u ( ) adalah penyelesaian () yang bebas linear, sedemikian sehingga JURNAL FOURIER (6)

9 Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill 75 u () =, u ( ) =, u '() =, u '( ) = (4) Mariks B yang diberikan oleh persamaan (6), dengan X()= I adalah u( ) B = u '( ) u u ( ) '( ) (5) karena r A( =, maka persamaan (5) menghasilkan de B exp ra( d d exp (6) exp Karena de B, ini menunjukkan bahwa Wronskian dari (3) yang merupakan deerminan dari fundamenal marix X( adalah u u ' u u', (unuk semua. c. Menenukan, pengganda karakerisik dan, eksponen karakerisik dari mariks B, dengan, merupakan fungsi dari suau parameer. Pengganda karakerisik yang merupakan nilai eigen B = X() diperoleh dari de( I B), Perhaikan, I u B u ' u u ' karena de( I B), maka ( u' u ) aau ( u' u ) sehingga, dengan u ( ) u'( ) (7) jadi nilai eigen, adalah fungsi dari parameer dan diberikan oleh Persamaan di aas mengakibakan (8),, (9) Dari definisi eksponen karakerisik dengan, e, dan (9) mengakibakan cosh (3) d. Menenukan penyelesaian umum persamaan diferensial Hill berdasarkan sifa dari, aau, dalam. JURNAL FOURIER (6)

10 76 Syarifah Inayai Parameer pada (7) akan digunakan unuk mengelompokkan sifa dari, aau, dalam. (i) : Pada kasus ini, dengan memperhaikan (8), maka, keduanya real dan posiif, dan. Akibanya pada (3) adalah real dan posiif, sedangkan ( ) adalah real dan negaif. Dari pembahasan enang eori Floque (liha persamaan ) dapa disimpulkan bahwa penyelesaian umum dari persamaan () adalah dengan p ) p ( ), (unuk semua., (, u c e p c e p ( ) (3) ( Secara umum, u bila dan dapa diliha bahwa idak erdapa penyelesaian periodik. (ii) : Pada kasus ini, dengan memperhaikan (8) maka, keduanya real dan negaif dan. Akibanya dengan mengubah anda pada persamaan (4), diambil i, cosh (3) Unuk kasus ini dengan memperhaikan (5) maka penyelesaian umum unuk () adalah: u c e q( ce q( ) (33) dengan q ) q ( ), (unuk semua. Secara umum, periodik., (, u bila (iii) : Pada kasus ini,,, dan diperoleh dan dapa diliha bahwa idak erdapa penyelesaian keduanya bernilai kompleks dengan besaran sau exp( i ), i (34), dengan Penyelesaian umum unuk persamaan () dengan menggunakan (6) adalah cos i i e p( c Ime p( ) u c Re (35) dengan p( ) p(, (unuk semua. Fungsi p( merupakan fungsi periodik yang bernilai kompleks. Persamaan () akan mempunyai penyelesaian periodik dengan periode m, bilamana unuk m=3,4,... m (iv) : Kasus ini merupakan baas anara kasus (i) dan (iii) hanya e rdapa pengganda karakerisik unggal, dan eksponen karakerisik yang unggal,. Ini dapa dianggap sebagai limi pada kasus (i), aau pada kasus (iii). Penyelesaian umumnya adalah:, JURNAL FOURIER (6)

11 Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill 77 u c p c kp ( p ( ) (36) ( dengan p,( ) p, (, (unuk semua. Konsana k pada persamaan di aas boleh sama dengan nol. Dengan memilih c=, akan erdapa suau penyelesaian dengan periode. (v) : Kasus ini merupakan baas anara kasus (ii) dan (iii), juga hanya erdapa pengganda i karakerisik unggal, dan eksponen karakerisik unggal,. Ini dapa dianggap sebagai limi pada kasus (ii), aau pada kasus (iii). Penyelesaian umumnya adalah: u c q c kq ( q ( ) (37) ( dengan q, ( ) q, (, (unuk semua. Demikian pula pada penyelesaian ersebu k juga merupakan konsana yang boleh sama dengan nol. Dengan memilih c = akan erdapa penyelesaian dengan periode. Conoh Soal dan Penyelesaian Salah sau benuk persamaan diferensial Hill adalah: + { + ( )} = (38) Dengan ( + ) = ( ) (unuk semua. Unuk = persamaan di aas menggambarkan osilasi harmonik sederhana dengan frekuensi dan periode. enukan penyelesaian umum dari persamaan ersebu pada saa = dimana menunjukkan keadaan erjadinya resonansi paramerik! (Peunjuk. Resonansi paramerik erjadi pada baas anara perilaku yang sabil dan idak sabil. Hal ini diandai dengan keberadaan solusi periodik dengan periode aau.) Penyelesaian Masalah. Karena ingin dicari penyelesaian pada saa =, sehingga persamaan (38) dapa diulis menjadi + = (39) dengan frekuensi dan periode. Perama, akan dienukan sisem persamaan diferensial orde sau yang ekuivalen dengan persamaan (39). Ambil x u dan x u', maka sisem persamaan diferensial orde sau yang ekuivalen dengan (38) adalah x ' x x ' x (4) Dalam benuk mariks dapa diulis sebagai = ( ) JURNAL FOURIER (6)

12 78 Syarifah Inayai Karena ( ) = diperoleh: =, maka diperoleh ( ) =. Maka dengan menggunakan persamaan (5) de B exp ra( d d exp exp Kedua, akan dicari fundamenal marix X( dan mariks konsana non-singular B sedemikian hingga = () ( ), dengan () =. Sebelumnya dapa dicari penyelesaian umum dari persamaan diferensial (39) adalah u c cos c sin, (4) dengan c dan c konsana sebarang, yang merupakan fungsi periodik dengan periode. ( ) ( ) Perhaikan, dikeahui bahwa ( ) =, dengan dan adalah penyelesaian ( ) ( ) bebas linear yang memenuhi syara awal u () ; u '() dan u () ; u '() dari penyelesaian umum (4) diperoleh bahwa penyelesaian bebas linear dari (39) yaiu fungsi u( c cos dan u ( c sin. Unuk u( c cos erhadap kondisi awal yang perama u() c cos c dan erhadap kondisi awal yang kedua u '() c sin, karena sin =, maka persamaan ersebu berlaku unuk sembarang harga c. Jadi, solusi khusus yang memenuhi kedua kondisi awal iu adalah u( c cos. Sedangkan, unuk u( c sin erhadap kondisi awal yang perama u() c sin karena sin =, maka persamaan ersebu berlaku unuk sembarang harga c dan erhadap kondisi awal yang kedua u'() c cos c. Jadi, solusi khusus yang memenuhi kedua kondisi awal adalah u ( sin. Sehingga diperoleh, u( cos dan u ( sin. cos Maka, X( = cos Mariks B yang dienukan oleh B X () X( ) dengan X()=I adalah B = cos cos Keiga, akan dienukan, pengganda karakerisik dan, eksponen karakerisik dari mariks B, dengan, merupakan fungsi dari suau parameer. Perhaikan, JURNAL FOURIER (6)

13 = cos cos Penyelesaian Persamaan Diferensial Hill 79 Pengganda karakerisik yang merupakan nilai eigen B diperoleh dari de( ) = maka cos + = aau dapa diulis + = dengan cos Jadi nilai eigen, adalah fungsi dari parameer dan diberikan oleh dengan, cos, sehingga cos isin, Akibanya,, cos, cosh cos Keempa, akan dienukan penyelesaian umum persamaan (39) berdasarkan sifa dari, aau, dalam. Dari langkah keiga, elah diperoleh harga cos, yang akan digunakan unuk mengelompokkan sifa dari, aau,. Dalam kasus ini, karena resonansi paramerik erjadi pada baas anara perilaku yang sabil dan idak sabil yang diandai dengan keberadaan solusi periodik dengan periode aau, maka akan diselidiki suau penyelesaian umum unuk persamaan (39) pada periode dan. (i) Unuk =, ini berari cos = cos = cos = + = aau = dan karena =, akibanya diperoleh, = dan, = Karena dan bernilai real, dari eori umum pada eori Floque (perhaikan persamaan ()) dapa diunjukkan bahwa X P( Y ( ) maka ( X ( p(, p( [ diag e, e ] cos = cos e e Jadi penyelesaian umumnya adalah u c p ( ckp ( p( u c cos ckcos sin (ii) Konsana k pada persamaan di aas boleh sama dengan nol. Dengan memilih c=, akan erdapa suau penyelesaian dengan periode. Unuk =, ini berari cos = cos = cos = + = ( + ) aau = i ( + ) dan karena =, akibanya, dan, JURNAL FOURIER (6)

14 8 Syarifah Inayai Perhaikan, real dan negaif sedemikian sehingga bernilai kompleks, dari eori umum pada eori Floque (perhaikan persamaan (4)) dapa diunjukkan bahwa X ( ( q (, q( Q ( Y ( ) X ) [ diag e, e ] i exp( ) cos = i exp( ) sin i exp( ) sin i exp( ) cos e e Jadi penyelesaian umumnya adalah u cq ( c kq ( q( i i i u cexp( )cos ckexp( )cos exp( ) sin Demikian pula pada penyelesaian ersebu k juga merupakan konsana yang boleh sama dengan nol. Dengan memilih c = akan erdapa penyelesaian dengan periode. Kesimpulan Persamaan diferensial Hill adalah suau persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berupa fungsi periodik. Benuk persamaan diferensial ersebu dapa diselesaikan dengan menggunakan eori Floque. Meode penyelesaian ersebu dilakukan dengan mengubah persamaan diferensial Hill yang merupakan persamaan diferensial linear homogen orde dua ke benuk sisem persamaan diferensial orde sau yang ekuivalen, kemudian dari sisem persamaan diferensial ersebu dapa dienukan penyelesaian persamaan diferensial Hill dengan menggunakan eori Floque. Referensi Boyce, W. E. and Richard, C. D., 986, Elemenary Differenial Equaions and Boundary Value Problem (Fourh Ediion), New York: John Wiley & Sons. Grimshaw, R., 99, Nonlinear Ordinary Differenial Equaions. London: Blackwell Scienific Publicaions. Pipes, Louis. A & Harvill, R. L., 99, Maemaika erapan unuk Para Insinyur dan Fisikawan (jilid ), erjemahan Muslim, Sumarono Prawirosusano, & Peer Soedojo, Yogyakara: Gajah Mada Universiy Press. Simakhina, S.V., 3, Sabiliy Analysis of Hill s Equaion, hesis pada Deparmen of Mahemaics, Saisics and Compuer Science a he Universiy of Illinois a Chicago: dierbikan. JURNAL FOURIER (6)