{ } III PEMBAHASAN. Definisi (Proses Gerak Brown) Proses stokastik { X ( t)

Transkripsi

1 4 adalah ggs eaah (onable se), sedangkan X diseb poses sokasik dengan wak konin (oninos-ime sohasi poess) jika H adalah sa ineval. Bebeapa onoh dai poses sokasik dalam masalah finansial adalah sebagai beik: 1. Banyaknya klaim yang diajkan pemegang polis pada wak een.. Sk bnga deposio pada selang wak een. 3. Haga saham pada selang wak een. (Syono, 8) Definisi.3.4 (Inkemen Bebas) Sa poses sokasik dengan wak konin { X ( ), H} diseb memiliki inkemen bebas (independen inemens) jika nk sema < 1 < <... < n, pebah aak X ( 1) X( ), X ( ) X( 1),..., X ( n) X ( n 1) adalah saling bebas (independen). Definisi.3.5 (Inkemen sasione) Sa poses sokasik dengan wak konin { X ( ), H} diseb memiliki inkemen sasione (saionay inemens) jika X ( s) X ( ) memiliki sebaan yang sama nk sema nilai. Definisi.3.6 (Poses Geak Bown) Poses sokasik { X ( ), } diseb poses geak Bown jika: X =. 1. ( ). { ( ), } X mempnyai inkemen bebas sasione (sasionay independen inemens). 3. Unk seiap >, X ( ) bedisibsi nomal dengan aaan dan vaian. Poses geak Bown seing jga diseb poses Wiene, dan jika = 1 diseb geak Bown bak. III PEMBAHASAN 3.1 Pinjaman dan Sk Bnga Pinjaman Bedasakan hasil peneliian ehadap jnal keangan yang dissn oleh Ragna Nobeg ini, dipeoleh benk mm pinjaman besea sk bnga dai segi maemais yang eangkm sebagai beik Pinjaman Di dalam dnia pebankan, pinjaman diaikan sebagai konak finansial dan bilaeal (ejadi anaa da pihak), yai bank sebagai pembei pinjaman dan nasabah sebagai peneima pinjaman. Pada awal konak, keda belah pihak memba bebagai kesepakaan mengenai besanya pokok pinjaman S, sk bnga, jangka wak pinjaman dan amoisasi A. Seelah meneima sejmlah pinjaman, nasabah diwajibkan melakkan amoisasi seiap peiode seaa ea sampai dengan pokok pinjaman dan bnganya ebaya penh. Jmlah amoisasi yang dibaya nasabah dalam wak adalah A. Fngsi pembayaan amoisasi benilai ebaas, konin kanan, ak n dan A =. Amoisasi yang dibayakan nasabah belangsng dalam jangka wak: { } = inf ; A = A. (3.1) Apabila = maka pinjaman dikaakan pepeal (anias dengan jangka wak yang idak ebaas) Sk Bnga Pinjaman Bnga mepakan biaya yang has dibayakan nasabah sebagai kompensasi aas penndaan invesasi pihak bank kaena pembeian pinjaman. Dalam konak pinjaman, bank meneapkan sk bnga nominal nk sa yang memiliki pelang 1,, (3.) dan d =. (3.3) Jika sk bnga nominal eseb eap (fixed) beai mepakan konsana yang dinjkkan di awal konak. Ainya, idak ejadi kenaikan mapn pennan sk bnga selama konak belangsng. Namn, jika bebah-bah beai beadapasi dengan kondisi pasa saa ini. Seangkaian amoisasi yang dibayakan nasabah kepada bank dibenk sedemikian

2 5 sehingga pesen-vale selh pembayaan sama dengan pokok pinjaman pada awal konak. Dengan menyaakan pokok pinjaman S dalam saan monee (pinipal) dan menenkan S = 1 dipeoleh sa fngsi amoisasi: d e da = 1. (3.4) Unk menelii poposi pokok pinjaman dan bnga dalam sa amoisasi, pel dilakkan dekomposisi sehingga nk seiap : A = F I, (3.5) dengan F adalah fngsi epaymen (pembayaan pokok pinjaman) dan I adalah fngsi pembayaan bnga. Kedanya mepakan fngsi yang konin kanan, ak negaif dan ak n ( F = I = ). Akmlasi dai selh fngsi epaymen akan membenk pokok pinjaman yang beai pinjaman dapa ebaya dalam wak yang singka ( F 1, dan F = 1 jika < ). Dai pesamaan (3.) dan pesamaan (3.4) dapa disimplkan bahwa A 1 dan kelebihan oal amoisasi ( A 1) di la pokok pinjaman adalah bnga. Dengan menybsisi pesamaan (3.5) ke dalam pesamaan (3.4), dipeoleh: * * d d e df e di = 1. (3.6) Ras kii Pesamaan (3.6) dapa dibenk kembali dengan menggnakan konsep aan anai, dengan hasil: * * d d ( 1 ) = 1 ( 1 ) e F e F d d e df. (3.7) Unk = yai pada saa pinjaman memaski baas akhi jangka wak konak, * d maka fngsi ( 1 ) e F akan benilai nol, sehingga: * * d d e df e 1 F d = 1 ( ). (Bki dapa diliha pada Lampian 1) (3.8) Dengan membandingkan pesamaan (3.6) dan pesamaan (3.8), dipeoleh: * * d d e di = e ( 1F ) d. (3.9) Hbngan ini dipenhi seaa ivial dengan asmsi bahwa sk bnga dasa (naal inees) dibaya seaa konin dan didefinisikan oleh: di = ( 1 F) d, (3.1) dengan 1 F mepakan hang aa sisa pokok pinjaman pada wak, dan menyaakan sk bnga nominal yang dihasilkan oleh hang ini dalam ineval wak [, d). Akibanya, pesamaan (3.9) menyaakan bahwa nilai diskono dai selh pembayaan bnga akan sama dengan nilai diskono dai selh jmlah bnga yang mnl seaa konin dai sisa hang saa ini. Di samping mempengahi besanya nilai diskono bnga pinjaman, benk sk bnga dasa jga menyebabkan fngsi amoisasi bekoespondensi sa-sa dengan fngsi epaymen, yang beai: Unk sa fngsi epaymen yang dibeikan, dengan I = ( 1 ) menjadi: F d maka amoisasi ( 1 ) A = F F d. (3.11) (Bki dapa diliha pada Lampian ) Di sisi lain, nk sa fngsi amoisasi yang dibeikan, fngsi epaymen menjadi: d d 1 F = e 1 e da. (3.1) (Bki dapa diliha pada Lampian 3) Hbngan dalam pesamaan (3.1) menyaakan bahwa sisa pokok pinjaman adalah nilai dai pokok pinjaman dikangi amoisasi yang sdah dibaya. Dengan menggnakan pesamaan (3.4), dipeoleh hbngan lain dai pesamaan (3.1): * d 1 F = e da, (3.13) (Bki dapa diliha pada Lampian 4) yang belak nk dan menyaakan bahwa sisa pokok pinjaman adalah nilai diskono dai amoisasi yang akan daang.

3 6 edapa benk pinjaman yang biasa dignakan dalam kehidpan sehai-hai, dan dapa dianalisis dalam koneks sk bnga dasa yang dibeikan oleh pesamaan (3.1): 1. Benk pinjaman paling sedehana, yai pinjaman yang dibaya dengan pembayaan nggal (single insalmen) pada jangka wak eap (pada saa jah empo): F = 1 [, ) ( ). (3.14). Pinjaman dengan pembayaan beahap yang dapa dibaya sebelm jah empo : F =, ú min,. dengan ( ) 3. Deivaif sk bnga Dalam dnia keangan (finane), deivaif aa diseb jga podk nan adalah sebah konak bilaeal aa pejanjian penkaan pembayaan yang nilainya dinkan aa beasal dai podk yang menjadi aan pokok (ndelying pod). Men jenis komodii aa sa behaga yang menjadi aan nilainya, deivaif diklasifikasikan menjadi deivaif sk bnga, deivaif komodii, dan deivaif maa ang. Deivaif sk bnga mepakan podk sekias nan (peangka keangan) dengan payoff yang beganng pada ingkaan sk bnga yang belak pada wak yang akan daang. Deivaif sk bnga dignakan oleh lembaga keangan, inveso dan pesahaan nk mengelola posisi yang dimiliki masing-masing insisi ehadap isiko dai kenaikan sk bnga. Konak pinjaman yang dibeikan oleh bank kepada nasabah mepakan benk deivaif sk bnga apabila sk bnga nominal yang dikenakan pada pinjaman mepakan fngsi spesifik dai sk bnga pasa: = ( ). (3.15) Haga deivaif sk bnga pada saa = adalah nilai haapan diskono aa besanya pengangan dai oal pembeian dana pinjaman bank kepada nasabah: d = 1E e da. (3.16) Nilai haapan ini bekaian dengan besanya haga yang belak di pasa, kaenanya diasmsikan ada dan behingga. Dengan menelii konsep sk bnga dasa pada pesamaan (3.1) dan meninja kembali pesamaan (3.15) dipeoleh sa nan: da = df ( 1 F) ( ) d yang dapa diaikan menjadi: da = df ( 1F) d ( 1 F)( ( ) ) d. Jika pesamaan (3.8) dan fngsi nan ini disbsisikan pada pesamaan (3.16) dengan di dalam fngsi, dipeoleh: d = E e ( 1F )( ( )) d. (3.17) (Bki dapa diliha pada Lampian 5) diaikan pla sebagai jaminan yang dibeikan pada sa pinjaman aga ehinda dai isiko kenaikan sk bnga, dan menpi kekangan sk bnga nominal dai sk bnga pasa selama masa konak. Sk bnga nominal yang dikenakan pada pinjaman, diba anpa penyesaian ehadap akiba-akiba inflasi sehingga endeng beflkasi mengiki pekembangan sk bnga pasa. Jika sk bnga nominal mepakan sk bnga pasa ( ( ) = ), maka benilai nol yang menggambakan kass pinjaman anpa diseai jaminan pelindng nasabah dai isiko kenaikan sk bnga pada wak yang akan daang. Seaa maemais, benk jaminan adalah: ( ) =, dengan ú min (, ) dan mepakan konsana posiif. Maka, sk bnga nominal adalah sk bnga pasa yang epoong pada sa baas aas yai: ( ) = ( ) dengan ( ) ú max (( ),), sehingga pesamaan (3.17) menjadi: d = E e ( ) ( 1F ) d. (3.18) Jika F eap, ak-aak, maka pesamaan (3.18) disedehanakan menjadi: E = ( 1F ) d (3.19) dengan d = E e ( ) (3.)

4 7 mepakan haga deivaif sk bnga dengan payoff ( ) pada wak. Deivaif sk bnga ini behbngan ea dengan inees ae aple dengan payoff = ( ) Inees ae ap Inees ae ap adalah benk khss dai deivaif sk bnga yang dipedagangkan di dealing oom sa bank/lembaga keangan aa dengan kaa lain dipejalbelikan di la bsa (ove-he-one). Inees ae ap dignakan oleh nasabah nk melindngi pinjamannya dai isiko kenaikan sk bnga. Unk mendapakan inees ae ap ini, nasabah diwajibkan membaya sejmlah dana di mka (pada saa konak diba). Inees ae ap dibenk dengan mekanisme bahwa pihak bank meneapkan sa baas einggi sk bnga yang dapa dikenakan pada pinjaman, yai ap ae. Apabila sk bnga pasa beada di aas ap ae, maka nasabah akan mendapa payoff sebesa selisih anaa sk bnga pasa dengan ap ae. (Siompl,1999) 3.3 Model Vasiek Dalam dnia keangan, model Vasiek dikenal sebagai salah sa model maemaika yang menjelaskan enang pebahan sk bnga. Model ini menggambakan bahwa sk bnga yang dieapkan dalam konak pinjaman idak diasmsikan konsan, namn mepakan sa fngsi aak ehadap wak. Kaena dapa mengalami pebahan seiap saa, maka diseb insananeos inees ae yai sk bnga yang dapa bebah sekeika. Model Vasiek menggnakan sk bnga nominal sebagai solsi dai sa pesamaan difeensial sokasik: d = α( ρ ) d dw, (3.1) dengan α, ρ dan adalah konsana posiif, sedangkan W adalah geak Bown bak aa poses Wiene. ρ adalah nilai engah sasione dai poses aa aaan sk bnga nominal jangka panjang, α adalah paamee mean evesion posiif aa fako-fako ekonomi yang akan menekan sk bnga kembali pada aaan dan mengk lamanya poses kembali pada ρ. Paamee keiga yai adalah volailiy konsan aa sanda deviasi sk bnga nominal. Ide pokok model Vasiek adalah beflkasi di sekia ρ, keika mengalami penyimpangan maka dengan segea mean evesion menaiknya kembali ke aaan. Mean evesion dipelkan sebagai pendekaan ehadap kondisi ekonomi. Mean evesion adalah kondisi keika sk bnga yang ada akan diaik kembali ke aaan pada wak yang lama. Saa inggi, mean evesion endeng menyebabkan dif α( ρ ) benilai negaif. Saa endah, mean evesion endeng menyebabkan dif benilai posiif. Ainya, saa sk bnga inggi, ekonomi begeak lamba dan peminaan dana oleh peminjam sediki, sehingga sk bnga begeak n. Saa sk bnga endah, keendengan peminaan dana oleh peminjam meningka, sehingga sk bnga begeak naik. (Syaningyasi, 6) Di dalam model Vasiek, memiliki sebaan majinal nomal, sehingga dapa benilai negaif dengan pelang posiif. Unk sa nilai awal eap, maka solsi pesamaan (3.1) adalah: α α ( s) ρ e ( ρ) e dws =. (3.) (Bki dapa diliha pada Lampian 6) Dengan penginegalan, dipeoleh: α 1e α ( s) d = ρ ( ρ) ( 1e ) dws α α. Dai keda pesamaan eseb, disimplkan bahwa pebah aak X = dan Y = d menyeba nomal ganda, X μx N, Y μ Y YY dengan α μ X = ρ e ( ρ) (3.3) (Bki dapa diliha pada Lampian 7) α 1 e μy = ρ ( ρ) (3.4) α (Bki dapa diliha pada Lampian 8) 1 e α = (3.5) α (Bki dapa diliha pada Lampian 9)

5 8 1 e α = α (3.6) α α 1e 1e YY =. (3.7) α α α (Bki dapa diliha pada Lampian 1) Fngsi kepekaan pelang dan fngsi sebaan kmlaif dai sebaan nomal bak pebah nggal, masing-masing dinoasikan dengan: 1 x 1 x φ ( x) = e dan Φ ( x) = φ ( y) dy. Dai sebaan eseb, dipeoleh haga deivaif sk bnga sedehana yai inees ae ap. Dalam koneks sebaan nomal ( X, Y ), haga aple dalam pesamaan (3.) adalah: Y Y E ( X ) e = E ( X ) E( e X), (3.8) yang mepakan sa nilai haapan besyaa. Besanya nilai haapan besyaa ini kemdian dihing dengan menggnakan ms mm fngsi pembangki momen yang behbngan dengan hasil bak: Y X NμY ( X μx ), YY. Dai sebaan eseb, dipeoleh: Y 1 Ee ( X) = exp μy ( X μx) YY (3.9) Sehingga pesamaan (3.8) menjadi: E ( X ) e Y = E ( X ) exp ( X μx ) YY exp μy. (3.3) (Bki dapa diliha pada Lampian 11) Besanya nilai haapan pada as kanan pesamaan (3.3) kemdian dihing dengan menggnakan ms mm fngsi pembangki momen dengan hasil: 1 1 X E ( X ) exp ( X X ) exp μ μ = μx ( μx ) Φ. (3.31) (Bki dapa diliha pada Lampian 1) Dengan menybsisi pesamaan (3.31) ke pesamaan (3.3), dipeoleh: μx = φ YY μ Y X μ ( μx ) Φ e (3.3) (Bki dapa diliha pada Lampian 13) Dengan mengambil =, dipeoleh ms haga aple dengan payoff ( ) pada saa. Dai ms haga aple eseb, akan dipeoleh pla haga jaminan inees ae ap pada sa pinjaman dengan fngsi epaymen eap, yai: = ( 1F ) d. (3.33) Pebandingan anaa ms haga aple pada pesamaan (3.) dengan pesamaan (3.3) membeikan gambaan bahwa ms haga aple dalam model Vasiek lebih kompleks. 3.4 Ilsasi Unk memahami kaakeisik pinjaman besea jaminan sk bnga yang diseb inees ae ap, maka diba sa ilsasi dengan menybsisi daa nmeik ke dalam ms mm pinjaman dan jaminan yang diaikan pada bagian pembahasan. Dimisalkan bank membeikan sa pinjaman dengan jangka wak 1 ahn. Besanya sk bnga nominal yang peama kali dikenakan pada nasabah adalah sebesa 6% aa.6. Kaena sk bnga nominal mepakan fngsi spesifik dai sk bnga pasa, maka besanya sk bnga nk peiode selanjnya diambangkan sesai dengan kondisi pasa.

6 9 Jika kondisi pasa baik, maka sk bnga endeng sabil. Namn, apabila ejadi kisis aa gejolak ekonomi, maka sk bnga endeng mengalami peningkaan. Sebagai benk anisipasi, dibenklah inees ae ap dengan baas aas sk bnga 8%. Besanya iilan pokok pinjaman nk seiap peiode adalah eap. Dai keselhan infomasi eseb, dapa dipeoleh pekiaan haga pemi inees ae ap yang has dibayakan nasabah kepada pihak bank nk melindngi konak pinjamannya. Besanya haga inees ae ap dihing dengan menybsisi daa nmeik ke dalam pesamaan = ( 1F) yang = 1 mepakan benk diske dai pesamaan (3.19). Fngsi = 1 = e ( ) adalah haga aple yang membeikan payoff ( ). Hasil penghingan aple dan inees ae ap dibeikan pada abel 1 dan abel, dengan poses penghingan edapa pada Lampian 14. abel 1. Poses pembenkan aple (ahn) ( ) abel. Pebandingan amoisasi anpa aple dan amoisasi dengan aple, sea poses pembenkan inees ae ap. (ahn) f F 1 F Amoisasi anpa aple I A Amoisasi dengan aple I A ( 1 F ) Inees ae ap.7417

7 1 Keeangan: : peiode pembayaan : sk bnga pasa : ap ae (baas aas sk bnga) : aple f : iilan pokok pinjaman F : fngsi epaymen (pembayaan pinjaman pokok) F : sisa ang (pokok pinjaman) 1 I A : sk bnga nominal : fngsi pembayaan bnga : amoisasi Dai abel 1 yang menjelaskan enang pembenkan haga aple, eliha bahwa pada saa sk bnga pasa beada di bawah ap ae, maka haga aple adalah nol, yang beai pada saa eseb idak dipelkan adanya jaminan. Namn, pada saa sk bnga pasa melampai, maka ebenk haga aple yang menyaakan bahwa pada saa eseb nasabah pel melindngi pinjamannya dengan jaminan aga ehinda dai kegian akiba naiknya beban bnga. Pengamaan ehadap kaakeisik pinjaman pada abel membkikan bebeapa hal pening, yai besanya nilai fngsi epaymen (pembayaan pinjaman pokok) pada akhi konak adalah sa ( F = 1), sedangkan sisa pokok pinjaman adalah nol. Unk pinjaman anpa aple, sk bnga nominal yang akan dikenakan pada pinjaman beganng pada besanya sk bnga pasa ( ( ) = ). Sedangkan pada pinjaman dengan aple, sk bnga yang belak adalah sebesa minimm anaa sk bnga pasa dengan ap ae. Amoisasi yang ebenk pada pinjaman anpa aple lebih besa dai pinjaman dengan aple. Hal ini dikaenakan oleh pebedaan besanya sk bnga yang dibebankan pada masing-masing pinjaman. Unk meliha besanya kesenjangan amoisasi pada keda jenis pinjaman eseb, dimisalkan bank membeikan pinjaman kepada nasabah sebesa Rp.1milya. Dalam kass pinjaman anpa aple, pengelaan amoisasi sebesa Rp Sedangkan nk pinjaman dengan ap, pengelakan amoisasi nasabah sebesa Rp Biaya ini kemdian diambah dengan pembelian aple sebesa Rp , sehingga oal pengelaan nasabah sebesa Rp Maka, besanya selisih amoisasi pada keda pinjaman eseb Rp Dengan demikian, dapa disimplkan bahwa konak inees ae ap sehaga Rp dengan baas sk bnga yang diinginkan 8%, membeikan penghemaan nk nasabah sebesa Rp aa.8583% dai pokok pinjaman (pinipal) sebesa Rp.1Milya.